初三数学相似三角形专题练习

初三数学相似三角形专题（分层适用）

一、圆中相似三角形的判定

例1．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

例2、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意，找出图中各对相似三角形，并加以证明．

变式：1．如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A，B点，弦AC∥PM，连接OM、BC.

求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2＝OP•BC．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE

二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段

例3．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上

一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．

（1）求证：△ABD为等腰三角形．

（2）求证：AC•AF＝DF•FE．

变式：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）求证：△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.

三、利用圆中相似进行计算

例4、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：AB=2BC；

（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值.

变式1：如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作O ，交斜边

AC 于点D ，连结BD ．

（1）若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；

（2）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．

变式2：如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为

半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ．

（1）求证：D 是的中点； （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）若

2

1

OCD CEF S S △△，且AC =4，求CF 的长.

四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用

例5、如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长

线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.

变式1：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD 于点D．

求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．

五、巩固练习，当堂反馈

1．正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上两个动

点，且始终保持AM⊥MN，当BM= 时，四边形ABCN

的面积最大，最大面积为．

第1题2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．

3．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

4．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．

5．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．

（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：2

AE AC EC

．

7．如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似．

8．正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，

（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M

点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．

9．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ； （1）求证：FD 2=FB ·FC ； （2）若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由。

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．