初中数学竞赛：待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常考的一种解题方法，它的思想是通过设定合适的未知数来构建方程，然后解方程求解问题。
待定系数法的应用广泛，包括代数问题、几何问题、概率问题等等。
下面我将详细介绍待定系数法在初中数学中的常见应用。
一、代数问题1.求一元一次方程的解待定系数法可以用来解决一元一次方程的解的问题。
例如，求方程7x-21=10的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为7a-21=10。
然后解方程，得到a=5、所以方程的解是x=52.求一元二次方程的解待定系数法可以用来求解一元二次方程的解。
例如，求方程x^2+5x+6=0的解。
我们设方程的解为x=a，那么方程可以表示为a^2+5a+6=0。
然后解方程，得到a=-3或a=-2、所以方程的解是x=-3或x=-23.求一元二次方程的系数待定系数法还可以用来求解一元二次方程的系数。
例如，已知方程的根为2和3，且方程的首项系数为1，我们要求方程的系数。
设方程为ax^2+bx+c=0，代入已知根得到两个方程：a(2)^2+b(2)+c=0和a(3)^2+b(3)+c=0。
解这两个方程，得到a=1，b=-5，c=6、所以方程为x^2-5x+6=0。
二、几何问题待定系数法可以用来解决几何问题的角度问题、边长问题等等。
例如：1.角度问题已知一条边和一个角的大小，求另一条边的长度。
设另一条边的长度为x，那么根据三角函数的定义，可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
2.边长问题已知两条边和一个角的大小，求第三条边的长度。
设第三条边的长度为x，根据三角不等式可以得到一个方程。
解方程，得到x的值。
三、概率问题待定系数法可以用来解决概率问题中的计数问题、排列问题等。
例如：1.计数问题已知有n个人，其中有m个男生和n-m个女生。
从中选出x个人，其中至少有y个男生，求选人的方法数。
设选出的x个人中有y个男生的方法数为C，那么根据组合的性质可以得到一个方程。
初中数学十大思想方法-待定系数法
初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。
用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=kx 或 y=kx+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。
④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。
注意; 正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。
而一次函数y=kx+b 需要有两个条件。
初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解，那么a、b 的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4、20，18，5x，-6y的平均数是1、求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
专题45 待定系数法(解析版)
专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。
初一年级奥数知识点：待定系数法
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：待定系数法，欢迎⼤家阅读。
待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。
它是中学数学中常⽤的⽅法之⼀。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法在初中数学中是一个非常重要的解题方法。
它通常用于解决一元一次方程组、二次方程、代数式的展开和因式分解等问题。
接下来，我将详细介绍待定系数法的基本概念、解题步骤以及一些常见的例题。
一、待定系数法的基本概念待定系数法是通过假设未知量的值为一些系数，然后通过数学运算得到方程组的解。
在待定系数法中，我们可以假设未知量是一个常数、一个变量，甚至是一个代数式。
二、待定系数法的解题步骤1.了解问题并设定未知量：首先，我们要仔细阅读题目，理解问题的要求，并确定需要求解的未知量。
2.假设未知量：根据题目的要求，我们根据经验和数学常识假设未知量的值。
3.建立方程：根据已知条件和假设的未知量，我们可以建立方程组或方程。
4.求解方程：将方程组或方程进行化简和整理，找到未知量的值。
5.验证解：将求得的未知量的值代入原方程中验证是否满足题目要求。
6.提出结论：根据求得的解和验证的结果，给出问题的最终解答。
三、待定系数法的常见例题1.一元一次方程组例题1：已知二次方程的两个根为4和-3，求该二次方程。
解析：根据二次方程的性质，已知根x1和x2，可以得到二次方程为(x-x1)(x-x2)=0，即(x-4)(x+3)=0。
将括号中的每个因式展开，得到x^2-x(4+3)+12=0，即x^2-7x+12=0。
2.二次方程例题2：求满足方程x^2+6x=8的x的值。
解析：我们可以假设x的值为a，即x=a，代入方程中得到a^2+6a=8、将方程化简为a^2+6a-8=0。
对于这个二次方程，我们需要用待定系数法求解，设定未知量为a，设定的a是一个常数。
然后，我们将这个方程因式分解为(a-1)(a+8)=0，即a-1=0或a+8=0。
解得a=1或a=-8，即x=1或x=-83.代数式的展开和因式分解例题3：将代数式(x-2)(x+3)展开。
解析：根据分配律，我们可以得到(x-2)(x+3)=x(x+3)-2(x+3)。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题04 和差化积----因式分解的方法(2)
专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）。
第15讲 待定系数法
第15讲 待定系数法给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。
——柯西知识方法扫描在解答一些与多项式相关的问题时，可先设出某些尚待确定的系数，然后根据已知条件来确定这些系数的值，从而解决问题，这样的方法，称为待定系数法。
确定待定系数的办法因题而异，其中使用得最多的是恒等式的概念和多项式的恒等定理:即如果两个化简后的多项式恒等，那么它们对应的同次项的系数分别相等。
经典例题解析例1．(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)如果2x 2 - 3x -1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么cb a += 解法1 由已知2x 2-3x-1 =a(x-1)2+b(x-1)+c= ax 2 - 2ax+a 十bx -b+c=ax 2+（b- 2a ）x+a-b+c根据恒等式的性质⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-=1,32,2c b a a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.2,1,2c b a所以⋅⋅-=-+=+25212c b a 解法2 由已知2x 2-3x-1=a (x-1)2+b (x-l) +c根据恒等式的意义，当x 取0、1、2时，等式仍然成立所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=-.1,2,1c b a c c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.2,1,2c b a 故23212-=-+=+c b a 评注 解法1是根据恒等式的性质，比较等式两边的同次项系数，得到关于待定系数的方程组，从而求出未知系数的值．因此，这种方法又叫比较系数法； 解法2是根据恒等式的意义，对a 赋以不同的值得到关于未知系数的方程组，从而求出未知系数的值，这种方法又叫做赋值法． 例2．(1983年黄石市初中数学竞赛试题)设)(x f 为x 的多项式，当1+=a x 时，)(x f 的值是 152)1(2+-=+a a a f ，试求出多项式)(x f解 设C a B a A a f ++++=+)1()1()1(2，则)1(152)1()1(22+-≡++++a a C a B a A令1-=a ，代入(1)中即得C=8．再将C=8代入(1)中又得)72)(1(752)1()1(82-+≡--≡+++a a C a a B a A从而即有 )2(72)1(-=++a B a A又令a=-l 代入(2)中即得B=-9．最后令a=0以及B=-9，C=8代入(1)中得A=2，于是8)1(9)1(2)1(2++-+=+a a a f 。
初中数学竞赛专题辅导 因式分解(二)
初中数学竞赛专题辅导因式分解(二) 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
待定系数法,对称式与轮换对称式
【例1】(太原市初中数学竞赛) 关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋ 43y－24可分解为两个一次因式的乘积， 则m的值是_r是x的一次式的完全 立方式，求证3mr＝n2。
【例3】用待定系数法分解因式： x5＋x＋1
对称式：
x、y多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋ xy2，…在字母x与y互换时，保持不变。这样 的多项式称为x、y的对称式。 类似的，关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋ y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋ y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在字母x、y、z中 任意两字互换时，保持不变，这样的多项式 称为x、y、z的对称式。
轮换式： 关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2， xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2 ＋yz2＋zx2， xyz，…在将字母x、y、z轮换 (即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变。 这样的多项式称为x、y、z的轮换式。
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显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z 的轮换式。但是，关于x、y、z的轮换式不一 定是对称式。
例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式。 次数低于3的轮换式同时也是对称式。
【例4】分解因式： a3(b－c)＋b3(c－a)＋c3(a－b)
【例5】分解因式： (y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5
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初中数学竞赛指导：待定系数法在初中数学竞赛中的应用
待定系数法在初中数学竞赛中的应用对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的关系式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解得待定系数，从而使问题得以解决，这一方法叫待定系数法，此法在初中竞赛题中有着广泛的应用，下面举例予以说明．一、用于解不定方程例1 使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数为_______．解由题意，可设5×2m＋1＝(2k＋1)2（k为正整数），则5×2m＝4k（k＋1），即5×2m－2＝k（k＋1）．由于k（k＋1）是连续的两个正整数的积，故可知5×2m－2＝5 x4，∴m＝4．即使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数只有1个．例2 已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．解设直角三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b<c)，则a＋b＋c＝60．显然，直角三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值．由a≤b<c及a＋b＋c＝60，得60＝a＋b＋c<3c，∴c>20．由a＋b>c及a＋b＋c＝60，得60＝a＋b＋c>2c，∴c<30．又∵c为整数，∴21≤c≤29．根据勾股定理，可得a2＋b2＝c2．把c＝60－a－b代入并化简，得ab－60(a＋b)＋1800＝0，∴(60－a)(60－b)＝1800＝23×32×52．因为a ，b 均为整数，且a ≤b ，所以只有3260256035a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或22260256023a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得2015a b =⎧⎨=⎩或1024a b =⎧⎨=⎩． 当a ＝20，b ＝15时，c ＝25，三角形的外接圆的面积为6254π； 当a ＝10，b ＝24时，c ＝26，三角形的外接圆的面积为169π．二、用于确定不等式的取等条件例3 已知锐角△ABC 的三个内角满足A>B>C ，用α表示A －B ，B －C ，以及90°－A 中的最小值，则α的最大值是_______．解 设x>0，y>0，z>0，则x α≤x(A －B)，y α≤y(B －C)，z α≤z(90°－A)，即（x ＋y ＋z ）α≤(x －z)A ＋(y －x)B －yC ＋z ·90°，令x －z ＝y －x ＝－y ，则x ＝2y ，z ＝3y ．取y ＝16，则 α≤－16A －16B －16C ＋12·90° ＝ 45°－(A ＋B ＋C)＝15°．故当A ＝ 75°，B ＝60°，C ＝45°时，α＝15°．三、用于拆分分式例4 已知：()()223232x x A B C x x x x x x -+=++-+-+，求A ，B ，C 的值． 解 去分母，得x2－x＋2＝A(x－3)(x＋2)＋Bx(x＋2)＋Cx(x－3)．根据恒等式定义，选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值，所以，当x＝0时，有2＝－6A，得A＝13；当x＝3时，有8＝15B，得B＝8 15；当x＝－2时，有8＝10C，得C＝45．注意本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式的性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解．例5 已知抛物线y＝－16x2＋bx＋c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1<x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．将抛物线向左平移241）个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC．求抛物线的解析式．解抛物线的解析式变形为y＝－16(x－3b)2＋232b＋c，所以，点P（3b，32b2＋c），点C(0，c)．设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3b，m)．显然，x1，x2是一元二次方程－16x2＋bx＋c＝0的两根，所以，x1＝3bx2＝3b又AB的中点E的坐标为(3b，0)，所以，AE因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD．又AE ⊥PD ，所以由射影定理，可得AE 2＝PE ·DE ，即2232b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭·m ， 易知m<0，所以可得m ＝－6．又由DA ＝DC ，得DA 2＝DC 2，即2＋m 2＝(3b －0)2＋(m －c)2．把m ＝－6代入后，可解得c ＝－6（c ＝0舍去）．将抛物线y ＝－16(x －3b)2＋232b －6向左平移241）个单位后，得到的新抛物线为y ＝－16(x －3b ＋24)2232b －6． 易求得两抛物线的交点为Q(3b ＋12－232b ＋102) 由∠QBO ＝∠OBC ，可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC ．作QN ⊥AB ，垂足为N ，则解得b ＝4(b ＝435) <0，舍去）． 因此，抛物线的解析式为y ＝－16x 2＋4x －6．。
初中数学竞赛专题选讲待定系数法(含答案)
学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义：设 f(x) 和 g(x) 是含相同变量 x 的两个多项式， f(x) ≡ g(x) 表示这两个多项式恒等 .就是说 x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的 .符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：222－ 1)(x － 1),（ x+3）=x +6x+9,5x － 6x+1=(5xx3－ 39x－ 70=(x+2)(x+5)(x － 7).都是恒等式 .根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式ax2 +bx+c=2(x+1)(x － 2).求：① a+b+c ；②a－ b+c.解：①以 x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c＝－ 4.②以 x= －1，代入等式的左右两边，得a－ b+c＝0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即如果n n－1n n－1a0x +a1x +⋯⋯ +a n－1x+a n=b0x +b 1x+⋯⋯ +b n－1x+b n那么 a0=b0， a1=b1，⋯⋯，a n－1=b n－1，a n=b n.22－ 2x－ 4.上例中又解：∵ ax +bx+c=2x∴ a=2,b= －2,c=－4.∴ a+b+c＝－ 4，a－b+c＝ 0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题例 1.已知：x2x 2A B C x(x 3)( x 2)x x 3 x 2求：A，B，C的值 .解：去分母，得x2－ x+2=A(x － 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A， B， C 的值），学习必备 欢迎下载当 x=0 时， 2＝－ 6A.∴A ＝－1. 当x=3时，8＝ 15B.∴B ＝ 38.当 x=－ 2 时，8＝ 10C.15 4 ∴ C ＝.5本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于 x 的二次三项式， 然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解 .（见下例） .例 2. 把多项式 x 3－ x 2+2x+2 表示为关于 x － 1 的降幂排列形式 .解：用待定系数法：设 x 3－ x 2+2x+2=a(x － 1)3+b(x － 1)2+c(x － 1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得3232－ax － x +2x+2=ax － 3ax +3ax+bx 2－ 2bx+b+cx － c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，a 1a 1 3ab 1 b 2得2b c 2 解这个方程组，得33ac ab cd 2d4∴ x 3－ x 2+2x+2=(x － 1)3+2(x － 1)2+3(x － 1)+4.本题也可用换元法：设 x －1=y, 那么 x=y+1.把左边关于 x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把 y 换成 x － 1.例 3. 已知： 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方式 .求： a 和 b 的值 .解：设 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝（ 2x 2+mx ± 1）2 （设待定的系数，要尽可能少 .） 右边展开，合并同类项，得 4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝ 4x 4+4mx 3+(m 2± 4)x 2 ±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得a 4ma4m 方程组m 2 4 13；或 m 24 13 .b 2mb2m解得a12或 a 12或 a 4 17 或 a － 4 17 .b 6b6b2 17 b 2 17例 4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程32x 1, x 2, x 3.ax +bx +cx+d=0(a ≠ 0)的三个根分别为原方程化为 x 3+ bx 2c xd 0 .aa a∵ x 1, x 2, x 3 是方程的三个根 .∴ x 3+ bx 2c xd (x － x 1) (x － x 2) (x － x 3).aa a把右边展开，合并同类项，得x 3+ bx2c xd =x 3－ ( x 1+x 2+x 3)x 2 +(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x － x 1x 2x 3. aa a比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－b，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝c ，x 1 x 2x 3＝－d.aa a例 5. 已知： x 3+px+q 能被（ x － a ）2 整除 .求证： 4p 3+27q 2=0.证明：设 32（x+b ） .x +px+q ＝（ x － a ）x 3+px+q=x 3 +(b － 2a)x 2+(a 2－ 2ab)x+a 2b.b 2a 0①a 2②2ab pa 2b ③q由①得 b=2a ，代入②和③得p 3a 2q2a3∴ 4p 322 33 2×（－ 66（证毕） .+27q ＝ 4（－ 3a ） +27(2a ) =4 27a ） +27 ×（ 4a ） =0. 例 6. 已知： f (x)=x 2 +bx+c 是 g (x)=x 4 +6x 2＋ 25 的因式，也是 q (x)=3x 4+4x 2+28x+5 的因式 .求： f (1) 的值 .解：∵ g (x),q (x) 都能被 f (x) 整除 ,它们的和、差、倍也能被 f (x) 整除 .为了消去四次项，设g (x) － q (x) ＝kf (x),(k 为正整数 ).即 14x2－ 28x+70 ＝ k (x 2+bx+c)14（x2－ 2x+5 ）＝ k (x 2+bx+c)∴ k=14,b=－2,c=5.即 f (x)=x 2－ 2x+5.∴f (1)=4 .例 7. 用待定系数法，求（x+y）5的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（ x+y ）5＝ a(x5+y5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y2+x 2y3) (a,b, c 是待定系数 .)当x=1,y=0 时，得 a=1；当x=1,y=1 时，得 2a+2b+2c=32 ，即 a+b+c=16当x=－ 1,y=2 时，得 31a－ 14b+4c=1.a1得方程组 a b c1631a14b4c1a 1解方程组，得b5c 10∴（ x+y）5＝ x5+5x 4y+10x 3y2+10x 2y3+5xy 4+y 5.三、练习511.已知2x3a bb 的值 .26x8x 2x.求a,x42.已知：4x 23x5A B C( x 1)2 ( x 2)x 1 (x 1) 2. 求：A，B，C 的值.x 23.已知：x4—6x3+13x2－ 12x+4 是完全平方式 .求：这个代数式的算术平方根 .4.已知： ax3+bx 2+cx+d能被 x2 +p 整除 .求证： ad=bc.3 25.已知： x － 9x +25x+13=a(x+1)(x － 2)(x － 3)=b(x － 1)(x － 2)(x － 3) =c(x － 1)(x+1)(x －3) =d(x － 1)(x+1)(x －2).求： a+b+c+d 的值 .6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7.用 x－ 2 的各次幂表示 3x3－10x2+13.8.k 取什么值时， kx 2－ 2xy － y2+3x － 5y+2 能分解为两个一次因式 ..9.分解因式：① x2+3xy+2y 24x+5y+3 ；②x4+1987x 2+1986x+1987.10.求下列展开式：① (x+y) 6；② (a+b+c) 3.11. 多项式 x2y－ y2z+z2x－ x2z+y2x+z 2y－ 2xyz 因式分解的结果是 ()(A) (x+y)(y－ z)(x － z) .(B) (x+y)(y+z)(x－ z).(C) (x －y)(y － z)(x+z).(D) (x － y)(y+z)(x+z).4432432－ 3.12. 已知 ( a+1) =a +4a +6a+4a+1,若 S=(x－ 1) +4(x－1) +6(x －1) +4x则S等于()4(B)44. (D)4(A) (x－ 2) .(x－1) .(C) x(x+1) .13．已知：ax 35x 2bx c的值是恒为常数求：a,b, c 的值 .2x310x 23x4参考答案7111.a=－ ,b= －2 22.A=1,B=2,C=33.± (x2－ 3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+ d )⋯p5. 13－ 2)2－2)－37. 3(x －2) +8(x－ 4(x8. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。
待定系数法在初中数学解题中的思路与方法
２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀待定系数法在初中数学解题中的思路与方法◉福建省晋江市安海中学㊀黄华志㊀㊀摘要:待定系数法是初中数学中一种应用十分广泛且行之有效的解题方法．待定系数法的实质就是方程思想,它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式,即得方程(组)．本文中结合典型例题,探讨了如何在各类题型中灵活运用待定系数法解题的思路与方法．关键词:多项式除法;因式分解;解方程;恒等变形;求函数解析式㊀㊀在初中数学中,待定系数法是一种十分重要㊁应用范围广且非常实用的求未知数的解题思想和方法[１]．待定系数法运用的是 执果索因 的思维方法,其基本思路是先判断所求的结果的结构具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,然后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或者找到这些待定系数间的某种关系．待定系数法可广泛应用于多项式除法㊁因式分解㊁解方程(组)㊁恒等式的变形与证明㊁研究二次函数的性质等各类数学问题的解法之中,现将其常见的解题思路与方法技巧归类解析如下．１在多项式除法中的运用待定系数法在多项式的整除㊁求商式㊁余式等问题中运用广泛．例１㊀求(３x３－２x２＋１)ː(３x２－３x＋１)的商式和余式．解:设商式为x＋a,余式为p x＋q,则３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q．令x＝０,则a＋q＝１．令x＝１,则(a＋１)＋p＋q＝２．令x＝－１,则７(a－１)－p＋q＝－４．可得方程组a＋q＝１,a＋p＋q＝１,７a－p＋q＝３．ìîíïïï解得a＝１３,p＝０,q＝２３．ìîíïïïïïï所以商式为x＋１３,余式为２３．思路与方法:本题被除式的最高项为３x３,除式的最高项为３x２,则商式的最高次数为１且系数也为１．故可设商式为x＋a,余式为p x＋q,可得关于x的恒等式３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q,即对一切实数x均成立,因此对x取０,１,－１当然也应成立,从而得到关于a,p,q的方程组,这是特殊值法的运用．例２㊀已知x４＋４x３＋６p x２＋４９x＋r能被x３＋３x２＋９x＋３整除,求p,q,r的值．解:设商式为x＋m,则x４＋４x３＋６p x２＋４q x＋r＝(x＋m)(x３＋３x２＋９x＋３)＝x４＋(３＋m)x３＋(９＋３m)x２＋(３＋９m)x＋３m．比较对应项系数,得３＋m＝４,９＋３m＝６p,３＋９m＝４q,３m＝r．ìîíïïïï解方程组,得m＝１,p＝２,q＝３,r＝３．ìîíïïïï思路与方法:本题的解题思路是先要假定商式,因为x４ːx３＝x,所以可假定商式为x＋m,这里p, q,r,m都是待定系数,然后根据被除式恒等于商式乘除式的关系,就可以确定p,q,r,m的值．这种通过比较对应项系数而得到关于待定系数间的关系式的解题技巧十分重要．２在因式分解中的运用在对较复杂的二元二次多项式进行因式分解时,有时只需要将其部分因式分解成两个一次因式的乘积形式,就能够使我们在分解中确定因式的过程变得简捷明了．例３㊀已知２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５能分解成两个一次因式之积,试求这个有理系数多项式．解法１:由十字相乘法,得２x２＋x y－y２＝(２x－y)(x＋y)．设２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５＝(２x－y＋m) (x＋y＋n)＝２x２＋x y－y２＋(２n＋m)x＋(m－n) y＋m n．比较对应项系数,得２n＋m＝－k,m－n＝８,m n＝－１５．ìîíïïï解得m＝３,n＝－５,k＝７,ìîíïïï或m＝５,n＝－３,k＝１．ìîíïïï９７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．解法２:由－y ２＋８y －１５＝(－y ＋３)(y －５),故设２x ２＋x y －y ２－k x ＋８y －１５＝(a x －y ＋３)(b x ＋y －５)＝a b x ２＋(a －b )x y －y ２＋(３b －５a )x ＋８y －１５．比较对应项系数,得a b ＝２,a －b ＝１,３b －５a ＝－k ．ìîíïïï解得a ＝２,b ＝１,k ＝７,ìîíïïï或a ＝－１,b ＝－２,k ＝１．ìîíïïï故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．思路与方法:解法１把前三项分解成两个一次因式相乘的形式(２x －y )(x ＋y ),再把原式变形为(２x －y ＋m )(x ＋y ＋n ),即可运用比较对应项系数的方法顺利获解;解法２也是采用待定系数法,把－y ２＋８y －１５分解成两个一次因式之积的形式(－y ＋３)(y －５),再通过变形㊁对比对应项系数的方法求解．例４㊀满足等式p ２＋q ２＝７p q 的正实数p ,q ,能使关于x ,y 的多项式x y ＋p x ＋q y ＋１分解成两个一次因式的积,求p ,q 的值．解:由p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),可得㊀㊀㊀㊀㊀㊀p ＋q ＝３p q ①因为多项式x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,所以可设x y ＋p x ＋q y ＋１＝(a x ＋b ) (c y ＋d )＝a c x y ＋a d x ＋b c y ＋b d ．比较对应项系数,得a c ＝１,b d ＝１,a d ＝p ,b c ＝q ．所以㊀㊀㊀㊀㊀㊀p q ＝a b c d ＝１．②由①②式,可得p ＝３２＋５２,q ＝３２－５２;或p ＝３２－５２,q ＝３２＋５２．思路与方法:由条件p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),运用配方法可得出p ＋q 与p q 的关系;又由x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,利用待定系数法求出p q 的值,从而巧妙地求出p ＋q 的值,进而可得出p ,q 的值．３在解方程中的运用在初中阶段学生还没有学过高次方程的解法,但如果发现某些一元高次方程的根存在某种关系,也可以运用待定系数法解这类方程．另外,有些特殊的高次方程也能够尝试用待定系数法求解[２]．例５㊀已知方程２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝０有两个根的积等于２,试解这个方程．解:设２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝(x ２＋a x ＋２)(２x ２＋b x －１０)＝２x ４＋(２a ＋b )x ３＋(a b －６)x ２＋(－１０a ＋２b )x －２０,比较对应项系数,得２a ＋b ＝－５,a b －６＝－２４,－１０a ＋２b ＝５３．ìîíïïï解得a ＝－９２,b ＝４．{所以原方程可化为(x ２－９２x ＋２)(２x ２＋４x －１０)＝０．解方程,得x １＝１２,x ２＝４,x ３＝－１＋６,x ４＝－１－６．思路与方法:由根与系数的关系可知,两根之积为２的一元二次方程,如果二次项的系数是１,则常数项是２,由此我们可以作出假设来求解．例６㊀解方程:x ４＋(x －４)４＝６２６．解法１:由于６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,可以看出５与－１是方程的两根,因此可令x ４＋(x －４)４－６２６＝２(x ＋１)(x －５)(x ２＋p x ＋q )．在上式中,取x ＝０,得q ＝３７;取x ＝４,得p ＝－４．于是原方程可变为２(x ＋１)(x －５)(x ２－４x ＋３７)＝０．因为方程x ２－４x ＋３７＝０无实数根,所以原方程的根为x １＝－１,x ２＝５．解法２:因为６２６＝５４＋１４,所以原方程可化为x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０⇔(x ２＋２５)(x ２－２５)＋[(x －４)２＋１] [(x －４)２－１]＝０⇔(x ２＋２５)(x ＋５)(x －５)＋(x －３)(x －５)(x ２－８x ＋１７)＝０⇔(x －５)(x ３－３x ２＋３３x ＋３７)＝０⇔(x －５)[(x ３＋１)－３(x ２－１１x －１２)]＝０⇔(x －５)(x ＋１)(x ２－４x ＋３７)＝０．解得x １＝５,x ２＝－１,这就是原方程的根．思路与方法:解法１运用了待定系数法,根据６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,推知方程有两个实根－１与５,用待定系数法将x ４＋(x －４)４－６２６分解因式;解法２主要运用了因式分解法,充分利用了关系式x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０,再将左边分解因式．４在代数式恒等变形中的运用用待定系数法可对某些代数式按照某种要求进行恒等变形,具体方法是先假定一个符合条件的含有待定系数的恒等式,然后根据恒等式的性质,求出待定系数的值,或消去待定系数,使问题获得解决．例７㊀证明x y (３x ＋２)(５y ＋２)可化为具有整数系数的两个多项式的平方差．证明:设x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝A ２－B ２(A ,B 代０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀表整式),则(３x y ＋２y )(５x y ＋２x )＝(A ＋B )(A －B )．令A ＋B ＝３x y ＋２y ,A －B ＝５x y ＋２x ．{解得A ＝４x y ＋x ＋y ,B ＝－x y ＋y －x ．所以x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝(４x y ＋x ＋y )２－(－x y ＋y －x )２．思路与方法:题目要求将x y (３x ＋２)(５y ＋２)转变成两个整式的平方差的形式,但这两个整式我们并不知道,也不能盲目拼凑,所以不妨设这两个整式分别为A ,B ,尝试用待定系数法求解．例８㊀求证:多项式x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４是一个完全平方式．证明:设原式＝(x ２＋p x ＋q )２＝x ４＋２p x ３＋(p ２＋２q )x ２＋２p q x ＋q２．比较对应项系数,得２p ＝－６,p ２＋２q ＝１３,２p q ＝－１２,q ２＝４．ìîíïïïï解得p ＝－３,q ＝２．{所以x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４＝(x ２－３x ＋２)２．思路与方法:本题是一个四次多项式,所以它应是一个二次三项式的平方,于是我们可以假定所给的多项式恒等于(x ２＋p x ＋q )２,式中的p 和q 是待定系数．５在二次函数中的运用求二次函数的解析式类问题,一般可用待定系数法求解．这类题型中通常都含有三个待定系数,需找到题中三个独立的条件,再求出相应的待定系数．解题过程中要善于发现和挖掘隐含条件．例９㊀已知抛物线过点C (－１,－１),它的对称轴是直线x ＝－２,且在x 轴上截取长度为２２的线段,求该抛物线的解析式．解法１:由对称轴直线x ＝－２,可设抛物线解析式为y ＝a (x ＋２)２＋k ．由抛物线的特征可知,其对称轴垂直平分其在x 轴上截取的线段,因此可知该抛物线过点A (－２＋２,０),B (－２－２,０)．又抛物线过点C (－１,－１),将点A ,C 的坐标代入解析式,可得a (－１＋２)２＋k ＝－１,a (－２＋２＋２)２＋k ＝０,{即a ＋k ＝－１,２a ＋k ＝０,{解得a ＝１,k ＝－２．{所以y ＝(x ＋２)２－２．故该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法２:设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ．由解法１中分析可知抛物线过(－２＋２,０),(－２－２,０)以及(－１,－１)三点,代入可得a －b ＋c ＝－１,(－２＋２)２a ＋(－２＋２)b ＋c ＝０,(－２－２)２a ＋(－２－２)b ＋c ＝０．ìîíïïïï解得a ＝１,b ＝４,c ＝２．ìîíïïï所以,该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法３:由解法１中分析可知抛物线与x 轴的两交点坐标为(－２＋２,０),(－２－２,０),因此可设解析式为y ＝a (x ＋２－２)(x ＋２＋２),又过点(－１,－１),代入可求得a ＝１．所以解析式为y ＝(x ＋２－２)(x ＋２＋２),即y ＝x ２＋４x ＋２．思路与方法:解法１利用二次函数的顶点式y ＝a (x ＋２)２＋k 来求解;解法２利用二次函数的一般式y ＝a x ２＋b x ＋c 来求解;解法３利用二次函数的交点式y ＝a (x －x １)(x －x ２)来求解．这三种方法都用到了待定系数法,其中最关键的是对条件 在x 轴上截取长度为２２的线段 的技巧转化．例１０㊀已知二次函数有最小值－２,且图象与x 轴两交点的距离是６,对称轴是直线x ＝－１,求其解析式．解:由题意可知,抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(２,０)和(－４,０),故设二次函数解析式为y ＝a (x －２)(x ＋４)．把抛物线顶点的坐标(－１,－２)代入,求得a ＝２９．所以二次函数的解析式为y ＝２９(x －２)(x ＋４),即y ＝２９x ２＋４９x －１６９．思路与方法:根据题设条件中对称轴是直线x ＝－１,图象与x 轴两交点的距离是６,可求出两交点坐标为(２,０)(－４,０),再用两点式求出解析式．通过对上述典型例题思路与方法的探究,我们充分感受到了运用待定系数法解题的广泛性㊁实用性㊁灵活性与巨大的优越性．学生平时需要多加强这方面的训练,进一步熟悉和掌握答题的方法与技巧,熟能生巧,运用自如,不断提高综合解题能力．参考文献:[１]祝朝富．待定系数法及其应用[J ]．中等数学,２００１(２):２Ｇ７．[２]于莹．用待定系数法解题[J ]．数理化学习(初中版),２００２(１２):２３Ｇ２５．Z１８Copyright ©博看网. 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待定系数法
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
【又】一种常用的数学方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
编辑本段待定系数法分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
例、分解因式x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4分析：已知这个多项式没有二次因式，因而只能分解为两个一次因式。
解：设x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4=(x ﹢ax﹢b)(x ﹢cx﹢d) = x² ﹢(a﹢c)x ﹢(ac﹢b﹢d)x ﹢(ad﹢bc)x﹢bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)=（2x+1）（-x-4)编辑本段待定系数法解题步骤使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
初中待定系数法公式
初中待定系数法公式待定系数法是解代数方程组的一种常用方法，适用于多个未知数的情况。
以下是待定系数法的基本步骤和公式。
步骤一：设方程的未知数个数为n，根据方程的条件构建n个方程。
步骤二：设未知数的系数为a₁，a₂，...，aₙ，构建n个方程表示与未知数相关的条件。
步骤三：根据未知数的系数和方程的条件列方程组。
步骤四：解方程组，求出未知数的值。
待定系数法常用的公式如下：1.线性方程组的待定系数法对于形如ax + by = c的线性方程组，可以使用待定系数法进行求解。
设x的系数为a₁，y的系数为b₁，等号右边的常数项为c₁，代表第一个等式。
设x的系数为a₂，y的系数为b₂，等号右边的常数项为c₂，代表第二个等式。
构建如下方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。
2.二次方程的待定系数法对于形如ax² + bx + c = 0的二次方程，可以使用待定系数法进行求解。
设二次项系数为a₁，一次项系数为b₁，常数项为c₁，代表第一个等式。
设二次项系数为a₂，一次项系数为b₂，常数项为c₂，代表第二个等式。
设x的系数为x₁，y的系数为y₁，代表第三个等式。
构建如下方程组：a₁x²+b₁x+c₁=0a₂x²+b₂x+c₂=0x₁+y₁=0接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x和y的值。
3.三元一次方程组的待定系数法对于形如ax + by + cz = d的三元一次方程组，可以使用待定系数法进行求解。
设x的系数为a₁，y的系数为b₁，z的系数为c₁，等号右边的常数项为d₁，代表第一个等式。
设x的系数为a₂，y的系数为b₂，z的系数为c₂，等号右边的常数项为d₂，代表第二个等式。
设x的系数为a₃，y的系数为b₃，z的系数为c₃，等号右边的常数项为d₃，代表第三个等式。
构建如下方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃接下来，使用解方程组的方法求解该方程组，得到x、y和z的值。
人教版初中数学八年级下册 待定系数法求一次函数的解析式-省赛一等奖
人教版初中数学第十九章第二节第三课时《待定系数法求一次函数的解析式》教学设计武安市西苑中学程向军教学目标1．知识与技能了解待定系数法的思维方式和特点2．过程和方法会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式，发展解决问题的能力。
3．情感态度与价值观进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法。
教学重点：用待定系数法求一次函数解析式；教学难点：分解决抽象的函数问题。
关键：熟练应用二元一次方程组解一次函数中的待定系数。
学法分析初中生的思维方式，要求逐步由形象思维向抽象思维过渡，因此在教学中采用学生自主探索、合作交流的数学学习方式，让学生在自主探索、合作交流中加深理解知识。
掌握用待定系数法求一次函数的方法。
教学方法依例题归纳出求一次函数解析式的四个基本步骤：“一设、二列、三解、四答”，即“设出一般式y=b，由题设中给定条件写出关于、b的方程（组），由方程（组）解出、b，写出一次函数式。
数学思想方法小结：从形到数：一次函数图象→选取满足条件的两点（1，y1），（2，y2）→解出函数解析式（y=b）数学思想方法：数形结合教学过程（一）复习导入我们在画函数y=2, y=3-1时，至少应选取几个点为什么可以有不同取法吗前面我们学习了给定一次函数解析式，可以说出它的性质，反过来给出有关的信息，能否求出解析式呢分析与思考： （1）题是经过 的一条直线，因此是 ，可设它的表达式为 将点 代入表达式得 ，从而确定该函数的表达式为 ．（2）设直线的表达式是 ，因为此直线经过点 ， ，因此将这两个点的坐标代 入可得关于,b 方程组，从而确定,b 的值，确定了表达式．（二）自主学习认真阅读课本P93例题，归纳出用待定系数法求一次函数解析式的方法。
例1、已知一次函数的图象经过点3，5与-4,-9,求这个一次函数的解析式。
解：设一次函数的解析式为y=b （≠0。
设因为图象过点3,5与-4,-9， 列所以 解得 解∴这个一次函数的解析式为y=2-1 答（三）互助探究1、已知某个一次函数的图像，如右图所示，你知道如何求它的解析式吗y=-22法1：设解析式为：y=b （≠0 。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法是初中数学中常用的一种解题方法，它主要用于解决带有未知系数的方程问题。
通过设定未知系数，列出方程，再根据已知条件以及方程的性质进行求解。
接下来，我将从待定系数法在一元一次方程、一元二次方程、及数列中的应用等方面进行详细介绍。
在初中数学中，一元一次方程通常是最早接触到的方程类型。
待定系数法可以用来解决一元一次方程中的问题。
例如，如下的一道例题：例题1：有一个三位数，各位数字之和为9，将它的各位数字反过来得到一个不同的三位数，再将这两个三位数相加，得到1332，求原数。
解析：设这个三位数为100a+10b+c，反过来得到的三位数为100c+10b+a。
根据已知条件列出方程为：(100a+10b+c)+(100c+10b+a)=1332化简得：101a+20b+101c=1332由于方程中含有三个未知数a、b和c，我们可以设定一个待定系数，假设a为一个未知数。
那么b和c就可以通过1332-101a得到。
代入方程可得：101a+20(1332-101a)+101(1332-101a)=1332解这个一元一次方程可得：a=144根据所设待定系数，可将b和c代入求得：b=10，c=18通过这道题目的解答过程不难看出，待定系数法在一元一次方程中的应用既能简化方程的形式，又能得到未知数的值，大大提高了问题的解答效率。
一元二次方程是初中数学中的重点和难点，待定系数法在解决一元二次方程问题中提供了一种有效的思路。
下面以一道例题为例进行解析：例题2：已知一元二次方程 x^2 + ax +b =0 的两根α 和β 之和等于 -1，乘积等于 3、求这个二次方程的解析式。
解析：设方程的解析式为 x^2 + ax +b =0，根据题目中所给条件，可以列出方程为：x^2 + ax + b = (x-α)(x-β) = 0展开得：x^2-(α+β)x+αβ=0根据题目中给出的条件α+β=-1和αβ=3，代入方程可得：x^2-(-1)x+3=0即：x^2+x+3=0所以这个二次方程的解析式为x^2+x+3=0。
中考数学十大解题思路之待定系数法可修改全文
可编辑修改精选全文完整版中考数学十大解题思路之待定系数法中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1)2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。
待定系数法初中教案
待定系数法初中教案1. 知识与技能：让学生掌握待定系数法的基本概念和应用，能够运用待定系数法求解一次函数、二次函数和多项式的解析式。
2. 过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
二、教学内容：1. 待定系数法的定义和原理2. 待定系数法求解一次函数、二次函数和多项式的解析式3. 待定系数法在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：待定系数法的原理和应用。
2. 教学难点：待定系数法在解决实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何求解函数的解析式。
2. 讲解：介绍待定系数法的定义和原理，讲解如何运用待定系数法求解一次函数、二次函数和多项式的解析式。
3. 案例分析：分析几个典型案例，让学生深入理解待定系数法的应用。
4. 练习与讨论：布置一些练习题，让学生分组讨论，合作解决问题。
5. 总结与拓展：总结待定系数法的优点和局限性，引导学生思考如何将待定系数法应用于解决更复杂的问题。
五、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，是否能够主动提问、回答问题。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估他们对待定系数法的理解和掌握程度。
3. 小组合作：评估学生在小组合作中的表现，包括沟通能力、合作精神等。
六、教学资源：1. 教材：待定系数法的相关内容。
2. 练习题：设计一些具有代表性的练习题，帮助学生巩固待定系数法的应用。
3. 案例分析：收集一些实际问题，供学生分析和讨论。
七、教学建议：1. 注重学生的参与，鼓励他们积极思考和提问。
2. 结合实际情况，举例说明待定系数法的应用，让学生感受到数学的实用性。
3. 鼓励学生进行小组合作，培养他们的团队合作精神。
4. 及时给予学生反馈，帮助他们及时纠正错误，提高解题能力。
5. 适当增加练习题的难度，挑战学生的思维能力。
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初中数学竞赛：待定系数法【内容提要】1、多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x 在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1),x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).求：①a+b+c ； ②a －b+c.解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.2、恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n 那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.∴a=2, b=－2, c=－4.∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.3、待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.【例题 】例1. 已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x 求：A ，B ，C 的值.解：去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158. 当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2. 把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a+bx 2－2bx+b+cx －c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4.本题也可用换元法：设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.例3. 已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.解：设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx ±1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m m a 213442. 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或.例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a ≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++ad x a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根.∴x 3+=++ad x a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得x 3+=++ad x a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－a d .例5. 已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0.证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）.x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b. ⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq a p∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.例6. 已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值.解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数).即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c)14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c)∴k=14, b=－2, c=5.即f (x)=x 2－2x+5.∴f (1)=4 .例7. 用待定系数法，求（x+y ）5 的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（x+y ）5＝a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3) (a, b, c 是待定系数.) 当 x=1,y=0时， 得a=1；当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16当 x=－1,y=2时， 得31a －14b+4c=1.得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=141431161c b a c b a a解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧===1051c b a∴（x+y ）5＝x 5+5x 4y+10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5.【练习】1. 已知4286322+-+=++-x b x a x x x . 求a, b 的值. 2. 已知：2)1(1)2()1(534222++-+-=+-+-x C x B x A x x x x . 求：A ，B ，C 的值. 3. 已知： x 4—6x 3+13x 2－12x+4是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4. 已知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除.求证：ad=bc.5. 已知：x 3－9x 2+25x+13=a(x+1)(x －2)(x －3)=b(x －1)(x －2)(x －3)=c(x －1)(x+1)(x －3)=d(x －1)(x+1)(x －2).求：a+b+c+d 的值.6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7. 用x －2的各次幂表示3x 3－10x 2+13.8. k 取什么值时，kx 2－2xy －y 2+3x －5y+2能分解为两个一次因式..9. 分解因式：①x 2+3xy+2y 24x+5y+3；②x 4+1987x 2+1986x+1987.10. 求下列展开式：① (x+y)6； ② (a+b+c)3.11. 多项式x 2y －y 2z+z 2x －x 2z+y 2x+z 2y －2xyz 因式分解的结果是( )(A) (x+y)(y －z)(x －z) . (B) (x+y)(y+z)(x －z).(C) (x －y)(y －z)(x+z). (D) (x －y)(y+z)(x+z).12. 已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3.则S 等于( )(A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.13． 已知：4310252323-+-++-x x x c bx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.【答案】1. a=－27,b=－211 2. A=1,B=2,C=33. ± (x 2－3x+2)4.由 (x 2+p)(ax+pd )… 5. 17. 3(x －2)3+8(x －2)2－4(x －2)－38. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。
9. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x 2+x+1)(x 2－x+1987)10. ①x 6+6x 5y+15x 4y 2+20x 3y 3+15x 2y 4+6xy 5+y 6.②x 3+y 3+z 3+3(x 2y+y 2z+z 2x+x 2z+y 2x+z 2y)+6xyz.11. (A)12.(C)13. a=1, b=1.5, c=－2.。