特征根法求解二次微分方程

特征根法求解二阶常系数线性微分方程

关于二阶常系数线性微分方程的解法：

1．线性齐次方程0=+'+''cy y b y a 的通解

解法 先解特征方程02=++c br ar 的根．设特征根为a

ac b b r 2422

,1-±-=，分以下三种情况： （1） 当042>-ac b 时，特征方程有两个相异的实根()

ac b b a r 42122,1-±-=

，则方程的通解为 x r x r C C y 21e e 21+=．

（2）当042=-ac b 时，特征方程有重根a

b r 2-=，则方程的通解为 ()x r x C C y e 21+=．

（3）当042

<-ac b 时，特征方程有一对共轭的复根 a b ac a b r 2i 42i 22,1⋅-±-

=±=βα， 则方程的通解为 ()x C x C y x ββαsin cos e 21+=．

定理 若21,y y 为齐次方程0=+'+''cy y b y a 的两个解，则

2211y C y C y +=

亦是齐次方程的解，其中21,C C 是任意常数．又若21,y y 为线性无关时，则2211y C y C y +=是齐次方程的通解．

2．线性非齐次方程)(x f cy y b y a =+'+''的通解

定理 设*

y 是非齐次线性方程的一个特解，而y 是相应的线性齐次方程的通解，则其和 *y y y +=

为线性非齐次方程的通解．

具体解法：

（1）先求)(x f cy y b y a =+'+''的特解*

y

（2）再求对应线性齐次方程的通解y ，根据定理相加即可*y y y +=

例题1用特征根法求微分方程044=+'+''y y y 的通解 解：特征方程为r 2+4r+4=0

所以，（r+2）2=0

得重根r 1=r 2=-2，所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x

例题2用特征根法求微分方程y``+3y`+2y=0的一般解 解：特征方程的解r 1=-1，r 2=-2一般解

x x e C e C y --+=221

例题3 用特征根法求微分方程02520422=+-x dt dx dt

x d ;的一般解 解 微分方程的特征方程为

4r 2-20r +25=0, 即(2x -5)2=0, 其根为2

521==r r , 故微分方程的通解为 t t xe C e C x 252251+=, 即t e t C C x 2521)(+=

例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y ''-3y '-4y =0, y |x =0=0, y '|x =0=-5; 解：微分方程的特征方程为

r 2-3r -4=0, 即(r -4)(r +1)=0,

其根为r 1=-1, r 2=4, 故微分方程的通解为

y =C 1e -x +C 2e 4x .

由y |x =0=0, y '|x =0=-5, 得

⎩⎨⎧-=+-=+54021

21C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此所求特解为

y =e -x -e 4x .

例题5求微分方程的通解2y ''+y '-y =2e x

解 微分方程的特征方程为

2r 2+r -1=0, 其根为211=

r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.

因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ae x ,

代入原方程得

2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,

解得A =1, 从而y *=e x .

因此, 原方程的通解为

x x x e e C e C y ++=-2211

历年考题：

07-08下求微分方程y ''+4y '-5y =0的一般解

解：微分方程的特征方程为

r 2+4r -5=0,

其根为r 1=1, r 2=-5, 故微分方程的通解为

y =C 1e x +C 2e

-5x

09-10下用特征根法求微分方程y ''-4y '+5y =0的一般解 解：微分方程的特征方程为

r 2-4r +5=0,

其根为r 1=2-i , r 2=2+i , 故微分方程的通解为 y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ).

10-11下求微分方程的通解y ''-2y '+y =cosx+e x

微分方程的特征方程为

r 2-2r +1=0,

其根为11r =, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为

12x x Y C e C xe =+. 设y ''-2y '+y =e x 的特解为y *1=Ax 2e x ,

代入原方程解得A =1/2, 从而y *1=1/2x 2e x .

设y ''-2y '+y = cosx 的特解为y *2=Bcosx+Csinx , 代入原方程得解出B=0，C=-1/2

从而y *2=-1/2sinx

因此, 原方程的通解为21211+

sin 22x x x Y C e C xe x e x =+-