2019-2020年高中数学 第二章 平面向量示范教案 新人教B版必修4

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高中数学必修4第2章平面向量复习教案 人教版_必修

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平面向量必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量,掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 考纲要求:①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念及向量相等的含义. ③理解向量的几何表示.A.a与b共线,b与c共线,则a与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习:1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 ( ) A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3.设O 是正方形ABCD 的中心,则向量、、、是 ( ) A .平行向量 B .有相同终点的向量 C .相等的向量 D .模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. |=|| D. |与线段BA 的长度不相等A. 与共线B. 与相等C. 与 是相反向量D. 与模相等6.已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O ,A ,B ,C ,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,(1)与相等的向量有 ; (2)与长度相等的向量有 ; (3)与共线的向量有 .8.如图,O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED ,OCFB 都是正方形,在图中所示的向量中:(1)与相等的向量有 ;AO OB CO OD ||AB CD AC BD AD AB BC OB DA AO(2)写出与共线的向有 ; (3)写出与的模相等的有 ; (4)向量与是否相等?答 . 9.O 是正六边形ABCDE 的中心,且,,,在以A ,B ,C ,D ,E ,O 为端点的向量中:(1)与相等的向量有 ; (2)与相等的向量有 ; (3)与相等的向量有10.在如图所示的向量,,,,中(小正方形的边长为1),是否存在:(1)是共线向量的有 ; (2)是相反向量的为 ; (3)相等向量的的 ; (4)模相等的向量 .11.如图,△ABC 中,D ,E ,F 分别是边BC ,AB ,CA 的中点,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中,(1)与向量共线的有 . (2)与向量的模相等的有 . (3)与向量相等的有 .12.如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“马”,开始下棋时,它位于A 点,这只“马”第一步有几种可能的走法?试在图中画出来.若它位于图中的P 点,这只“马”第一步有几种可能的走法?它能否从点A 走到与它相邻的B ?它能否从一交叉点出发,走到棋盘上的其它任何一个交叉点?必修4 第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算 重难点:灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题,利用交换律和结合律进行向量运算;灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差,以及求两个向量的差的问题;理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件.考纲要求:①掌握向量加法,减法的运算,并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其意义。

2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1.1向量的概念学案新人教B版必修4

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2.1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,两个向量相等的含义. 3.掌握向量的几何表示.1.向量的定义及表示方法 (1)向量:具有大小和方向的量. (2)向量的表示方法2.与向量有关的概念(1)零向量:长度等于零的向量,记作0. (2)向量共线或平行基线:通过有向线段AB →的直线,叫做向量AB →的基线.如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.共线向量的方向相同或相反.向量a 平行于b ,记作a ∥b .(3)相等向量:两个向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b . (4)向量的长度(模)如果AB →=a ,那么AB →的长度表示向量a 的大小,也叫做a 的长(或模),记作|a |. 3.用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图),过点O 作有向线段OA →=a ,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数.( ) (2)向量就是有向线段.( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量.( )(4)两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行.( ) (5)零向量是最小的向量.( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2.已知向量a 如图所示,下列说法不正确的是( )A .也可以用MN →表示 B .方向是由M 指向N C .起点是M D .终点是M 答案:D3.如图,在⊙O 中,向量OB →、OC →、AO →是( )A .有相同起点的向量B .共线向量C .模相等的向量D .相等的向量 答案:C4.若A 地位于B 地正西方向5 km 处,C 地位于A 地正北方向5 km 处,则C 地相对于B 地的位移是________.解析:如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案:西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同,长度相等的两个非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.A .3B .2C .1D .0【解析】 起点相同,方向相同的两个非零向量若长度不相等,则终点不相同,故①不正确;起点相同,长度相等的两个非零向量的终点不一定相同,其终点在一个圆上,故②不正确;两个平行的非零向量的方向相同或相反,故③不正确;两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,所对应的直线可能平行,故④不正确.【答案】 D对于概念性题目,关键把握好概念的内涵与外延,正确理解向量共线、向量相等的概念,清楚它们的区别与联系.给出下列几种说法:①若非零向量a 与b 共线,则a =b ; ②若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b ; ③若两向量有相同的基线,则两向量相等. 其中错误说法的序号是______.解析:①错误.共线向量是指向量的基线互相平行或重合,其方向相同或相反,所以共线向量未必相等.②错误.向量是既有大小,又有方向的量,不能比较大小.③错误.两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行),但两向量的大小和方向都不一定相同.答案:①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点,然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D 点.(1)作出向量AB →,BC →,CD →; (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示.(2)由题意,易知AB →与CD →方向相反, 故AB →与CD →共线, 即AB ∥CD . 又|AB →|=|CD →|,所以四边形ABCD 为平行四边形. 所以|AD →|=|BC →|=200(千米).用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中,每个小正方形的边长为1,画出下列向量.(1)|OA →|=3,点A 在点O 正西方向;(2)|OB →|=32,点B 在点O 北偏西45°方向; (3)|BC →|=6,点C 在点B 正东方向. 解:(1)(2)(3)如图:相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心,且OA →=a ,OB →=b ,OC →=c .(1)与a 的长度相等,方向相反的向量有哪些? (2)与a 共线的向量有哪些?(3)请一一列出与a ,b ,c 相等的向量.【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →,BC →,AO →,FE →. (2)与a 共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →.(3)与a 相等的向量有EF →,DO →,CB →;与b 相等的向量有DC →,EO →,FA →;与c 相等的向量有FO →,ED →,AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合,那么这两个向量是共线向量. (2)共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量.(3)非零向量共线具有传递性,即向量a ,b ,c 为非零向量,若a ∥b ,b ∥c ,则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断,要注意直线平行或重合两种情况.如图所示的▱ABCD ,OA →=a ,OB →=b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个? (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些? (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量.解:(1)与OA →的模相等的向量有OC →,AO →,CO →三个向量. (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →,AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →,AC →,OC →,CO →,CA →;与AB →共线的向量有DC →,CD →,BA →.1.向量既有大小又有方向,但不能比较大小,向量的模是数量,可以比较大小.对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的.2.平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这里的平行是指方向相同或相反的一对向量,它与长度无关,与是否在一条直线上无关.向量平行与直线平行的区别1.直线的平行具有传递性,即a ∥b ,b ∥c ⇒a ∥c .2.向量的平行不具有传递性,即若a ∥b ,b ∥c ,则未必有a ∥c ,因为若b =0,它与任意向量共线,故a ,c 两向量不一定共线.1.下列物理量:①速度;②位移;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度.其中不是向量的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定,具备了向量的两个要素,所以是向量;而路程、密度只有大小没有方向,所以不是向量.故选B.2.下列关于零向量的说法不正确的是( ) A .零向量是没有方向的向量 B .零向量的方向是任意的 C .零向量与任一向量平行 D .零向量只能与零向量相等解析:选A.零向量的方向是任意的,是有方向的.3.如图,小正方形的边长为1,则|AB →|=________;|CD →|=________;|EF →|=________.解析:根据勾股定理可得|AB →|=32,|CD →|=26, |EF →|=2 2. 答案:3 226 2 24.在四边形ABCD 中,若AB →∥CD →,且|AB →|≠|CD →|,四边形ABCD 为________. 解析:由题意可知,对边AB 与CD 平行且不相等,故四边形ABCD 为梯形.答案:梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1.下列命题中,正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线; ②长度相等的向量都相等; ③共线的单位向量必相等; ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A .3 B .2 C .1D .0解析:选D.根据单位向量的定义,可知①②③明显是错误的,对于④,与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或-a|a|,故④也是错误的. 2.若a 为任一非零向量,b 的模为1,给出下列各式: ①|a |>|b |;②a ∥b ;③|a |>0;④|b |=±1. 其中正确的是( ) A .①④ B .③ C .①②③D .②③解析:选B.①中,|a |的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量的方向不确定,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B.3.下列说法正确的是( )A .若a 与b 平行,b 与c 平行,则a 与c 一定平行B .终点相同的两个向量不共线C .若|a|>|b|,则a>bD .单位向量的长度为1解析:选D.A 中,因为零向量与任意向量平行,若b =0,则a 与c 不一定平行.B 中,两向量终点相同,若夹角是0°或180°,则两向量共线.C 中,向量是既有大小,又有方向的量,不可以比较大小.4.若|AB →|=|AD →|且BA →=CD →,则四边形ABCD 的形状为( ) A .正方形B .矩形C .菱形D .等腰梯形解析:选C.由BA →=CD →,知AB =CD 且AB ∥CD , 即四边形ABCD 为平行四边形. 又因为|AB →|=|AD →|, 所以四边形ABCD 为菱形.5.如图,在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )A .AB →=OC → B .AB →∥DE → C .|AD →|=|BE →|D .AD →=FC →解析:选D.由题图可知,|AD →|=|FC →|,但AD →、FC →不共线,故AD →≠FC →,故选D. 6.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,O 为其中心,则|OA →|=________.解析:因为正方形的对角线长为22, 所以|OA →|= 2. 答案: 27.给出下列三个条件:①|a |=|b |;②a 与b 方向相反;③|a |=0或|b |=0,其中能使a ∥b 成立的条件是________.解析:由于|a |=|b |并没有确定a 与b 的方向, 即①不能够使a ∥b 成立; 因为a 与b 方向相反时,a ∥b , 即②能够使a ∥b 成立; 因为零向量与任意向量共线, 所以|a |=0或|b |=0时,a ∥b 能够成立.故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案:②③8.已知A ,B ,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB →是平行向量,与BC →是共线向量,则m =________.解析:因为A ,B ,C 不共线, 所以AB →与BC →不共线. 又m 与AB →,BC →都共线, 所以m =0. 答案:09.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上,已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ,使b =a ;(2)画一个以C 为起点的向量c ,使|c |=2,并说出c 的终点的轨迹是什么. 解:(1)根据相等向量的定义,所作向量b 应与a 同向,且长度相等,如图所示.(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ,所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心,2为半径的圆,如图所示.10.如图所示,在四边形ABCD 中,AB →=DC →,N 、M 分别是AD 、BC 上的点,且CN →=MA →.求证:DN →=MB →.证明:因为AB →=DC →, 所以|AB →|=|DC →|且AB ∥CD , 所以四边形ABCD 是平行四边形, 所以|DA →|=|CB →|且DA ∥CB .同理可得,四边形CNAM 是平行四边形, 所以CM →=NA →. 所以|CM →|=|NA →|, 所以|MB →|=|DN →|, 又DN →与MB →的方向相同, 所以DN →=MB →.[B 能力提升]11.在菱形ABCD 中,∠DAB =120°,则以下说法错误的是( ) A .与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B .与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C .BD →的模恰为DA →模的3倍 D .CB →与DA →不共线解析:选D.两向量相等要求长度(模)相等,方向相同.两向量共线只要求方向相同或相反.D 中CB →,DA →所在直线平行,向量方向相同,故共线.12.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与BD 的交点,设点集M ={O ,A ,B ,C ,D },向量的集合T ={PQ →|P ,Q ∈M ,且P ,Q 不重合},则集合T 有________个元素.解析:以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点,其余四点中的一个点为终点的向量共有20个.但这20个向量中有8对向量是相等的,其余12个向量各不相等,即为AO →(OC →)、OA →(CO →),DO →(OB →),BO →(OD →),AD →(BC →),DA →(CB →),AB →(DC →),BA →(CD →),AC →,CA →,BD →,DB →,由元素的互异性知T 中有12个元素.答案:1213.某人从A 点出发向东走了5米到达B 点,然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点,到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点.(1)作出向量AB →,BC →,CD →; (2)求向量AD →的模.解:(1)作出向量AB →,BC →,CD →,如图所示:(2)由题意得,△BCD 是直角三角形,其中∠BDC =90°,BC =102米,CD =10米,所以BD =10米.△ABD 是直角三角形,其中∠ABD =90°,AB =5米,BD =10米,所以AD =52+102=55(米).所以|AD →|=55米.14.(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC →|= 5.(1)画出所有的向量AC →;(2)求|BC →|的最大值与最小值.解:(1)画出所有的向量AC →,如图所示.(2)由第一问所画的图知,①当点C 位于点C 1和C 2时,|BC →|取得最小值12+22=5;②当点C 位于点C 5和C 6时,|BC →|取得最大值42+52=41.所以|BC →|的最大值为41,最小值为 5.。

(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

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高中数学必修 4 第二章平面向量教课设计( 12课时 )本章内容介绍向量这一看法是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具 .向量看法引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理即可转变为向量的加(减)法、数乘向量、数目积运算,从而把图形的基天性质转变为向量的运算系统.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实质背景.在本章中,学生将认识向量丰富的实质背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数目积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.而后介绍本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的看法,并说了然向量与数目的差别,了向量的一些基本看法 . (让学生对整章有个初步的、全面的认识 .)第 1课时§2.1 平面向量的实质背景及基本看法教课目标:1.认识向量的实质背景,理解平面向量的看法和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等看法;并会划分平行向量、相等向量和共线向量 .2.经过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.3.经过学生对向量与数目的鉴别能力的训练,培育学生认识客观事物的数学实质的能力.教课要点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的看法,会表示向量.教课难点:平行向量、相等向量和共线向量的差别和联系.学法:本节是本章的入门课,看法许多,但难度不大.学生可依据在原有的位移、力等物理看法来学习向量的看法,联合图形实物划分平行向量、相等向量、共线向量等看法.教具:多媒体或实物投影仪,尺规讲课种类:新讲课教课思路:一、情形设置:如图,老鼠由 A 向西北逃跑,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图)C结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.A DB 解析:老鼠逃跑的路线AC 、猫追赶的路线BD 实质上都是有方向、有长短的量 .前言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?二、新课学习:(一)向量的看法:我们把既有大小又有方向的量叫向量(二)请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片)1、数目与向量有何差别?2、如何表示向量?3、有向线段和线段有何差别和联系?分别可以表示向量的什么?4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量?5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?6、有一组向量,它们的方向同样或相反,这组向量有什么关系?7、假如把一组平行向量的起点所有移到一点O,这是它们能否是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?(三)研究学习1、数目与向量的差别:数目只有大小,是一个代数目,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,两重性,不可以比较大小.2.向量的表示方法:a①用有向线段表示;②用字母a、bA(起点)(黑体,印刷用)等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB ;B (终点)④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |.3.有向线段:拥有方向的线段就叫做有向线段,三个因素:起点、方向、长度.向量与有向线段的差别:(1)向量只有大小和方向两个因素,与起点没关,只要大小和方向同样,则这两个向量就是同样的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个因素,起点不一样,尽管大小和方向同样,也是不一样的有向线段 .4、零向量、单位向量看法:①长度为 0 的向量叫零向量,记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写差别.②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都不过限制了大小.5、平行向量定义:①方向同样或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0 与任一直量平行.说明:( 1)综合①、②才是平行向量的完好定义;( 2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.6、相等向量定义:长度相等且方向同样的向量叫相等向量.说明:( 1)向量a与b相等,记作a=b;( 2)零向量与零向量相等;( 3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,而且与有..向线段的起点没关.........7、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同向来线上(与有向线段的......起点没关)..... .说明:( 1)平行向量可以在同向来线上,要差别于两平行线的地点关系;(2)共线向量可以相互平行,要差别于在同向来线上的线段的地点关系.(四)理解和牢固:例1 书籍 86页例 1.例2判断:(1)平行向量能否必定方向同样?(不必定)(2)不相等的向量能否必定不平行?(不必定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5)若两个向量在同向来线上,则这两个向量必定是什么向量?(平行向量)(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向同样)(7)共线向量必定在同向来线上吗?(不必定)例 3 以下命题正确的选项是()A. a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四极点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有同样起点的两个非零向量不平行解:因为零向量与任一直量都共线,所以 A 不正确;因为数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同向来线上,而此时就构不行四边形,根本不行能是一个平行四边形的四个极点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向同样或相反即可,与起点能否同样没关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来下手考虑,倘若a与b不都是非零向量,即a与b最少有一个是零向量,而由零向量与任一直量都共线,可有a与b共线,不吻合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选 C.例 4如图,设O是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量OA 、 OB 、 OC 相等的向量 .变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个)变式二:能否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)变式三:与向量共线的向量有哪些?(CB, DO, FE )课堂练习:1.判断以下命题能否正确,若不正确,请简述原由.①向量 AB 与 CD 是共线向量,则A、 B、 C、D 四点必在向来线上;②单位向量都相等;③任一直量与它的相反向量不相等;④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB = DC⑤一个向量方向不确立当且仅当模为0;⑥共线的向量,若起点不一样,则终点必定不一样.解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向同样或相反即可,其实不要求两个向量AB 、 AC 在同向来线上.②不正确 .单位向量模均相等且为1,但方向其实不确立.③不正确 .零向量的相反向量还是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确 .⑥不正确 .如图AC与BC共线,虽起点不一样,但其终点却相同. 2.书籍 88 页练习三、小结:1、描述向量的两个指标:模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.四、课后作业:书籍 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2课时§向量的加法运算及其几何意义教课目标:1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;2、会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量,培育数形联合解决问题的能力;3、经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,浸透类比的数学方法;教课要点:会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量.教课难点:理解向量加法的定义.学法:数能进行运算,向量能否也能进行运算呢?数的加法启示我们,从运算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生理所应当接受向量的加法定义.联合图形掌握向量加法的三角形法规和平行四边形法规 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和联合律.教具:多媒体或实物投影仪,尺规讲课种类:新讲课教课思路:一、设置情形:1、复习:向量的定义以及相关看法重申:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向同样的向量相等.所以,我们研究的向量是与起点没关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移就任何地点2、情形设置:A B C(1)某人从 A 到 B ,再从 B 按原方向到C,则两次的位移和:AB BC AC(2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, C A B 则两次的位移和:AB BC ACC (3)某车从 A 到 B ,再从 B 改变方向到 C,则两次的位移和:AB BC AC A BC (4)船速为AB,水速为BC,则两速度和:AB BC AC二、研究研究:1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.A B2、三角形法规(“首尾相接,首尾连” )如图,已知向量a、b .在平面内任取一点 A ,作 AB =a,BC=b,则向量AC叫做a 与b的和,记作a+b,即a+bAB BC AC ,规定: a + 0-= 0 + aaaaC bbaa+ b bA a+ bbaB研究:( 1)两相向量的和还是一个向量;( 2)当向量a与b不共线时, a + b 的方向不一样向,且|a + b |<|a |+| b |;( 3)当a与b同向时,则a + b、a、b同向,O a A且| a + b |=| a |+|b |,当a与b反向时,若 | a |>|b |,bb b a则 a + b 的方向与 a 同样,且| a + b |=| a |-| b |;若a B | a |<| b |,则a + b的方向与b同样,且 | a +b|=| b |-| a |.( 4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推行到n个向量连加3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b作法:在平面内取一点,作OA a AB b ,则 OB a b .4.加法的交换律和平行四边形法规问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 能否同样?考据结果同样从而获得:1)向量加法的平行四边形法规(对于两个向量共线不适应)aa +b = b + a2)向量加法的交换律:5.向量加法的联合律:( a + b ) + c = a + ( b + c )证:如图:使AB a ,BC b ,CD c则( a + b ) + c = AC CD AD , a + ( b + c ) =AB BD AD∴( a + b ) + c = a + ( b + c )从而,多个向量的加法运算可以依据任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例:例二( P94— 95)略练习: P95四、小结1、向量加法的几何意义;2、交换律和联合律;3、注意: | a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向同样时取等号.五、课后作业:P103 第2、3题六、板书设计(略)七、备用习题1、一艘船从 A 点出发以23km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实质航行的速度的大小为4km/ h ,求水流的速度.2、一艘船距对岸 4 3km ,以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实质航程为8km ,求河水的流速.3、一艘船从 A 点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为v 2,船的实质航行的速度的大小为4km/ h ,方向与水流间的夹角是60,求v1和 v2.4、一艘船以5km/h的速度内行驶,同时河水的流速为2km/h ,则船的实质航行速度大小最大是km/h ,最小是km/h5、已知两个力F1,F2的夹角是直角,且已知它们的合力 F 与F1的夹角是60,|F|=10N 求 F1和 F2的大小 .6、用向量加法证明:两条对角线相互均分的四边形是平行四边形第 3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教课目标:1.认知趣反向量的看法;2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;3.经过论述向量的减法运算可以转变为向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转变的辩证思想 .教课要点:向量减法的看法和向量减法的作图法.教课难点:减法运算时方向的确定.学法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.教具:多媒体或实物投影仪,尺规讲课种类:新讲课教课思路:一、复习:向量加法的法规:三角形法规与平行四边形法规向量加法的运算定律:DCB BA BA例:在四边形中,.解: CB BA BA CB BA AD CDA B二、提出课题:向量的减法1.用“相反向量”定义向量的减法( 1)“相反向量”的定义:与 a 长度同样、方向相反的向量.记作a( 2)规定:零向量的相反向量还是零向量. ( a) = a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0假如 a、 b 互为相反向量,则 a =b, b = a, a + b = 0( 3)向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差 .即: a b = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2.用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a b3.求作差向量:已知向量a、 b,求作向量∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a a O作法:在平面内取一点O,bba bBCa作 OA = a,AB = b则 BA = a b即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 .注意: 1AB 表示a b.重申:差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量, a b = a + ( b)明显,此法作图较繁,但最后作图可一致.B’a bB a+ ( b)Ob ab bAB4.研究:1)假如从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b a.a ab a bbO B A B’O BAa ab a bb O A b B BO A2)若 a∥b,如何作出 a b?三、例题:例一、( P97例三)已知向量a、b、 c、 d,求作向量 a b、 c d.解:在平面上取一点O,作OA = a,OB = b,OC = c,OD = d,作 BA ,DC ,则BA= a b,DC = c db aA BD dcCOD CA B例二、平行四边形ABCD 中,AB a,AD b ,用 a、 b 表示向量AC 、 DB .解:由平行四边形法规得:,DB= AB AD= a bAC = a + b变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a b 垂直?( |a| = |b|)变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a b|?( a, b 相互垂直)变式三: a+b 与 a b 可能是相当向量吗?(不行能,∵对角线方向不一样)练习:P 98四、小结:向量减法的定义、作图法|五、作业: P103 第 4、5题六、板书设计(略)七、备用习题:1.在△ABC中,BC=a,CA=b ,则AB等于 ()A. a+bB.- a+(- b) D. b-a为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=a,OB=b,OC=c,OD=d ,则A. a+b+c+d=03 .如图,在四边形B.a-b+c-d=0 C.a+b -c-d=0ABCD 中,依据图示填空:D.a-b -c+d=0a+b=, b+c=,c-d=, a+b+c-d=.4、以以下图,O 是四边形ABCD内任一点,试依据图中给出的向量,确立a、b 、 c、d 的方向(用箭头表示),使a+b=AB ,c-d=DC,并画出 b -c 和a+d.第3题平面向量的基本定理及坐标表示第 4课时§ 2.3.1 平面向量基本定理教课目标:(1)认识平面向量基本定理;(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法;(3)可以在详尽问题中合适地采用基底,使其余向量都可以用基底来表达.教课要点:平面向量基本定理.教课难点:平面向量基本定理的理解与应用.讲课种类:新讲课教具:多媒体、实物投影仪教课过程:一、复习引入:1.实数与向量的积:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λa(1)|λa |=|λ ||a |;( 2)λ >0 时λa与a方向同样;λ <0 时λa与a方向相反;λ =0 时λa =02.运算定律联合律:λ ( μa )=( λ μ);分配律: (λ +μ)=λa +μ,λ ( a +b)= λa+λba a a3. 向量共线定理向量 b 与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b =λa.二、讲解新课:平面向量基本定理:假如e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一直量 a ,有且只有一对实数λ1,λ 2 使a=λ 1e1+λ2e2.研究:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,要点是不共线;(3)由定理可将任一直量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给准时,分解形式唯一 . 1λ,λ2是被a,e1,e2独一确立的数目三、讲解模范:例 1 已知向量e1,e2求作向量 2.5 e1 +3 e2 .例 2如图ABCD的两条对角线交于点M ,且AB = a,AD = b ,用a, b 表示 MA , MB , MC 和 MD例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E, O 是任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE例 4( 1)如图,OA,OB不共线,AP =t AB(t R)用OA,OB表示OP.uuur uur( 2 )设OA、OB不共线,点P 在 O、A、B所在的平面内,且uuur uuur uuurR) .求证:A、B、P三点共线.OP(1t )OA tOB (t例 5已知 a=2 e121212不共线,向量12-3e , b= 2e +3e ,此中 e , e c=2e -9e,问能否存在这样的ur r r实数、 ,使 d a b 与c共线.四、课堂练习:1.设 e 、 e 是同一平面内的两个向量,则有()12A. e1、 e2必定平行1、 e2的模相等C.同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+μe2 (λ、μ∈ R )D.若 e1、 e2不共线,则同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、 u∈R )2.已知矢量 a = e1-2e2, b =2e1+e2,此中 e1、 e2不共线,则a+b 与 c =6 e1-2e2的关系A. 不共线B.共线C.相等D. 没法确立3.已知向量e1、e2不共线,实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于 ( )4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈ R),若 c 与 b 共线,则λ1=.5.已知λ1> 0,λ2> 0,e1、e2是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________( 填共线或不共线 ).五、小结(略)六、课后作业(略):七、板书设计(略)八、课后记:第 5课时§—§ 2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标:(1)理解平面向量的坐标的看法;(2)掌握平面向量的坐标运算;(3)会依据向量的坐标,判断向量能否共线.教课要点:平面向量的坐标运算教课难点:向量的坐标表示的理解及运算的正确性.讲课种类:新讲课教具:多媒体、实物投影仪教课过程:一、复习引入:1.平面向量基本定理:假如e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一直量 a ,有且只有一对实数λ1,λ 2 使a=λ 1 e1+λ2e2(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,要点是不共线;(3)由定理可将任一直量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给准时,分解形式唯一 . λ1,λ2是被a,e1,e2独一确立的数目二、讲解新课:1.平面向量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y轴方向同样的两个单位向量基底 .任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得i 、j 作为a xi yj ○1我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作a ( x, y) ○2此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做a在 y 轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示 .与a相等的向量的坐标也为( x, y)............特别地, i(1,0) , j(0,1), 0 (0,0) .如图,在直角坐标平面内,以原点O 为起点作OA a ,则点A的地点由 a 独一确立.设 OA xi yj ,则向量OA的坐标(x, y)就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标(x, y)也就是向量 OA 的坐标.所以,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数独一表示 .2.平面向量的坐标运算(1)若a ( x1 , y1 ),b ( x2 , y2 ),则 a b(x1x2 , y1y2 ),a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i 、 j ,则 a b( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1x2 )i ( y1y2 ) j即 a b(x1x2 , y1y2 ) ,同理可得a b(x1x2 , y1y2 )(2)若A (x1,y1), B( x2 , y2 ) ,则AB x2x1 , y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB= OB OA=( x 2,y2)(x1, y1)= (x2x1,y2y1)(3)若a(x, y)和实数,则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.设基底为 i 、j ,则a( xi yj )xi yj ,即 a ( x, y)三、讲解模范:uuur例 1 已知 A(x 1, y1), B(x 2, y2),求AB的坐标 .r r r r r r r r例 2 已知a =(2 ,1),b =(-3 ,4) ,求a + b,a - b,3 a +4 b的坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个极点 .解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB DC 得 D 1=(2, 2)当平行四边形为ACDB 时,得 D 2=(4 , 6),当平行四边形为 DACB 时,得 D 3=( 6, 0)例 4 已知三个力 F 1 (3, 4), F 2 (2, 5), F 3 (x , y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0 ,求 F 3 的坐标 .解:由题设 F 1 + F 2 +F 3=0得: (3, 4)+ (2 , 5)+(x , y)=(0 , 0)32 x 0x 5 ∴ F 3 ( 5,1)即:5 y∴14 y四、课堂练习 :1.若 M(3 , -2)N(-5 , -1) 且 MP1MN ,求 P 点的坐标22.若 A(0 , 1), B(1, 2),C(3 , 4) ,则AB 2BC = .3.已知:四点 A(5 , 1), B(3, 4), C(1, 3),D(5 , -3), 求证:四边形 ABCD是梯形 .五、小结 (略)六、课后作业 (略)七、板书设计 (略)八、课后记:第 6课时§ 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教课目标:( 1)理解平面向量的坐标的看法;( 2)掌握平面向量的坐标运算;( 3)会依据向量的坐标,判断向量能否共线.教课要点: 平面向量的坐标运算教课难点: 向量的坐标表示的理解及运算的正确性讲课种类: 新讲课教 具:多媒体、实物投影仪教课过程 :一、复习引入:1.平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y轴方向同样的两个单位向量 i、 j.a ,由平面作为基底 任作一个向量 向量基本定理知,有且只有一对实数x 、 y ,使得 axiyj把 (x, y) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ( x, y)此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,特别地,i (1,0) , j (0,1) , 0(0,0) .2.平面向量的坐标运算若 a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) ,则 a b(x1x , y1y ) ,a b(x1x , yy ) ,a ( x, y).22212若 A( x 1 , y 1 ) , B(x 2 , y 2 ) ,则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1二、讲解新课:a ∥b ( b 0 )的充要条件是 x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1,y ), b=(x 2,y )此中 b a.12x 1 x 2 由 a =λ b 得, (x 1, y 1) = λ (x 2, y 2)消去λ, x 1y 2-x 2y 1=0y 1y 2研究:( 1)消去λ时不可以两式相除,∵y 1, y 2 有可能为0, ∵ b 0∴ x 2, y 2 中最少有一个不为 0( 2)充要条件不可以写成y 1 y 2 ∵ x 1, x 2 有可能为 0x 1x 2(3) 从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥ b( b 0ab)x 1 y 2 x 2 y 1 0三、讲解模范:例 1 已知 a =(4 ,2) , b =(6 , y),且 a ∥ b ,求 y.例 2 已知 A(-1 , -1) , B(1 ,3) , C(2 , 5),试判断 A , B , C 三点之间的地点关系 .例 3 设点 P 是线段 P1P2上的一点, P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2, y2).(1)当点 P 是线段 P1P2的中点时,求点 P 的坐标;(2) 当点 P 是线段 P1P2的一个三均分点时,求点P 的坐标 .例 4 若向量a =(-1 ,x) 与b =(-x , 2)共线且方向同样,求x解:∵ a =(-1,x)与b=(-x,2)共线∴ (-1)×2- x?(-x)=0∴ x=±2∵ a与b方向同样∴ x=2例 5 已知A(-1 , -1), B(1 , 3), C(1, 5) , D(2 , 7) ,向量AB与CD平行吗?直线AB与平行于直线CD吗?解:∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2 ,4),CD=(2-1 , 7-5)=(1 , 2)又∵ 2× 2-4× 1=0∴ AB∥ CD又∵AC =(1-(-1),5-(-1))=(2,6), AB =(2,平行∴A ,B,C 不共线∴AB与CD不重合四、课堂练习:1.若 a=(2 , 3), b=(4, -1+ y) ,且 a∥ b,则 y=()4),2× 4-2× 6 0∴AB ∥ CD∴ AC与AB不2.若A(x, -1) , B(1,3) ,C(2,5)三点共线,则x 的值为()3.若AB=i+2 j ,DC=(3- x)i+(4- y)j(此中i 、j的方向分别与x、y 轴正方向同样且为单位向量). AB与 DC共线,则x、 y的值可能分别为()A.1 , 2, 24.已知 a=(4 , 2),b=(6, y),且5.已知 a=(1 , 2),b=( x, 1),若6.已知□ABCD 四个极点的坐标为, 2 D.2 ,4a∥b,则 y=.a+2b 与 2a-b 平行,则x 的值为.A(5, 7),B(3, x),C(2,3), D(4, x),则x=.五、小结(略)六、课后作业(略)七、板书设计(略)八、课后记:§ 平面向量的数目积第7课时一、 平面向量的数目积的物理背景及其含义教课目标:1.掌握平面向量的数目积及其几何意义;2.掌握平面向量数目积的重要性质及运算律;3.认识用平面向量的数目积可以办理相关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件 .教课要点:平面向量的数目积定义教课难点:平面向量数目积的定义及运算律的理解和平面向量数目积的应用讲课种类:新讲课教具:多媒体、实物投影仪内容解析:本节学习的要点是启示学生理解平面向量数目积的定义,理解定义以后即可指引学生推 导数目积的运算律, 而后经过看法辨析题加深学生对于平面向量数目积的认识 .主要知识点: 平面向量数目积的定义及几何意义; 平面向量数目积的5 个重要性质; 平面向量数目积的运算律 .教课过程:一、复习引入:1. 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ, 使b =λ a .2.平面向量基本定理:假如e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一直量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使a =λ 1 e 1 +λ 2 e 23.平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量 i 、 j.a ,由平面向作为基底 任作一个向量 量基本定理知,有且只有一对实数x 、 y ,使得 a xi yj把 (x, y)叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ( x, y)4.平面向量的坐标运算若 a( x1 , y1 ), b( x2, y2 ) ,则a b(x1x2 , y1y2 ) ,a b( x1x2 , y1y2 ),a (x,y).若 A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则AB x2x1 , y2y15.a∥b( b0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06.线段的定比分点及λP1,P2是直线l 上的两点,P 是l 上不一样于P1,P2的任一点,存在实数λ,使P1 P= λPP2,λ 叫做点P分P1 P2所成的比,有三种情况:λ>0( 内分 )(外分 ) λ <0 ( λ <-1)( 外分 )λ <0(-1<λ <0)7.定比分点坐标公式:若点P 1 (x1, y1 ) ,P2 (x2, y2) ,λ为实数,且P1P =λPP2,则点P 的坐标为(x1x2 ,y1y2),我们称λ为点P分P1P2所成的比. 118.点 P 的地点与λ的范围的关系:①当λ>0时, P1 P 与 PP2同向共线,这时称点P 为P1P2的内分点 .②当λ<0 (1)时, P1P 与 PP2反向共线,这时称点P 为P1P2的外分点 .9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O,设OP1=a,OP2=b,a b1b .可得OP=a11110.力做的功:W = |F| |s|cos ,是 F 与 s 的夹角 .二、讲解新课:1.两个非零向量夹角的看法已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角 .说明:( 1)当θ=0时,a与b同向;( 2)当θ=π时,a与b反向;( 3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;2( 4)注意在两向量的夹角定义,两向量一定是同起点的.范围0 ≤ ≤180C2.平面向量数目积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数目|a||b|cos叫a与b的数目积,记作 a b,即有 a b = |a||b|cos,(0≤θ≤π) .并规定0 与任何向量的数目积为0.研究:两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别(1)两个向量的数目积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定.(2)两个向量的数目积称为内积,写成个向量的数目的积,书写时要严格划分也不可以用“×”取代.a b;今后要学到两个向量的外积a× b,而 ab 是两.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不可以省略,(3)在实数中,若b=0.因为此中cosa 0,且有可能为a b=0,则0.b=0;但是在数目积中,若 a 0,且 a b=0,不可以推出(4)已知实数a、 b、 c(b0),则ab=bc a=c .但是 a b = b c a = c如右图: a b = |a||b|cos= |b||OA|, b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c但a c(5) 在实数中,有( a b)c = a(b c),但是 (a b)c a(b c)明显,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与c 不共线.3.“投影”的看法:作图。

新人教版高中数学第2章平面向量教案必修四

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高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4 目标定位:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解平面向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面.1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量以及向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算,并理解其几何意义,理解两个向量共线的含义.3.了解平面向量基本定理及其意义,理解平面向量的正交分解及其坐标表示,掌握平面向量的坐标运算,理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,体会向量的数量积与投影间的关系,掌握数量积的坐标表达式,会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题.5.经历向量(及其运算)的建构的过程,以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程,了解向量的实际背景,理解向量及其运算的意义,并从中了解到数学和现实世界的深刻联系,体会数学研究方法的模式化特点,感受理性思维的力量,培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力.教材解读:向量既是重要的数学模型,又是重要的物理模型.是刻画和描绘现实世界的重要数学模型.数学模型是从现实原型中抽象出来的,它高于原型,可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题.学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程,即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”.本章立足于现实生活,根据学生的生活经验,创设丰富的情境,从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型),然后用数学的方法研究向量及其运算的性质,再运用数学模型去解决实际问题.这样处理体现了数学知识产生和发展的过程,突出了数学的来龙去脉,有助于学生理解数学的本质,形成对数学完整的认识,达到培养学生的创新思维和理性思维的目的.力、速度、位移等在实际生活中随处可见,这些都是向量的实际背景,也可以用向量加以刻画和描述.本章突出向量的实际背景与应用,这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系,以及向量在解决实际问题中的广泛应用,从中感受数学的价值,学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界,去解决日常生活和其他学科学习中的问题,发展数学应用意识.向量作为代数对象,可以如同数和字母一样进行运算.运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索.数的运算,字母运算,向量运算,函数运算,映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算.从数的运算、字母运算到向量运算,是运算的一次飞跃,向量运算使运算对象从一元扩充到多元,对于进一步理解其它数学运算具有基础作用.本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算,有助于学生体会数学运算的意义,感悟运算、推理在探索和发现数学结论,以及建立数学体系中的作用,发展学生的运算能力和推理能力,提高学生的数学素养.“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”,仍然从圆周上一点的表示(r,θ)出发,导出“既要考虑大小(r),又要考虑方向(θ)”;而自然界广泛地存在着“既要考虑大小,又要考虑方向”的现象,如力、速度.接着提出问题:用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量;这就明确了任务:建构这样的数学模型,同时也指明了教学起点:对向量的数学(分析)研究.另外,本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念.本章的章头图中,矫健的银燕连同它身后的航迹,像利箭直插天穹.它使人联想到下面的问题:怎样表示运动物体的位移和速度呢?于是建构向量的思维活动就此展开了.引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展.三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型,而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型.这时,只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置.接着引言又指出,在生活中,既有大小又有方向的量是很多的,如位移、速度、力等等都是.这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景.在此基础上,引言提出了问题:用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量?这个数学模型有什么性质与应用?这就是本章的中心问题,也是本章的知识增长点.与“函数”、“三角函数”类似,本章也是对一种数学模型的研究.教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的.这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程,而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验,有助于发挥学生在学习中的主动权.。

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教课设计教课目的:三目1、知识与技术(1)认识向量的实质背景,理解平面向量的观点和向量的几何表示;(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等观点;并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系(3)经过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.2、过程与方法指引发现法与议论相联合。

这是向量的第一节课,观点与知识点许多,在对学生进行适合的指引以后,应让学生清清楚楚得理解其观点,这是学生进一步获得向量知识的前提;经过学生主动地参加到讲堂教课中,提升学生学习的踊跃性。

表现了在老师的指引下,学生的的主体地位和作用。

3、感情目标与价值观经过对向量与数目的比较,培育学生认识客观事物的数学实质的能力,而且意识到数学与现实生活是密不行分的,是源于生活,用于生活的。

教课要点:理解向量、相等向量等有关的观点,向量的几何表示等是本的要点。

教课点:点是学生向量的观点和共向量的观点的理解。

学情和教材剖析:向量是近代数学中重要和基本的观点之一,有深刻的几何背景及代数意,所以向量拥有数形合的特色,是深入学数学及解决各数学的有效工具,在其余学科中也有宽泛用。

所以向量是年高考的必考内容,本是向量的第一,是新知的一个起点,所以是十分关、重要的一。

本教课内容的特色是:观点多,有向量、平行向量、相等向量、位向量等有关观点及向量的几何表示。

学生在学程中,多观点简单混杂,它之关系不易理清,些是学中的点。

教法:引启式教课学法:指学生自主学划:一教具学具:多媒体、彩笔、三角板教课程一、情形、入新1.我知道物理中的力、速度,位移等都是矢量,不一样与行程、量等量,他拥有什么的共同特色?⋯⋯⋯ (学生作答)2.你能出几个拥有以上特色的量?年、身高、体重、度等拥有些特色?(学生思虑作答)3.在数学上,我把拥有种特色的量称向量,(教在黑板上写,而后大屏幕展现,学生本 P74)二、推新1.定:既有大小又有方向的量叫向量。

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

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§ 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:;④向量的大小――长度称为向量的模,记作||.3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段.....的起点无关...... 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......起点无关)...... 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点)B(终点)aO ABaaab b b§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究:1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、b.在平面内任取一点A ,作=a ,=b,则向量叫做a 与b的和,记作a +b,即 a +bAC BC AB =+=,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;(2)当向量与不共线时,+的方向不同向,且|+|<||+||; (3)当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时,若||>||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同,且|+b|=||-||. (4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n 个向量连加3.例一、已知向量a 、b ,求作向量a +b作法:在平面内取一点,作= =,则+=. 4.加法的交换律和平行四边形法则问题:上题中b +a 的结果与a +b 是否相同? 验证结果相同 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)aABCa +ba +baa bbabb aa2)向量加法的交换律:a +b =b +a 5.向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c ) 证:如图:使a AB =, b BC =, c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+,a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1. 用“相反向量”定义向量的减法(1) “相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0如果a 、b 互为相反向量,则a = b , b = a , a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差. 即:a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算:若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a b 3. 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a b ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作OA = a , AB = b则BA = a b 即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4. 探究:1)如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量,那么所得向量是b a.O abBa ba b2)若a ∥b , 如何作出ab§2.3.1 平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量的积:实数λ与向量a ρ的积是一个向量,记作:λa ρ(1)|λa ρ|=|λ||a ρ|;(2)λ>0时λa ρ与a ρ方向相同;λ<0时λa ρ与a ρ方向相反;λ=0时λa ρ=0 2.运算定律结合律:λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ;分配律:(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ, λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线;(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ρ,1e ,2e 唯一确定的数量a bAABBB ’Oa baa b bOAOBa ba bBA Ob§2.3.2—§ 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ρ,1e ,2e 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与.a 相.等的向量的坐标也为.........),(y x .特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.如图,在直角坐标平面内,以原点O 为起点作a =,则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=,则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标;反过来,点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2.平面向量的坐标运算(1) 若),(11y x a =,),(22y x b =,则ba +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=,同理可得b a -),(2121y y x x --= (2) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)(3)若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ,则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.2.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x --=二、讲解新课:a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1, y 1) ,b ρ=(x 2, y 2) 其中bρa ρ.由a ρ=λb ρ得, (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ,x 1y 2-x 2y 1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y 1, y 2有可能为0, ∵bρ0 ∴x 2, y 2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1, x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a ρ∥b ρ (bρ)01221=-=⇔y x y x λ§平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b ρ=λa ρ.2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a = 4.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=5.a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06.线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ, 使 P P 1=λ2PP ,λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式:若点P 1(x 1,y 1) ,P2(x 2,y 2),λ为实数,且P P 1=λ2PP ,则点P 的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系:①当λ>0时,P P 1与2PP 同向共线,这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ<0(1-≠λ)时,P P 1与2PP 反向共线,这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O ,设1OP =a,2OP =b, 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10.力做的功:W = |F ||s |cos ,是F 与s 的夹角. 二、讲解新课:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.说明:(1)当θ=0时,a与b同向;(2)当θ=π时,a与b反向; (3)当θ=2π时,a与b垂直,记a⊥b;(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0≤≤1802.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos 叫a与b的数量积,记作a b ,即有a b = |a ||b |cos ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0. 探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos 的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成a b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a 0,且a b =0,则b =0;但是在数量积中,若a 0,且a b =0,不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.(4)已知实数a 、b 、c (b 0),则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c 如右图:a b = |a ||b |cos = |b ||OA|,bc = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c(5)在实数中,有(a b )c = a (b c ),但是(a b )ca (bc )显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共线.3.“投影”的概念:作图定义:|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |b |;当 = 180时投影为 |b |. 4.向量的数量积的几何意义:数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时,a b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a ba ⋅5 |ab | ≤ |a ||b |C二、平面向量数量积的运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos 叫a与b的数量积,记作a b ,即有a b = |a ||b |cos ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0. 3.“投影”的概念:作图定义:|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |b |;当 = 180时投影为 |b |. 4.向量的数量积的几何意义:数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos ; 2 ab a b = 03 当a 与b 同向时,a b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4cos =||||b a ba ⋅ ;5|ab | ≤ |a ||b |二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律1.交换律:a b = b a 证:设a ,b 夹角为,则a b = |a ||b |cos ,ba = |b ||a |cos ∴a b = b a 2.数乘结合律:(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 证:若λ> 0,(λa )b =λ|a ||b |cos, λ(a b ) =λ|a ||b |cos ,a (λb )=λ|a ||b |cos ,若λ< 0,(λa )b =|λa ||b |cos() =λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos ,λ(a b ) =λ|a ||b |cos ,a (λb ) =|a ||λb |cos() =λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos .C3.分配律:(a + b )c = a c + b c在平面内取一点O ,作OA = a , AB = b ,OC = c , ∵a + b (即OB )在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和,即 |a + b | cos = |a | cos1 + |b | cos2 ∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos 2, ∴c (a + b ) = c a + c b即:(a + b )c = a c + b c 说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)(2)a·с=b·с,с≠0a=b(3)有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d(a+b)2=a2+2a·b+b2 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos 叫a与b的数量积,记作a b ,即有a b = |a ||b |cos ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.3.向量的数量积的几何意义:数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ;2 a b a b = 03 当a 与b 同向时,a b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a b a ⋅ ;5|a b | ≤ |a ||b | 5.平面向量数量积的运算律交换律:a b = ba 数乘结合律:(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 分配律:(a + b )c = a c + b c二、讲解新课:⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =,),(22y x b =,试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量,j 是y 轴上的单位向量,那么j y i x a 11+=,j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ,1=⋅j j ,0=⋅=⋅i j j i ,所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =,则222||y x a +=或22||y x a +=.(2)如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =,),(22y x b =,则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦(πθ≤≤0)co s =||||b a b a ⋅⋅。

人教版高中必修4《平面向量》教学设计

人教版高中必修4《平面向量》教学设计

人教版高中必修4《平面向量》教学设计《人教版高中必修4《平面向量》教学设计》这是优秀的教学设计文章,希望可以对您的学习工作中带来帮助!一、单元教学内容分析本章节内容教学安排在人教版必修四三角函数章节后,和差公式前,这为后面的和差公式的学习做好铺垫,又为解三角形问题和平面几何中的许多计算问题提供便利工具。

向量既有代数特征,又有几何特征,是沟通代数与几何的桥梁。

向量具有代数特征,运算及其规律是代数学研究的基本问题,向量可以进行多种运算,如向量加、减、数乘和数量积等。

向量运算具有一系列运算性质。

向量具有几何特征,它不仅可以描述,刻画几何中的点、线、面及其位置关系,数量关系,还可以表示空间中的曲线与曲面,是研究几何问题的基本工具。

本教材从学生熟悉的实例出发,经过观察、分析、归纳等方法概括出向量的相关概念,比以往的教材更能使学生产生自然而亲切的感觉,有助于激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,使他们真正认识到数学的应用价值,从而提高学生应用数学的意识。

教材结合向量的几何背景——有向线段,引入向量的表示法,规定了向量的长度的概念。

定义了零向量,单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等概念。

对于许多旧有的知识利用向量方法去处理,就会变得简单易懂,从而有助于学生对这些知识有更深刻的理解,更牢固的记忆,更自如的应用。

二、单元学生情况分析1、学生在初中阶段接触过物理学中的矢量,已具备基本的认知水平和运算能力。

2、学生已基本掌握函数和三角函数的基础知识,会运用数形结合法、整体代换法、分类讨论法等解决实际问题。

3、学生已具备基本的分析为和解决问题的勇气和智慧。

三、教学目标1、知识与技能目标(1)理解并掌握平面向量的基本概念。

(2)通过实例,掌握向量的加、减、数乘和数量积运算,并理解其几何意义。

(3)理解并掌握向量共线和垂直问题,理解平面向量基本定理及其意义。

会用坐标表示向量的加、减、数乘和数量积运算。

(4)掌握数量积的坐标表示,能运用数量积表示两个向量的夹角,能解决两个向量的垂直问题,投影问题。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(4)

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(4)

《平面向量基本定理》的教学设计一 教学目的:1 了解平面向量基本定理及其意义;2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,e e 线性表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;3 通过作图体会基底的不唯一性;二 教学重点与难点1 重点:平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示2 难点:平面向量基本定理的理解3 教学方法:教师主要引导、学生主体思维为主线,学生动手操作。

4 教学手段:使用多媒体辅助教学,使书本的图形“动”起来,加强了教学的直观性。

使用方格纸让学生画图,使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。

三 教学过程1 复习以提问的方式复习旧知:求向量和的方法,向量的数乘运算;设计意图:让学生思考并回答这两个问题,为这节课的内容做准备。

2 新课引入在学生复述了上述知识之后,让学生在方格纸上画出212,3e e ,并画出2123e e +; 设计意图:让学生通过自己动手做图,再对向量的求和和数乘进行复习,加强学生对旧知的巩固;教师活动:动画演示刚刚所做的图,设计意图:从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解,同时,利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。

教师活动:提出问题:“既然我们给定了212,3e e,那么很容易就可以画出1232e e a +=,如果我们给出a ,能否用21,e e 表示a 呢?”3 新课讲解教师活动:让学生在所给的方格上画出,a b ,,c d ,,f g ,并分别用21,e e 来表示,为了方便起见21,e e 是两个互相垂直的向量。

学生活动:分小组来讨论并画出所给向量。

设计意图:让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。

教师活动:在幻灯片上打出两个不共线的向量21,e e ,和第三个向量a,让学生讨论怎样由21,e e 来表示向量a 。

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ; ④向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作|AB |.3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有..向线段的起点无关......... 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......起点无关)...... 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点) B (终点)aO A B a a a b b b §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究:1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、b.在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b,则向量AC 叫做a 与b的和,记作a +b,即 a +bAC BC AB =+=,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;(2)当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |;(3)当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b|=|b |-|a |.(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n 个向量连加 3.例一、已知向量a 、b ,求作向量a +b作法:在平面内取一点,作a OA = b AB =,则b a OB +=.4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中b +a 的结果与a +b 是否相同? 验证结果相同从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)aA B C a +b a +b a a b b a b b aa2)向量加法的交换律:a +b =b +a5.向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c ) 证:如图:使a AB =, b BC =, c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+,a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1. 用“相反向量”定义向量的减法(1) “相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a(2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0(3) 向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差.即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2. 用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算:若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b3. 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O ,作OA = a , AB = b 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4. 探究:1)如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量,那么所得向量是b -a. O ab B a b a -b2)若a ∥b , 如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa(1)|λa |=|λ||a |;(2)λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a方向相反;λ=0时λa =02.运算定律结合律:λ(μa )=(λμ)a ;分配律:(λ+μ)a =λa +μa , λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b =λa . 平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ22e .探究:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2) 基底不惟一,关键是不共线;(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量a -b A A B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量二、讲解新课:1.平面向量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与.a 相等的向量的坐标也为..........),(y x .特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=. 如图,在直角坐标平面内,以原点O 为起点作a OA =,则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=,则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标;反过来,点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2.平面向量的坐标运算(1) 若),(11y x a =,),(22y x b =,则ba +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=,同理可得b a -),(2121y y x x --=(2) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)(3)若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ,则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入:1.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.2.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1, y 1) ,b =(x 2, y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得, (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ,x 1y 2-x 2y 1=0 探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y 1, y 2有可能为0, ∵b ≠0 ∴x 2, y 2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b =λa .2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ11e +λ22e3.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =4.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=5.a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06.线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,使 P P 1=λ2PP ,λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式:若点P 1(x 1,y 1) ,P2(x 2,y 2),λ为实数,且P P 1=λ2PP ,则点P 的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系:①当λ>0时,P P 1与2PP 同向共线,这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ<0(1-≠λ)时,P P 1与2PP 反向共线,这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O ,设1OP =a,2OP =b,可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10.力做的功:W = |F |⋅|s |cos θ,θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.说明:(1)当θ=0时,a与b同向;(2)当θ=π时,a与b反向;(3)当θ=2π时,a与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成a ⋅b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ⋅b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a ≠0,且a ⋅b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ⋅b =0,不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.(4)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图:a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|,b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中,有(a ⋅b )c = a (b ⋅c ),但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共线.3.“投影”的概念:作图定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为 |b |;当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4.向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.3.“投影”的概念:作图定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为 |b |;当θ = 180︒时投影为 -|b |.4.向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ; 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ;5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课:平面向量数量积的运算律1.交换律:a ⋅ b = b ⋅ a 证:设a ,b 夹角为θ,则a ⋅ b = |a ||b |cos θ,b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2.数乘结合律:(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证:若λ> 0,(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ, λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ,a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ,若λ< 0,(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ,λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ, a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3.分配律:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ,作OA = a , AB = b ,OC = c , ∵a + b (即OB )在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和,即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2, ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)(2)a·с=b·с,с≠0a=b(3)有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d(a+b)2=a2+2a·b+b2三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.3.向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ; 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ;5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5.平面向量数量积的运算律交换律:a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律:(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课:⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =,),(22y x b =,试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量,j 是y 轴上的单位向量,那么j y i x a 11+=,j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ,1=⋅j j ,0=⋅=⋅i j j i ,所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =,则222||y x a +=或22||y x a +=.(2)如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =,),(22y x b =,则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦(πθ≤≤0)co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。

高中数学 第二章 平面向量示范教案 新人教B版必修4

高中数学 第二章 平面向量示范教案 新人教B版必修4

第二章平面向量示范教案整体设计知识网络1.本章知识网络结构如下:2.本章知识归纳整合(1)基本概念与运算①向量既有大小,又有方向,这两者缺一不可.零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但稍不注意就会出错,所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.②在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的,两种方法得到的是同一个向量.向量的减法按三角形法则,一定要注意向量的方向.④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度,因为向量的加(减)实施的对象是向量,而长度是数量,长度的加(减)法是数量的加(减)法.⑤向量的数乘运算,应侧重于以下几个方面:数与向量的积仍是一个向量;要特别注意0·a=0,而不是0·a=0;向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.(2)基本定理及其坐标表示①平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合,即选择了两个不共线向量e1和e2,平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a=λ1e1+λ2e2,并且这种表示是唯一的.平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算,而且为利用待定系数法解题提供了理论基础.②在利用平面向量基本定理时,一定要注意不共线这个条件.③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.在引入向量的坐标表示以后,向量的运算完全化为代数运算,从而实现了“形”和“数”的紧密结合.④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有始点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同.(3)平面向量的数量积①平面向量a与b的数量积a·b=|a||b|cosθ是数量,其中θ的取值范围是0≤θ≤π.②由a≠0,且a·b=0不能推出b=0.③由a·b=b·c不能推出a=c.④平面向量的数量积不满足结合律,即(a·b)c与a(b·c)不一定相等.⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算,可对照下表记忆:(4)平面向量的应用①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题;利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题.②平面向量的应用,体现在高考中主要是在几何中的应用,平面几何中的许多性质,如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来.③用向量的方法解决几何问题时,首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系,最后把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.教学分析向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一,它贯穿于整个中学的每一个学习阶段;而向量可作为一种重要的解题方法,渗透于高中数学的许多章节,它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的.因此复习时,要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想,利用直观的教学手段和方法,帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义.变抽象为形象,变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题,从而提高本章复习的教学质量.数与形的紧密结合是本章的显著特点,向量与几何之间存在着对应关系;向量又有加减、数乘及数量积等运算,也有平面向量的坐标运算,因而向量具有几何和代数的双重属性,能沟通几何与代数,从而给了我们一种新的数学方法——向量法.向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学,将技巧性解题化成算法解题,因此是一种通法.在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的,掌握向量运算法则的基本依据,搞清向量运算和实数运算的联系和区别,认识向量平移是平面向量坐标运算的基础.将一个实际问题转化为向量之间的关系问题,用向量建立一个数学模型是一个难点问题.在复习课教学中应注意多举例,引导学生思考并及时总结,逐步培养学生用向量工具解题的思维方向.充分发挥多媒体的作用,向量是建立在平面上的,平移是向量的常见现象,而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题.在复习完本章内容后,还要引导学生反思,重新概括研究思路,这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平.三维目标1.通过展示本章知识网络结构,列出复习提纲,引导学生补充相关内容,加深理解向量概念,平面向量的基本定理,两向量平行与垂直的条件,平面向量的坐标表示及其坐标运算,向量的数量积及其性质,向量的实际应用等知识,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节对向量有关内容的复习,使学生进一步认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,深刻领悟数形结合思想,转化与化归思想.3.通过一题多解的活动,培养学生的发散性思维能力,同时通过多种方法间的沟通,让学生体验数学的统一美、内在美,逐渐学会用美的心态来看待数学.重点难点教学重点:向量的运算,向量平行、垂直的条件,平面向量的坐标表示及其运算,数量积的理解运用.教学难点:向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题. 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)前面一段时间,探究学习了向量的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法,提高了我们的思维能力.这一节,我们一起对本章进行小结与复习,来进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用.思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点.在中学数学教材中的地位也越来越重要,也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点,根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?向量是怎样进行代数运算的?又是怎样进行几何运算的?你对向量的哪种运算掌握得最好?由此展开全章的复习.推进新课知识巩固提出问题 1回忆向量的概念:向量的表示,零向量,相等的向量,共线向量. 2回忆向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质. 3回忆本章学过的重要定理、公式.活动:(1)本章概念较多,学生可能不知如何进行复习,从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大,效果也不好.教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识.首先教师引导学生回忆从前所学,指导学生归类比较.比较是最好的学习方法,如向量的表示法:几何表示法为AB →,a (手写时为a →),坐标表示法为a =x i +y j =(x ,y).有哪些特殊的向量:a =0⇔|a |=0.单位向量:a 0为单位向量⇔|a 0|=1.相等的向量:大小相等,方向相同,a =b ⇔ (x 1,y 1)=(x 2,y 2) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 1=x 2,y 1=y 2等等.(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳,引导学生把向量的运算类比数的运算.向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱,教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容.λ(μa)=(λμ)a(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λba∥b a=λb(b≠0)(3)本章的重要定理及公式:a.平面向量基本定理:e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.b.两个向量平行的充要条件:a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb;若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0(b可以为0).c.两个向量垂直的充要条件:当a、b≠0时,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.讨论结果:(1)~(3)略.应用示例例 1已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,(1)k a+b与a-3b垂直?(2)k a+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?活动:向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系,是高考考查的重要内容之一.在解决本题时,教师首先引导学生思考回顾,如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题;共线的向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础,那么,怎样应用向量共线这个条件呢?让学生通过例题仔细体会,进一步熟练、提高.解:(1)k a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当(k a +b )·(a -3b )=0时,这两个向量垂直.由(k -3)·10+(2k +2)·(-4)=0,解得k =19,即当k =19时,k a +b 与a -3b 垂直.(2)当k a +b 与a -3b 平行时,存在唯一实数λ,使k a +b =λ(a -3b ).由(k -3,2k +2)=λ(10,-4),得⎩⎪⎨⎪⎧ k -3=10λ,2k +2=-4λ.解这个方程组,得k =-13,λ=-13,即当k =-13时,k a +b 与a -3b 平行, 这时k a +b =-13a +b .因为λ=-13<0,所以-13a +b 与a -3b 反向. 点评:共线向量的充要条件有两种不同的表示形式,但其本质是一样的,在运用中各有特点,解题时可灵活地选择.在本例中,也可以根据向量平行充要条件的坐标形式,从(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,先解出k =-13,然后再求λ. 变式训练设坐标平面上有三点A 、B 、C ,i 、j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量,若向量AB →=i -2j ,BC →=i +m j ,那么是否存在实数m ,使A 、B 、C 三点共线.解:方法一:假设满足条件的m 存在,由A 、B 、C 三点共线,即AB →∥BC →,∴存在实数λ,使AB →=λBC →,i -2j =λ(i +m j ),{ λ=1,λm=-2.∴m=-2,即当m =-2时,A 、B 、C 三点共线.方法二:假设满足条件的m 存在,根据题意可知i =(1,0),j =(0,1),∴AB →=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),BC →=(1,0)+m(0,1)=(1,m).由A 、B 、C 三点共线,即AB →∥BC →,故1·m-1·(-2)=0,解得m =-2.∴当m =-2时,A 、B 、C 三点共线.例 2如图1,已知在△ABC 中,BC →=a ,CA →=b ,AB →=c .若a·b =b·c =c·a ,求证:△ABC为正三角形.图1活动:引导学生回顾,向量具有二重性,一方面具有“形”的特点,因此有了几何运算;另一方面又具有一套优良的代数运算性质,因此又有了代数运算.对于这两种运算,前者难度大,灵活多变,对学生来说是个难点,后者学生感到熟悉,易于掌握,但应让学生明了,这两种方法都要掌握好,近几年高考题的解答都是以两种解法给出.本题给出的是三角形,对于某些几何命题的抽象的证明,自然可以转化为向量的几何运算问题来解决,请同学们在探究中要注意仔细体会,领悟其实质.教学中,教师要放手大胆地让学生自己去探究,鼓励学生从不同的角度去观察、去发现.真正做到一题多用,一题多变,串联知识,串联方法,使学生在探究过程中掌握孤零知识,提高思维能力,提高复习效率.证法一:由题意,得a +b +c =0,∴c =-(a +b ).又∵b·c =c·a ,∴c·(a -b )=0.∴-a 2+b 2=0.∴|a|2=|b |2,即|a|=|b |.同理可得|c|=|b |,∴|a|=|b|=|c |.∴△ABC 为正三角形.证法二:由题意得a +b +c =0,∴a =-b -c ,b =-a -c.∴a 2=b 2+c 2+2b·c ,b 2=a 2+c 2+2a·c .而b·c =c·a (已知),∴a 2-b 2=b 2-a 2.∴a 2=b 2.∴|a|2=|b|2.∴|a|=|b |.同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c |.∴△ABC 为正三角形.证法三:如图2,以AB 、BC 为邻边作ABCD ,则AD →=a ,BD →=AD →-AB →,∴BD →=a -c .图2又∵a·b =b·c ,∴b·(a -c )=0.∴b ·BD →=0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形.∴AB=BC.同理可得BC =AC ,∴△ABC 为正三角形.证法四:取BC →的中点E ,连接AE ,则AE →=12(AB →+AC →)=12(c -b ), ∴AE →·a =12(c -b )·a =0.∴AE →⊥a .∴AB=AC. 同理可得BC =AC ,∴△ABC 为正三角形.点评:本题给出了四种证法,教师要善于引导学生进行一题多解,这是一种很有效的办法.数学教学中,一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段.通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系,提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力,逐步学会举一反三的本领,在教材安排的例题中,有相当一部分题目存在一题多解的情况,教师要引导学生善于挖掘. 变式训练若AB →·BC →+AB →2=0,则△ABC 是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形答案:A例 3已知a =(3,-1),b =(12,32),且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)b ,y =-k a +t b 且x ⊥y .试求:k +t 2t的最小值. 解:由已知,得|a |=32+-12=2,|b |=122+322=1.∵a·b =3×12-1×32=0,∴a ⊥b . ∵x ⊥y ,∴x·y =0,即[a +(t 2-3)b ]·(-k a +t b )=0.化简,得k =t 3-3t 4, ∴k +t 2t =14(t 2+4t -3)=14(t +2)2-74,即t =-2时,k +t 2t 有最小值-74. 点评:本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力,训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.图3课堂小结1.先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识,用了哪些方法,在原来的基础上你有哪些提高?对本章的知识网络结构了然于胸了吗?2.教师点拨,通过本节复习,要求大家在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉基本概念及运算律,并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题,加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.作业本章巩固与提高5、11、12、13、14.设计感想1.本节复习课的设计容量较大,要求应用多媒体课件.教师在引导学生探究的过程中,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点,让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉基本概念及运算律,并能熟练重要定理、公式的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.2.本节题目一题多解应用较多.因为在数学知识的学习中,作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师,在组织学生学习各数学知识点的同时,如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系,不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的,而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通,学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的,是相通的,而不是孤立、割裂的,从而体会数学的统一美和简洁美,进一步增强对数学学习的兴趣,这样的美在一题多解中是随处可见的.备课资料备用习题1.已知向量a =(4,3),b =(-1,2),若向量a +k b 与a -b 垂直,则k 的值为… ( )A.233 B .7 C .-113 D .-2332.已知向量AB →=(1,2),OB →=(0,1),则下列各点中在直线AB 上的是( )A .(0,3)B .(1,1)C .(2,4)D .(2,5)3.向量a 的模为10,它与x 轴的夹角为150°,则它在x 轴上的投影为( )A .-5 3B .5C .-5D .5 34.若|a |=2,|b |=5,|a +b |=4,则|a -b |为( ) A.13 B .13C.42 D .425.已知a =(2,1),与a 平行且长度为25的向量b 是( )A .(4,2)B .(-4,-2)C .(2,1)或(-2,-1)D .(4,2)或(-4,-2)6.已知向量i 、j ,i =(1,0),j =(0,1),与2i +j 垂直的向量是( )A .2i -jB .i -2jC .2i +jD .i +2j7.已知O 为原点,点A ,B 的坐标分别为(a,0),(0,a),a 是正的常数,点P 在线段AB 上,且AP →=tAB →(0≤t≤1),则OA →·OP →的最大值是( )A .aB .2aC .a 2D .3a8.向量a =(n,2)与b =(4,n)共线,则n =________.9.已知a =(2,1),b =(1,2),要使|a +t b |最小,那么实数t 的值是________.10.已知三个非零向量a ,b ,c 中每两个均不共线,若a +b 与c 共线,b +c 与a 共线,求a +b +c .11.已知向量AB →=a ,AC →=b ,|a |=4,|b |=3,∠BAC=β,(2a -3b )(2a +b )=61.(1)求β的大小;(2)求△ABC 的面积.参考答案:1.A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.±2 2 9.-4510.解:∵a +b ,c 共线,∴a +b =m c .①又∵b +c ,a 共线,∴b +c =n a .②①-②,得a -c =m c -n a .∵a ,c 不共线,∴由平面向量的基本定理,得m =n =-1. ∴①即a +b =-c ,即a +b +c =0.11.解:(1)原式展开,得4a 2-4a ·b -3b 2=61, ∵|a |=4,|b |=3,∴a ·b =-6,∴cosβ=a·b |a ||b |=-12.∵0≤β≤π,∴β=2π3.(2)S △ABC =12|AB|·|AC|·sinβ=3 3.。

新课标数学必修4第2章平面向量教案

新课标数学必修4第2章平面向量教案

第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念,掌握向量的几何表示;2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念,把握其本质区别,提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量,它是一种新的量,既有大小又有方向,关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此,本章在介绍向量概念时,说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义,并能用数学符号表示向量;2.理解向量的几何表示,会用字母表示向量;3.了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义,并会判断向量的平行、相等、共线;4.通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示.⑵向量是一种新的量,其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键,还要让学生理解向量和数量的区别联系,建立一种新的量的思维体系.⑶相等向量只与方向、大小有关,与位置没有关系,进一步理了解学习的向量是自由向量,为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础.三、教学难点⑴向量概念的理解.由于向量是一种新的量,与以前的数量是不同的体系,两者之间既有联系又有区别;⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪.五、教学过程㈠设置情境问:(边画图边讲解)美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右,射程超过2000公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?答:不能,因为没有给定发射的方向.问:现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?答:力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向.㈡向量的概念:力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向.(1)意义:既有大小又有方向的量叫向量。

(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

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第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB ;④向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作|AB |.3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有..向线段的起点无关......... A(起点)B(终点)aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......起点无关)...... 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究:1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、b.在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b,则向量AC 叫做a 与b的和,记作a +b,即 a +b=+=,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;(2)当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |; (3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同,且|+b|=||-||.(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到A BCa +ba +baa b b abb aan 个向量连加3.例一、已知向量a 、b ,求作向量a +b作法:在平面内取一点,作a OA = b AB =,则b a OB +=. 4.加法的交换律和平行四边形法则问题:上题中b +a 的结果与a +b 是否相同? 验证结果相同 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)2)向量加法的交换律:a +b =b +a 5.向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c ) 证:如图:使a AB =, b BC =, c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+,a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1. 用“相反向量”定义向量的减法(1) “相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差. 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算:若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b 3. 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法:在平面内取一点O , 作= a , = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意:1︒AB 表示a - b .强调:差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b ) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.4. 探究:1)如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量,那么所得向量是b - a.2)若a ∥b , 如何作出a - b ?2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量的积:实数λ与向量a ρ的积是一个向量,记作:λa ρ(1)|λa ρ|=|λ||a ρ|;(2)λ>0时λa ρ与a ρ方向相同;λ<0时λa ρ与a ρ方向相反;λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2.运算定律结合律:λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ;分配律:(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ, λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线;(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ρ,1e ,2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a ρ,1e ,2e 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与.a 相等的向量的坐标也为..........),(y x . 特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.如图,在直角坐标平面内,以原点O 为起点作a OA =,则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=,则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标;反过来,点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2.平面向量的坐标运算(1) 若),(11y x a =,),(22y x b =,则ba +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=,同理可得b a -),(2121y y x x --= (2) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)(3)若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ,则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.2.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课:a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1, y 1) ,b ρ=(x 2, y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得, (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ,x 1y 2-x 2y 1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y 1, y 2有可能为0, ∵b ρ≠0 ∴x 2, y 2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b ρ=λa ρ.2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a = 4.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=5.a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06.线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,使 P P 1=λ2PP ,λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式:若点P 1(x 1,y 1) ,P2(x 2,y 2),λ为实数,且P P 1=λ2PP ,则点P 的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系:①当λ>0时,P P 1与2PP 同向共线,这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ<0(1-≠λ)时,P P 1与2PP 反向共线,这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O ,设1OP =a,2OP =b, 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10.力做的功:W = |F |⋅|s |cos θ,θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.说明:(1)当θ=0时,a与b同向;(2)当θ=π时,a与b反向; (3)当θ=2π时,a与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成a ⋅b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ⋅b 是两C个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a ≠0,且a ⋅b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ⋅b =0,不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.(4)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图:a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|,b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中,有(a ⋅b )c = a (b ⋅c ),但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共线.3.“投影”的概念:作图定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为 |b |;当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4.向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.3.“投影”的概念:作图定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为 |b |;当θ = 180︒时投影为 -|b |.4.向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ; 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ;5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课:平面向量数量积的运算律1.交换律:a ⋅ b = b ⋅ a证:设a ,b 夹角为θ,则a ⋅ b = |a ||b |cos θ,b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2.数乘结合律:(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证:若λ> 0,(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ, λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ,a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ,若λ< 0,(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ,λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ, a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3.分配律:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ,作OA = a , AB = b ,OC = c , ∵a + b (即OB )在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和,即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2, ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)(2)a·с=b·с,с≠0a=b(3)有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d(a+b)2=a2+2a·b+b2第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.3.向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4.两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ; 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ;5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5.平面向量数量积的运算律交换律:a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律:(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课:⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =,),(22y x b =,试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量,j 是y 轴上的单位向量,那么j y i x a 11+=,j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ,1=⋅j j ,0=⋅=⋅i j j i ,所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =,则222||y x a +=或22||y x a +=.(2)如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =,),(22y x b =,则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦(πθ≤≤0)co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(2)

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(2)

《平面向量基本定理》的教学设计(新)一、教学课题:普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理、第一课时。

二、教学目标:1知识与技能(1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题; (2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。

2过程与方法(1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法; (2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。

3情感.态度与价值观(1)通过本节学习,培养学生的理性思维,培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识;(2)通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力,激发学生学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点重点:平面向量基本定理的应用难点:对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。

四、教学方法与手段探求式教学法、多媒体手段 五、教学过程 1、创设情景以媒体展示常娥一号的成功升空,引出火箭的发射运动过程中,始终能分解为两个方向上的运动(两个不共线向量的线性组合)切入主题 2、数学探究探究一 给定一个向量是否一定可以用“一个”已知非零向量表示? (复习向量共线定理)探究二 平面内给定一个向量是否一定可以用“两个”已知不共线向量表示??aB NCOA =1e OM =1a 1eOB =2e ON =2a 2eOC =a =OM +ON =1a 1e +2a 2e 再问::一对实数1a 、2a 是否惟一?(学生讨论并回答)点评:由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。

由平行向量基本定理,有且只有一个实数1a ,使得OM =1a 1e 成立,同理2a 也惟一,即一组数1a 、2a 惟一确定。

学生进一步尝试概括定理:如果1e 和2e 是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内的给定向量a 存在惟一的一对实数1a 、2a ,使a =1a 1e +2a 2e平面向量基本定理:如果1e 和2e 是一平面内的两个不共线的向量,那么该平面内的任一向量a ,存在惟一的一对实数1a 、2a ,使a =1a 1e +2a 2e说明:1、我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

高中数学:2.2.1 平面向量基本定理 二 教案 新人教B版必修4

高中数学:2.2.1 平面向量基本定理 二 教案 新人教B版必修4

第二单元教学设计方案
第五学时~第六学时
(一)学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件,进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程,培养学生观
察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题,分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养,激发学生的学
习兴趣和钻研精神.
(二)重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.
(三)教学过程。

2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念教案 新人教B版必修4.doc

2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念教案 新人教B版必修4.doc

2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念教案 新人教B 版必修4教学目标:1. 知识与技能:理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 过程与方法: 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 情感态度与价值观:通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学方法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学过程:Ⅰ.课题导入在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长度、质量等. 还有一些量,如我们在物理中所学习的位移,是一个既有大小又有方向的量,这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一,向量和数一样也能进行运算,而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,在这一章,我们将学习向量的概念、运算及其简单应用. 而这一节课,我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课 这一节,大家通过自学来熟悉相关内容,然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.【探究新知】:出示自学提纲:请同学阅读课本7271P P 后回答:1、数量与向量的定义,有何区别?2、如何表示向量?3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?4、零向量的定义6、相等向量的定义7、平行或共线向量的定义8、零向量与任何一向量平行吗?【讨论结果】1、数量定义:只有大小,没有方向的量。

向量定义:既有大小又有方向的量。

数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.2、 向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:; ④向量的大小――长度称为向量的模,记作||.3、有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量概念:长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.5、单位向量概念长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.一般用0a 表示。

2019-2020学年高中数学人教B版必修4教学案:第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 Word版含答案

2019-2020学年高中数学人教B版必修4教学案:第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 Word版含答案

2.2.1 平面向量基本定理预习课本P96~98,思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么?(2)如何定义平面向量基底?(3)直线的向量参数方程式是什么?[新知初探]1.平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a ,存在唯一的一对实数a 1,a 2,使a =a 1e 1+a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e 1,e 2}.a 1e 1+a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1,e 2}的分解式.[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:①e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量;②该平面内任意向量a 都可以用e 1,e 2线性表示,且这种表示是唯一的;③基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.2.直线的向量参数方程式已知A ,B 是直线l 上的任意两点,O 是l 外一点(如图所示),则对于直线l 上任意一点P ,存在唯一实数t (1-t );反之,对每一个实数t ,在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应.向量等(1-t )叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参变数,简称参数.当t =12时,=12,此时P 点为线段AB 的中点,这是线段AB 中点的向量表达式.[点睛] 1.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底.( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底.( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√2.如图,向量e 1,e 2,a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底e 1,e 2表示为( )A .e 1+e 2B .-2e 1+e 2C .2e 1-e 2D .2e 1+e 2答案:B3.设e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( ) A .e 1,e 2 B .e 1+e 2,3e 1+3e 2 C .e 1,5e 2 D .e 1,e 1+e 2 答案:B4.设e 1,e 2为两个不共线的向量,若点O 是▱ABCD 4e 16e 2,则3e 2-2e 1=________.解析:3e 2-2e 1=12(6e 2-4e 1)=12(=12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图,在平行四边形ABCD 中,a b ,试用基底a ,b 表示AB ,BC .[解] 法一:由题意知,AO =OC =12AC =12a ,BO =OD =12BD =12b .所以AB =AO +OB =AO -BO =12a -12b ,BC =BO +OC =12a +12b ,法二:设AB =x ,BC =y ,则AD =BC =y ,又⎩⎪⎨⎪⎧AB +BC =AC , AD -AB =BD ,则⎩⎪⎨⎪⎧x +y =a ,y -x =b ,所以x =12a -12b ,y =12a +12b ,即AB =12a -12b ,BC =12a +12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.[活学活用]如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E ,F 分别是AD ,BC 边上的中点,且BC =3AD ,BA =a ,BC =b .试以a ,b 为基底表示EF ,DF ,CD .解:∵AD ∥BC ,且AD =13BC ,∴AD =13BC =13b .∵E 为AD 的中点, ∴AE =ED =12AD =16b .∵BF =12BC ,∴BF =12b ,∴EF =BA +AB +BF =-16b -a +12b =13b -a ,DF =DE +EF =-16b +13b -a =16b -a ,CD =CF +FD =-(DF +FC )=-(DF +BF )=-⎝⎛⎭⎫16b -a +12b =a -23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ,B ,对该平面内任一动点C ,总有OC =3λOA +(1-3λ)OB (λ∈R ,点O 为直线AB 外的一点),则点C 的轨迹是什么图形?简单说明理由.[解] 法一:3λ+(1-3λ)=1且λ∈R ,结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二:将已知向量等式两边同时减去OA ,得OC -OA =(3λ-1) OA +(1-3λ) OB=(1-3λ)( OB -OA ) =(1-3λ) AB ,即AC =(1-3λ) AB ,λ∈R ,∴A ,B ,C 三点共线,即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ,B ,C 三点共线,则有OC =x OA +y OB ,且x +y =1;(2)若OC =x OA +y OB ,且x +y =1,则有A ,B ,C 三点共线. [活学活用]在△ABC 中,D 为AB 上一点,若AD =2DB ,CD =13CA +λCB ,则λ=________.解析:法一:∵AD =2DB , ∴AD =23AB =23(CB -CA ).∵在△ACD 中,CD =CA +AD =CA +23(CB -CA )=13CA +23CB ,∴λ=23.法二:A ,B ,D 三点共线, 又∵C 在直线AB 外,则13+λ=1,∴λ=23.答案:23[典例] NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2,3e 2-e 1,BN =BC +CN 2e 1+e 2. ∵A ,P ,M 和B ,P ,N 分别共线,∴存在实数λ,μ=-λe 1-3λe 2,2μe 1+μe 2.(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2.2e 1+3e 2,由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧λ+2μ=2,3λ+μ=3, 解得⎩⎨⎧λ=45,μ=35.∴AP ∶PM =4∶1,BP ∶PN =3∶2.[一题多变]1.[变设问]a b ,试用a ,b解:由本例解析知BP ∶PN =3∶2CP =CN +NP =CN +25NB =b +25(―CB -CN )=b +45a -25b =35b +45a .2.[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点,其它条件不变,求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解:如图,设BM =e 1,CN =e 2,则AM =AC +CM =-2e 2-e 1,BN =BC +CN =2e 1+e 2. ∵A ,P ,M 和B ,P ,N 分别共线, ∴存在实数λ,μ使得AP =λAM =-λe 1-2λe 2,BP =μBN =2μe 1+μe 2.故BA =BP +PA =BP -AP =(λ+2μ)e 1+(2λ+μ)e 2. 而BA =BC +CA =2e 1+2e 2,由平面向量基本定理,得⎩⎪⎨⎪⎧λ+2μ=2,2λ+μ=2, 解得⎩⎨⎧λ=23,μ=23.∴AP =23AM ,BP =23BN ,∴AP ∶PM =2,BP ∶PN =2.若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.1.已知平行四边形ABCD 中,P 是对角线AC (t -t =( )A .0B .1C .-1D .任意实数解析:选B P ,A ,C 三点共线,所以t +t -1=1,故t =1,故选B.2.设点O 是▱ABCD 两对角线的交点,下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A .①②B .①③C .①④D .③④解析:选B 寻找不共线的向量组即可,在▱ABCD3.若AD 是△ABC 的中线,a b ,则以a ,b ( )A.12(a -b ) B.12(a +b ) C.12(b -a ) D.12b +a解析:选B 如图,AD 是△ABC 的中线,则D 为线段BC 的中点,从=12(=12(a +b ).4.在矩形ABCD 中,O e 1e 2( ) A.12(e 1+e 2) B.12(e 1-e 2) C.12(2e 2-e 1) D.12(e 2-e 1)解析:选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2,=12=12(e 1+e 2),故选A.5.(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析:选A=-136.已知向量a ,b 是一组基底,实数x ,y 满足(3x -4y )a +(2x -3y )b =6a +3b ,则x -y的值为______.解析:∵a ,b 是一组基底,∴a 与b 不共线, ∵(3x -4y )a +(2x -3y )b =6a +3b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -4y =6,2x -3y =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =3,∴x -y =3. 答案:37.已知e 1,e 2是两个不共线向量,a =k 2e 1+⎝⎛⎭⎫1-5k2e 2与b =2e 1+3e 2共线,则实数k =______.解析:由题设,知k22=1-5k23,∴3k 2+5k -2=0,解得k =-2或13.答案:-2或138.如下图,在正方形ABCD a b c ,则在以a ,b 为基底______,在以a ,c ______.解析:以a ,c B 与A 重合,再由三角形法则或平行四边形法则即得.答案:a +b 2a +c9.如图所示,设M ,N ,P 是△ABCa b ,试用a ,b=13a -23b ,=-13b -23(a -b )=-23a +13b ,=13(a +b ).10.证明:三角形的三条中线共点.证明:如图所示,设AD ,BE ,CF 分别为△ABCa b .b -a .设G 在AD 上,且AG AD =23a +12(b -a )=12(a +b ).=12b -a .=13(a +b )-a =13b -23a=23⎝⎛⎭⎫12b -a∴G 在BE即G 在CF 上.故AD ,BE ,CF 三线交于同一点.层级二 应试能力达标1.在△ABC 中,点D 在BC a b 用基底a ,b 表示为( )A.12(a +b ) B.23a +13b C.13a +23b D.13(a +b )解析:选C+23(=13a +23b .2.在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AMλ+μ的值为( )A.12B.13C.14D .1解析:选A ∵M 为边BC 上任意一点,x +y =1) ∵N 为AM 的中点,=12x +12y ∴λ+μ=12(x +y )=12.3.如果e 1,e 2是平面α内所有向量的一组基底,那么,下列命题中正确的是( ) A .若存在实数λ1,λ2,使得λ1e 1+λ2e 1=0,则λ1=λ2=0B .平面α内任一向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2,其中λ1,λ2∈RC .λ1e 1+λ2e 2不一定在平面α内,λ1,λ2∈RD .对于平面α内任一向量a ,使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1,λ2有无数对解析:选B A 中,(λ1+λ2)e 1=0,∴λ1+λ2=0,即λ1=-λ2;B 符合平面向量基本定理;C 中,λ1e 1+λ2e 2一定在平面α内;D 中,λ1,λ2有且只有一对.4(λ∈R),则x ,y 满足的关系是( )A .x +y -2=0B .2x +y -1=0C .x +2y -2=0D .2x +y -2=0解析:选A λ,(1+λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2λ,y =-2λ,消去λ得x +y =2. 5.设e 1,e 2是平面内的一组基底,且a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,则e 1+e 2=________a +________b .解析:由⎩⎪⎨⎪⎧a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,解得⎩⎨⎧e 1=13a -23b ,e 2=13a +13b .故e 1+e 2=⎝⎛⎭⎫13a -23b +⎝⎛⎭⎫13a +13b =23a +⎝⎛⎭⎫-13b .答案:23 -136.如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO(λ,μ∈R),则λ+μ=________.解析:EBλ=12,μ=14,λ+μ=34.答案:347.设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a =e 1-2e 2,b =e 1+3e 2. (1)证明:a ,b 可以作为一组基底;(2)以a ,b 为基底,求向量c =3e 1-e 2的分解式; (3)若 4e 1-3e 2=λa +μb ,求λ,μ的值.解:(1)证明:若a ,b 共线,则存在λ∈R ,使a =λb , 则e 1-2e 2=λ(e 1+3e 2).由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=1,3λ=-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ=1,λ=-23.∴λ不存在,故a 与b 不共线,可以作为一组基底. (2)设c =ma +nb (m ,n ∈R),则 3e 1-e 2=m (e 1-2e 2)+n (e 1+3e 2) =(m +n )e 1+(-2m +3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =3,-2m +3n =-1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =1.∴c =2a +b . (3)由4e 1-3e 2=λa +μb ,得 4e 1-3e 2=λ(e 1-2e 2)+μ(e 1+3e 2) =(λ+μ)e 1+(-2λ+3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ+μ=4,-2λ+3μ=-3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ=3,μ=1.故所求λ,μ的值分别为3和1.8.若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比.(2)若N 为AB 中点,AM 与CN 交于点O x ,y 的值. 解:(1)可知M ,B ,C 三点共线,BM =AB +λλ=(1-λ)λ=14,所以S △ABM S△ABC =14,即面积之比为1∶4.(2)O ,M ,A 三点共线及O ,N ,C 三点共线⇒⎩⎨⎧x +y2=1,x4+y =1⇒⎩⎨⎧x =47,y =67.2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99~102,思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义?(2)一个向量如何正交分解?(3)向量的直角坐标定义是什么?(4)如何由a ,b 的坐标求a +b ,a -b ,λa 的坐标?[新知初探]1.两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直.如果基底的两个基向量e 1,e 2互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解.2.向量的平面直角坐标的定义(1)基底:在直角坐标系xOy 内,分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1,e 2.这时,我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1,e 2}.这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底.(2)坐标分量:在坐标平面xOy 内,任作一向量a (用有向线段),由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(a 1,a 2),使得a =a 1e 1+a 2e 2,(a 1,a 2)就是向量a 在基底{e 1,e 2}下的坐标,即a=(a 1,a 2),其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量,a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量. 3.向量的坐标表示xe 1+ye 2=(x ,y )(x ,y )⇔点A 的坐标(x ,y ). 4.向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),λa =(_λa 1,λa 2).(2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),=(x 2-x 1,y 2-y 1);线段AB 中点公式⎩⎨⎧x =x 1+x 22,y =y 1+y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. (2)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.( )(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×2.若a =(2,1),b =(1,0),则3a +2b 的坐标是( ) A .(5,3) B .(4,3) C .(8,3) D .(0,-1) 答案:C3(1,2)(3,4)( ) A .(4,6) B .(-4,-6) C .(-2,-2) D .(2,2)答案:A4.若点M (3,5),点N (2,1)______.答案:(-1,-4)平面向量的坐标表示[典例] 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角.求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标.[解] 由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点. 设B (x 1,y 1),D (x 2,y 2). 由三角函数的定义,得 x 1=cos 30°=32,y 1=sin 30°=12,∴B ⎝⎛⎭⎫32,12.x 2=cos 120°=-12,y 2=sin 120°=32,∴D ⎝⎛⎭⎫-12,32.∴AB =⎝⎛⎭⎫32,12,AD =⎝⎛⎭⎫-12,32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.(2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.[活学活用]已知O 是坐标原点,点A |OA |43,∠xOA =60°, (1)求向量OA 的坐标;(2)若B (3,-1),求BA 的坐标.解:(1)设点A (x ,y ),则x =43cos 60°=23, y =43sin 60°=6,即A (23,6),OA =(23,6). (2) BA =(23,6)-(3,-1)=(3,7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2,-1),B (3,4),C (-2,0),则向量3AB +2CA =________,BC-2AB=________.(2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.[解析](1)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),∴AB=(1,5),CA=(4,-1),BC=(-5,-4).∴3AB+2CA=3(1,5)+2(4,-1)=(3+8,15-2)=(11,13).BC-2AB=(-5,-4)-2(1,5)=(-5-2,-4-10)=(-7,-14).[答案](11,13)(-7,-14)(2)解:a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[活学活用]1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=()A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7) D.(1,3)解析:选A∵2b=2(-2,1)=(-4,2),∴a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).2.已知M(3,-2),N(-5,-1),MP=12MN,则P点坐标为______.解析:法一:设P(x,y),MP=(x-3,y+2),MN=(-8,1),=12(-8,1)=⎝⎛⎭⎫-4,12,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -3=-4,y +2=12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-32.法二:P 为MN 的中点,由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫-1,-32. 答案:⎝⎛⎭⎫-1,-32t AB ,t 为何值时,点P 在y 轴上?点P 在第二象限?[解] (1,2)+t (3,3)=(1+3t,2+3t ), 若点P 在x 轴上,则2+3t =0,所以t =-23.若点P 在y 轴上,则1+3t =0, 所以t =-13.若点P 在第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <0,2+3t >0,所以-23<t <-13.[一题多变]1.[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上,点P 在y 轴上,点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值.解:由典例知P (1+3t,2+3t ), 则⎩⎨⎧1+1+3t2=4,2+2+3t2=5,解得t =2.2.[变设问]本例条件不变,试问四边形OABP 能为平行四边形吗?若能,求出t 值;若不能,说明理由.解:OA =(1,2),PB =(3-3t,3-3t ).若四边形OABP 为平行四边形,则OA =PB ,所以⎩⎪⎨⎪⎧3-3t =1,3-3t =2,该方程组无解.故四边形OABP 不能成为平行四边形.向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量:横坐标和纵坐标,如果横或纵坐标是一个变量,则表示向量的点的坐标的位置会随之改变.(2)解答这类由参数决定点的位置的题目,关键是列出满足条件的含参数的方程(组),解这个方程(组),就能达到解题的目的.1.如果用i ,j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量,且A (2,3),B (4,2),则AB 可以表示为( )A .2i +3jB .4i +2jC .2i -jD .-2i +j解析:选C 记O 为坐标原点,则OA =2i +3j ,OB =4i +2j ,所以AB =OB -OA =2i -j .2.已知AB =a ,且A ⎝⎛⎭⎫12,4,B ⎝⎛⎭⎫14,2,又λ=12,则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫-18,-1 B.⎝⎛⎭⎫14,3 C.⎝⎛⎭⎫18,1D.⎝⎛⎭⎫-14,-3 解析:选A ∵a =AB =⎝⎛⎭⎫14,2-⎝⎛⎭⎫12,4=⎝⎛⎭⎫-14,-2, ∴λa =12a =⎝⎛⎭⎫-18,-1. 3.已知向量a =(1,2),2a +b =(3,2),则b =( ) A .(1,-2) B .(1,2) C .(5,6)D .(2,0)解析:选A b =(3,2)-2a =(3,2)-(2,4)=(1,-2).4.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,AB =(2,4),AC =(1,3),则DA =( )A .(2,4)B .(3,5)C .(1,1)D .(-1,-1)解析:选C =(1,1).5.已知M (-2,7),N (10,-2),点P 是线段MN P 点的坐标为( )A .(-14,16)B .(22,-11)C .(6,1)D .(2,4)解析:选D 设P (x ,y )(10-x ,-2-y )(-2-x,7-y ),⎩⎪⎨⎪⎧ 10-x =4+2x ,-2-y =-14+2y ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4.6.(江苏高考)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若ma +nb =(9,-8)(m ,n ∈R),则m-n 的值为________.解析:∵ma +nb =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +n =9,m -2n =-8,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,∴m -n =2-5=-3. 答案:-37.若A (2,-1),B (4,2),C (1,5)________. 解析:∵A (2,-1),B (4,2),C (1,5),(2,3)(-3,3).(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9). 答案:(-4,9)8.已知O 是坐标原点,点A =6,∠xOA =150°________.解析:设点A (x ,y ),则x =6cos 150°=-33,y =6sin 150°=3,即A (-33,3)(-33,3).答案:(-33,3)9.已知a B 点坐标为(1,0),b =(-3,4),c =(-1,1),且a =3b -2c ,求点A 的坐标.解:∵b =(-3,4),c =(-1,1),∴3b -2c =3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2,2)=(-7,10),即a =(-7,10)又B (1,0),设A 点坐标为(x ,y ),(1-x,0-y )=(-7,10),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-x =-7,0-y =10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =8,y =-10, 即A 点坐标为(8,-10).10(4,3)(-3,-1),点A (-1,-2). (1)求线段BD 的中点M 的坐标.(2)若点P (2,y )(λ∈R),求λ与y 的值. 解:(1)设B (x 1,y 1),(4,3),A (-1,-2), 所以(x 1+1,y 1+2)=(4,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+1=4,y 1+2=3,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3,y 1=1,所以B (3,1).同理可得D (-4,-3), 设BD 的中点M (x 2,y 2), 则x 2=3-42=-12,y 2=1-32=-1, 所以M ⎝⎛⎭⎫-12,-1.(2)(3,1)-(2,y )=(1,1-y ),(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),(λ∈R),所以(1,1-y )=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),所以⎩⎪⎨⎪⎧1=-7λ,1-y =-4λ,所以⎩⎨⎧λ=-17,y =37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A .(-2,-2)B .(2,2)C .(1,1)D .(-1,-1)解析:选D=12=12(-2,-2)=(-1,-1),故选D. 2.已知向量a =(1,2),b =(2,3),c =(3,4),且c =λ1a +λ2b ,则λ1,λ2的值分别为( )A .-2,1B .1,-2C .2,-1D .-1,2解析:选D ∵c =λ1a +λ2b ,∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1+2λ2=3,2λ1+3λ2=4,解得λ1=-1,λ2=2.3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2,72B.⎝⎛⎭⎫2,-12 C .(3,2)D .(1,3)解析:选A 设点D (m ,n ),则由题意得(4,3)=2(m ,n -2)=(2m,2n -4),故⎩⎪⎨⎪⎧2m =4,2n -4=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =72,即点D ⎝⎛⎭⎫2,72,故选A. 4.对于任意的两个向量m =(a ,b ),n =(c ,d ),规定运算“”为m n =(ac -bd ,bc +ad ),运算“”为m n =(a +c ,b +d ).设f =(p ,q ),若f =(5,0),则f 等于( )A .(4,0)B .(2,0)C .(0,2)D .(0,-4)解析:选B 由(1,2)⊗f =(5,0),得⎩⎪⎨⎪⎧ p -2q =5,2p +q =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =1,q =-2,所以f =(1,-2),所以f =,-2)=(2,0).5.已知向量i =(1,0),j =(0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论: ①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a =(x ,y );②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a =(x 1,y 1)≠(x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2;③若x ,y ∈R ,a =(x ,y ),且a ≠0,则a 的起点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x ,y ). 其中,正确结论有________个.解析:由平面向量基本定理,可知①正确;例如,a =(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a =(x ,y )与a 的起点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是(x ,y )时,a =(x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误.答案:16.已知A (-3,0),B (0,2),O 为坐标原点,点C 在∠AOB 内,|OC |=22,且∠AOC =π4.(λ∈R),则λ= ________.解析:过C 作CE ⊥x 轴于点E ,由∠AOC =π4知,|OE |=|CE |=2,所(-2,0)=λ(-3,0),故λ=23.答案:237.在△ABC 中,已知A (7,8),B (3,5),C (4,3),M ,N ,D 分别是AB ,AC ,BC 的中点,且MN 与AD 交于点F解:∵A (7,8),B (3,5),C (4,3),(3-7,5-8)=(-4,-3),(4-7,3-8)=(-3,-5).∵D 是BC 的中点,=12(=12(-4-3,-3-5)=12(-7,-8)=⎝⎛⎭⎫-72,-4.∵M ,N 分别为AB ,AC 的中点,∴F 为AD 的中点.=-12⎝⎛⎭⎫-72,-4=⎝⎛⎭⎫74,2.8.在直角坐标系xOy 中,已知点A (1,1),B (2,3),C (3,2),(1)0(2)(m ,n ∈R),且点P 在函数y =x +1的图象上,求m -n .解:(1)设点P 的坐标为(x ,y ),0,(1-x,1-y )+(2-x,3-y )+(3-x,2-y )=(6-3x,6-3y ).所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6-3x =0,6-3y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2.所以点P 的坐标为(2,2),(2,2).(2)设点P 的坐标为(x 0,y 0), 因为A (1,1),B (2,3),C (3,2),(2,3)-(1,1)=(1,2),(3,2)-(1,1)=(2,1),所以(x 0,y 0)=m (1,2)+n (2,1)=(m +2n,2m +n ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0=m +2n ,y 0=2m +n ,两式相减得m -n =y 0-x 0,又因为点P 在函数y =x +1的图象上, 所以y 0-x 0=1, 所以m -n =1.2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103~104,思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线?[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例.这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),若a ∥b ,则必有a 1b 2=a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.( ) 答案:(1)√ (2)√2.若向量a =(1,2),b =(2,3),则与a +b 共线的向量可以是( ) A .(2,1) B .(-1,2) C .(6,10) D .(-6,10) 答案:C3.已知a =(1,2),b =(x,4),若a ∥b ,则x 等于( ) A .-12 B.12 C .-2D .2答案:D4.已知向量a =(-2,3),b ∥a ,向量b 的起点为A (1,2),终点B 在x 轴上,则点B 的坐标为________.答案:⎝⎛⎭⎫73,0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a =(1,2),b =(λ,1),若(a +2b )∥(2a -2b ),则λ的值等于( ) A.12B.13C .1D .2(2)已知A (2,1),B (0,4),C (1,3),D (5,-3)的方向相同还是相反?[解析] (1)法一:a +2b =(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a -2b =2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),由(a +2b )∥(2a -2b )可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,解得λ=12.法二:假设a ,b 不共线,则由(a +2b )∥(2a -2b )可得a +2b =μ(2a -2b ),从而⎩⎪⎨⎪⎧1=2μ,2=-2μ,方程组显然无解,即a +2b 与2a -2b 不共线,这与(a +2b )∥(2a -2b )矛盾,从而假设不成立,故应有a ,b 共线,所以1λ=21,即λ=12.[答案] A(2)(0,4)-(2,1)=(-2,3)(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)×(-6)-3×4=0,∴AB ,CD 共线. 又CD =-2AB ,∴AB ,CD 方向相反. 综上,AB 与CD 共线且方向相反.向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理,由a =λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2-a 2b 1=0直接求解. [活学活用]已知a =(1,2),b =(-3,2),当k 为何值时,ka +b 与a -3b 平行,平行时它们的方向相同还是相反?解:ka +b =k (1,2)+(-3,2)=(k -3,2k +2), a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),若ka +b 与a -3b 平行,则-4(k -3)-10(2k +2)=0,解得k =-13,此时ka +b =-13a +b =-13(a -3b ),故ka +b 与a -3b 反向.∴k =-13时,ka +b 与a -3b 平行且方向相反.三点共线问题[典例] (1)已知OA =(3,4),OB =(7,12),OC =(9,16),求证:A ,B ,C 三点共线; (2)设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k ),当k 为何值时,A ,B ,C 三点共线?[解] (1)证明:∵AB =OB -OA =(4,8),AC =OC -OA =(6,12),∴AC =32AB ,即AB 与AC 共线.又∵AB 与AC 有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线. (2)若A ,B ,C 三点共线,则AB ,AC 共线, ∵AB =OB -OA =(4-k ,-7),AC =OC -OA =(10-k ,k -12),∴(4-k )(k -12)+7(10-k )=0.解得k=-2或k=11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A,B,C三点是否共线,一般是看AB与BC,或AB与AC,或AC与BC 是否共线,若共线,则A,B,C三点共线;(2)使用A,B,C三点共线这一条件建立方程求参数时,利用AC=λBC,或AB=λBC,或AB=λAC都是可以的,但原则上要少用含未知数的表达式.[活学活用]设点A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,AB与CD共线且方向相同,此时,A,B,C,D能否在同一条直线上?解:AB=(2x,2)-(x,1)=(x,1),BC=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),CD=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).由AB与CD共线,所以x2=1×4,所以x=±2.又AB与CD方向相同,所以x=2.此时,AB=(2,1),BC=(-3,2),而2×2≠-3×1,所以AB与BC不共线,所以A,B,C三点不在同一条直线上.所以A,B,C,D不在同一条直线上.向量共线在几何中的应用题点一:两直线平行判断1.如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,用向量的方法证明:DE∥BC;证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系,设|AD|1|DC|=1|AB| 2.∵CE ⊥AB ,而AD =DC , ∴四边形AECD 为正方形,∴可求得各点坐标分别为E (0,0),B (1,0),C (0,1),D (-1,1).(-1,1)-(0,0)=(-1,1),(0,1)-(1,0)=(-1,1),DE ∥BC . 题点二:几何形状的判断2.已知直角坐标平面上四点A (1,0),B (4,3),C (2,4),D (0,2),求证:四边形ABCD 是等腰梯形.证明:(4,3)-(1,0)=(3,3),(0,2)-(2,4)=(-2,-2).∵3×(-2)-3×(-2)=0(-1,2)(2,4)-(4,3)=(-2,1),∵(-1)×1-2×(-2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形.(-2,1)(-1,2),∴=5BC =AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形.题点三:求交点坐标3.如图所示,已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),求AC 和OB 交点P 的坐标.解:法一:t (4,4) =(4t,4t ),(4t,4t )-(4,0)=(4t -4,4t ),(2,6)-(4,0)=(-2,6).(4t -4)×6-4t ×(-2)=0,解得t =34.(3,3).∴P 点坐标为(3,3). 法二:设P (x ,y ),(x ,y )(4,4).∴4x -4y =0.①(x -2,y -6)(2,-6),∴-6(x -2)+2(6-y )=0.②解①②组成的方程组,得x =3,y =3, ∴点P 的坐标为(3,3).应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,-2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,7) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=⎝⎛⎭⎫12,-34 解析:选B A 中向量e 1为零向量,∴e 1∥e 2;C 中e 1=12e 2,∴e 1∥e 2;D 中e 1=4e 2,∴e 1∥e 2,故选B.2.已知点A (1,1),B (4,2)和向量a =(2,λ),若a λ的值为( ) A .-23B.32C.23D .-32解析:选C 根据A ,B (3,1),∵a 2×1-3λ=0,解得λ=23,故选C.3.已知A (2,-1),B (3,1)a 是( )A .(2,1)B .(-6,-3)C .(-1,2)D .(-4,-8)解析:选D (1,2),向量(2,1)、(-6,-3)、(-1,2)与(1,2)不平行;(-4,-8)与(1,2)平行且方向相反.4.已知向量a =(x,2),b =(3,-1),若(a +b )∥(a -2b ),则实数x 的值为( ) A .-3 B .2 C .4D .-6解析:选D 因为(a +b )∥(a -2b ),a +b =(x +3,1),a -2b =(x -6,4),所以4(x +3)-(x -6)=0,解得x =-6.5.设a =⎝⎛⎭⎫32,tan α,b =⎝⎛⎭⎫cos α,13,且a ∥b ,则锐角α为( ) A .30° B .60° C .45°D .75°解析:选A ∵a ∥b , ∴32×13-tan α cos α=0, 即sin α=12,α=30°.6.已知向量a =(3x -1,4)与b =(1,2)共线,则实数x 的值为________. 解析:∵向量a =(3x -1,4)与b =(1,2)共线, ∴2(3x -1)-4×1=0,解得x =1. 答案:17.已知A (-1,4),B (x ,-2),若C (3,3)在直线AB 上,则x =________.(x +1,-6)(4,-1),(x +1)+24=0,∴x =23. 答案:238.已知向量a =(1,2),b =(-2,3),若λa +μb 与a +b 共线,则λ与μ的关系是________. 解析:∵a =(1,2),b =(-2,3), ∴a +b =(1,2)+(-2,3)=(-1,5),λa +μb =λ(1,2)+μ(-2,3)=(λ-2μ,2λ+3μ), 又∵(λa +μb )∥(a +b ), ∴-1×(2λ+3μ)-5(λ-2μ)=0, ∴λ=μ. 答案:λ=μ9.已知A ,B ,C 三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),证明:设E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1), (x 2,y 2),(2,2)(-2,3)(4,-1).(x 1+1,y 1)=13(2,2).∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫-13,23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73,0⎝⎛⎭⎫83,-23.又83×(-1)-4×⎝⎛⎭⎫-23=010.已知向量a =(2,1),b =(1,1),c =(5,2),m =λb +c (λ为常数).(1)求a +b ;(2)若a 与m 平行,求实数λ的值. 解:(1)因为a =(2,1),b =(1,1), 所以a +b =(2,1)+(1,1)=(3,2). (2)因为b =(1,1),c =(5,2),所以m =λb +c =λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2). 又因为a =(2,1), 且a 与m 平行, 所以2(λ+2)=λ+5, 解得λ=1.层级二 应试能力达标1.已知平面向量a =(x,1),b =(-x ,x 2),则向量a +b ( ) A .平行于x 轴B .平行于第一、三象限的角平分线C .平行于y 轴D .平行于第二、四象限的角平分线解析:选C 因为a +b =(0,1+x 2),所以a +b 平行于y 轴. 2.若A (3,-6),B (-5,2),C (6,y )三点共线,则y =( ) A .13 B .-13 C .9D .-9解析:选D A ,B ,C 三点共线,(-8,8)(3,y+6),∴-8(y+6)-8×3=0,即y=-9.3.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么() A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向解析:选D∵a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),显然,c与d不平行,排除A、B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c ∥d且c与d反向.4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(-3,-5)C.(5,-5)或(-3,-5)D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)解析:选D设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,D(-3,-5);②若这个平行四边形为▱ACDB,D(5,-5);③若这个平行四边形为▱ACBD,D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).5(6,1)(x,y)(-2,-3)x+2y的值为________.解析:(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),(x+4,y-2)=(-x-4,-y+2).∴x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案:06(3,-4)(6,-3)(5-m ,-3-m ).若点A ,B ,C 能构成三角形,则实数m 应满足的条件为________.解析:若点A ,B ,C(3,1),(2-m,1-m ),∴3(1-m )≠2-m ,即m ≠12.答案:m ≠127.已知A (1,1),B (3,-1),C (a ,b ).(1)若A ,B ,C 三点共线,求a 与b 之间的数量关系;(2)C 的坐标.解:(1)若A ,B ,C(3,-1)-(1,1)=(2,-2)(a -1,b -1),∴2(b -1)-(-2)(a -1)=0,∴a +b =2.(2)(a -1,b -1)=(4,-4),∴⎩⎪⎨⎪⎧ a -1=4,b -1=-4,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =5,b =-3,∴点C 的坐标为(5,-3).8.如图所示,在四边形ABCD 中,已知A (2,6),B (6,4),C (5,0),D (1,0),求直线AC 与BD 交点P 的坐标.解:设P (x ,y )(x -1,y ),(5,4)(-3,6)(4,0).由B ,P ,D (5λ,4λ).(5λ-4,4λ),(5λ-4)×6+12λ=0.解得λ=47,⎝⎛⎭⎫207,167,27 7,16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。

人教版高中必修4第二章平面向量教学设计

人教版高中必修4第二章平面向量教学设计

人教版高中必修4第二章平面向量教学设计一、教学目标1.理解平面向量的概念和性质;2.掌握平面向量的加法、减法及数量积运算;3.熟练掌握平面向量在几何问题中的应用。

二、教学内容1. 平面向量的概念和性质1.平面向量的定义;2.平面向量的模长、方向和单位向量;3.平行向量和相等向量;4.平面向量的线性运算。

2. 平面向量的加法和减法1.平面向量加法的定义和性质;2.平面向量减法的定义和性质;3.平面向量的加法和减法规律。

3. 平面向量的数量积1.平面向量的数量积的定义;2.平面向量的数量积的性质;3.平面向量的数量积计算方法。

4. 平面向量的应用1.平面向量在几何中的应用,如向量的坐标、向量的共线和平行、向量的垂直、向量的夹角等;2.平面向量在物理力学中的应用。

三、教学方法1.示范法教学,通过举例进行说明;2.对比法教学,让学生了解和区分各概念之间的关系;3.互动式教学,促进学生的参与和主动性;4.实践性教学,通过练习和应用提高学生的能力。

四、教学重点和难点1. 教学重点1.平面向量的概念和性质;2.平面向量的加法、减法及数量积运算;3.平面向量在几何问题中的应用。

2. 教学难点1.平面向量在实际应用中的抽象概念;2.平面向量的加法、减法及数量积的计算。

五、教学步骤1. 导入环节通过举一些实际问题引入平面向量的概念,让学生了解平面向量在实际生活中的应用。

2. 知识讲解1.平面向量的概念和性质;2.平面向量的加法、减法及数量积运算;3.平面向量在几何问题中的应用。

3. 实例讲解分别给出一些实例,让学生通过举例进行了解和习题练习。

4. 练习检验通过课堂练习来检验学生的掌握程度,同时也可以在课后留下作业来进一步巩固学生的知识点。

六、教学资源1.人教版高中数学必修4教材;2.数学教学PPT和实例练习;3.数学教学视频和在线练习。

七、教学评估1.通过平时练习成绩的评测来检验学生的理论掌握和计算能力;2.通过单元测试和模拟考试来评估学生的整体学习效果。

2020年高中数学必修4《平面向量》教案精品版

2020年高中数学必修4《平面向量》教案精品版

平面向量说课稿各位评委,老师们:大家好!我说课的内容是<平面向量>的教学,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4,第二章。

针对我校学生基础相对较好.我在进行教学设计时,也充分考虑到了这一点。

下面我从教材分析,教学目标的确定,教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。

一教材分析(1)地位和作用平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。

(2)教学结构的调整将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成。

(3)重点,难点,关键重点:向量、相等向量的概念,向量的几何表示难点:向量的概念关键:多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生辨认,加深理解二教学目标的确定(1)基础知识目标:理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

(2)能力训练目标:培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。

(3)情感目标:让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

三教学方法的选择Ⅰ教学方法:本节课我采用了“启发探究式”的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点:(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法Ⅱ教学手段使用多媒体投影仪、计算机辅助教学四教学过程的设计Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标(1)创设情境——引入概念(2)观察归纳——形成概念(3)讨论研究——深化概念Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念(1)总结反思——提高认识(2)即时训练—巩固新知[练习1]判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①向量与是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB =;⑤若一个向量的模为零,则其方向是不确定的;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.[练习2]下列命题正确的是( )A .a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行Ⅲ 知识应用阶段----共线向量,相等向量等概念的初步应用例 如图所示,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量,,OA OB OC 相等的向量.(同时思考:向量OA 与FE 相等么?向量OB 与AF 相等么?)Ⅳ 学习,小结阶段---归纳知识方法,布置课后作业本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈,组织和指导学生归纳知识,技能,方CE F法的一般规律,为后续学习打好基础。

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2019-2020年高中数学第二章平面向量示范教案新人教B版必修4知识网络1.本章知识网络结构如下:2.本章知识归纳整合(1)基本概念与运算①向量既有大小,又有方向,这两者缺一不可.零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但稍不注意就会出错,所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.②在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的,两种方法得到的是同一个向量.向量的减法按三角形法则,一定要注意向量的方向.④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度,因为向量的加(减)实施的对象是向量,而长度是数量,长度的加(减)法是数量的加(减)法.⑤向量的数乘运算,应侧重于以下几个方面:数与向量的积仍是一个向量;要特别注意0·a=0,而不是0·a=0;向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.(2)基本定理及其坐标表示①平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合,即选择了两个不共线向量e1和e2,平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a=λ1e1+λ2e2,并且这种表示是唯一的.平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算,而且为利用待定系数法解题提供了理论基础.②在利用平面向量基本定理时,一定要注意不共线这个条件.③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.在引入向量的坐标表示以后,向量的运算完全化为代数运算,从而实现了“形”和“数”的紧密结合.④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有始点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同.(3)平面向量的数量积①平面向量a与b的数量积a·b=|a||b|cosθ是数量,其中θ的取值范围是0≤θ≤π.②由a≠0,且a·b=0不能推出b=0.③由a·b=b·c不能推出a=c.④平面向量的数量积不满足结合律,即(a·b)c与a(b·c)不一定相等.⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算,可对照下表记忆:(4)平面向量的应用①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题;利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题.②平面向量的应用,体现在高考中主要是在几何中的应用,平面几何中的许多性质,如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来.③用向量的方法解决几何问题时,首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系,最后把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.教学分析向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一,它贯穿于整个中学的每一个学习阶段;而向量可作为一种重要的解题方法,渗透于高中数学的许多章节,它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的.因此复习时,要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想,利用直观的教学手段和方法,帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义.变抽象为形象,变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题,从而提高本章复习的教学质量.数与形的紧密结合是本章的显著特点,向量与几何之间存在着对应关系;向量又有加减、数乘及数量积等运算,也有平面向量的坐标运算,因而向量具有几何和代数的双重属性,能沟通几何与代数,从而给了我们一种新的数学方法——向量法.向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学,将技巧性解题化成算法解题,因此是一种通法.在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的,掌握向量运算法则的基本依据,搞清向量运算和实数运算的联系和区别,认识向量平移是平面向量坐标运算的基础.将一个实际问题转化为向量之间的关系问题,用向量建立一个数学模型是一个难点问题.在复习课教学中应注意多举例,引导学生思考并及时总结,逐步培养学生用向量工具解题的思维方向.充分发挥多媒体的作用,向量是建立在平面上的,平移是向量的常见现象,而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题.在复习完本章内容后,还要引导学生反思,重新概括研究思路,这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平.三维目标1.通过展示本章知识网络结构,列出复习提纲,引导学生补充相关内容,加深理解向量概念,平面向量的基本定理,两向量平行与垂直的条件,平面向量的坐标表示及其坐标运算,向量的数量积及其性质,向量的实际应用等知识,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节对向量有关内容的复习,使学生进一步认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,深刻领悟数形结合思想,转化与化归思想.3.通过一题多解的活动,培养学生的发散性思维能力,同时通过多种方法间的沟通,让学生体验数学的统一美、内在美,逐渐学会用美的心态来看待数学.重点难点教学重点:向量的运算,向量平行、垂直的条件,平面向量的坐标表示及其运算,数量积的理解运用.教学难点:向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题. 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.(直接导入)前面一段时间,探究学习了向量的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法,提高了我们的思维能力.这一节,我们一起对本章进行小结与复习,来进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用.思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点.在中学数学教材中的地位也越来越重要,也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点,根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?向量是怎样进行代数运算的?又是怎样进行几何运算的?你对向量的哪种运算掌握得最好?由此展开全章的复习.推进新课 知识巩固 提出问题回忆向量的概念:向量的表示,零向量,相等的向量,共线向量.回忆向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质.回忆本章学过的重要定理、公式.活动:(1)本章概念较多,学生可能不知如何进行复习,从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大,效果也不好.教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识.首先教师引导学生回忆从前所学,指导学生归类比较.比较是最好的学习方法,如向量的表示法:几何表示法为AB →,a (手写时为a →),坐标表示法为a =x i +y j =(x ,y).有哪些特殊的向量:a =0|a |=0.单位向量:a 0为单位向量|a 0|=1.相等的向量:大小相等,方向相同,a =b (x 1,y 1)=(x 2,y 2) ⎩⎪⎨⎪⎧x 1=x 2,y 1=y 2等等.(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳,引导学生把向量的运算类比数的运算.向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱,教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容.λ(μa)=(λμ)a(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λba∥b a=λb(b≠0)(3)本章的重要定理及公式:a.平面向量基本定理:e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.b.两个向量平行的充要条件:a∥b(b≠0)存在唯一的实数λ,使得a=λb;若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2-x2y1=0(b可以为0).c.两个向量垂直的充要条件:当a、b≠0时,a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.讨论结果:(1)~(3)略.应用示例例 1已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,(1)k a+b与a-3b垂直?(2)k a+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?活动:向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系,是高考考查的重要内容之一.在解决本题时,教师首先引导学生思考回顾,如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题;共线的向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础,那么,怎样应用向量共线这个条件呢?让学生通过例题仔细体会,进一步熟练、提高.解:(1)k a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当(k a+b)·(a-3b)=0时,这两个向量垂直.由(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,解得k=19,即当k =19时,k a +b 与a -3b 垂直.(2)当k a +b 与a -3b 平行时,存在唯一实数λ,使k a +b =λ(a -3b ).由(k -3,2k +2)=λ(10,-4),得⎩⎪⎨⎪⎧k -3=10λ,2k +2=-4λ.解这个方程组,得k =-13,λ=-13,即当k =-13时,k a +b 与a -3b 平行,这时k a +b =-13a +b .因为λ=-13<0,所以-13a +b 与a -3b 反向.点评:共线向量的充要条件有两种不同的表示形式,但其本质是一样的,在运用中各有特点,解题时可灵活地选择.在本例中,也可以根据向量平行充要条件的坐标形式,从(k -3)×(-4)-10×(2k+2)=0,先解出k =-13,然后再求λ.变式训练设坐标平面上有三点A 、B 、C ,i 、j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量,若向量AB →=i -2j ,BC →=i +m j ,那么是否存在实数m ,使A 、B 、C 三点共线. 解:方法一:假设满足条件的m 存在,由A 、B 、C 三点共线,即AB →∥BC →, ∴存在实数λ,使AB →=λBC →,i -2j =λ(i +m j ),{ λ=1,λm =-2. ∴m=-2,即当m =-2时,A 、B 、C 三点共线. 方法二:假设满足条件的m 存在, 根据题意可知i =(1,0),j =(0,1),∴AB →=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),BC →=(1,0)+m(0,1)=(1,m). 由A 、B 、C 三点共线,即AB →∥BC →, 故1·m-1·(-2)=0,解得m =-2. ∴当m =-2时,A 、B 、C 三点共线.例 2如图1,已知在△ABC 中,BC →=a ,CA →=b ,AB →=c .若a·b =b·c =c·a ,求证:△ABC 为正三角形.图1 活动:引导学生回顾,向量具有二重性,一方面具有“形”的特点,因此有了几何运算;另一方面又具有一套优良的代数运算性质,因此又有了代数运算.对于这两种运算,前者难度大,灵活多变,对学生来说是个难点,后者学生感到熟悉,易于掌握,但应让学生明了,这两种方法都要掌握好,近几年高考题的解答都是以两种解法给出.本题给出的是三角形,对于某些几何命题的抽象的证明,自然可以转化为向量的几何运算问题来解决,请同学们在探究中要注意仔细体会,领悟其实质.教学中,教师要放手大胆地让学生自己去探究,鼓励学生从不同的角度去观察、去发现.真正做到一题多用,一题多变,串联知识,串联方法,使学生在探究过程中掌握孤零知识,提高思维能力,提高复习效率.证法一:由题意,得a +b +c =0,∴c =-(a +b ).又∵b·c =c·a ,∴c·(a -b )=0.∴-a 2+b 2=0.∴|a|2=|b |2,即|a|=|b |. 同理可得|c|=|b |,∴|a|=|b|=|c |.∴△ABC 为正三角形. 证法二:由题意得a +b +c =0,∴a =-b -c ,b =-a -c. ∴a 2=b 2+c 2+2b·c ,b 2=a 2+c 2+2a·c .而b·c =c·a (已知),∴a 2-b 2=b 2-a 2. ∴a 2=b 2.∴|a|2=|b|2.∴|a|=|b |.同理可得|c|=|b|,∴|a|=|b|=|c |.∴△ABC 为正三角形.证法三:如图2,以AB 、BC 为邻边作ABCD ,则AD →=a ,BD →=AD →-AB →,∴BD →=a -c .图2又∵a·b =b·c ,∴b·(a -c )=0. ∴b ·BD →=0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形.∴AB=BC.同理可得BC =AC , ∴△ABC 为正三角形.证法四:取BC →的中点E ,连接AE ,则AE →=12(AB →+AC →)=12(c -b ),∴AE →·a =12(c -b )·a =0.∴AE →⊥a .∴AB=AC.同理可得BC =AC ,∴△ABC 为正三角形.点评:本题给出了四种证法,教师要善于引导学生进行一题多解,这是一种很有效的办法.数学教学中,一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段.通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系,提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力,逐步学会举一反三的本领,在教材安排的例题中,有相当一部分题目存在一题多解的情况,教师要引导学生善于挖掘.例 3已知a =(3,-1),b =(12,32),且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)b ,y=-k a +t b 且x ⊥y .试求:k +t2t的最小值.解:由已知,得|a |=32+-2=2,|b |=122+322=1.∵a·b =3×12-1×32=0,∴a ⊥b .∵x ⊥y ,∴x·y =0,即[a +(t 2-3)b ]·(-k a +t b )=0.化简,得k =t 3-3t4,∴k +t 2t =14(t 2+4t -3)=14(t +2)2-74,即t =-2时,k +t 2t 有最小值-74.点评:本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力,训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.图3课堂小结1.先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识,用了哪些方法,在原来的基础上你有哪些提高?对本章的知识网络结构了然于胸了吗?2.教师点拨,通过本节复习,要求大家在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉基本概念及运算律,并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题,加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.作业本章巩固与提高5、11、12、13、14.设计感想1.本节复习课的设计容量较大,要求应用多媒体课件.教师在引导学生探究的过程中,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点,让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉基本概念及运算律,并能熟练重要定理、公式的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.2.本节题目一题多解应用较多.因为在数学知识的学习中,作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师,在组织学生学习各数学知识点的同时,如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系,不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的,而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通,学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的,是相通的,而不是孤立、割裂的,从而体会数学的统一美和简洁美,进一步增强对数学学习的兴趣,这样的美在一题多解中是随处可见的.备课资料备用习题 1.已知向量a =(4,3),b =(-1,2),若向量a +k b 与a -b 垂直,则k 的值为… ( ) A.233 B .7 C .-113 D .-2332.已知向量AB →=(1,2),OB →=(0,1),则下列各点中在直线AB 上的是( ) A .(0,3) B .(1,1) C .(2,4) D .(2,5)3.向量a 的模为10,它与x 轴的夹角为150°,则它在x 轴上的投影为( ) A .-5 3 B .5 C .-5 D .5 34.若|a |=2,|b |=5,|a +b |=4,则|a -b |为( )A.13 B .13 C.42 D .425.已知a =(2,1),与a 平行且长度为25的向量b 是( ) A .(4,2) B .(-4,-2)C .(2,1)或(-2,-1)D .(4,2)或(-4,-2)6.已知向量i 、j ,i =(1,0),j =(0,1),与2i +j 垂直的向量是( ) A .2i -j B .i -2j C .2i +j D .i +2j7.已知O 为原点,点A ,B 的坐标分别为(a,0),(0,a),a 是正的常数,点P 在线段AB 上,且AP →=tAB →(0≤t≤1),则OA →·OP →的最大值是( )A .aB .2aC .a 2D .3a8.向量a =(n,2)与b =(4,n)共线,则n =________.9.已知a =(2,1),b =(1,2),要使|a +t b |最小,那么实数t 的值是________.10.已知三个非零向量a ,b ,c 中每两个均不共线,若a +b 与c 共线,b +c 与a 共线,求a +b +c .11.已知向量AB →=a ,AC →=b ,|a |=4,|b |=3,∠BAC=β,(2a -3b )(2a +b )=61. (1)求β的大小; (2)求△ABC 的面积.参考答案:1.A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.±2 2 9.-4510.解:∵a +b ,c 共线,∴a +b =m c .① 又∵b +c ,a 共线,∴b +c =n a .② ①-②,得a -c =m c -n a .∵a ,c 不共线,∴由平面向量的基本定理,得m =n =-1. ∴①即a +b =-c ,即a +b +c =0.11.解:(1)原式展开,得4a 2-4a ·b -3b 2=61,∵|a |=4,|b |=3,∴a ·b =-6,∴cos β=a·b |a ||b |=-12.∵0≤β≤π,∴β=2π3.(2)S △ABC =12|AB|·|AC|·sin β=3 3.。

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