2019-2020年高中数学 第二章 平面向量示范教案 新人教B版必修4

2019-2020年高中数学第二章平面向量示范教案新人教B版必修4

知识网络

1．本章知识网络结构如下：

2．本章知识归纳整合

(1)基本概念与运算

①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．

②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．

③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．

④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减)实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加(减)法是数量的加(减)法．

⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．

(2)基本定理及其坐标表示

①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．

②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．

③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．

④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．

(3)平面向量的数量积

①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.

②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0.

③由a·b＝b·c不能推出a＝c.

④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a(b·c)不一定相等．

⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：

(4)平面向量的应用

①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．

②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．

③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．

教学分析

向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．

数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．

将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．

充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标

1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向

量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．

2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．

3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．

重点难点

教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．

教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题． 课时安排 1课时

教学过程 导入新课

思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．

思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．

推进新课 知识巩固 提出问题

回忆向量的概念：向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量.

回忆向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的

坐标表示和性质.

回忆本章学过的重要定理、公式.

活动：(1)本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：几何表示法为AB →，a (手写时为a →

)，坐标表示法为a ＝x i ＋y j ＝(x ，y)．有哪些特殊的向量：a ＝0|a |＝0.单位向量：a 0为单位向量|a 0|＝1.相等的向量：大小相等，

方向相同，a ＝b (x 1，y 1)＝(x 2，y 2) ⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 1＝x 2，

y 1＝y 2等等．

(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比

数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．