第七章线性变换.ppt

所以 是V的一个线性变换
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
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线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
（4） ( )
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线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
（2）
x1
(
(1
),
(
2
),,
(
n
))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(Βιβλιοθήκη Baidu
)
(1,
2
,,
n
)
A
x2
.
xn
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最后，等式表明， ( )关于(1,2 ,n ) 的坐标所组成 的列是
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
σ是 到F n 的一F m个线性映射.
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例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到 W的一个线性映射，叫做零映射.
例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数
k，对于任意 V , 定义 k
容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一 个线性映射叫做V 的一个位似.
①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
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在②中取 a 0，对③进行数学归纳，可以得到：
于任意 , , L(v) ,以下等式成立:
(1) ;
(2) ( ) ( ).
令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然
具有以下性质：对任意 L(v) 有：
(3)
设 L(v),σ的负变换－σ指的是V到V的映射
: ( ). 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且
2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐 标．
3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另 一个基的矩阵。
三、重点难点:
线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。
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7.3.1 线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一 个线性变换，取定V的一个基 1,2,,令n,
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
二、 教学目的:
掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的
多项式.
三、 重点难点:
会做运算.
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7.2.1 加法和数乘
令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个 线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成 的集合，设 , L(v), k F, 定义:
一向量ξ，令 表 示向量ξ在平面H上的正射影.
根据射影的性质， : 是 V3 到 V3 的一个线
性映射.
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例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空
间的 F m 每一向量
x1
x2
xn
规定：
是一个m×1矩阵，即是空间 F m的一个向量，
a1x1 a2 x2 an xn F
容易验证，σ是 F n到F的一个线性映射，这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或 F上n一个线性
型.
例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数
f x 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义
的映射是F[x]到自身的一个线性映射.
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σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系?
设
x11 x22 xnn
x1
(1,
2
,,
n
)
x2
.
xn
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因为σ是线性变换，所以
( ) x1 (1) x2 (2 ) xn (n )
定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射,
(1) 如果 V V , 那么 (V ) { ( ) | V } 叫做 V
在σ之下的象. (2) 设 W W , 那么 { V | ( ) W} 叫做 W 在σ
之下的原象.
定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而
:V W 是一个线性映射，那么V 的任意子空间
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因而（9）成立。
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7.2.3 线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这 样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
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7.2.2线性变换的积
设 , L(V ),容易证明合成映射 也是V上的线 性变换，即 L(V ). 我们也把合成映射 叫
做σ与τ的积，并且简记作στ 。除上面的性质外，
还有：
(9)
( ) ,
(10)
( ) ,
(11)
(k ) (k ) k(),
矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式:
(1) (1,2 ,n ) ( (1), (2 ),, (n )) (12 n )A
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7.3.2 坐标变换
设V是数域F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,,n}
是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
对于任意 k F, , , L(v) 成立。
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证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地 验证。设 V. 我们有
( )( ) (( )( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ),
第七章 线性变换
7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵
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7.1 线性映射
一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核.
二、 教学目的: 1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定
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例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间，对于每一 f xCa,b, 规定
f
x
x
a
f
t dt
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.
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7.1.2 线性变换的象与核
我们也可将 a0 简记作 a0，这时可以写
f ( ) a0 a1 an n.
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（2）带入法：如果 f (x), g(x) F[x], 并且
(x) f (x) g(x) (x) f (x)g(x).
那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有
( ) f ( ) g( ) ( ) f ( )g( ).
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7.3 线性变换和矩阵
一、内容分布
7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换
7.3.3 矩阵唯一确定线性变换
7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵
二、教学目的:
1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n 阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) , 那么是V的一个线性变换.
可以证明: 和 k 都是V 的一个线性变换.
证明
令 ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
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(a b) (a b) (a b) a ( ) b () a ( ) b () a( ( ) ( )) b( () ()) a( ) b().
（1） (0) 0
（2） (a11 ann ) a1 (1) an (n )
例1 对于 R2的每一向量 x1, x2 定义 x1, x1 x2 , x1 x2 R3
σ是 R2到 R3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是 V3 中经过原点的一个平面.对于 V3 的每
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进一步，设 f (x) a0 a1x an xn.
是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a0
代替 a0 ，得到V的一个线性变换
a0 a1 an n.
这个线性变换叫做当 x 时f (x)的值，并且
记作 f ( ).
（1）因为对于任意 V , a0( ) a0,
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
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如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
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7.2 线性变换的运算
记为 Ker( ),
即 Ker( ) { V | ( ) 0}.
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定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线
性映射，那么 :V W
(i) σ是满射 Im( ) W (ii) σ是单射 Ker( ) {0} 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量. 反过来设ker(σ) = {0}.
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
………………………………………
(n ) a1n1 a2n2 annn
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设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
N 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 {1, 2 ,, n的}
的法则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的
联系，并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变 换（线性映射），求给定线性变换的象与核．
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7.1.1 线性映射的定义、例
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射：
特别，取k = 1，那么对于每一 V , 都有 ,
这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映 射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射.
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例6 取定F的一个n元数列 a1 a2 an . 对于 F n 的每一向量 x1 x2 xn . 规定
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
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特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，