w_第七章_应力状态分析01详解

1 50 , 1 50
1 1 10
图解法
30 30 50
Dy
max
。
(50,30)
j
50 30 C
21
2 0
40 -10
i
2 0
C（-10，0） R = 50
。
i 40 , j 60 max 50
min
Dx (30,30)
tan 20 30 40 0 18.4（逆针向）
σx＝27.6MPa
1 x y
2
2
σ1＝62.3MPa
(
x
2
y
)2
2 x
σ2＝17.6MPa
tan 20
2 x x y
1.506
0 28.20
10MPa
2
1
θ
20MPa
x
18.6MPa 52.3MPa
y
（2）由任意截面应力公式
σα＝20 τα＝-10MPa α＝90º－θ
θ＝48.5°
互相垂直的截面上，正应力 之和为常数;
0 71.6（顺针向）
i 0 , j 0 1 63.4
应力圆 点 坐标 直径两端 2
R sin 2 sin 20
x y x y cos 2
2
2
单元体 面 应力 垂直两面
x sin 2 同理可证明 D y
用应力圆求解图示单元体
30
30
40
60
作应力圆
, , i , j , 0 , 0 , max ,1 解：取 x 30, y 60, x y 40 ,
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
性质：
剪应力为零的面为
● 最大和最小正应力
tg20
x
2 x
y
时：
ma1x m2in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
此时： 0 0
主平面； 主平面上的正应力 为主应力； 全部由主平面构成 的单元体为主单元 体。
30 30 50
-60 40
18.4
x 71.6
50 63.4 22.6 -10
-10
用解析法和图解法分别求图示单元体
i , j , 0 , 0 , max ,1
解： x 30 , y 50 , x 30
解析法：
代入公式： tg20
2 x x y
3 4
0 18.4 0 71.6 sin 20 0.6 , cos 20 0.8 0 40 , 0 60 1 63.4 ,1 26.6
x n
x
x
y y
A x A cos , A y A sin
Fn 0
A x Ax cos y Ay sin
x Ax sin y Ay cos 0
F 0
A x Ax sin y Ay cos
x Ax cos y Ay sin 0
x
2
y
x
2
y
cos 2
单元体的取法： 以应力已知的截面为坐标平面取正六面体。
拉压 F
F
单向
应力
dx
扭转
二向 应力
dx
弯曲
dx
7-2 平面应力状态分析——解析法
已知： x , y , x y ,
y
y
y
n
求：任意斜截面（ 截面） ,
截面外法线 n 与 x 轴之间的夹角 :
x
x 到 n 逆针向转动为正。
x
x
A
主应力大小和和主平面方位及 max
2
x
x
解： 根据公式，得
70 70 cos60 50sin 60 9.2MPa 22
67.5
70 sin 2
60
50 cos 60
55.3MPa
27.5
1
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主平面
tg20
2 50 70
0 27.5 0' 67.5
1 27.5 96MPa 2 67.5 26MPa
复习 叠加法
载荷叠加 单独载荷作用下的变形相加等于多载 荷作用的变形
变形叠加 分段刚化的变形之和为整体结构变形
提高梁刚度的措施 载荷 截面 跨度
简单的超静定梁
解除多余约束 用未知力代替
变形条件
计算变形 求解未知力
第七章 应力状态分析
7-1 概述
应力的定义 p dF , dN , dQ
dA
● 最大和最小剪应力
●
t极g2值剪1 应力x2平面x与y 时主平：面的mmainx夹角为(45°x ：2 y 1)20
2 x
45
● 90 x y 90
从工字钢悬臂梁的固定端 A 点取出单元体如图所示。
已知： x 70MPa, y 0, x 50MPa
求： 30 截面的正应力和剪应力；
max (35)2 502 61MPa
7-3 平面应力状态分析——图解解析法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
消去 2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
R2
圆心
C
(
x
y
,
0)
2
y
应力圆
y y
x
作法
x
x
半径：
R
(
x
2
y
)2
2 x
Dx ( x , x )
C
x
Dy ( y , x )
dA
dA
点的概念：有大小，有形状
通常用正六面体表示，称为单元体。
拉压
2
1 cos 2
2
sin
2
扭转 sin 2
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小 不同，应力既是点的位置的函数，也是过该点的 截面方位的函数。
() ()
应力状态：通过同一点不同方位截面上的应力的集合。
应力分析的任务： 从应力已知的截面出发求 其它任意截面的应力。
y
y y
x x
x
B
D Dx ( x , x ) 2
C 20 A
Dx x
二向 应力圆
主应力A，B
点1面,2 对O应C ，R
Dy ( y , x )
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
转向一致， x y 2
x
2
y
2
2 x
转角加倍
D x Cx R cos(2 20 )
Cx Rcos 2 cos 20
图解法定性，解析法定量
已知过一点的两个平面上的应力。 试求：（1）该点的主应力和主平面；
（2）两平面的夹角θ。
解： （1）设平面1的法线为y方向
σy＝52.3MPa τy＝-18.6MPa σx＝未知 τx＝18.6MPa
平面2的法线与x方向夹角90°－θ
σ90°-θ＝20MPa
τ 90°-θ ＝-10MPa
从 Dx点逆针向取 2 60确定 D 点 测量 D 点的坐标得到 30 72MPa , 30 33MPa
max DY
主应力 i 87.7 , j 2.3MPa
j C 60 110
DX
i
D
主平面 0 55，0 35 最大切应力 max R 43MPa 1 0 45 100