w_第七章_应力状态分析01详解
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
第七章应力状态分析(一)
nP tαασατP α第七章应力和应变分析强度理论第一节应力状态的概述同一截面上不同点的应力各不相同。
任一点应力是该点坐标的函数。
前面已经学习。
2cos , sin 2σσσατα==轴向拉压时，斜截面上的应力cos 2, sin 2σσσσατα=+=轴向拉压除外。
,N A σ=p T I ρτ=,z MyI σ=同一点的不同方向面上应力各不相同。
任一截面上的应力是截面倾角的函数。
本章学习内容。
构件在复杂受力情况下，某截面上同时存在正应力和切应力时，危险截面如何确定？分析三种基本变形时，认为危险截面就是横截面，横截面上只存在正应力σ或者切应力τ的作用。
构件实际破坏并不一定发生在横截面上。
轴向拉压变形的杆：PPAσσAσσA扭转变形的轴：mmAτAττ'这些单元体都是特殊方位的单元体左右侧面都是横截面。
受扭转和拉伸共同作用的圆杆PPmm24dP A N πσ==316p T m w dτπ==στ该构件的危险截面是否还是横截面？强度条件是否还是：σ≤[σ]、τ≤[τ] ？六个侧面如何确定？重点：构件任意斜截面上的应力状态如何？怎样计算？哪一个截面是危险截面？倾斜角度是多少？最大应力是多少？一、单元体：研究某一点应力状态时，通常是围绕该点截取一个尺寸为无穷小的正六面体。
（围绕一点可以截取无数个）二、点的应力状态：研究通过某一点的各个不同方位截面上的应力变化情况。
（过一点可以切取无数个斜面）三、单元体的特点：•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。
•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。
•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面上正应力是相等的。
•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单元体方位，通常用特殊方位截取单元体。
方便计算。
•⑶、单元体相互垂直的两个侧面符合剪应力互等定理。
这是重点啊。
第七章应力状态1
30
yx
y
e
x y sin 2 xy cos 2 2
xy
x
300 n
18.3MPa
f
50
(2) 求主应力和主单元体的方位
x = -40MPa， y =60MPa，
tg 2
0
x
2
xy
y
2(50) 1 40 60
xy = -50MPa。
(d)
pD 4t
n
（2）包含直径的纵向截面上的应力 用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分 取出 单位长的圆筒研究。
m
n
p
m
1
n
17
由截面法，假想地用 直径平面将取出的单 位长度的圆筒分成两 部分。取下半部分为 研究对象。
包含直径的纵向平面
直径平面
研究对象
R 是外力在 y 轴上的投影， 包含直径的纵截面上的内力为轴力 FN 。 该截面上的应力为正应力 ”，且 假设为均匀分布。
y
t p z
D
（a）
（b）
解：
包围内壁任一点，沿直径方向
取一单元体，单元体的侧面为 横截面，上，下面为含直径的 纵向截面，前面为内表面。 包含直径的纵向截面
横截面
内表面
（1）横截面上的应力 假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研 究对象。n— n面为横截面 。
n
p
n
图（d）研究对象的剖面图，其上的外力为压强 p。
1 2 3
2
1
3
7
（1）单轴应力状态：只有一个主应力不为零
（2）平面应力状态 ：有个二主应力不等于零。（参见教材定义）
yx
y
e
x y sin 2 xy cos 2 2
xy
x
300 n
18.3MPa
f
50
(2) 求主应力和主单元体的方位
x = -40MPa， y =60MPa，
tg 2
0
x
2
xy
y
2(50) 1 40 60
xy = -50MPa。
(d)
pD 4t
n
（2）包含直径的纵向截面上的应力 用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分 取出 单位长的圆筒研究。
m
n
p
m
1
n
17
由截面法，假想地用 直径平面将取出的单 位长度的圆筒分成两 部分。取下半部分为 研究对象。
包含直径的纵向平面
直径平面
研究对象
R 是外力在 y 轴上的投影， 包含直径的纵截面上的内力为轴力 FN 。 该截面上的应力为正应力 ”，且 假设为均匀分布。
y
t p z
D
（a）
（b）
解：
包围内壁任一点，沿直径方向
取一单元体，单元体的侧面为 横截面，上，下面为含直径的 纵向截面，前面为内表面。 包含直径的纵向截面
横截面
内表面
（1）横截面上的应力 假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研 究对象。n— n面为横截面 。
n
p
n
图（d）研究对象的剖面图，其上的外力为压强 p。
1 2 3
2
1
3
7
（1）单轴应力状态：只有一个主应力不为零
（2）平面应力状态 ：有个二主应力不等于零。（参见教材定义）
7-第七章 应力状态分析 强度理论.
第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。
3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。
xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。
设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
材料力学第07章应力状态与应变状态分析
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
第七章——应力状态分析
8
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin 2
平面应力状 态下斜截面
x
2
y
sin
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xcos2
应力的一般 公式
各变量的方向：正应力以拉应力为正；切应力以企图 使微体沿顺时针方向转动为正；方位角则规定以x轴 为始边、指向逆时针方向者为正。
9
第七章 应力状态分析
7.3 应力圆
10
x y
2
2
0 2
26
第七章 应力状态分析
7.6 各向同性材料的应力、应变关系
27
广义胡克定律
1
1 E
[
1
2
3 ]
2
1 E
[
2
3
1 ]
3
1 E
[
3
1
2 ]
主应力平面对应的应变称为主应变。
28
广义胡克定律
同理可得：
x
1 E
[
x
y
z
]
y
1 E
[
y
z
x
]
z
1 E
[
z
x
y
]
29
例7-4：如图所示应力状态，应力x＝80MPa， x＝ 35MPa， y ＝20MPa， z ＝－40MPa，弹性模量E＝ 200GPa，泊松比＝0.24。试求主应力和主应变的大小，以 及沿着x轴、y轴、Z轴方向的应变。
第七章 应力状态分析
7.1 引言
1
轴向拉伸和压缩 扭转 平面弯曲
2
应力状态的概念
以上研究的都是单向受力或纯剪切时的应力，但是 实际构件中，应力一般会更复杂。
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin 2
平面应力状 态下斜截面
x
2
y
sin
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xcos2
应力的一般 公式
各变量的方向：正应力以拉应力为正；切应力以企图 使微体沿顺时针方向转动为正；方位角则规定以x轴 为始边、指向逆时针方向者为正。
9
第七章 应力状态分析
7.3 应力圆
10
x y
2
2
0 2
26
第七章 应力状态分析
7.6 各向同性材料的应力、应变关系
27
广义胡克定律
1
1 E
[
1
2
3 ]
2
1 E
[
2
3
1 ]
3
1 E
[
3
1
2 ]
主应力平面对应的应变称为主应变。
28
广义胡克定律
同理可得：
x
1 E
[
x
y
z
]
y
1 E
[
y
z
x
]
z
1 E
[
z
x
y
]
29
例7-4：如图所示应力状态，应力x＝80MPa， x＝ 35MPa， y ＝20MPa， z ＝－40MPa，弹性模量E＝ 200GPa，泊松比＝0.24。试求主应力和主应变的大小，以 及沿着x轴、y轴、Z轴方向的应变。
第七章 应力状态分析
7.1 引言
1
轴向拉伸和压缩 扭转 平面弯曲
2
应力状态的概念
以上研究的都是单向受力或纯剪切时的应力，但是 实际构件中，应力一般会更复杂。
《应力状态分析》课件
1 桥梁结构
2 机械设计
3 电子产品
用应力状态分析方法分析桥 梁结构的强度和稳定性，以 确保其安全可靠。
通过应力状态分析确定机械 设计的合理性，并优化结构 以提高性能。
通过应力状态分析分析电子 产品的内部布线，确保布线 的合理性和可靠性。
优势与局限性
优势
应力状态分析能够提供对物体内部应力分布和变形情况的全面了解，有助于优化设计和提高 结构的安全性。
常用的应力状态分析方法
1
解析法
解析法是应力状态分析中常用的方法之一，
有限元法
2
通过数学方程求解得出应力和变形的解析 解。
有限元法是应力状态分析中最常用的方法
之一，通过将结构划分为有限个小单元进
行计算。
3
网格法
网格法是一种常用的数值计算方法，通过 在物体表面和内部创建网格进行应力状态 分析。
实际应用案例分析
背景
随着工程设计的复杂性和要求的提高，应力状态分析在 工程领域变得越来越重要。
基本原理
1 弹性理论
应力状态分析基于弹性理论，通过计算应力和变形的关系来研究物体的应力状态。
2 有限元方法
有限元方法是一种常用的应力状态分析方法，通过将结构划分成有限个小单元进行计算， 得出应力集中区域和变形情况。
3 实验测试
《应力状态分析》PPT课 件
本课件介绍了应力状态分析的定义、背景以及基本原理。探讨了应力状态分 析的应用领域和常用方法，并通过实际案例进行分析。同时，强调了应力状 态分析的优势与局限性，展望了未来的发展方向和趋势。
定义和背景
定义
应力状态分析是研究物体内部及其表面上的应力分布和 应力引起的变形情况的一种方法。
应力状态分析还可以通过实验测试来获取数据，如拉伸试验、压缩试验等。
材料力学第七章应力状态分析
(*)τα = Nhomakorabea2
sin 2α + τ xy cos 2α
(**)
(*) 2 + (**) 2
(σ α −
σ x +σ y
2
) + (τ α ) = (
2 2
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy
(7 - 6)
In a given problem, σx, σy, τxy are the three constants, σα,, τα are the variables. This equation is an expression for a circle of radius
σ x −α y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
(7-1)
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
3. Principle Stresses in Two-dimensional Problems To find the plane for a maximum or a minimum normal stress, let σ x −α y dσ α = −2[ sin 2α + τ xy cos 2α ] = 0 = −2τ α 2 dα 2τ xy tg 2α1 = − σ x −σ y
σ'=
σ x +σ y
(7 - 5)
∴τ max = ±
min
σ1 − σ 2
2
Example 7-1 For the state of stress shown in the figure, (a) find the stresses acting on the inclined plane with θ=-22.5°; (b) find the principle stresses and shown their sense on a properly oriented element; and (c) find the maximum shear stresses with the associated normal stresses and show the results on a properly oriented element. Solution: For original state of stress σx=3 Mpa σy=1 MPa τxy= -2 Mpa (a) From Eq.(7-1)
sin 2α + τ xy cos 2α
(**)
(*) 2 + (**) 2
(σ α −
σ x +σ y
2
) + (τ α ) = (
2 2
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy
(7 - 6)
In a given problem, σx, σy, τxy are the three constants, σα,, τα are the variables. This equation is an expression for a circle of radius
σ x −α y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
(7-1)
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
3. Principle Stresses in Two-dimensional Problems To find the plane for a maximum or a minimum normal stress, let σ x −α y dσ α = −2[ sin 2α + τ xy cos 2α ] = 0 = −2τ α 2 dα 2τ xy tg 2α1 = − σ x −σ y
σ'=
σ x +σ y
(7 - 5)
∴τ max = ±
min
σ1 − σ 2
2
Example 7-1 For the state of stress shown in the figure, (a) find the stresses acting on the inclined plane with θ=-22.5°; (b) find the principle stresses and shown their sense on a properly oriented element; and (c) find the maximum shear stresses with the associated normal stresses and show the results on a properly oriented element. Solution: For original state of stress σx=3 Mpa σy=1 MPa τxy= -2 Mpa (a) From Eq.(7-1)
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
第七章 应力 应变状态分析
薄板：在厚度方向应力为0；厚体：很厚，在厚度方向应变为0。
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点） 点的应力状态：过某点各微截面的应力情况 应变状态：某点在不同方位的应变情况 平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变)
方向应力(正应力和剪应力) 为零，应力不为零
一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这 对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图 (单位厚度应力) 三、符号规定：
方位角
，(从
轴)逆时针正 正应力
：拉为正
剪应力 ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡 五、结果
六、已知 ，求 ，
到E。 三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：
方位的正应变，由应变圆，它总是存在。
表示。 3.适用范围： 应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。 应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。 4.P221例7-6，代公式，自学(
不好测)
求 , 的公式中，包含 三个量，如反过来要求 ，可先测三个方向 ，联立方程求解。
略去高阶微量 代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能 应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和 体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力 为 的应变比能，故
代入（1） 形状改变比能 二、非主应力微体 1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零 非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加 3.体积与形状应变比能 由2，可知
圆柱体内第三主应力mpa1535010300假定圆柱体膨胀塞满凹座0002102000002mpa153mpa43mpa1531778复合材料的应力应变关系选讲复合材料种类繁多长纤维短纤维颗粒增强金属基树脂本书仅介绍长纤维树脂基复合材料正交各向异性有三个互相垂直的对称面横观各向同性一正轴物理方程轴1纤维纵向轴2纤维横向构成直角坐标系轴123称为材料主轴1
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点） 点的应力状态：过某点各微截面的应力情况 应变状态：某点在不同方位的应变情况 平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变)
方向应力(正应力和剪应力) 为零，应力不为零
一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这 对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图 (单位厚度应力) 三、符号规定：
方位角
，(从
轴)逆时针正 正应力
：拉为正
剪应力 ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡 五、结果
六、已知 ，求 ，
到E。 三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：
方位的正应变，由应变圆，它总是存在。
表示。 3.适用范围： 应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。 应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。 4.P221例7-6，代公式，自学(
不好测)
求 , 的公式中，包含 三个量，如反过来要求 ，可先测三个方向 ，联立方程求解。
略去高阶微量 代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能 应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和 体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力 为 的应变比能，故
代入（1） 形状改变比能 二、非主应力微体 1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零 非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加 3.体积与形状应变比能 由2，可知
圆柱体内第三主应力mpa1535010300假定圆柱体膨胀塞满凹座0002102000002mpa153mpa43mpa1531778复合材料的应力应变关系选讲复合材料种类繁多长纤维短纤维颗粒增强金属基树脂本书仅介绍长纤维树脂基复合材料正交各向异性有三个互相垂直的对称面横观各向同性一正轴物理方程轴1纤维纵向轴2纤维横向构成直角坐标系轴123称为材料主轴1
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复习 叠加法
载荷叠加 单独载荷作用下的变形相加等于多载 荷作用的变形
变形叠加 分段刚化的变形之和为整体结构变形
提高梁刚度的措施 载荷 截面 跨度
简单的超静定梁
解除多余约束 用未知力代替
变形条件
计算变形 求解未知力
第七章 应力状态分析
7-1 概述
应力的定义 p dF , dN , dQ
dA
y
y y
x x
x
B
D Dx ( x , x ) 2
C 20 A
Dx x
二向 应力圆
主应力A，B
点1面,2 对O应C ，R
Dy ( y , x )
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
转向一致， x y 2
x
2
y
2
2 x
转角加倍
D x Cx R cos(2 20 )
Cx Rcos 2 cos 20
max (35)2 502 61MPa
7-3 平面应力状态分析——图解解析法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
消去 2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
R2
圆心
C
(
x
y
,
0)
2
y
应力圆
y y
x
作法
x
x
半径：
R
(
x
2
y
)2
2 x
Dx ( x , x )
C
x
Dy ( y , x )
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
性质：
剪应力为零的面为
● 最大和最小正应力
tg20
x
2 x
y
时：
ma1x m2in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
此时： 0 0
主平面； 主平面上的正应力 为主应力； 全部由主平面构成 的单元体为主单元 体。
1 50 , 1 50
1 1 10
图解法
30 30 50
Dy
max
。
(50,30)
j
50 30 C
21
2 0
40 -10
i
2 0
C（-10，0） R = 50
。
i 40 , j 60 max 50
min
Dx (30,30)
tan 20 30 40 0 18.4（逆针向）
从 Dx点逆针向取 2 60确定 D 点 测量 D 点的坐标得到 30 72MPa , 30 33MPa
max DY
主应力 i 87.7 , j 2.3MPa
j C 60 110
DX
i
D
主平面 0 55，0 35 最大切应力 max R 43MPa 1 0 45 100
30 30 50
-60 40
18.4
x 71.6
50 63.4 22.6 -10
-10
用解析法和图解法分别求图示单元体
i , j , 0 , 0 , max ,1
解： x 30 , y 50 , x 30
解析法：
代入公式： tg20
2 x x y
3 4
0 18.4 0 71.6 sin 20 0.6 , cos 20 0.8 0 40 , 0 60 1 63.4 ,1 26.6
图解法定性，解析法定量
已知过一点的两个平面上的应力。 试求：（1）该点的主应力和主平面；
（2）两平面的夹角θ。
解： （1）设平面1的法线为y方向
σy＝52.3MPa τy＝-18.6MPa σx＝未知 τx＝18.6MPa
平面2的法线与x方向夹角90°－θ
σ90°-θ＝20MPa
τ 90°-θ ＝-10MPa
A
主应力大小和和主平面方位及 max
2
x
x
解： 根据公式，得
70 70 cos60 50sin 60 9.2MPa 22
67.5
70 sin 2
60
50 cos 60
55.3MPa
27.5
1
主平面
tg20
2 50 70
0 27.5 0' 67.5
1 27.5 96MPa 2 67.5 26MPa
互相垂直的截面上，正应力 之和为常数;
0 71.6（顺针向）
i 0 , j 0 1 63.4
应力圆 点 坐标 直径两端 2
R sin 2 sin 20
x y x y cos 2
2
2
单元体 面 应力 垂直两面
x sin 2 同理可证明 D y
用应力圆求解图示单元体
30
30
40
60
作应力圆
, , i , j , 0 , 0 , max ,1 解：取 x 30, y 60, x y 40 ,
单元体的取法： 以应力已知的截面为坐标平面取正六面体。拉压 F NhomakorabeaF
单向
应力
dx
扭转
二向 应力
dx
弯曲
dx
7-2 平面应力状态分析——解析法
已知： x , y , x y ,
y
y
y
n
求：任意斜截面（ 截面） ,
截面外法线 n 与 x 轴之间的夹角 :
x
x 到 n 逆针向转动为正。
x
x
● 最大和最小剪应力
●
t极g2值剪1 应力x2平面x与y 时主平：面的mmainx夹角为(45°x ：2 y 1)20
2 x
45
● 90 x y 90
从工字钢悬臂梁的固定端 A 点取出单元体如图所示。
已知： x 70MPa, y 0, x 50MPa
求： 30 截面的正应力和剪应力；
dA
dA
点的概念：有大小，有形状
通常用正六面体表示，称为单元体。
拉压
2
1 cos 2
2
sin
2
扭转 sin 2
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小 不同，应力既是点的位置的函数，也是过该点的 截面方位的函数。
() ()
应力状态：通过同一点不同方位截面上的应力的集合。
应力分析的任务： 从应力已知的截面出发求 其它任意截面的应力。
σx＝27.6MPa
1 x y
2
2
σ1＝62.3MPa
(
x
2
y
)2
2 x
σ2＝17.6MPa
tan 20
2 x x y
1.506
0 28.20
10MPa
2
1
θ
20MPa
x
18.6MPa 52.3MPa
y
（2）由任意截面应力公式
σα＝20 τα＝-10MPa α＝90º－θ
θ＝48.5°
x n
x
x
y y
A x A cos , A y A sin
Fn 0
A x Ax cos y Ay sin
x Ax sin y Ay cos 0
F 0
A x Ax sin y Ay cos
x Ax cos y Ay sin 0
x
2
y
x
2
y
cos 2
载荷叠加 单独载荷作用下的变形相加等于多载 荷作用的变形
变形叠加 分段刚化的变形之和为整体结构变形
提高梁刚度的措施 载荷 截面 跨度
简单的超静定梁
解除多余约束 用未知力代替
变形条件
计算变形 求解未知力
第七章 应力状态分析
7-1 概述
应力的定义 p dF , dN , dQ
dA
y
y y
x x
x
B
D Dx ( x , x ) 2
C 20 A
Dx x
二向 应力圆
主应力A，B
点1面,2 对O应C ，R
Dy ( y , x )
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
转向一致， x y 2
x
2
y
2
2 x
转角加倍
D x Cx R cos(2 20 )
Cx Rcos 2 cos 20
max (35)2 502 61MPa
7-3 平面应力状态分析——图解解析法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
消去 2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
R2
圆心
C
(
x
y
,
0)
2
y
应力圆
y y
x
作法
x
x
半径：
R
(
x
2
y
)2
2 x
Dx ( x , x )
C
x
Dy ( y , x )
x
sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
性质：
剪应力为零的面为
● 最大和最小正应力
tg20
x
2 x
y
时：
ma1x m2in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
此时： 0 0
主平面； 主平面上的正应力 为主应力； 全部由主平面构成 的单元体为主单元 体。
1 50 , 1 50
1 1 10
图解法
30 30 50
Dy
max
。
(50,30)
j
50 30 C
21
2 0
40 -10
i
2 0
C（-10，0） R = 50
。
i 40 , j 60 max 50
min
Dx (30,30)
tan 20 30 40 0 18.4（逆针向）
从 Dx点逆针向取 2 60确定 D 点 测量 D 点的坐标得到 30 72MPa , 30 33MPa
max DY
主应力 i 87.7 , j 2.3MPa
j C 60 110
DX
i
D
主平面 0 55，0 35 最大切应力 max R 43MPa 1 0 45 100
30 30 50
-60 40
18.4
x 71.6
50 63.4 22.6 -10
-10
用解析法和图解法分别求图示单元体
i , j , 0 , 0 , max ,1
解： x 30 , y 50 , x 30
解析法：
代入公式： tg20
2 x x y
3 4
0 18.4 0 71.6 sin 20 0.6 , cos 20 0.8 0 40 , 0 60 1 63.4 ,1 26.6
图解法定性，解析法定量
已知过一点的两个平面上的应力。 试求：（1）该点的主应力和主平面；
（2）两平面的夹角θ。
解： （1）设平面1的法线为y方向
σy＝52.3MPa τy＝-18.6MPa σx＝未知 τx＝18.6MPa
平面2的法线与x方向夹角90°－θ
σ90°-θ＝20MPa
τ 90°-θ ＝-10MPa
A
主应力大小和和主平面方位及 max
2
x
x
解： 根据公式，得
70 70 cos60 50sin 60 9.2MPa 22
67.5
70 sin 2
60
50 cos 60
55.3MPa
27.5
1
主平面
tg20
2 50 70
0 27.5 0' 67.5
1 27.5 96MPa 2 67.5 26MPa
互相垂直的截面上，正应力 之和为常数;
0 71.6（顺针向）
i 0 , j 0 1 63.4
应力圆 点 坐标 直径两端 2
R sin 2 sin 20
x y x y cos 2
2
2
单元体 面 应力 垂直两面
x sin 2 同理可证明 D y
用应力圆求解图示单元体
30
30
40
60
作应力圆
, , i , j , 0 , 0 , max ,1 解：取 x 30, y 60, x y 40 ,
单元体的取法： 以应力已知的截面为坐标平面取正六面体。拉压 F NhomakorabeaF
单向
应力
dx
扭转
二向 应力
dx
弯曲
dx
7-2 平面应力状态分析——解析法
已知： x , y , x y ,
y
y
y
n
求：任意斜截面（ 截面） ,
截面外法线 n 与 x 轴之间的夹角 :
x
x 到 n 逆针向转动为正。
x
x
● 最大和最小剪应力
●
t极g2值剪1 应力x2平面x与y 时主平：面的mmainx夹角为(45°x ：2 y 1)20
2 x
45
● 90 x y 90
从工字钢悬臂梁的固定端 A 点取出单元体如图所示。
已知： x 70MPa, y 0, x 50MPa
求： 30 截面的正应力和剪应力；
dA
dA
点的概念：有大小，有形状
通常用正六面体表示，称为单元体。
拉压
2
1 cos 2
2
sin
2
扭转 sin 2
通过同一点所取截面方向不同，应力的大小 不同，应力既是点的位置的函数，也是过该点的 截面方位的函数。
() ()
应力状态：通过同一点不同方位截面上的应力的集合。
应力分析的任务： 从应力已知的截面出发求 其它任意截面的应力。
σx＝27.6MPa
1 x y
2
2
σ1＝62.3MPa
(
x
2
y
)2
2 x
σ2＝17.6MPa
tan 20
2 x x y
1.506
0 28.20
10MPa
2
1
θ
20MPa
x
18.6MPa 52.3MPa
y
（2）由任意截面应力公式
σα＝20 τα＝-10MPa α＝90º－θ
θ＝48.5°
x n
x
x
y y
A x A cos , A y A sin
Fn 0
A x Ax cos y Ay sin
x Ax sin y Ay cos 0
F 0
A x Ax sin y Ay cos
x Ax cos y Ay sin 0
x
2
y
x
2
y
cos 2