九年级数学第1讲：相似形与比例线段 - 教师版

相似形与比例线段

内容分析

放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．

知识结构

1、相似形的概念

相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．

2、相似多边形的性质

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．

【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同．（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）

【难度】★

【答案】一定，不一定．

【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．

【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．

【例2】在下边的方格图中，分别画出ABC

和四边形ABCD的一个相似图形．

【难度】★

【答案】略．

【解析】答案不唯一．如图

是其中一种．

【总结】考查对于相似图形

定义的把握，可以采用全等

是特殊的相似画图，若要画

比例选段，将各边长分别在

横向和纵向等比例分解即可．

模块一：相似形的概念及性质

知识精讲

例题解析

A

D

A

【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（）

（A）由同一张底片印出来大小不同的照片

（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片

（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像

（D）五星红旗上的大五角星和小五角星

【难度】★

【答案】C

【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．

【例4】下列说法不一定正确的是（）

（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是100 的等腰三角形都相似

（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似

【难度】★★

【答案】D

【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同．

【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似．

【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（）

（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；

（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；

（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．

（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组

【难度】★★

【答案】B

【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）

【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．

【例6】已知四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似的图形，并且点A 与点'A 、点B 与 点'B 、点C 与点'C 、点D 与点'D 分别是对应顶点，已知4BC =， 3.6CD =， '' 3.3A B =，''3B C =，75B ∠=︒，105C ∠=︒，95D ∠=︒，求AB ，''C D 的长和'A ∠的

度数．

【难度】★★

【答案】'''4.4 2.785AB C D A ==∠=︒，，．

【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．

有''''''4

3

AB CD BC A B C D B C ===，将''3.6 3.3CD A B ==，代入，求得：''4.4 2.7AB C D ==，，

根据四边形内角和，可求得：360360751059585A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，相似图形对应角相等可知'85A A ∠=∠=︒．

【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．

【例7】如图，ABC ∆和ADE ∆是相似形，顶点A 、B 、C 分别与点A 、D 、E 对应，

已知35A ∠=︒，65B ∠=︒， 1.2AE =， 2.5AB =，2AC =，1ED =．求AD 、BC 的长和AED ∠的度数． 【难度】★★

【答案】5

1.53

AD BC ==，，80AED ∠=︒．

【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例． 有 1.2325

AD AE DE AB AC BC ====，将 2.51AB ED ==，代入，可求得51.53AD BC ==，，根据三角形内角和为180°，

可求得：180180356580C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 根据相似图形对应角相等可知80AED C ∠=∠=︒． 【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．

【例8】已知ABC

∆的三边长分别是3、4、5，与其相似的'''

A B C

∆的最大边长是15，求'''

A B C

∆的最小边长．

【难度】★★

【答案】最小边长为9．

【解析】

15

39

5

⨯=．

【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边．

【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边的长为2，求乙三角形的另外两边的长．

【难度】★★★

【答案】3，4或

4

3

，

8

3

或1，

3

2

．

【解析】分类讨论．（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为

21

42

=，则另两边长分别为

11

6364

22

⨯=⨯=

，；（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为

21

63

=，则另两边长分别为

1418

48

3333

⨯=⨯=

，；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为

21

84

=，则另两边长分别为

113

416

442

⨯=⨯=

，．

【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论．

【例10】如图，矩形ABCD中，2

AB CD

=，线段10

EF=，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似，且点M与点A、点F与点B，点G与点C，点N与点D分别是对应顶点，令MN x

=．求出矩形EMNH的面积S与x的函数关系式．

【难度】★★★

【答案】()

2

21005

S x x x

=-+<<．

【解析】根据矩形MFGN与矩形ABCD相似，可对应得

222

MF GF MN x

===，因此102

EM x

=-，进而可求

得：()2

102210

S MN EM x x x x

=⋅=-=-+．

【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果．