学生版基本不等式

合集下载

第二章第二节基本不等式学生版

6.已知0<x ≤3，则y ＝x ＋16x 的最小值为( ) A.253 B ．8 C ．20 D ．107．y ＝2＋x ＋5x (x <0) 的最大值为________．8．若x <0，则函数y ＝x ＋4x 有( ) A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最小值－4 D ．最大值－49．已知a 0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．题型七基本不等式的实际应用1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．2.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，如右图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域．现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(如右图中黑色部分)铺花岗地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个灰色三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．4．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．11。

高中数学基本不等式(学生版)

第4讲基本不等式思维导图知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．核心素养分析(,0)2a ba b +≤≥。

结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。

重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.题型归纳题型1 利用基本不等式求最值【例1-1】（2019·济南模拟）（1）已知2x <，求9()2f x x x =+-的最大值；（2）已知x ，y 是正实数，且9x y +=，求13x y+的最小值．【例1-2】（2019·辽宁模拟）已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【例1-3】（2019·合肥调研）已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期中）已知32x >，则1()4146f x x x =-+-的最小值为．【跟踪训练1-2】（2020•韶关二模）已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【名师指导】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．4.两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．题型2 利用基本不等式解决实际问题【例2-1】（2019秋•罗田县期中）小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a 和()b a b >，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a v <<B ．b v <<C 2a b v +<D ．2a bv += 【例2-2】（2019春•南昌县校级月考）某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高【跟踪训练2-1】（2019秋•金安区校级月考）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）（在横线上填甲或乙即可）．【名师指导】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．题型3 基本不等式的综合应用【例3-1】（2020春•吉林月考）在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，3CA =，4CB =，P 为线段AB 上的一点，且||||CA CB CP xy CA CB =+，则11x y +的最小值为( )A ．76B ．712C ．712 D ．76【例3-2】（2020春•广陵区校级期中）已知直线22(0,0)mx ny m n +=>>过圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心，则12m n+的最小值为( )A ．3B ．3+C ．6D ．3+【例3-3】（2020•山东模拟）若(0,)x ∀∈+∞，241x m x+，则实数m 的取值范围为．【跟踪训练3-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知向量22(1,1),(94,61)a b x y xy ==++，且向量a 与向量b 平行，则32x y +的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【跟踪训练3-2】（2020•淮南一模）已知函数()exf x ln e x=-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则14a b +的最小值为【名师指导】利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．。

必修5 第三章第三节基本不等式(学生版)

教学辅导教案1.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．02.已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5B．﹣1C．0D．13.已知，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4D．4.某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅰ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．1.下列函数中，最小值为4的是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=+2.设，则的最大值是（）A．B．C．D．3.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．4.已知均为正数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．5.已知，且，则的最小值（）A．B．C．D．无最小值6.设求证：7. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【知识点一：重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当__ a ＝b ___时，等号成立．【知识点二：基本不等式】如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当__ a ＝b ___时，等号成立．其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【知识点三：基本不等式的证明】（1）代数法：方法一因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．方法二因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥，所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤．方法三要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD＝__ab ___．这个圆的半径为2a b+，显然它大于或等于CD ，即2a b ab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．由此我们可得2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解．【例4】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则11a b+的最小值为________；【变式训练1】已知a ＞0，b ＞0，11a b+＝2，则a ＋b 的最小值为________；【例5】若正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，则xy 的最小值是________；【变式训练1】已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是________．【题型四：基本不等式在实际中的应用】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢．【例1】如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【题型五：忽略等号成立的条件导致错误】【例1】函数223()2xf xx+=+的最小值为_________．【题型六：忽略等号成立的一致性导致错误】【例1】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_________．1.（题型二）已知x，y，z均为正数．求证：．2.（题型三）已知a＞0，b＞0，m＝1ba+，n＝1ab+，且a，b的等比中项是1，则m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．63.（题型三）（题型三）函数取得最小值时，的值为（）A．B．C．1D．24.（题型三）已知都是正数,且则的最小值等于（）A．B．C．D．5.（题型三）在平面直角坐标系中，已知第一象限的点在直线上，则的最小值为（）A．B．C．D．6. （题型四）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A ．60件 B ．80件 C ．100件D ．120件7. 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为 A ．245B ．285C ．5D ．68. 若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为 A ．31-B ．31+C ．232+D ．232-9. 已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为 A ．(,2)-∞ B ．(4,)-+∞ C ．(4,2)-D ．(2,4)-【查漏补缺】1. 已知a ＞0，b ＞0，m ＝1b a +，n ＝1a b+，且a ，b 的等比中项是1，则m ＋n 的最小值是 A ．3B ．4C ．5D ．6A ．252B ．492C ．12D ．14 7. 已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为时22log log (2)a b ⋅取得最大值．1. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c ++的最小值为_________________．．2. 在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．3. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为_________________． 4. 某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，该服装的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足：3－x 与t ＋1成反比例．如果不搞促销活动，该服装的年销量是1万件．已知2017年生产该服装的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，将每件服装的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，当年生产的服装正好能销售完．（1）将2017年生产该服装的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；（2）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业生产该服装的利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)第1,2天作业1. 若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A.2 B.2 C.22 D 、4。

04.高一寒假数学讲义：基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”(应用)【学生版】

高一寒假数学讲义“基本不等式求最值的条件：“一正二定三相等”（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位基本不等式是几乎在各种场合都会出现的重要不等式，本讲旨在通过一系列题目，让学生学会在各种不同场合运用基本不等式解题。

知识梳理若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。

例题精讲【试题来源】【题目】已知45<x ，求函数54124)(-+-=x x x f 的最大值. 【难度系数】2【试题来源】【题目】当40<<x 时，求)28(x x y -=的最大值【难度系数】3【试题来源】【题目】求函数45)(22++=x x x f 的值域【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0,0>>y x ，且191=+y x ，求y x +的最小值【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】求)0(,132>++=x x x x y 的最小值【难度系数】2【试题来源】【题目】求3,312>-+=x x x y 的最小值【难度系数】2【试题来源】 3【试题来源】【题目】求1,1107)(2->+++=x x x x x f 的值域【难度系数】4【试题来源】【题目】若+∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知+∈R y x b a ,,,且1=+y bx a，求y x +的最小值.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0,0>>y x 且191=+y x ，求使不等式m y x ≥+恒成立的实数m 的取值范围.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知y x ,为正实数，且1222=+y x ，求21y x +的最大值。

【难度系数】4【试题来源】【题目】已知y x ,为正实数，1023=+y x ，求函数y x w 23+=的最大值【难度系数】3【试题来源】【题目】求函数x x y 2512-+-=，⎪⎭⎫⎝⎛<<2521x 的最大值【难度系数】3【试题来源】【题目】已知a 、b 、c 为正实数，1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-c b a 【难度系数】4。

第4讲基本不等式

第4讲基本不等式[学生用书P114]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2，2] B.[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．R 解析：选C .当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C .(教材习题改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B.77 C ．81D ．82解析：选C .18＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤9，即xy ≤81. 若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．解析：因为xy ＝1，所以y ＝1x ，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝22.即x 2＋2y 2的最小值为22. 答案：2 2若f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝________．解析：f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立，所以a ＝3. 答案：3利用基本不等式求最值(高频考点) [学生用书P114]利用基本不等式求最值是高考考查的重点，很少单独命题，常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查，主要命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值； (2)通过常数代换法利用基本不等式求最值； (3)通过消元法利用基本不等式求最值．[典例引领]角度一通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)1 (3)23＋2角度二通过常数代换法利用基本不等式求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立．【答案】 41.若本例条件不变，求⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值．解：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．2．若将本例条件改为a ＋2b ＝3，如何求解1a ＋1b 的最小值．解：因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．角度三通过消元法利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.即x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6(1)利用基本不等式求最值的两种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． (2)条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．[注意] (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[通关练习]1．已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1，所以8x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.答案：182．若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝x ＋1x ＋1－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 3．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．解析：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 答案：5利用基本不等式解决实际问题 [学生用书P115][典例引领]某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【解】 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[通关练习]经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．解：(1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20.559＋140t－4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1，20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20，30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1，30]时，W (t )的最小值为441万元．基本不等式的综合应用(高频考点)[学生用书P116]基本不等式的综合应用也是高考考查的重点，多为选择题或填空题，难度适中，主要命题角度有：(1)与其他知识交汇的最值问题； (2)求参数值或最值范围．[典例引领]角度一与其他知识交汇的最值问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9 B.8 C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)A (2)92角度二求参数值或最值范围(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．(2)不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.(2)根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．【答案】 (1)36 (2)(－2，1)求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[通关练习]1．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．3 B.4 C ．6D ．8解析：选B .(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4.2．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋2xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：2基本不等式转化的功能基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．基本不等式的应用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．(3)对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b > 0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a >0，b >0)．变形有ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．应用基本不等式解题时应注意3点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．[学生用书P295(单独成册)]1．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1 B.最大值1 C ．最小值2D ．最大值2解析：选B .f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D .1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C .对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C .3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R b >1，所以lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .因为a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，所以R >Q ，所以P <Q <R ，故选C .4．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1 B.2 C ．3D ．4解析：选A .因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1. 5．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A .L 28B.L 24C .L 22D ．L 2解析：选A .设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，因为x ＋2y ≥22xy . 所以xy ≤（x ＋2y ）28＝L 28.当且仅当x ＝2y ＝L 2，即x ＝L 2，y ＝L4时，S max ＝L 28，故选A .6．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：837．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________．解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：38．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：因为2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.答案：(－∞，－2]9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0，所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.1．已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4D ．52解析：选B .将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B .2．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1 B.94 C ．9D ．16解析：选B .1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，故选B .3．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解析：设a ＋1＝m ，b ＋3＝n ，则m ，n 均大于零，因为m 2＋n 2≥2mn ，所以2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，所以m ＋n ≤2·m 2＋n 2，所以a ＋1＋b ＋3≤2·a ＋1＋b ＋3 ＝32，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时“＝”成立，所以所求最大值为32. 答案：3 24．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >1，b >2)的最大值为5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．解析：由约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0，作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x －y －2＝0，解得A (1，1)．由z ＝ax ＋by (a >1，b >2)，得y ＝－a b x ＋zb，由图可知，z max ＝a ＋b ＝5. 可得a －1＋b －2＝2.所以1a －1＋4b －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋4b －2(a －1＋b －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋b －2a －1＋4（a －1）b －2 ≥12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b －2a －1×4（a －1）b －2＝92.当且仅当b ＝2a 时等号成立，并且a ＋b ＝5，a >1，b >2即a ＝53，b ＝103时上式等号成立．所以1a －1＋4b －2的最小值为92.答案：925．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6．某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y ＞0，即30n －n 2－81＞0，所以n 2－30n ＋81＜0，解得3＜n ＜27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －（81＋n 2）n ＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

考点04基本不等式(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)

考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．【知识点】1≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．【核心题型】题型一　利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．命题点1　配凑法【例题1】（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则 2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【变式1】故选：D （2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是 .【变式2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函()3102f x x x =++-的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a ，b 为正数，且a b m +=.【变式3】（2024·黑龙江·二模）已知实数a ，b 且0ab >，则222229aba b a b +++取得最大值时，a b +的值为（）A B ．C ．-D ．-命题点2　常数代换法【例题2】（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B ．C ．32+D ．3【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．45B ．23C ．1D ．2【变式2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知0,0a b >>，则下列选项中，能使4a b +取得最小值25的为（）A ．36ab =B ．9ab a b=+C ．221a b +=D ．2216625a b +=【变式3】（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56命题点3　消元法【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【变式1】（2023·重庆·模拟预测）已知0x >，0y >，且26xy x y ++=，则2x y +的最小值为（）．A ．4B ．6C ．8D ．12【变式2】(2023·烟台模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【变式3】（2024·浙江·模拟预测）已知,0,1a b ab >=，求11112S a b=+++的最小值．题型二　基本不等式的常见变形应用基本不等式的常见变形(1)ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b≤≤a ＋b2≤a >0，b >0)．【例题4】（2023·全国·三模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A ．14ab £B ．2212a b +³C ．1121a b +>+D1£【变式1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC V 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A．)0,02a ba b +³>>B．)20,0aba b a b£>>+C．)0,02a b a b +£>>D．)220,0a b a b +³>>【变式2】（2023·陕西宝鸡·二模）设a ，R b Î，则“2a b +³”是“222a b +³”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()211n S n +=+，则下列说法正确的是（）A．11a =B ．{}n a 是递减数列C ．9911(1)8nn na =-=åD ．1152n nn a a +++<题型三　基本不等式的实际应用　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．【例题5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x = 米时，直角梯形花坛ABCD的面积最大．【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ¹，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）A ．1.73B ．1.41C ．2.24D ．2.45【变式3】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W （单位：平方米）的计算公式是()()44W =+´+长宽，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A ．10000B ．10480C ．10816D ．10818【课后强化】基础保分练一、单选题1.（2024·河南南阳·一模）已知正实数,x y 满足111x y+=，则43xy x -的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．112．（2023·河南开封·三模）已知0a >，0b >，且1a b +=，a b ¹，则下列不等式成立的是（）A 1122a b<<+B 1122a b<+<C ．1122a b +<<D ．1122a b+<3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A ．甲更合算B ．乙更合算C ．甲乙同样合算D ．无法判断谁更合算4．（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则260n S n+的最小值为（）A ．60B ．61C ．75D ．765．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22222x x f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-6．（2024·四川凉山·二模）已知正数,a b 满足e112a b dx x +=ò，则2aba b+的最大值为（）A B ．C D ．1二、多选题7．（2024·江苏·一模）已知,x y ÎR ，且123x =，124y =，则( )A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <8．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b +³B ．112a b +³C ．22log log 1a b +£D ．222a b +³三、填空题9.（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱111ABC A B C -中，111π,3A AB A AC BM BB ÐÐl ===uuuur uuur ，1CN CC m =uuu r uuuu r ，若存在()()0,1,0,1l m ÎÎ，使0AM BN ×=uuuu r uuu r 成立，则l m +的最小值为.10．（2024·江西九江·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ，B ，C 成等差数列，224a c +=，则ABC V 面积的最大值是，()24sin sin 3A C b +=.四、解答题11．（2024·四川广安·二模）已知a ，b ，c 均为正数，且3a b c ++=.(1)是否存在a ，b ，c ，使得()190,5a b c +Î+，说明理由；(2)6.12．（2024·四川成都·二模）已知函数()()23,32f x x g x x =-=--(1)求不等式()()f x g x £的解集N ；(2)设N 的最小数为n ，正数,a b 满足32n a b +=，求223b a a b++的最小值.综合提升练一、单选题1．（·0>，2221a ab b ++=，则222a b + ）A B C ．34D 2．（2024·辽宁鞍山·二模）已知a ，b 均为锐角，()sin 3sin cos a b a b =+，则tan a 取得最大值时，()tan a b +的值为（）A B C ．1D ．23．（23-24高三上·浙江金华·期末）若()tan 23tan a a b =-，则()tan a b +的最大值为（）A B ．1C ．2D 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若221a b +=，则()()4141a b++的最小值为（）A ．254B ．916C ．94D ．25165．（2024·陕西西安·一模）已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP V 的面积的最小值为（）．A ．1B C ．2D ．46．（2023·山东泰安·模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（）A ．大于20克B ．小于20克C ．大于等于20克D ．小于等于20克7．（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽68m AB =，球门宽7.32m EF =，且球门位于底线AB 的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线AC 上的M 点处起脚射门，当EMF Ð最大时，点M 离底线AB 的距离约为（）A ．26.32mB ．28.15mC ．33.80mD ．37.66m8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．12B ．24C ．D ．二、多选题9．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知0a >，0b >，且111a b +=，则下列说法正确的有（）A ．8ab ³B ．4a b +³C ．228a b +³D ．49a b +³10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b <+C ．()ln 2a b ab ++>D ．111ln 1ln a b<++11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足111a b c<<，则（）A ．c a c b ->-B ．b b ca a c->-C ．a c -³D 12³三、填空题12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a ，b ，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则11a b+的最小值为．13．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m ，n ，不等式 312m n m n l+³+成立，则λ的最大值为14．（2024·四川泸州·二模）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22233c a b =-，则()tan A B -的最大值为．四、解答题15．（2024·四川成都·二模）已知函数()f x x a b =++，不等式()4f x <的解集为{06}x x <<∣.(1)求实数,a b 的值；(2)函数()f x 的最小值为t ，若正实数,,m n p 满足23m n p t ++=，求1122m p n p+++的最小值.16．（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数()221f x x x =-++．(1)求()5f x ³的解集；(2)设()f x 的最小值为m ，若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求ab ac bc ++的最大值．17．（2024·青海·一模）已知正数,,a b c 满足2a b c ++=．求证：(1)22243a b c ++³；6£．18．（2024·广东·一模）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500)，[500,550]．从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由()*2,n n n ³ÎN 箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为()215n +，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y ，抢到海参总箱数为Z ．①求Y 的分布列及数学期望；②当Z 的数学期望取最大值时，求正整数n 的值．19．（2023·四川达州·二模）在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+.(1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC V 面积S 的最小值.拓展冲刺练一、单选题1．（2024·辽宁·一模）已知,R a b Î．则“0a >且0b >”是“2ab b a+³”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·山东济宁·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，cos (2)cos a B c b A =-，则ABC V 面积的最大值为（）A B C ．94D ．923．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥-P ABC 中，AB =1PC =，4PA PB +=，CA -，且PC AB ^，则二面角P AB C --A B ．34C ．12D 4．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为1p ，2p ，且满足1243p p +=，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若()16E X =，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（）A ．27B ．24C ．32D ．28二、多选题5．（2024·江苏·一模）已知函数()sin 2cos2xf x x=-，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于点()π,0对称C ．不等式()f x x >无解D ．()f x 6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知0a >，()e 1ln 1ab -=，则（）A ．1e b <C ．e ln 1a b -<D ．1b a -<7．（2023·全国·模拟预测）实数a ，b 满足2242a b +=，则（）A ．12£abB ．a b +的最大值为C ．a b é-ÎêëD ．()()3328a b a b ++的最大值为92三、填空题8．（2024·四川成都·模拟预测）已知实数00，x y >>，若231x y +=，则21x y +的最小值为．9．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向AO 通过路口O 后转向西北方向OB ，围绕道路,OA OB 打造了一个半径为2km 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN ，则MN 的最小值为km ．四、解答题10．（2023·四川资阳·模拟预测）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求22a b +的最小值；(2)£．11．（22-23高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，60ADC Ð=°，2AD =．(1)若45ACD Ð=°，求三角形手巾的面积；(2)当ACAB取最小值时，请帮设计师计算BD 的长．12．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y l l l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．。

第06讲基本不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第06讲基本不等式【学习目标】1.掌握基本不等式),02a b a b +≥>2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题．【基础知识】一、几个重要的不等式1.ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)2.a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．3.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．4.ab (a ，b ∈R )．5.a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .二、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1.如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)2.如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)3.应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a ，b 均为正数.(2)二定值：只有ab 为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.4.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母；⑤配凑项数5.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．四、基本不等式的其他应用1.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小2.一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .3.利用基本不等式证明不等式的策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.4.构造不等式求范围利用a b +≥或ab≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭将式子转化为含ab 或a+b 的一元二次不等式，将ab ，(a+b)作为整体解出范围5．函数法求最值：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.6.利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【考点剖析】考点一：利用基本不等式判断命题的真假例1．(2022学年江西省赣州市赣县高一下学期开学考试)下列说法正确的为()A ．12x x+≥B ．函数224x y +=4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8考点二：利用基本不等式比较大小例2．(2022学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中)若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则()A ．2a b +B ＜2a b +C2a b +D 2a b +考点三：利用基本不等式求最值例3．(2022学年吉林省延边州高一上学期期末)已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是()A ．B ．2C ．2D考点四：利用基本不等式求范围例4．(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)设0x >，0y >，且()()114x y --≥，求xy 的取值范围考点五：利用基本不等式证明不等式例5．已知,,a b c 均为正实数，且满足 3.a b c ++=证明：(1)2223b c a a b c++≥；．考点六：利用基本不等式求解恒成立问题例6.已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，若不等式21x y +≥m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．﹣8≤m ≤1B ．m ≤﹣8或m ≥1C ．﹣1≤m ≤8D ．m ≤﹣1或m ≥8考点七：基本不等式在实际问题中的应用例7.(2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考)冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x (单位：km )，经过市场调查了解到：每月土地占地费1y (单位：万元)与(1)x +成反比，每月库存货物费2y (单位：万元)与(41)x +成正比；若在距离车站5km 处建仓库，则1y 与2y 分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x 的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．【真题演练】1．(2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末)若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为()A ．4B ．2C ．12D ．142.(2022学年福建省三明第一中学高一上学期学段考)已知0a >，0b >，2ab =，则下列结论一定成立的是()A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +>D ．11a b+≥3．(2022学年贵州省六盘水红桥学校高一上学期期中)设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2y xz 的最小值是()A ．4B ．2C ．12D ．144.(2022学年安徽省阜阳市太和县三校高一上学期期中联考)下列命题中正确的是()A ．当1x >时，12x x +≥B ．当0x <时，12x x +≤-C ．当01x <<时，12x x +≥D ．当2x ≥时，222x x +≥5.(2022学年甘肃省金昌市永昌县高一上学期期末)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则对于14a b +，下列说法准确的是()A ．取得最小值时a ＝23B ．最小值是5C ．取得最小值时b ＝23D ．最小值是926.(2022学年安徽省宣城市泾县中学高一上学期10月月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为2760001820v F v v l =++.如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为__________辆/时.7.(2022学年广西河池市高一上学期八校联考)已知000a b c >>>，，，求证222a b c ab bc ca ++≥++.8.(2022学年湖北省孝感市高一上学期期中联考)已知0,0,x y >>且1x y +=，求44x y x y+++的最小值．【过关检测】1.(2022学年四川省南充市白塔中学高一下学期月考)已知0ab >，1a b +=，则11a b +的最小值为()A ．0.5B ．1C ．2D ．42.(2022学年江西省丰城中学高一下学期入学考试)已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则()()()x y y z z x +++的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．83.(2022学年四川省内江市威远中学校高一下学期阶段性测试)当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，4.(2022学年河南省开封市高一上学期期末)已知x ，y 都是正数，则下列命题为真命题的是()A ．如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最大值2PB ．如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最小值214SC ．如果积xy等于定值P ，那么当x y =时，和2x y +有最小值D ．如果和2x y +等于定值S ，那么当2x y =时，积xy 有最大值218S 5.(多选)(2022学年山东省枣庄市滕州市高一上学期期末)设正实数m n ､满足2m n +=，则()A ．12m n +的最小值为B 的最小值为2C 的最大值为1D ．22m n +的最小值为26.(多选)(2022学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中)有下列4个关于不等式的结论，其中正确的是()A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R ，则12x x +≥D ．若1a >，则1(1)14a a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭7.(2022学年上海市延安中学高一上学期期中)已知0a >，0b >，2a b +=，则在下列不等式①1ab ≤；②222a b +≥；④112a b+≥；⑤333a b +≥其中恒成立的是___________.(写出所有正确命题的序号)8.已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．9.(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)(1)已知0x >，0y >，112x y+=，求x y +的最小值；(2)已知102x <<，求(12)y x x =-的最大值.10.(2022学年江苏省南通市海安市高一上学期期末)为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为21440cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm .设直角梯形的高为cm x .(1)当20(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)？。

拔高学习----不等式之第3讲：基本不等式及应用 (学生版)

第3讲基本不等式及应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()2.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2＋b2＞2abB.a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥23.若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.54.(2015·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.45.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值；(3)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值.【训练1】(1)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为________.(2)设x＞－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值为________.考点二常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________.考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.【训练3】要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.53.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤184.已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.4B.3C.2D.15.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 7.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.8.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A.0B.1C.94 D.312.(2015·江西五校联考)已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22 B.2 2 C. 2 D.213.(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.14.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.。

高考数学一轮专题复习——基本不等式(学生版)

专题：基本不等式的应用（ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。

高一数学人必修件基本不等式

解法步骤与技巧
解法步骤 1. 将不等式化为标准形式。
2. 判断 $a$ 的正负，确定不等式的开口方向。
解法步骤与技巧
3. 计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$。 4. 根据 $Delta$ 的值，确定不等式的解集。
解法步骤与技巧
技巧
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，解集取两根之外；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，解集取两根之内。
分式不等式
分式不等式是一种理性不等式。所谓理性不等式，就是指分母里含有未知数的不等式。
03
绝对值不等式
绝对值定义是 |a| = a (a ≥ 0) 或者 |a| = -a (a < 0)，所以绝对值不等式
的解法可以根据定义先去掉绝对值符号，然后按照一般的不等式解法求
解。
02
一元一次不等式解法
一元一次不等式概念
若 $Delta < 0$，则不等式无实数解；若 $Delta = 0$，则不等式有一个重根；若 $Delta > 0$，则不等式有两个不相等的实数根。
典型例题分析
例题1
分析
例题2
解不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$。
首先确定 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。计算判别式 $Delta = (-2)^2 - 4 times 1 times (-3) = 16 > 0$，说明不等式有两个不相等的实数根。通过求解一元二次方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 可得 $x_1 = -1, x_2 = 3$。因此，不等式的解集为 $(-1, 3)$ 。
同向正值不等式可乘性
同向正值不等式可以相乘得到新的不等式。

高一基本不等式题型及解题方法

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模、解决实际问题的基础。

学好基本不等式需要掌握一定的方法和技巧，下面我们来详细介绍高一基本不等式的题型及解题方法。

一、绝对值不等式1. |x|<a或|x|>a当绝对值小于a时，解集是(-a,a)的补集，即x<-a或x>a；当绝对值大于a时，解集是(-∞,-a)并(-a,a)的并集，以及(a,+∞)的并集。

一般来说，解绝对值不等式的步骤是：（1）首先分情况讨论|x|的取值范围，即|x|<a或|x|>a。

（2）接着用|x|号内的式子可以得到两个不等式，分别求解。

（3）最后将所得的解合并，得到最终的解集。

例如：求不等式|3x-2|<4的解集。

由不等式|3x-2|<4可以得到两个不等式：3x-2<4和3x-2>-4解得x<2和x>-2，最终合并得到解集为-2<x<2。

2. |ax+b|<c类似于上面的绝对值不等式，也是需分情况讨论|x|的判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|<10的解集。

同样首先得到两个不等式：3x+2<10和3x+2>-10解得x<8/3和x>-12/3，最终合并得到解集为-4<x<8/3。

3. |ax+b|>c同样可以按照上面的方法求解，即分情况讨论判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|>10的解集。

首先得到两个不等式：3x+2>10或3x+2<-10解得x>8/3或x<-12/3，最终合并得到解集为x<-4或x>8/3。

绝对值不等式是基本不等式的重要内容，解题时需要根据不等式的形式来分情况讨论，并运用代数知识进行解答，所以掌握绝对值不等式的方法是非常重要的。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中不等式中的重要内容，经常在不同的数学题型中出现，解题时可以分为以下几种情况：1. ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c<0对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，首先要求出二次函数对应的二次方程的零点，然后根据二次函数的开口方向判断解集。

人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(学生版)

1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集；2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质；难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用.第12讲不等式定义及其性质不等式的定义1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.例如：2-<-+>-+++>≠≤≥等都是不等式．52,314,10,10,0,35a x a x a a2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．注意：不等式32≥成立．=成立，所以不等式33≥成立；而不等式33≥也成立，因为333.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”.例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式.列不等式1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系.2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号3．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．（1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．如：某人至少有10元钱，是说这个人的钱数多于或等于10元．（3）正数、负数、非负数、非正数等概念．如：a是非正数，应写成：a≤0．例1.用不等式表示：（1）x的23与5的差小于1；（2）8与y的2倍的和是正数；（3）x与5的和不小于0；（4）x的14小于等于2；（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；（6）x与8的差的23不超过0.练习1.用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．练习2.用适当的不等式表示下列关系：（1）a是非负数；（2）x 与2差不足15 ；（3）x+3与y ﹣5的和是负数.一般根据所描述的语句，列出不等关系.注意非正数、非负数、不大于、不小于等符号表示.例2.用“＜”或“＞”填空：⑴4______－6； (2)－3______0； (3)－5______－1； (4)6＋2______5＋2； (5)6＋(－2)______5＋(－2)； (6)6×(－2)______5×(－2)．练习1.下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<-B.5172< C.(－6.4)2＜(－6.4)3D.－｜－27｜＜－（－3）3练习2.用“＜”或“＞”填空：⑴－2.5______－5.2； (2);125______114--(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．给出已知数，可直接判断它们的大小关系；含字母的可带特殊值法进行比较.例3.金坛市2月份某天的最高气温是15°C ，最低气温是﹣2°C ，则该天气温t （°C ）的变化范围是．练习1.在数轴上有A ，B 两点，其中点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是1．已知A ，B 两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a 所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B 的距离小于3吗？练习2.若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．利用不等关系解决实际问题，另注意分类讨论的思想.例4.如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．A. B. C. D.ab ＜1练习1.｜a ｜＋a 的值一定是( )． A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D.不小于零练习2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a 2＞b 2，则a ＞bC.若a ≠b ，则｜a ｜≠｜b ｜D.若｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b给出字母的不等关系，在这个基础上去判断其他的不等式的关系：可采用设数法、分类讨论法等.不等式的解、解集及解集的表示方法1.相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；1>b a 1<b a ba 11<③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式； 2.不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 3.用数轴表示不等式的解集： ①x ≥-2表示为： ②x ≤-2表示为：③x ﹤2表示为：④x ＞2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”.例1.下列说法不正确的是（）A ．不等式﹣x ≤1的解集是x ≥1B ．不等式﹣x ＞﹣2的解集是x ＜4C ．不等式2（x ﹣1）≤3的解集是x ≤2.5D ．不等式1≤x 的解集是x ≥1练习1.下列说法中错误的是（）A.不等式的解集是；B.是不等式的一个解C.不等式的正整数解有无数多个D.不等式正数解有无限个练习2.下列不等式的解集不正确的是（）A ．不等式2x ＞4的解集是x ＞2B ．不等式x ﹣3＜5的解集是x ＜8C ．不等式x ﹣2≥1的解集是x ≥3D ．不等式＜3的解集是x ＞﹣3根据不等式的解和解集的概念去判断或选择是不是不等式的解或解集例2.当x=3时，下列不等式成立的是（）A ．x+2＜6B ．x ﹣1＜2C ．2x ﹣1＜OD ．2﹣x ＞028x -<4x >-40-28x <-6x <6x<练习1.在、、、、、、中，能使不等式成立的有（）A.个B.个C.个D.个练习2.下列不等式＞50的解的个数有（）①x=80；②x=75；③x=78；④x=10． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的意义是解本题的关键例3. 在数轴上表示x ＜﹣3的解集，下图中表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．练习1.如图在数轴上表示的是下列哪个不等式（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣2D ．x ≤﹣2 练习2.把下列不等式的解集表示在数轴上 (1)x ≥﹣5 (2) x ＜6在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．不等式的性质1.基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±2.基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c>) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 12-1-2-03-1232-32x +<43213.基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或a b c c>) 补充：不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．例1. 填空：⑴ 如果，则，是根据； ⑵ 如果，则，是根据；⑶ 如果，则，是根据； ⑷ 如果，则，是根据； ⑸ 如果，则，是根据．练习1.利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______； ⑶ 若，则______； ⑷ 若，，则______；⑸ 若，，，则_______．练习2.若，用“”或“”填空 ⑴； ⑵⑶； ⑷利用不等式的三个基本性质，去判断新的不等式之间的关系.a b >b a a b >b c >a c >a b >2a a b >+a b >33a b >a b >a b -<-1a >2a a >1a <-2a a >-a b <2a 2b a b >4a -4b -362x ->x 4-a b >0c >ac bc 0x <0y >0z <()x y z -0a b <><2_____2a b ++2_____2a b --11______33a b ____a b --例2.如果ax ＞b 的解集为则a ______0．练习1.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（） A. B. C. D.练习2.根据，则下面哪个不等式不一定成立( )A. B ． C. D.利用不等式的性质，解决未知数系数是含参数的不等式.例3.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）．A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■练习1.设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三个物体的质量从小到大排序正确的是( ).A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c,abx >x (1)1a x a +>+1x <a 0a >0a <1a >-1a <-a b >22a c b c +>+22a c b c ->-22ac bc >2211a bc c >++练习2.若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）．A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞b+c作差法比较大小应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小,这就是“作差法”,即要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断.如果A-B＞0，则A＞B；如果A-B=0, 则A=B；如果A-B＜0，则A＜B.例1.用等号或不等号填空：（1）比较4m与m2+4的大小当m=3时，4m m2+4当m=2时，4m m2+4当m=﹣3时，4m m2+4（2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由．练习1.比较2x2+4x+2与2x2+4x-6的大小关系，并说明理由练习2.比较2x+3与﹣3x﹣7的大小关系利用作差法，不能直接判断出关系时，采用分类讨论.例2.试判断a2﹣3a+7与﹣3a+2的大小．练习1.通过计算比较下列各组数中两个数的大小：1221；2332；3443；4554；5665；…由以上结果可以猜想n n+1与（n+1）n的大小关系是．根据以上猜想，你能判断20032004与20042003的大小吗？练习2.比较与的大小．利用作差法，比较较复杂的两个式子的大小，结果与0做比较，再判断原式的大小关系即可.本讲内容主要讲解了不等式的定义、不等式的解与解集，会用数轴表示不等式的解集,以及不等式的三个性质，要学会利用不等式的性质去判断不等关系，以及进行不等变换；学会用数轴标数法比较大小、以及会用作差法比较两个代数式的大小等.。

利用基本不等式求最值(学生版)-高中数学

利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.222(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.93(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.122(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.153(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx-1+4yy-1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【题型3常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a>0，b>0，若2a+3b=1，则2a+b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a，b，点M1,4在直线xa+yb=1上，则a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.122(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.193(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=．【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-32(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x>2，则函数y=x+1x-1的最小值为3B.若x>0，y>0，3x +1y=5，则5x+4y的最小值为5C.若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D.若x>1，y>0，x+y=2，则1x-1+2y的最小值为3+223(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是()A.yx+3y的最小值为4 B.xy的最大值为98C.x+2y的最大值为2D.x2+4y2的最小值为92【题型6多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为()A.5B.52C.52 D.522【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+12(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.523(2023上·辽宁大连·高一期末)若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2b+2b+1-1b的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【题型7实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y(单位：元)，AD长为x(单位：m).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的1 3．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)．(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【题型8与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+b cos2A=2a cos A cos B A≤B.(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P在A1C1上；(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥12(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤23(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.324(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为．5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是．7(2019·天津·高考真题)设x>0, y>0, x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．。

基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式一. 基本不等式①公式：a bab ( a 0,b 0) ，常用 a b 2 ab 2②升级版：a2b2 a b2ab a,b R 22选择次序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型 1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意 a, b 范围为正数。

二定：指的是 ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b典型例题：例 1 .求y x1( x 0) 的值域2x剖析： x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像办理）解： y ( x 1 )Q x 0x 02xx1 2 ( x) ( 1)22x2xx1获得 y ( , 2]22x例 2 .求y1的值域2x ( x 3)x31解： y2x（“添项”，可经过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）x 312(x 3) 6x31Q x 3 x 3 02( x 3) 2 2x3y 2 2 6 ，即y 2 26,例 3.求y sin x2(0 x ) 的值域sin x剖析： sinx 的范围是 (0,1) ，不可以用基本不等式，当 y 取到最小值时， sin x 的值是 2 ，但 2 不在范围内解：令 t sin x， t(0,1)2y t是对钩函数，利用图像可知：t在 (0,1)上是单减函数，因此 t 21代入获得）3，（注： 3 是将 tty (3, )注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x有没有在范围内，假如不在，就不可以用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

例 4．求 yx 22x 1( x 2) 的值域x2剖析：先换元，令 t x 2 , t 0 ，此中 x t 2(t 2)22(t 2) 1 t 2 6t 11 解： ytt6ttQ tt12 t1 6 8y [8, )tt总之：形如 ycx 2dxf0,c 0) 的函数，一般可通过换元法等价变形化为ax b (aytpt 的取值范围；( p 为常数 ) 型函数，要注意 t【失误与防备】1．使用基本不等式求最值，其失误的真实原由是对其前提 “一正、二定、三相等 ”的忽略．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．2 ．在运用重要不等式时，要特别注意 “拆 ”“拼 ”“凑 ”等技巧，使其知足重要不等式中“正 ”“定 ”“等 ”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时知足任何一次的字母取值存在且一致．【题型 2】条件是 a b 或 ab 为定值，求最值（值域）（简）例 5．若 x0, y 0 且 xy 18 ，则 xy 的最大值是 ________．分析：因为 x0, y 0 ，则 x y 2 xy ，因此 2 xy 18 ，则 xy 的最大值为 81例 6．已知 x, y 为正实数，且知足4x 3 y 12 ，则 xy 的最大值为 ________．4x 3 yx 3分析： Q 4x3y2 4x 3y ∴ 4 3xy 12 ，2 时， xyxy 3 当且仅当3 y 12即4x y2获得最大值 3 .例 7．已知 m 0, n0 ，且 mn 81，则 m n 的最小值为 ________．分析： Q m0,n 0 ，m n2 mn 18 ，当且仅当 m n 9 时，等号建立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】条件是 ab 或 11为定值，求最值（范围）（难）a b方法：将 1整体代入已知x 0, y 0 且 x y 1 ，则11 例 8.x的最小值是 ________________y分析： Q x y 11 1 ( x y)(1 1) 2y x 2 2y x4x yxyx yx y因此最小值是4例 9. 已知 a0,b 0 ， a b 2 ，则 y1 4a 的最小值是 ________．b分析： Q ab2 a b12则 1 4 (1 4)( a b) 1 b 2a2 5 b 2a 52 b 2a9 a b a b22 2a b2 2a b 22a b2因此最小值是92例 10.已知 x0, y 0，且12 1, 求 x 2 y 的最小值是 ____________xy分析：Q12 1, xy则 x 2 y (12)( x 2 y) 12 y 2x45 2 2 y 2 x9x yxyx y进而最小值为 9【题型4】已知a b 与 ab 关系式，求取值范围例11.若正数a, b知足ab a b 3 ，求ab 及 a b 的取值范围．分析：把 ab 与 a b 当作两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求 ab 的范围① Q ab a b3（需要消去a baabb ：①孤立条件的 3 ，a b ②a b 2 ab ③将a b 替代）②a b 2 ab③ab 3 2 ab （消 a b 结束，下边把ab 当作整体，换元，求ab 范围）令 t ab (t 0) ，则ab 3 2 ab 变为 t 232t解得 t 3 或 t 1 （舍去），进而 ab9⑵求 a b 的范围（需要消去 ab ：①孤立条件的 ab ② ab (a b)2③将 ab 替代）2a b2Q ab a b 3，, ab2a b2a b（消 ab 结束，下边把a b 当作整体，换元，求 a b 范围）32令 t a b (t0)t 2则有t3， 4t12 t 2， t 24t 12 0 ，获得 t 6 或 t 2 （舍去）2获得 a b6。

基本不等式培优专题(学生版)

目录基本不等式培优专题培优点一常规配凑法02培优点二“1”的代换02 培优点三换元法03 培优点四和、积、平方和三量减元04 培优点五轮换对称与万能K 法05 培优点六消元法（必要构造函数求导）05 培优点七不等式算两次06 培优点八齐次化06 培优点九待定与技巧性强的配凑07 培优点十多元变量的不等式最值问题08 培优点十一不等式综合应用091 a +1ab 培优点一常规配凑法基本不等式培优专题1．（2018 届温州 9 月模拟）已知 2a+ 4b= 2 （ a ， b Î R ），则a + 2b 的最大值为y 22. 已知实数x ， y 满足x 2+= 1 ，则x 16的最大值是3．（2018 春湖州期末）已知不等式(x + my)( 1 + 1 ) ³ 9 对任意正实数x ， y 恒成立，则正实数m x y的最小值是（）A. 2B. 4C. 6D. 84．（2017 浙江模拟）已知a ， b Î R ，且a ¹1 ，则 a + b +- b 的最小值是5．（2018 江苏一模）已知a > 0 ， b > 0 ，且 2 + 3 = ，则ab 的最小值是a b6．（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知a > b > 0 ， a + b = 1，则 4 + 1的最小值等于a –b 2b7．（2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考）已知实数 a > 0 ，b > 0 ， 1+ a +1 1 b +1= 1，则a + 2b 的最小值是（）A. 3B. 2C. 3D. 28．（2019 届温州 5 月模拟 13）已知正数 a ，b 满足a + b = 1，则 b + 1的最小值等于，a b此时a =9．（2018 浙江期中）若正数a ， b 满足 2a +1= 1，则 2+ b 的最小值为（）b aA. 4B. 8C. 8D. 9培优点二 “1”的代换2 + y 22 22 2232 2210．（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足x > y > 0 ，且 x + y = 2 ，则4+1的最小值是.x + 3y x – y11.（18 届金华十校高一下期末）记max{x , y , z } 表示x ， y ， z 中的最大数，若a > 0 ， b > 0 ，则max{a, b , 1 + 3} 的最小值为（）a bA .B . C. 2D. 312. 已知a, b 为正实数，且a + b = 2 ，则 a 2 + 2 + b 2– 2 的最小值为a b + 113. 已知正实数a, b 满足1+2 = 1 ，则ab 的最大值为(2a + b) b (2b + a)a（补充题）已知x, y > 0 ，则 6xy x 2+ 9y 2 + 2xyx 2 + y 2的最大值是14.（2019 届超级全能生 2 月）已知正数 x , y 满足x + y = 1，则 1 + 1 的最小值是（）1 + x 1 +2 yA. 33B. 7C. 3 +D. 62865515．（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知log 2 (a – 2) + log 2 (b –1) Š1 ，则 2a + b 取到最小值时ab = （）A ．3B ．4C ．6D ．916．（2018 温州期中）已知实数x, y 满足 2x > y > 0 ，且1+ 1=1， 2x – y x + 2 y则x + y 的最小值为（）A ．3 + 2 3 5 B ．4 + 2 3 5C ．2 + 43 5D ．3 +4 3 517．（2018 杭州期末）若正数a,b 满足a + b = 1，则 a +a + 1bb + 1的最大值是 18．（2017 湖州期末）若正实数x, y 满足 2x + y = 2 ，则 4x 2 +y 的最小值是y + 1 2x + 219．（2018 河北区二模）若正数a, b 满足 1 + 1 = 1, 1 + 9的最小值为a ba – 1b – 1（）A.1B. 6C. 9D.16培优点三换元法20．（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟）已知实数 x, y 满足 xy – 3 = x + y ，且 x > 1 则 y(x + 8)的最小值是（）A.33B.26C.25D.2121. 若正数x, y 满足 1 + 1 = 1，则 4x + 9 y的最小值为x y x – 1 y – 122. （2018 届嘉兴期末）已知实数 x , 满足 4x+ 9y= 1 ，则 2x+1+ 3y+1 的取值范围是23.（2018 上海二模）若实数 x , 满足 4x + 4y = 2x +1 + 2y +1 ，则S = 2x+ 2y的取值范围是24. (2019 届台州 4 月模拟)设实数a ,b 满足a + b = 4 ，则ab 的最大值为；(a 2 + 1)(b 2 + 1) 的最小值为25.（2019 届镇海中学考前练习 14）已知 x > 0, y > 0, xy ( x + y ) = 4 ，则xy 的最大值为，2x + y 的最小值为26.（2018 春• 台州期末）已知a , b c R , a + b = 2 ，则1 + a 2+ 11b 2 + 1的最大值为（）A. 1B.6 5C.2 + 1 2D. 227.（2016 宁波期末 14）若正数x , y 满足 x 2+ 4 y 2+ x + 2 y = 1 ，则xy 的最大值为28.（2018 届诸暨市期中）已知实数x , y 满足 x + 4 y= 1 – 2 ，则2xy的最大值为（）y x xy x + 2 y –1A. 2 33B.3 2C.2 3 3 + 1 D. 3 + 1 229. (2018 台州一模) 非负实数 x 、 y 满足 x 2+ 4y 2+ 4xy + 4x 2 y 2= 32, 则 x + 2y 的最小值 , 7(x + 2 y ) + 2xy 的最大值yxy + 130.（2018 春南京）若x 、y c (0,+œ), x ++ xy = 4. 则的取值范围2x y + 2xy + 1731.（2017 武进区模拟）已知正实数x 、 y 满足xy + 2x + 3y = 42, 则xy + 5x + 4y 的最小值为2 2 培优点四和、积、平方和三量减元2 2 3332．（2017 宁波期末）若正实数a, b 满足(2a + b)2= 1+ 6ab ，则ab 2a + b + 1的最大值为33．（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数x, y 满足 x2+ xy + 4y 2 = 1，则x + 2 y 的最大值为34．（2016 暨阳联谊）已知正实数x, y 满足 2x + y = 2 ，则x + 的最小值为35.已知正实数a, b 满足9a 2+ b 2= 1 ，则ab3a + b的最大值为 36. 已知实数a,b, c 满足a + b + c = 0,a 2 + b 2 + c 2 = 1 ，则a 的最大值为37.（2018 届杭二高三下开学）若9x 2+ 4 y 2+ 6xy = 1, x , y c R ，则9x + 6y 的最大值为38．（2016 十二校联考 13）若存在正实数 y ，使得xy y – x = 15x + 4 y，则实数x 的最大值为且a + 2b = 3 ，则 1a+ 2的最小值是，b1 + 2a 2b 2的最小值是2ab 40．（2019 届金华一中 5 月模拟 9）已知正实数a ，b 满足． a + b = 1，则a 2+ b +的a + b2最大值是（）A.2B.1+C.1+D.1+41．（2017 西湖区校级模拟）已知正实数a, b 满足a2– b + 4 Š 0 ,则u =2a + 3b （）a + b14 A. 有最大值为5B. 有最小值为14 5C. 没有最小值D.有最大值为 3培优点五轮换对称与万能K 法培优点六消元法（必要构造函数求导）x 2 + y 2 3 222 2 2 2 y 2x 42．（2018 湖州期末）已知a, b 都为正实数，且1 + 1= 3 ，则ab 的最小值是，a b1+ bab的最大值是43．设 a > b > 0 ,那么a 2+1b(a – b)的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 52944.设a > 2b > 0 ，则(a – b ) +b (a – 2b )的最小值为45.（2017 天津）若a , b c R ， a b > 0 ，则a 4 + 4b 4 + 1ab的最小值为{1 ⎞2 {1 ⎞246. 若x, y 是正数，则| x + | ⎞ ⎞ + |y + | ⎞ ⎞的最小值是47. 已知a ,b, c c (0,+œ) ，则(a2+ b 2+ c 2 )2+ 5 2bc + ac的最小值为48．（2018 天津一模）已知a > b > 0 ，则 2a + 3 + a + b 2 a – b的最小值为 49.（2016 台州期末）已知正实数a , b ，满足a 2 – b + 4 Š 0 ，则u =2a + 3b（）a + b14 A. 有最大值为5 14B. 有最小值为5 C. ，没有最小值 D.有最大值为 350.已知a > 0,b > 0, c > 0 且a + b = 2 ，则 a c+ b c – c + ab 25 c – 2的最小值是51．（2019 届杭高高三下开学考 T17）若不等式x2– 2 y 2 Š cx( y – x) 对满足 x > y > 0 的任意实数x, y 恒成立，则实数c 的最大值为52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x > 0, y > 0, x + 2 y = 3，则x 2+ 3y xy的最小值为（）A.3 – 2B.2 + 1C. –1D. +1培优点八齐次化培优点七不等式算两次2x53．（2018·浙江模拟）已知a > 0, b > 0 ，则 6ab9b 2 + a 2+ 2ab b 2 + a 2的最大值为，若 4x 2 – xy + y 2 = 25 则3x 2 + y 2 的取值范围是54.(2016 新高考研究联盟二模)实数x , y 满足x 2 – 2xy + 2 y 2 = 2 ，则x 2 + 2 y 2 的最小值是55.(2016 大联考)若正数x , y , z 满足3x + 4 y + 5z = 6 ，则1+ 4 y + 2z的最小值为2 y + z x + z56.(2016 杭二最后一卷)若正数x , y 满足 1 + 1= 1，则x 2 – 10xy + y 2 的最小值为x y57.（2016 宁波二模）已知正数x ， y 满足xy Š 1 ，则M = 1 1 + x + 1 1 + 2 y的最小值为 58.（2016 浙江模拟）已知实数a ， b ， c 满足 1 a 2 + 1b 2 +c 2 = 1 ，则a b + 2bc + 2c a 的取值范4 4围是（）A. (–œ, 4]B.[–4, 4]C.[–2, 4]D.[–1, 4]59. 已知x ， y ， z c(0,+œ) 且x 2 + y 2 + z 2 = 1 ，则3xy + yz 的最大值为60．（2016 大联考）设 x, y, z, wc R ，且满足 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1,则 P = xy + 2yz + zw 的最大值是61．（2017 学年杭二高三第 3 次月考）已知T = min{(+ y )2, (+ y )2, (+ )2}，且x + y + z = 2 ，则T 的最大值是（）A. 8362. 已知a,b, cc R +,则B. 8C. 43a 2 +b 2 +c 2 的最小值是ab + 2bcD. 2363. 已知a,b, c c R ，且a 2+ b 2+ c 2= 4 ，则 5ab +2bc 的最大值是64. 已知a,b, c c R ，且a 2+ b 2+ c 2= 4 ，则ac + bc 的最大值是；又若a + b + c = 0 ，则c 的最大值是培优点九待定与技巧性强的配凑7x z za 2+ c 25 5 ⎞ |5 ⎞ 35⎞ + =65．（2019 届浙江名校新高考研究联盟 9 题）已知正实数a, b, c, d 满足a + b = 1, c + d = 1 ，则1 + 1的最小值是（）abc dA.10B. 9C. 4{ xy + 2z = 1D. 3 66．（2019 届杭四仿真考）已知实数 x ，y ，z为；此时 z =满足 {x 2 + y 2 + z 2= 5，则xyz 的最小值67.（2019 届慈溪中学 5 月模拟）若正实数a ,b, c 满足a (a + b + c ) = bc 则为a b + c的最大值 68.（17 浙江期末）已知 a ,b, c c R 且a + b + c = 0 , a > b > c ,则b的取值范围是（）{{ 1 1 ⎞ {A. |– ,B. |– , |C. (– 2, 2)D. |– 2, 5 |⎞ 5 5 ⎞⎞ 5 5 ⎞⎞ ⎞69.（2018浦江县模拟）已知实数a , b, c 满足a 2+ b 2+ c 2= 1 ，则a b + c 的最小值为（）A.-2B. – 3 2C.-1D. – 1270.（2016秋湖州期末）已知实数a , b, c 满足a 2 + 2b 2 + 3c 2= 1 ，则a + 2b 的最大值是（） A. B.2C. D.371.（2019江苏一模）若正实数a ,b, c 满足a b = a + 2b, a bc = a + 2b + c ，则c 的最大值为72.（2018 秋辽宁期末）设a 、b 、c 是正实数满足a + b Š c ，则 b+a的最小值为a b + c1 1 1 173.（2017 秋苏州期末）已知正实数a ,b,c 满足 1， + =1，则c 的取值范围是a b a+ b c74:（2019 届浙江名校协作体高三下开学考 17）若正数a ,b ,c 满足a 2 + b 2 + c 2 – a b – bc = 1 ，则 c 的最大值是75.（2018 届衢州二中 5 月模拟 12）已知非负实数a, b, c 满足a + b + c = 1，则(c – a)(c – b) 的取值范围为76.（2018 届上虞 5 月模拟 16）若实数x, y, z 满足 x + 2 y + 3z = 1， x 2+ 4 y 2 + 9z 2 = 1，则z的最小值是培优点十多元变量的不等式最值问题234 11 4 1 177.（2018 春衢州期末）已知 x, y > 0 ，若 x + 4y + 6 = + ，则 x y 4 + 1 的最小值是（）x yA. 6B. 7C. 8D. 978．（2018 嘉兴模拟）已知 x + y =+ + 8(x, y > 0) ,则x + y 的最小值为（）x yA. 5B.9C.4 + 2D.1079．（2018 越城区校级）已知x, y > 0, 且x + y + + 1 =19 ，则 3 – 7的最小值是x 2y4x 16 y80．（2016 台州期末）已知实数a,b, cc(0,1) ，设 2 + a 1 1 – b ， 2 + b 1 1 – c ， 2 + c 1 1 – a 这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.5B. 3 + 2C. 3 – 2D.不存在81.（2019 乐山模拟）已知实数 x , y 满足x > 1, y > 0 ，且 x + 4 y +1+ 1= 11 ，则 1 + 的 x – 1 y x –1 y最大值为82．（2019 乐山模拟）已知 x,y 为正实数,且满足(xy – 1)2 = (3y + 2)( y – 2) ,则x + 1的最大值y 为83.（2019 届镇海中学最后一卷）已知x , y > 0 ，且 8x 2+ 1 = 1，则x + y 的最小值y9培优点十一不等式综合应用32622。

高一数学基本不等式及其应用(学生版)

学科教师辅导讲义
讲义编号_
学员编号：年级：高一课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师:
课题
基本不等式及其应用
授课日期及时段
教学目的
掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单的问题。
教学内容
【知识梳理】
1.基本不等式
(1)a2+b2≥2ab（a，b∈R），
该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤ ；
【课后练习】
1、若中的最大和最小项
2、若求代数式
3、若且，求代数式的最大值
4、已知x>0,y>0,x+y=1,求证
5、已知，求证：
6、已知，求证：。
7、，求证：
8、，2x+y=1,则的最小值是
9、已知，且，则的最大值为；
10、若 ,则的最小值为 ()
(A) 2(B) 4(C) 6(D)8
(2)当a，b≥0时，a+b≥
ab≤ .
2.算术平均数：（a,b为正数）
几何平均数：
的几何解释：
3.不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。利用基本不等式求最值要注意三点：一正，二定，三相等。
例5、当时，求的最小值。
例6、（1）若，。求的最小值；
（2）若，，求的最小值；
（3）若，，求的最大值；
（4）若，，求的最大值。
变式练习：
1、若，求代数式的最大值。
2、若，求代数式的最小值。

第03讲基本不等式 (精讲+精练)(学生版)

第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②叫做正数a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--；凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y+=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x ++=>；（2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（）A B C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()+∞B ．(-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．4a 2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（） A ．122V V V +D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)_

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a+=++，则ab 的最大值为．【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b+--的最小值为．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是．2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．3．已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为．4.若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。

5.设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________6.已知R z y x ∈,,，且1=++z y x ，3222=++z y x，求xyz 的最大值为______【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠ ，则1a－1b的最大值是．2．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．练习1．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．2．设是正实数,且,则的最小值是____.3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为．244．若实数满足，当取得最大值时，的值为 .222522x yx xy y --+,x y 1x y +=2221x y x y +++【题型五】判别式法【典例7】已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为．练习1.若正实数满足，则的最大值为．2.设R y x ∈,，1322=++xy y x ，则y x +2的最大值为________变式1．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d，，，都成立，则实数m 的最大值是．【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

高一数学基本不等式的应用及不等式证明1(学生版)

3、某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1 宽的通道，沿前侧内墙保留3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少
4、已知，则的最大值是_________.
5、已知，且，
求（1）的最小值；（2）的最小值。
变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？
变式题3：x>0，当x为何值时，取到最大值？最大值是多少？
变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？
二、不等式的证明
1.证明不等式的基本依据：
（1）实数大小的比较原则；
（2）不等式的性质；
（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式
2、基本不等式都有什么用图？
【课后练习】
1、均值不等式链
设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立.
2、甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；问：谁先到达B地？
⑶综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。
用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从“重要不等式”，特别是基本不等式找思路。
（一）直接应用基本不等式
直接应用基本不等式是指题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
例1.已知a，，求证：。