三重积分柱坐标与极坐标ppt课件
合集下载
课件：9.3三重积分
4) 根据2) 3)写出的积分限.
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
微积分：利用柱坐标计算三重积分
a Dxy
r
,
cos
x
o
y
z x2 y2
I
4
a
2 4 cos
d d r 2 sin2 r 2 sin dr
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
00 0
dv r2 sin drdd
I ( x2 y2 )dxdydz
2
a
d 4 d cos r 2 sin2 r 2 sin dr
2
2
dz d
ze z2 rdr
1
0 0r
2 2 ez2 zdz (e4 e). 1
z
z2
z x2 y2
z1
O
y
x
y Dz
x
x2 y2 z2
计算(x y z)2dv,
其中是抛物面 z
x2
y2和 球 面x2
y2
z
z2
2
所围成的空间闭区域.
解 ( x y z)2 x2 y2 z2 2( xy yz zx)
且 当( x, y) Dxy时, x2 y2 z 2 x2 y2 ,
Dxy : x2 y2 1,
y Dxy
x
x2 y2 z 2 x2 y2,
x2 y2 1
2 x2 y2
V 1 dv dxdy
1 dz
x2 y2
Dxy
(2 2 x 2 2 y 2 )dxdy
Dxy
2
2
d
1 (1 r 2 )rdr
0
0
0
0
t (0, )
0 r t
所以,F (t)在(0, )内 单调增加.
高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
计算三重积分详细方法
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdyd, z 其中
是由z曲 x2面 y2与平 z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D :x2y24
或
02,
D:
0r2.
o•(r,)
yy
xx
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r,
02 ,
•M (x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x ,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d v rdd rd, z
z
rd
dr r dz
于是，
o
y
f(x,y,z)dxdydz
x d
f (r c o ,r ssi,z n )r d dr d . z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
z
R
任取一 [0,2],过 z
轴作半平面，得
04.
在半平面上，任取一
[0, 4],
x
三重积分ppt课件
M
n
lim
0
f(xi, yi,zi) v i
(xi , yi,zi)
i1
f(x, y,z)dv 精品课件
定义 设函数 f (x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，
（1）分割 将Ω为 n 个区域 v1,v2,,vn
（2）近似 (x i,y i,z i) v i( i 1 ,2 ,,n )
（3）求和 （4）取极限
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点
不多于两个.
zz2(x,y)
zz2(x,y)
zz1(x,y) D (x, y)
z精品z课1件(x,y) D (x, y)
步骤： zz2(x,y)
1、求Ω在xoy面的投影区域D xy ;
2、过(x, y)Dxy做平行与 z轴的
zz1(x,y)
射线 ，确定 z1 (x ,y)zz2(x ,y)
精品课件
y
D (i ,i )
n
Mlim 0
f (i ,i ) i
i1
f(x, y)dxdy
x
D
(3)空间立体：
密度为 f(x,y,z)0, M
(xi , yi,zi)
n
lim
0 i1
f(xi, yi,zi) v i
f(x, y,z)dv 精品课件
(3)空间立体：
密度为 f(x,y,z)0,
第三节 三重积分
一、三重积分的概念与性质
二、三重积分的计算
1、直角坐标（投影法、截面法）
2、柱面坐标
精品课件
3、球面坐标
一、三重积分的概念与性质
讨论密度分布不均匀的物体的质量：
(1)一根细棒 ：
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算 ppt课件
zz2(,)
(2)求区域Ω在xoy面的投影Dρθ . (3)定出z的上限和下限.
在Dρθ内作平行于z 轴的直线,
o
穿入区域时, Ω的边界曲面F(ρ,θ,z)=0确定
的z=z1(ρ,θ)为z的下限.
x
穿出区域时, Ω的边界曲面G(ρ,θ,z)=0确定
的z=z2(ρ,θ)为z的下限.
(4)将二重积分化为极坐标系下的累次积分.
2020/12/2
20
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
2020/12/2
21
二、三重积分在球坐标系下的计算
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
2020/12/2
22
二、三重积分在球坐标系下的计算
2020/12/2
6
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
2020/12/2
7
➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系
➢柱坐标
设 M (x,y,z) R 3, x , y
,
x, y, z
, , z
2020/12/2
9
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
2020/12/2
10
一般地 在 f (x, y, z)dv中 若
➢Ω在xoy面的投影为圆或圆的一部分 ➢f(x,y,z)中含有 x 2 y 2或 a r c t a n y 的项
极坐标与球面坐标计算三重积分
方向转到有向线段
的角．
OP
这样的三个数r、围为
x
0 r<，0 j <，0q 2．
r j
O
q x
M(x, y, z)
y
y
P
坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义： z
j O
q
x
ry
点的直角坐标与球面坐标的关系：
x r sin j cosq ,
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标．
三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标．
这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<．
z z
M(x, y, z)
O
2
dq
a
dj
2a cosj r 2 sin jdr
0
0
0
jr
2
a
s in jdj
2a cosj r 2 dr
0
0
a
16a3 a cos3 j sinjdj 30
O
y
4a3 (1 cos4 a) ．
x
3
例3 求均匀半球体的重心．
z
解 取半球体的对称轴为 z 轴， 原点取在球心上，又设球半径为a．
坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：
x
z
z0
rr0 O
r0 q0
zz0
q q 0 y
直角坐标与柱面坐标的关系：
z
x r cosq ,
y
r
sin
q
,
z z.
利用柱面坐标计算三重积分
`z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
§9.5[1]利用柱面坐标和极坐标计算三重积分
![§9.5[1]利用柱面坐标和极坐标计算三重积分](https://img.taocdn.com/s3/m/548e0093daef5ef7ba0d3c78.png)
再根据 中 z,r,θ 的关系,化为三次积分. , , 的关系,化为三次积分. 积分. 一般, 积分, 一般,先对 z 积分,再对 r ,最后对 θ 积分.
例1 利用柱面坐标计算三重积分
∫∫∫ z dxdydz ,
其中 其中
所围成的闭区域. 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域.
2
A
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线, 的直线,得
4
z
r2 ≤ z ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , : 0 ≤ r ≤ 2, 2 r ≤ z ≤ 4
o (r,θ )
x
y
即
r =2
o
2
于是, 于是,
A
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z r drdθ dz.
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
规定: 规定:
z
0 ≤ r < +∞,
0 ≤ ≤π,
o θ
x
r
M( x, y, z)
y
0 ≤ θ ≤ 2π .
P
z
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
球
面;
r
为常数
θ 为常数
圆锥面; 圆锥面; 半平 面.x来自zoθ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.
= 2π ∫0 (Hr 3 r4 )dr
π H5 . =
10
二,利用球面坐标计算三重积分
设 M( x, y, z) 为空间内一点,则点M 可用三个有次 为空间内一点, 来确定, 序的数r,,θ 来确定,其中r 为原点O 与点 M 间 的距离, θ 轴正向所夹的角, 的距离, 为有向线段OM与z 轴正向所夹的角, 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有 向线段 OP 的角,这里P 为点 M 在 xoy 面上的投影,这 的角, 面上的投影, 的球面坐标. 样的三个数r,,θ 就叫做点M 的球面坐标.
D10_3三重积分 柱坐标与极坐标ppt课件
3. 对任一，过z轴做半平面，找出角变化最 大的与的截面，确定的上下限
4.过原点做射线，穿区域确定 r 的上下限.
注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。
25
例5. 计算三重积分
其中
与球面
所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
π 4
9
dv d ddz
16
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM , 则(r, , ) 就称为点M 的球坐标.
z
直角坐标与球面坐标的关系
z
x rsin cos y r sin sin z r cos
z
因此
f (x, y, z)dxdydz
d d dz
dz
O
y
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
d d d
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
9
常见曲面的柱面坐标方程
z 常数
0 0 2π
z
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
O
y
x
(x,
y,0)
7
元素区域由六个坐标面围成
柱面 与 d;
半平面与 d;
平面z与z dz
在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
4.过原点做射线，穿区域确定 r 的上下限.
注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。
25
例5. 计算三重积分
其中
与球面
所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
π 4
9
dv d ddz
16
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM , 则(r, , ) 就称为点M 的球坐标.
z
直角坐标与球面坐标的关系
z
x rsin cos y r sin sin z r cos
z
因此
f (x, y, z)dxdydz
d d dz
dz
O
y
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
d d d
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
9
常见曲面的柱面坐标方程
z 常数
0 0 2π
z
圆柱面 半平面 平面
z z
M (x, y, z)
O
y
x
(x,
y,0)
7
元素区域由六个坐标面围成
柱面 与 d;
半平面与 d;
平面z与z dz
在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
课件：三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)
9
旋转面方程为 x2 y2 2z,
I 28dz ( x2 y2 )dxdy
Dz
28dz ( x2 y2 )dxdy x2 y22z
28dz 02 d 0 2z r 3dr
282
4z2 dz 4
336。
例 3．一形体 是由平面yz4, z0和圆柱面
x2 y2 16 所围成，已知其上任一点的密度与该
点到 z 轴的距离 成正比，求其质量 m 。
解：密度函数 ( x, y,z)k x2 y2 (k0) ，则 z
m k x2 y2 dxdydz 。
x2 y2 16
yz4
4
在 xoy 平面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 16} ，
o 4y
x
10
在柱面坐标下
{(,,z) 02, 04, 0 z4sin } ，
x sincos rcoscos rsinsin
∵ J ( x, y,z) sinsin rcossin rsincos r 2sin
( r ,,)
cos rsin
0
∴ f (x, y,z)dxdydz
f (rsincos,rsinsin,rcos)r2 sindrdd
24
sincos rcoscos rsinsin
奇函数， 有 xdv 0.
( x z)dv zdv 利用球面坐标
2
d
4 d
1 r cos r2 sin dr
.
0
0
0
8
例6 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
极坐标与球面坐标计算三重积分课件
三重积分的性质
三重积分的性质包括可加性、可移性、 可换序性等，这些性质在计算三重积 分时有着重要的应用。
三重积分的计算方法概述
1 2 3
直角坐标系下的三重积分计算 在直角坐标系下，三重积分可以通过将积分区域 划分为立方体网格，然后对每个立方体进行积分 计算。
极坐标系下的三重积分计算 极坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划分 为球心在原点的球壳，然后对每个球壳进行积分 计算。
球面坐标系下的三重积分计算 球面坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划 分为以原点为球心的球体，然后对每个球体进行 积分计算。
三重积分的基本应用
体积计算
三重积分可以用于计算三维空间中物体的体积，例如球体、圆柱 体等。
质量计算
三重积分可以用于计算分布在不同区域的质量，例如分布在平面 或曲面上的质量。
极坐标系与直角坐标系的转换
直角坐标系转换为极坐标系
给定直角坐标系中的一点，可以将其转换为极坐标系中的点。 通过计算点到原点的距离和与极轴之间的角度即可得到该点 的极坐标。
极坐标系转换为直角坐标系
给定极坐标系中的一点，可以将其转换为直角坐标系中的点。 通过计算该点在极轴上的投影和在极平面上的投影即可得到 该点的直角坐标。
03
利用极坐标系下表达形式，将 三维空间的乘积转化为极坐标 系下的乘积。
极坐标系下计算三重积分的常见问题
确定积分区域的形状和范围时，容易出现错误。
01
02
在将三重积分转化为三次积分时，容易出现错误。
在利用极坐标系下表达形式计算三维空间的乘积时，容易出现
03
错误。
PART 05
三重积分在球面坐标系下 的计算
根据被积函数的形状和极坐标系 下表达形式，确定积分区域的形
三重积分的性质包括可加性、可移性、 可换序性等，这些性质在计算三重积 分时有着重要的应用。
三重积分的计算方法概述
1 2 3
直角坐标系下的三重积分计算 在直角坐标系下，三重积分可以通过将积分区域 划分为立方体网格，然后对每个立方体进行积分 计算。
极坐标系下的三重积分计算 极坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划分 为球心在原点的球壳，然后对每个球壳进行积分 计算。
球面坐标系下的三重积分计算 球面坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划 分为以原点为球心的球体，然后对每个球体进行 积分计算。
三重积分的基本应用
体积计算
三重积分可以用于计算三维空间中物体的体积，例如球体、圆柱 体等。
质量计算
三重积分可以用于计算分布在不同区域的质量，例如分布在平面 或曲面上的质量。
极坐标系与直角坐标系的转换
直角坐标系转换为极坐标系
给定直角坐标系中的一点，可以将其转换为极坐标系中的点。 通过计算点到原点的距离和与极轴之间的角度即可得到该点 的极坐标。
极坐标系转换为直角坐标系
给定极坐标系中的一点，可以将其转换为直角坐标系中的点。 通过计算该点在极轴上的投影和在极平面上的投影即可得到 该点的直角坐标。
03
利用极坐标系下表达形式，将 三维空间的乘积转化为极坐标 系下的乘积。
极坐标系下计算三重积分的常见问题
确定积分区域的形状和范围时，容易出现错误。
01
02
在将三重积分转化为三次积分时，容易出现错误。
在利用极坐标系下表达形式计算三维空间的乘积时，容易出现
03
错误。
PART 05
三重积分在球面坐标系下 的计算
根据被积函数的形状和极坐标系 下表达形式，确定积分区域的形
极坐标与球面坐标计算三重积分
4 3
3 a
2π
π
4 其中 M = πa 3 ρ 为球体的质量． 3
0
2πa 3 , r 2 sin ϕdr = 3
a
1 a4 zdv = ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕdr = ⋅ 2π ⋅ , ∫∫∫ 0 0 0 2 4 Ω 3a 3a 因此z= ．重心为(0，0， )． 8 8
2π
π
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a 2 来表示． 所求转动惯量为
θ =θ 0
y
θ0
直角坐标与柱面坐标的关系：
z z M(x, y, z)
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z.
柱面坐标系中的体积元素： dv =rdrdθdz． 柱面坐标系中的三重积分： x
Ω
O x
θ
r
y P(r, θ )
y
∫∫∫ f (x，y，z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos θ
V= ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r2 sinϕ drdϕdθ
Ω Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cos ϕ
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫ sin ϕdϕ ∫
0
α
2 a cos ϕ
ϕ r α O x y
0
r 2 dr
16πa 3 α = cos 3 ϕ sin ϕdϕ 3 ∫0 4πa 3 = (1 − cos 4 a) ． 3
3 a
2π
π
4 其中 M = πa 3 ρ 为球体的质量． 3
0
2πa 3 , r 2 sin ϕdr = 3
a
1 a4 zdv = ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕdr = ⋅ 2π ⋅ , ∫∫∫ 0 0 0 2 4 Ω 3a 3a 因此z= ．重心为(0，0， )． 8 8
2π
π
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a 2 来表示． 所求转动惯量为
θ =θ 0
y
θ0
直角坐标与柱面坐标的关系：
z z M(x, y, z)
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z.
柱面坐标系中的体积元素： dv =rdrdθdz． 柱面坐标系中的三重积分： x
Ω
O x
θ
r
y P(r, θ )
y
∫∫∫ f (x，y，z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos θ
V= ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r2 sinϕ drdϕdθ
Ω Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cos ϕ
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫ sin ϕdϕ ∫
0
α
2 a cos ϕ
ϕ r α O x y
0
r 2 dr
16πa 3 α = cos 3 ϕ sin ϕdϕ 3 ∫0 4πa 3 = (1 − cos 4 a) ． 3
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xO y dv d ddz
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
9
目录 上页 下页 返回 结束
常见曲面的柱面坐标方程
曲面 半球面
直角坐标方程 z a2 x2 y2
圆锥面
z x2 y2
旋转抛物面 z x2 y2
圆柱面 圆柱面 圆柱面
x2 y2 a2 x2 y2 2ax x2 y2 2ay
积分次序：一般先r后φ再θ．
定限方法：观察、想象．
计算累次积分
注意 对一个变量积分时，将其余变量
视为常数．
2
目录 上页 下页 返回 结束
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
柱面坐标方程 z a2 r2
zr z r2
ra
r 2a cos r 2asin
10
目录 上页 下页 返回 结束
常见曲面的柱面坐标方程
11
目录 上页 下页 返回 结束
用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：次序为：zr
1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域D
2、利用公式 x r cos , y r sin , z z.
柱面 与 d;
半平面与 d;
平面z与z dz
在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
因此
f (x, y, z)dxdydz
z
o
x
dv z dz
z
y
d
d
d d dz
d d d
当积分域的投影域D为与圆域有关的区域时,
一般选用柱面坐标,此时曲面应表示为z z(r, ).
8
目录 上页 下页 返回 结束
z
d v d dd z
z
因此 f (x, y, z)dxdydz
d d dz
dz
O
y
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
d d d
利用柱坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用柱坐标计算
Ω的投影为圆或圆的一部分 f(x,y,z)中含有x2 y2或arctan y
x
f ( x, y, z)dxdydz
三 变
积分区域 Ω
化为柱坐标系下 三重积分
、 被积函数f (x, y, z)
一 勿
体积元素 dxdydz
忘 一个勿忘
柱坐标表示 f ( cos, sin, z) d d dz
D
z1 ( x, y )
O
Dxy
y
x
如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域
则二重积分应当考虑用极坐标计算.
这就等于用柱面坐标计算三重积分.
6
目录 上页 下页 返回 结束
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元
素、三重积分化为柱面坐标系下形式；
3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区 域确定z的上下限；
4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）
柱面坐标常用于：圆柱体和圆锥体上的三重积分。
12
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算三重积分
x cos y sin
zz
坐标面分别为
0 0 2π
z
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
O
y
x
(x,
y,0)
7
目录 上页 下页 返回 结束
元素区域由六个坐标面围成
D
z1(x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
3
目录 上页 下页 返回 结束
先一后二”积分法的基本步骤:
z
1. 把Ω往xoy平面上投影,得积分区域D;
2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;
3. 4.
先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;
再求关于x,y的二重积分.
化为累次积分
f ( cos , sin , z)dddz
积分次序：一般先z后ρ再θ
定限方法：投影、发射
计算累次积分
注意 对一个变量积分时，将其余变量
视为常数
1
目录 上页 下页 返回 结束
利用球坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用球坐标计算
Ω的球或球的一部分 f(x,y,z)中含有x2 y2 z2
其中 由抛物面
z x2 y2 与平面 z 4 所围成 .
解: 在xOy面上的投影区域D:
z
上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .
4
在柱面坐标系下
64 .
3
原式 =
2π
d
0
2
d
0
4
zd z
2
2 π 1 2 (16 2 )d 20
f ( x, y, z)dxdydz
三 变
积分区域 Ω
化为球坐标系下 三重积分
、 被积函数f (x, y, z)
一 勿
体积元素 dxdydz
忘 一个勿忘 r2 sin
球坐标表示 F (r,, ) r2 sindrdd
化为累次积分
f (r sin sin , r sin cos , r cos )r2 sindrdd
z
O x
Dxy
y
“先二后一”积分法的基本步骤: b
1. 把Ω向z轴投影,得z的积分限[a,b];
z Dz
2. 对z∈[a,b]用过点(0,0,z)且平行
a
xOy平面的平面去截Ω ，得截面Dz; x
y
3. 先求关于x,y的二重积分,得F(z) f (x, y, z)dxdy
4. 最后计算单积分
b
F (z)dz
a
Dz
4
目录 上页下页 返回 结束
三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
5
目录 上页 下页 返回 结束
2. 利用柱坐标计算三重积分
z
回忆用投影法（先一后二）计算三重积分
f (x, y, z)dV dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz