三重积分柱坐标与极坐标ppt课件

D
z1 ( x, y )
O
Dxy
y
x
如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域
则二重积分应当考虑用极坐标计算.
这就等于用柱面坐标计算三重积分.
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设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
柱面 与 d;
半平面与 d;
平面z与z dz
在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
因此
f (x, y, z)dxdydz
z
o

x
dv z dz
z
y
d
d
d d dz
d d d
当积分域的投影域D为与圆域有关的区域时,
利用柱坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用柱坐标计算
Ω的投影为圆或圆的一部分 f(x,y,z)中含有x2 y2或arctan y
x
f ( x, y, z)dxdydz
三 变
积分区域 Ω
化为柱坐标系下 三重积分
、 被积函数f (x, y, z)
一 勿
体积元素 dxdydz
忘 一个勿忘
柱坐标表示 f ( cos, sin, z) d d dz
x cos y sin
zz
坐标面分别为

0 0 2π
z

z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
O
y
x
(x,
y,0)
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元素区域由六个坐标面围成
将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元
素、三重积分化为柱面坐标系下形式；
3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区 域确定z的上下限；
4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）
柱面坐标常用于：圆柱体和圆锥体上的三重积分。
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例1. 计算三重积分
化为累次积分
f ( cos , sin , z)dddz
积分次序：一般先z后ρ再θ
定限方法：投影、发射
计算累次积分
注意 对一个变量积分时，将其余变量
视为常数
1
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利用球坐标计算三重积分的步骤
考虑是否用球坐标计算
Ω的球或球的一部分 f(x,y,z)中含有x2 y2 z2
b
F (z)dz
a
Dz
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三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
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2. 利用柱坐标计算三重积分
z
回忆用投影法（先一后二）计算三重积分

f (x, y, z)dV dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz

积分次序：一般先r后φ再θ．
定限方法：观察、想象．
计算累次积分
注意 对一个变量积分时，将其余变量
视为常数．
2
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三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
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常见曲面的柱面坐标方程
曲面 半球面
直角坐标方程 z a2 x2 y2
圆锥面
z x2 y2
旋转抛物面 z x2 y2
圆柱面 圆柱面 圆柱面
x2 y2 a2 x2 y2 2ax x2 y2 2ay
其中 由抛物面
z x2 y2 与平面 z 4 所围成 .
解: 在xOy面上的投影区域D:
z
上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .
4
在柱面坐标系下
64 .
3
原式 =
2π
d
0
2
d
0
4
zd z
2
2 π 1 2 (16 2 )d 20
D
z1(x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
3
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先一后二”积分法的基本步骤:
zwk.baidu.com
1. 把Ω往xoy平面上投影,得积分区域D;

2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;
3. 4.
先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;
再求关于x,y的二重积分.
一般选用柱面坐标,此时曲面应表示为z z(r, ).
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z
d v d dd z
z
因此 f (x, y, z)dxdydz
d d dz
dz
O

y
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
d d d
xO y dv d ddz
z
O x
Dxy
y
“先二后一”积分法的基本步骤: b
1. 把Ω向z轴投影,得z的积分限[a,b];
z Dz
2. 对z∈[a,b]用过点(0,0,z)且平行
a
xOy平面的平面去截Ω ，得截面Dz; x
y
3. 先求关于x,y的二重积分,得F(z) f (x, y, z)dxdy
4. 最后计算单积分
柱面坐标方程 z a2 r2
zr z r2
ra
r 2a cos r 2asin
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常见曲面的柱面坐标方程
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用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：次序为：zr
1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域D
2、利用公式 x r cos , y r sin , z z.
f ( x, y, z)dxdydz
三 变
积分区域 Ω
化为球坐标系下 三重积分
、 被积函数f (x, y, z)
一 勿
体积元素 dxdydz
忘 一个勿忘 r2 sin
球坐标表示 F (r,, ) r2 sindrdd
化为累次积分
f (r sin sin , r sin cos , r cos )r2 sindrdd