新教材-高一-数学-期末复习-多选题训练(含答案)
期末复习(七)三角函数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
期末复习（七）——三角函数一．单选题 1．已知33cos()25πα+=，322ππα-<<-，则cos α的值等于( ) A ．45-B ．925-C ．4425-D ．39252．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，则sin α的值为( )A B C D 3．函数()3sin()cos23f x x x π=+-+在[,]22ππ-上的最小值为( ) A ．1-B ．38C ．78D ．14．已知2sin 5αα=，则2sin()cos()(36ππαα+++= ) A ．45-B ．25-C ．0D ．255．将函数2sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位得到函数()f x 的图象．若5()()0412f f ππ-+=，则ϕ的值为( )A ．12πB ．8πC ．6π D ．3π 6．函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( )A ．[π，2]πB ．9[,)2ππ C ．139[,)122ππD ．917[,)88ππ 7．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ，b R ∈，且0ab ≠，若()|()|4f x f π对一切x R∈恒成立，则( )A ．()()56f f ππ>B ．()4f x π+是奇函数 C ．3()()2f x f x π=-D ．()f x 在区间(0,2)π上有2个极值点8．已知函数()2sin()1(0f x x ωϕω=+->，(0,))ϕπ∈的图象与x 轴的两个交点的最短距离为3π．若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的新函数图象关于(0,1)-中心对称，则(ϕ= )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 二．多选题9．下列各式中，值为12的是( ) A ．22cos sin 1212ππ-B ．2tan 22.5122.5tan ︒-︒C ．2sin195cos195︒︒ D10．已知函数()3sin(2)3f x x π=+，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移4π个单位长度得到，则下列关于函数()g x 的说法正确的有( )A ．()g x 的图象关于直线6x π=对称B ．()g x 的图象关于直线3x π=对称C ．()g x 在5[,]2424ππ-单调递增D ．()g x 在[,]63ππ-单调递减11．将函数()sin??(??0)f x x =>的图象向右平移4π单位长度，所得的图象经过点3(4π，0)，且()f x 在[0，1]4上为增函数，则??取值可能为( )A ．2B ．4C ．5D ．612．已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=--<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度得到的图象关于原点对称B ．函数()y f x =在[0，]4π上单调递增C ．函数()y f x =在[0，2]π有且仅有3个极大值点D ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为23π 三．填空题13．已知(0,)απ∈，且有12sin 2cos 2αα-=，则cos α= ． 14．方程cos 2sin 0x x -=在区间[0，]π上的所有解的和为 ．15．方程1sin 2sin 33tan 2xx x=+在区间[0，2]π上的解为 ．16．设当x θ=时，函数()sin 3cos f x x x =+取得最大值，则cos()4πθ-= ．四．解答题17．已知函数2()cos 222x x xf x =+[0x ∈，]π．（1）求函数()f x 的值域；（2）若方程()0)f x ωω=>在区间[0，]π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 18．设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1()f x a x x x R π=+-+∈．（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．19．已知函数2()cos 2cos 1222x x xf x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间．20．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π；②6x π=是函数()f x 的对称轴；③()04f π=且在区间(,)62ππ上单调；（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若[0,]3x π∈，求函数()f x 的最值．21．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()3cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，求m 的取值范围．22．已知()2sin cos )cos()44f x x x x x ππ=+-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7[,]1212ππ上有唯一零点，求实数k 的取值范围．期末复习（七）——三角函数答案1．解：因为33cos()25πα+=，所以3sin 5α=；又322ππα-<<-，所以4cos 5α=-．故选：A ． 2．解：顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过6π后，终边交单位圆于1(3P -，)y ，0y ∴>，且22191OP y =+=，求得y =，则sin()6y πα+==，1cos()63πα+=-，则11sin sin[()]sin()cos cos()sin 66666632ππππππαααα=+-=+-+=+⨯=，故选：D ．3．解：()3sin()cos23f x x x π=+-+ 223sin 12sin 32sin 3sin 2x x x x =--++=-+2372(sin )48x =-+，[,]22x ππ∈-，sin [1x ∴∈-，1]， ∴当34six =时，7()8max f x =． 故选：C ．4．解：因为2sin 5αα=，可得1sin()35πα-=，则2112sin()cos()sin()cos()sin()sin()3632333555πππππππαααπααα+++=+-++-=----=--=-．故选：B ．5．解：将函数2sin 2y x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位得到函数()2sin(22)f x x ϕ=-的图象． 若5()()0412f f ππ-+=，则5()()124f f ππ=--，52sin(22)2sin[2()2)]2sin(2)1242πππϕϕϕ∴⨯-=-⨯--=+，即cos(2)cos23πϕϕ-=，1cos 22cos 22ϕϕϕ+=，求得tan 2ϕ=26πϕ∴=，12πϕ∴=，故选：A ．6．解：当[0x ∈，2]时，,2444x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()2sin()(0)4f x x πωω=+>的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，∴592[,)422πππω+∈，∴917[,)88ππω∈． 故选：D ．7．解：由题意函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中a ，b R ∈，0ab ≠．因为()|()|14f x f π=，对一切x R ∈恒成立， 可知()14f π=±，所以42k ππϕπ+=+，k Z ∈，可得4k πϕπ=+，k Z ∈，可得4πϕ=，()sin()554f πππ+， ()sin()664f πππ+， 故()()56f f ππ>，或()()56f f ππ<， 故A 错误；因为()))4442f x x x x ππππ+=+++，又因为cos x 是偶函数，所以()f x 为偶函数，故B 错误；由35()))244f x x x πππ-=-=-，故C 错误；当(0,2)x π∈时，可得(44x ππ+∈，9)4π，可得())4f x x π=+有2个极值点，故D 正确． 故选：D ．8．解：函数()2sin()1(0f x x ωϕω=+->，(0,))ϕπ∈的图象与x 轴的两个交点的横坐标满足1sin()2x ωϕ+=， ()f x 的图象与x 轴的两个交点的最短距离为1233ππω=，2ω∴=，()2sin(2)1f x x ϕ=+-． 若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数2sin(2)16y x πϕ=++-的图象，若得到的新函数图象关于(0,1)-对称，则6k πϕπ+=，k Z ∈，(0,)ϕπ∈，56πϕ∴=， 故选：D ．9．解：对于A ，22cos sin cos12126πππ-==；对于B ，2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒； 对于C ，12sin195cos195sin390sin302︒︒=︒=︒=；对于D ． 故选：BC ．10．解：函数()3sin(2)3f x x π=+，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移4π个单位长度得到，则函数()3sin(2)3sin(2)236g x x x πππ=-+=-． 令6x π=，求得3()2g x =，不是最值，故()g x 的图象不关于直线6x π=对称，故A 错误；令3x π=，求得()3g x =，是最值，故()g x 的图象关于直线3x π=对称，故B 正确；当[24x π∈-，5]24π时，2[64x ππ-∈-，]4π，()g x 单调递增，故C 正确； 当[6x π∈-，]3π时，2[62x ππ-∈-，]2π，()g x 单调递增，故D 不正确， 故选：BC ．11．解：将函数()sin??(??0)f x x =>的图象向右平移4π单位长度，可得sin()4y x ωπω=-的图象；根据所得的图象经过点3(4π，0)，∴344k ωπωππ-=，k Z ∈，2k ω∴=①． ()f x 在[0，1]4上为增函数，∴142πω⨯，则0??2π<②，结合①②， 故选：ABD ．12．解：函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=--<<的图象关于直线4x π=对称，则342k ππϕπ⨯-=+，k Z ∈，4πϕ∴=，函数()sin(3)4f x x π=-． 函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，得到3sin(3)sin3124y x x ππ=+-=的图象，显然所得图象关于原点对称，故A 正确；当[0x ∈，]4π，3[44x ππ-∈-，]2π，故函数()y f x =在[0，]4π上单调递增，故B 正确；当[0x ∈，2]π，3[44x ππ-∈-，23]4π，故当342x ππ-=，52π，92π时，函数()f x 取得最大值，故C 正确；若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为()f x 的半个周期，即12233ππ⨯=，故D 错误，故选：ABC ．13．解：由12sin 2cos 2αα-=，得1cos 22sin 2αα-=， 即22sin 4sin cos ααα=； 又(0,)απ∈，所以sin 0α≠， 所以sin 2cos 0αα=>；由22222sin cos (2cos )cos 5cos 1ααααα+=+==，解得cos α=．． 14．解：2cos2sin 12sin sin 0x x x x -=--=， 即22sin sin 10x x +-=， 故(2sin 1)(sin 1)0x x -+=， 由于[0x ∈，]π解得：56x =或56π． 所以566πππ+=． 故答案为：π．15．解：原方程右边21sin 21cos 2223sin 2333cos 2x x sin xx x+-=+==， 故原方程可化为：222sin 3sin xx -=，即22sin 3sin 20x x +-=，解得()122sinx sinx ==-或舍，故[]1,0,22sinx x π=∈又，∴566x ππ=或． 故答案为：566ππ或． 16．解：当x θ=时，函数()sin 3cos )f x x x x x =+=+取得最大值，cos θ∴=sin θ=sin 3cos θθ∴+则cos()sin 4πθθθ-=+=． 17．解：（1）函数2()cos 2sin()2224x x x f x x x x π=++=+，当[0x ∈，]π，[44x ππ+∈，5]4π，sin()[4x π+∈，1]，故()2sin()4f x x π=+的值域为[．（2）方程()0)f x ωω>在区间[0，]π上至少有两个不同的解，即sin()4x πω+=[0，]π上至少有两个不同的解．[44x ππω+∈，]4πωπ+，sin 3π=，2sin 3π=， 243ππωπ∴+，解得512ω．18．解：（1）因为a =()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+2cos212sin(2)16x x x π=++=++，令2[2,2]622x k k k Z πππππ+∈-+∈，解得[,]36x k k k Z ππππ∈-+∈， 所以函数的单调递增区间为[,]36k k k Z ππππ-+∈，函数是频率212f ππ==； （2）因为函数是偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1sin 2cos(22)1a x x a x x ππ-+++=+-+， 即sin 2cos 2sin 2cos 2a x x a x x -+=+，所以0a =， 所以()cos 21f x x =+，当x R ∈时，cos 2[1x ∈-，1]， 所以cos 21[0x +∈，2]， 故函数()f x 的值域为[0，2]．19．解：（1）函数2()cos 2cos 1cos 2sin()2226x x x f x x x x π=-+=-=-，所以函数()f x 的最小正周期为2π．（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短为原来的12倍（纵坐标不变）， 得到()2sin(2)6h x x π=-的图象，再向左移动6π个单位得()2sin(2)2sin(2)366g x x x πππ=+-=+的图象， 令222262k x k πππππ-++，求得36k x k ππππ-+，可得函数()g x 的单调增区间为[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈．20．解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=．由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈．由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633Tπππππωω-=⇒⇒<． 若①②成立，则2ω=，6πϕ=，()sin(2)6f x x π=+． 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意．若②③成立，则12()66264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--，k Z ∈与③中的03ω<矛盾，所以②③不成立．所以，只有①②成立，()sin(2)6f x x π=+．（Ⅱ）由题意得，5102()136662xx f x ππππ⇒+⇒， 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1；当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12． 21．解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+； 因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈； 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(2)3f x x π=+； （2）由（1）可得()2cos(2)3cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++ 4cos 21x =+；设()t g x =，因为1cos 21x -，所以3()5g x -；又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩，解得112m -， 所以m 的取值范围是1[2-，1]．22．解：因为()2sin cos )cos()44f x x x x x ππ=+-+sin 2)cos()sin 2)442x x x x x πππ=+++=+sin 22sin(2)3x x x π==+，（1）令32[2,2]322x k k k Z πππππ+∈++∈， 解得7[,]1212x k k k Z ππππ∈++∈， 故函数()f x 的单调递减区间为7[,]1212k k k Z ππππ++∈； （2）函数()g x 在区间7[,]1212ππ上有唯一零点，等价于方程()0g x =即()2(2sin 2)f x k x =+在7[,]1212ππ上有唯一实数根，所以12sin(2)sin 2sin 22cos(2)326k x x x x x ππ=+-=-+=+， 设()cos(2)6h x x π=+，7[,]1212x ππ∈，则42[,]633x πππ+∈，根据函数()h x 在7[,]1212x ππ∈上的图象，要满足2y k =与()y h x =有唯一交点，只需11222k -<或21k =-，解得1144k -<或12k =-，故实数k 的取值范围为111(,]{}442--．。
2019-2020学年高一上期末考试数学多选题复习及答案解析
2019-2020学年高一上学期期末考试数学多选题复习一．多选题（共26小题）1．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，错误的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b2．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β3．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是（）A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D16．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A．m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β7．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥α，则γ∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β8．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面四个命题中正确的是（）A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m∥n，m∥α⇒n∥αD．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β9．不同直线m，n和不同平面α，β，下列命题中假命题有（）A．B．C．D．10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β＝l⊥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α∥β11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的是（）A．BM与ED平行B．CN与BE是异面直线C．CN与BM成60°角D．DM与BN垂直12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．B．C．D．13．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0 14．给出下列关系，其中正确的选项是（）A．∅∈{{∅}}B．∅∉{{∅}}C．∅∈{∅}D．∅⊆{∅}15．已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．116．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤﹣1或x＞2}D．A∩∁R B＝{x|2＜x≤3}17．下列函数中值域为R的有（）A．f（x）＝3x﹣1B．f（x）＝lg（x2﹣2）C．f（x）＝D．f（x）＝x3﹣118．下列各组函数中是同一函数的是（）A．f（x）＝x与g（x）＝B．f（x）＝与g（x）＝C．f（x）＝x﹣1与g（x）＝D．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+119．已知f（x）＝，则下列叙述中正确的一项是（）A．f（x﹣1）的图象B．|f（x）|的图象C．f（﹣x）的图象D．f（|x|）的图象20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]21．下列函数中在区间（0，1）内单调递减的是（）A．y＝B．y＝21﹣x C．y＝ln（x+1）D．y＝|1﹣x| 22．已知函数f（x）是[2﹣m，2m﹣6]（m∈R）上的偶函数，且f（x）在[2﹣m，0]上单调递减，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝x2+m B．f（x）＝﹣m|x|C．f（x）＝x m D．f（x）＝log m（|x|+1）23．已知f（x）＝，若f（x）＝1，则x的值是（）A．﹣1B．C．﹣D．124．如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是（）A．BM与ED平行B．CN与BE是异面直线C．CN与BM成60°角D．DM与BN是异面直线25．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是（）A．CE∥D1F B．平面AFD∥平面B1EC1C．AB1⊥EF D．平面AED⊥平面ABB1A126．在下列四个命题中，错误的有（）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αD．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα2019-2020学年高一上期末考试数学多选题复习答案解析一．多选题（共26小题）1．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，错误的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b【分析】根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a⊂β或a∥β又∵b⊥β，∴a⊥b，D正确故选：ABC．【点评】本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．2．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β【分析】对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理．【解答】解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选：ABC．【点评】本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题．3．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：ABD．【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定．4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：ACD．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是（）A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，从而FG∥平面BC1D1，FG∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，从而EF与平面BC1D1相交，进而平面EFG与平面BC1D1相交．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A．m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】直接由空间中的直线与平面的位置关系逐一判断四个命题得答案．【解答】解：由n∥α，可知α内有直线l与n平行，由m⊥α，知m⊥l，则m⊥n，A正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，B错误；若α∥β，β∥γ，知α∥γ，由m⊥α，则m⊥γ，C正确；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β或α与β相交，D错误．故选：AC．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间直线和平面的位置关系，是基础题．7．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α⊥γ，β⊥α，则γ∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β【分析】要求解本题，需要寻找特例，进行排除即可．【解答】解：A因为α、β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，所以α∥β；B若α⊥γ，β⊥α，α、β、γ是三个两两不重合的平面，可知α不一定平行β；C：m∥α，n∥β，m∥n，αβ可能相交，不一定平行；D因为mn两直线是异面直线，可知不平行，又因为m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，可知α、β只能满足垂直关系．故选：AD．【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．8．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面四个命题中正确的是（）A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m∥n，m∥α⇒n∥αD．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β【分析】由题意用线面垂直和面面平行的定理，判断线面和面面平行和垂直的关系．【解答】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断AD正确；B中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；C中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；故选：AD．【点评】本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题．9．不同直线m，n和不同平面α，β，下列命题中假命题有（）A．B．C．D．【分析】不同直线m，n和不同平面α，β，结合平行与垂直的位置关系，分析和举出反例判定，即可得到结果．【解答】解：，m与平面β没有公共点，所以A是正确的．，直线n可能在β内，所以B不正确．，可能两条直线相交，所以C不正确．，m与平面β可能平行，D不正确．故选：BCD．【点评】本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β＝l⊥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α∥β【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得A为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故B为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得C为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故D为假命题．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l ⊥m；即A为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故B为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即C 为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即D为假命题．故选：AC．【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的是（）A．BM与ED平行B．CN与BE是异面直线C．CN与BM成60°角D．DM与BN垂直【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然AB不正确；CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，C正确；DM⊥平面BCN，所以D正确；故选：CD．【点评】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；B若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；C过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；D连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立．故选：AD．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明是解决本题的关键．13．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x ﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．【点评】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．14．给出下列关系，其中正确的选项是（）A．∅∈{{∅}}B．∅∉{{∅}}C．∅∈{∅}D．∅⊆{∅}【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误．【解答】解：显然∅不是集合{{∅}}的元素，∴A错误；∅不是集合{{∅}}的元素，∅是{∅}的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B，C，D 都正确．故选：BCD．【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合、元素的定义，空集是任何集合的子集，考查了推理能力，属于基础题．15．已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．1【分析】根据集合元素的互异性2∈M必有2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，若2＝3x2+3x﹣4，即x2+x﹣2＝0，∴x＝﹣2或x＝1，检验：当x＝﹣2时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2+x﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x2+x﹣4，即x2+x﹣6＝0，∴x＝2或x＝﹣3，经验证x＝2或x＝﹣3为满足条件的实数x．故选：AC．【点评】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验．16．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤﹣1或x＞2}D．A∩∁R B＝{x|2＜x≤3}【分析】求解绝对值不等式化简集合B，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤3}∩{x|﹣2≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|﹣1＜x≤3}∪{x|﹣2≤x≤2}＝{x|﹣2≤x≤3}，故B正确；∵∁R B＝{x|x＜﹣2或x＞2}，∴A∪∁R B＝{x|﹣1＜x≤3}∪{x|x＜﹣2或x＞2}＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，故C不正确；A∩∁R B＝{x|﹣1＜x≤3}∩{x|x＜﹣2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确．∴正确的是B，D．故选：BD．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．17．下列函数中值域为R的有（）A．f（x）＝3x﹣1B．f（x）＝lg（x2﹣2）C．f（x）＝D．f（x）＝x3﹣1【分析】分别判断函数的单调性和取值范围，结合函数的值域进行求解即可．【解答】解：A．f（x）＝3x﹣1为增函数，函数的值域为R，满足条件．B．由x2﹣2＞0得x＞或x，此时f（x）＝lg（x2﹣2）的值域为R，满足条件．C．f（x）＝，当x＞2时，f（x）＝2x＞4，当0≤x≤2时，f（x）＝x2∈[0，4]，真是f（x）≥0，即函数的值域为[0，+∞），不满足条件．D．f（x）＝x3﹣1是增函数，函数的值域为R，满足条件．故选：ABD．【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．18．下列各组函数中是同一函数的是（）A．f（x）＝x与g（x）＝B．f（x）＝与g（x）＝C．f（x）＝x﹣1与g（x）＝D．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1【分析】根据相同函数的定义：定义域和对应关系都相同．【解答】解：对于A：f（x）＝x与g（x）＝|x|的对应关系不同，因此不是同一函数；对于B：f（x）＝＝与g（x）＝，因此是同一函数；对于C：f（x）＝x﹣1与g（x）＝＝＝x﹣1，（x≠﹣1），定义域不同，因此不是同一函数；对于D：f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．故选：BD．【点评】本题考查了两个函数相等的定义，属中档题．19．已知f（x）＝，则下列叙述中正确的一项是（）A．f（x﹣1）的图象B．|f（x）|的图象C．f（﹣x）的图象D．f（|x|）的图象【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数与f（x）之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：A．将f（x）的图象向右平移一个单位即可得到f（x﹣1）的图象，则A正确．B．∵f（x）＞0，∴|f（x）|＝f（x），图象不变，则B错误．C．y＝f（﹣x）与y＝f（x）关于y轴对称，则C正确．D．f（|x|）是偶函数，当x≥0，f（|x|）＝f（x），则D正确，故错误的是B，故选：ACD．【点评】本题主要考查函数图象之间的关系的应用，比较基础．20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，∴f（x）的最大值为，A正确；f（x）在（﹣，0）上是减函数，B错误；f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），C错误；x≥0时，f（x）+2x＝3x﹣x2≥0的解集为[0，3]，x＜0时，f（x）+2x＝x﹣x2≥0无解，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．21．下列函数中在区间（0，1）内单调递减的是（）A．y＝B．y＝21﹣x C．y＝ln（x+1）D．y＝|1﹣x|【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数及绝对值函数的性质逐个判断即可．【解答】解：A：y＝在（0，1）单调递增函数，B：y＝21﹣x＝2×（）x，单调递减函数，C：y＝ln（x+1）单调递增函数，D：y＝|1﹣x|＝，故在（0，1）上单调递减函数，故选：BD．【点评】本题考查基本初等函数的单调性，熟练掌握其图象性质是解决问题的关键，属于基础题．22．已知函数f（x）是[2﹣m，2m﹣6]（m∈R）上的偶函数，且f（x）在[2﹣m，0]上单调递减，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝x2+m B．f（x）＝﹣m|x|C．f（x）＝x m D．f（x）＝log m（|x|+1）【分析】先根据函数是偶函数，建立方程求出m的值，结合函数的单调性分别进行判断即可．【解答】解：∵f（x）是[2﹣m，2m﹣6]（m∈R）上的偶函数，∴2﹣m+2m﹣6＝0得m＝4，则f（x）在[﹣2，0]上单调递减，f（x）是[﹣2，2]（m∈R）上的偶函数，A．f（x）＝x2+4是偶函数，在[﹣2，0]上单调递减满足条件．故A有可能，B．f（x）＝﹣4|x|，是偶函数，当x≤0时，f（x）＝﹣4﹣x＝﹣（）x为增函数，不满足条件．C．f（x）＝x4，是偶函数，则[﹣2，0]上单调递减满足条件．故C有可能，D．f（x）＝log4（|x|+1）是偶函数，当x≤0，f（x）＝log4（﹣x+1）是减函数，满足条件．故D有可能，故选：ACD．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义域的对称性求出m的值，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．23．已知f（x）＝，若f（x）＝1，则x的值是（）A．﹣1B．C．﹣D．1【分析】根据题意，由函数的解析式按x的范围分3种情况讨论，求出x的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，若f（x）＝1，分3种情况讨论：①，当x≤﹣1时，f（x）＝x+2＝1，解可得x＝﹣1；②，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝x2＝1，解可得x＝±1，又由﹣1＜x＜2，则x＝1；③，当x≥2时，f（x）＝2x＝1，解可得x＝，舍去综合可得：x＝1或﹣1；故选：AD．【点评】本题考查分段函数解析式的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．24．如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是（）A．BM与ED平行B．CN与BE是异面直线C．CN与BM成60°角D．DM与BN是异面直线【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【解答】解：把平面展开图还原原几何体如图：A．由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂直，故A错误；B．CN与BE平行，故B错误；C．连接BE，则BE∥CN，∠EBM为CN与BM所成角，连接EM，可知△BEM为正三角形，则∠EBM＝60°，故C正确；D．由异面直线的定义可知，DM与BN是异面直线，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．25．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是D1B，A1C上不重合的两个动点，下列四个结论中正确的是（）A．CE∥D1F B．平面AFD∥平面B1EC1C．AB1⊥EF D．平面AED⊥平面ABB1A1【分析】由题意画出图形，利用两直线平行，同旁内角互补判断A；取特殊位置判断B；利用线面垂直的判定与性质判断C；由面面垂直的判定判断D．【解答】解：如图，在D1B，A1C上分别取点E，F，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则四边形A1BCD1为矩形，∵∠FD1C+∠ECD1＜∠A1D1C+∠BCD1＝180°，∴CE与D1F不平行，故A错误；不妨取F与A1重合，E与O重合，此时平面平面AFD与平面B1EC1相交，故B错误；AB1⊥A1B，AB1⊥BC，且A1B∩BC＝B，则AB1⊥平面A1BCD1，则AB1⊥EF，故C正确；AD⊥平面ABB1A1，而AD⊂平面AED，则平面AED⊥平面ABB1A1，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，是中档题．26．在下列四个命题中，错误的有（）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αD．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα【分析】A中，直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在；B中，直线倾斜角的取值范围是[0，π）；C中，直线的斜率为tanα时，它的倾斜角不一定为α；D中，直线的倾斜角为α时，它的斜率为tanα或不存在．【解答】解：对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A 错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π），∴B错误；对于C，一条直线的斜率为tanα，此直线的倾斜角不一定为α，如y＝x的斜率为tan，它的倾斜角为，∴C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tanα或不存在，D错误．故选：ABCD．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，是基础题．。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知向量（）A．（8，1） B． C． D．2.若函数在给定区间上，存在正数，使得对于任意，有，且，则称为上的级类增函数，则以下命题正确的是（）A．函数是（1，+∞）上的1级类增函数B．函数是（1，+∞）上的1级类增函数C．若函数为[1，+∞）上的级类增函数，则实数的取值范围为D．若函数为上的级类增函数，则实数的最小值为23.下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件4.已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围为( )A． B． C． D．5.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A． B． C． D．7.在中，，，其的面积等于，则等于（）A． B．1 C． D．8.已知角的终边过点且，则的值为（）A．－ B． C．－ D．9.直线与圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定10.对于，，下列命题中，正确命题的个数是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A． B． C． D．11.函数的定义域是：( )A． B． C．∪ D．∪12.函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．13.、函数的图象为C：①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；以上三个论断中，正确论断的个数是（）A．0 B．1个 C．2个 D．3个14.（2009•安徽）i是虚数单位，i（1+i）等于（）A．1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．﹣1+i15.下列说法中，正确的是（）A．任何一个集合必有两个子集B．若C．任何集合必有一个真子集D．若为全集，16.若函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．17.．一等腰三角形的周长是20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为A．B．C．D．18.给定两个长度均为的平面向量和,它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示，若+，其中,,则的最大值是（）A． B． C． D．19.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （）A． B． C． D．220.若，，则的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题21.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为____________22.已知等差数列的前项和为，若，且，，三点共线（该直线不过点），则=_____________．23.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为、，若2asinB＝b，则角A等于________．24.将函数f(x)=sin(wx+j)(w>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则w的最小值是_________．25.若|a+b|=|a-b|，则a与b的夹角为_______________.26. .27.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，算出A、B两点的距离为 m.28.已知一个容量为80的样本，把它分为6组，第三组到第六组的频数分别为10，12，14，20，第一组的频率为0.2，那么第一组的频数是________；第二组的频率是_______。
高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)
平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。
期末复习综合测试题(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
模块一复习测试题二一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是46．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为()A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+-三．填空题（共4小题）13．化简32a b-= （其中0a >,0)b >．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 ． 15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 ． 16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 ．四．参考解答题（共8小题） 17．已知0x >,0y >,且440x y +=． （Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x=>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围; （Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围． 19．解方程 （1）231981xx-=（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++20．设函数33()sin cos 2323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．22．已知函数2()3sin 2cos 12xf x x =-+． （Ⅰ）若()23()6f παα=+,求tan α的值;（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围．模块一复习测试题二参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共10小题）1．若集合{|15}A x N x =∈,a =则下面结论中正确的是( ) A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【详细分析】利用元素与集合的关系直接求解．【参考解答】解:集合{|15}{0A x N x =∈=,1,2,3},a =a A ∴∉．故选:D ．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意元素与集合的关系的合理运用．2．已知实数1a >,1b >,则4a b +是22log log 1a b ⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【详细分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【参考解答】解:1a >,1b >, 2log 0a ∴>,2log 0b >,2a b ab +,4a b +,故4ab ,222222222log log log ()log 4log log ()[]()1222a b ab a b +⋅==,反之,取16a =,152b =,则1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<, 但4a b +>,故4a b +是22log log 1a b ⋅的充分不必要条件, 故选:A ．【点评】本题考查了充分必要条件,考查基本不等式的性质,是一道基础题．3．若命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞,3]B ．[1-,)+∞C ．[1-,3]D ．[3,)+∞【详细分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．【参考解答】解:命题“[0x ∀∈,3],都有220x x m --≠ “是假命题,则命题“[0x ∃∈,3],使得220x x m --= “成立是真命题, 故222(1)1m x x x =-=--． 由于[0x ∈,3],所以[1m ∈-,3]． 故选:C ．【点评】本题考查的知识要点:命题的否定的应用,一元二次方程的根的存在性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．4．若函数2()44f x x x m =--+在区间[3,5)上有零点,则m 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[4,9)C ．[1,9)D ．[1,4]【详细分析】判断出在区间[3,5)上单调递增,(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩得出即1090m m -⎧⎨->⎩即可．【参考解答】解:函数2()44f x x x m =--+,对称轴2x =,在区间[3,5)上单调递增 在区间[3,5)上有零点,∴(3)0(5)0f f ⎧⎨>⎩即1090m m -⎧⎨->⎩ 解得:19m <, 故选:C ．【点评】本题考查了二次函数的单调性,零点的求解方法,属于中档题． 5．已知2x >,则12y x x =+-的( ) A ．最小值是2 B ．最小值是4 C ．最大值是2 D ．最大值是4【详细分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【参考解答】解:已知2x >,所以20x ->,故11222(2)2422y x x x x x =+=-++-=--（当3x =时,等号成立）． 故选:B ．【点评】本题考查的知识要点:不等式的基本性质,关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题．6．已知函数12x y +=的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y +=对称,则函数()y f x =的反函数是( )A ．21log ()y x =--B ．2log (1)y x =--C ．12x y -+=-D ．12x y -+=【详细分析】设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点,则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,(,)P y x '关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,代入详细解析式变形可得．【参考解答】解:设(,)P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点, 则P 关于y x =的对称点(,)P y x '一点在()y f x =的图象上,又函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于直线0x y +=对称,(,)P y x ∴'关于直线0x y +=的对称点(,)P x y ''--在函数12x y +=的图象上,∴必有12x y -+-=,即12x y -+=-,()y f x ∴=的反函数为:12x y -+=-;故选:C ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题7．已知cos()3παα+=为锐角）,则sin (α= )A B C D 【详细分析】由11sin sin[()]33ααππ=+-,结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【参考解答】解:cos()3παα+=为锐角）,∴1sin()3απ+=,则11111sin sin[()]sin())33233ααππαπαπ=+-=++,1(2=-,=故选:C ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大,属于基础题．8．设函数()sin f x x x =,[0x ∈,2]π,若01a <<,则方程()f x a =的所有根之和为( )A ．43π B ．2π C ．83π D ．73π 【详细分析】把已知函数详细解析式利用辅助角公式化积,求得函数值域,再由a 的范围可知方程()f x a =有两根1x ,2x ,然后利用对称性得正确答案．【参考解答】解:1()sin 2(sin )2sin()23f x x x x x x π=+=+=+,[0x ∈,2]π,()[2f x ∴∈-,2],又01a <<,∴方程()f x a =有两根1x ,2x ,由对称性得12()()33322x x πππ+++=,解得1273x x π+=．故选:D ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查函数零点的判定及应用,正确理解题意是关键,是基础题．二．多选题（共4小题）9．若集合M N ⊆,则下列结论正确的是( ) A ．MN N =B ．M N N =C ．()M M N ∈D ．()M N N ⊆【详细分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【参考解答】解:集合M N ⊆,∴在A 中,M N M =,故A 错误;在B 中,M N N =,故B 正确;在C 中,()M M N ⊆,故C 错误;在D 中,M N N N =⊆,故D 正确．故选:BD ．【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题． 10．下列说法中正确的有( )A ．不等式2a b ab +恒成立B ．存在a ,使得不等式12a a+成立 C ．若a ,(0,)b ∈+∞,则2b a a b+ D ．若正实数x ,y 满足21x y +=,则218x y+ 【详细分析】结合基本不等式的一正,二定三相等的条件检验各选项即可判断．【参考解答】解:不等式2a b ab +恒成立的条件是0a ,0b ,故A 不正确;当a 为负数时,不等式12a a+成立．故B 正确; 由基本不等式可知C 正确;对于212144()(2)4428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+++=, 当且仅当4y x x y =,即12x =,14y =时取等号,故D 正确． 故选:BCD ．【点评】本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验．11．已知函数||()1x f x x =+,则( ) A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在[0,)+∞上单调递增C ．函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞D ．方程2()10f x x +-=有两个实数根【详细分析】根据函数的奇偶性判断A ,根据函数的单调性判断B ,结合图象判断C ,D 即可．【参考解答】解:对于||:()()1x A f x f x x --=≠--+,()f x 不是奇函数,故A 错误; 对于:0B x 时,1()111x f x x x ==-++在[0,)+∞递增,故B 正确; 对于C ,D ,画出函数()f x 和21y x =-的图象,如图示:,显然函数()f x 的值域是(,1)[0-∞-,)+∞,故C 正确,()f x 和21y x =-的图象有3个交点,故D 错误;故选:BC ．【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性问题,考查数形结合思想,转化思想,是一道中档题．12．下列选项中,与11sin()6π-的值相等的是( ) A ．22cos 151︒-B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．2sin15sin 75︒︒D ．tan30tan151tan30tan15o oo o+- 【详细分析】求出11sin()6π-的值．利用二倍角的余弦求值判断A ;利用两角和的余弦求值判断B ;利用二倍角的正弦求值判断C ;利用两角和的正切求值判断D ．【参考解答】解:111sin()sin(2)sin 6662ππππ-=-+==． 对于A ,22cos 1531cos30o -=︒=对于B ,1cos18cos42sin18sin 42cos(1842)cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=; 对于C ,12sin15sin 752sin15cos15sin302︒︒=︒︒=︒=; 对于D ,tan30tan15tan(3015)tan 4511tan30tan15o oo o+=︒+︒=︒=-．∴与11sin()6π-的值相等的是BC ． 故选:BC ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数,是基础题．三．填空题（共4小题）13．化简32a b -= a （其中0a >,0)b >．【详细分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【参考解答】解1311132322()b b bb ⨯=== 原式2111()3322a b a ---==,故正确答案为:a ．【点评】本题考查了指数幂的运算,属于基础题．14．高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[ 3.4]4-=-,[2.7]2=．已知函数21()15x x e f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是 {1-,0,1} ．【详细分析】先利用分离常数法将函数化为92()51x f x e =-+,进而求出()f x 的值域,再根据[]x 的定义可以求出[()]f x 的所有可能的值,进而得到函数的值域．【参考解答】解:212(1)212192()215151551x x x x x x e e f x e e e e+-=-=-=--=-++++, 0x e >,11x e ∴+>,∴2021x e <<+,∴19295515x e -<-<+, 即19()55f x -<<,①当1()05f x -<<时,[()]1f x =-, ②当0()1f x <时,[()]0f x =,③当91()5f x <<时,[()]1f x =, ∴函数[()]y f x =的值域是:{1-,0,1},故正确答案为:{1-,0,1}．【点评】本题主要考查了新定义运算的求解,关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域,是中档题．15．若1lgx lgy +=,则25x y+的最小值为 2 ． 【详细分析】根据对数的基本运算,结合不等式的解法即可得到结论．【参考解答】解:1lgx lgy +=,1lgxy ∴=,且0x >,0y >,即10xy =, ∴25251022210x y x y +=, 当且仅当25x y =,即2x =,5y =时取等号, 故正确答案为:2【点评】本题主要考查不等式的应用,利用对数的基本运算求出10xy =是解决本题的关键,比较基础．16．若42x ππ<<,则函数32tan 2tan y x x =的最大值为 16- ．【详细分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果．【参考解答】解:若42x ππ<<,则tan (1,)x ∈+∞, 另22tan tan 21tan x x x=-, 设tan x t =,(1)t >, 则422222244416111111()()24t y t t t t ===-----,当且仅当t =时,等号成立．故正确答案为:16-．【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,关系式的变换和二次函数的性质,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题．四．参考解答题（共8小题）17．已知0x >,0y >,且440x y +=．（Ⅰ）求xy 的最大值; （Ⅱ）求11x y+的最小值． 【详细分析】（1）由已知得,40424x y xy =+=解不等式可求,（2）由题意得,11111()(4)40x y x y x y +=++,展开后结合基本不等式可求． 【参考解答】解:（1）0x >,0y >,40424x y xy ∴=+=当且仅当4x y =且440x y +=即20x =,5y =时取等号,解得,100xy ,故xy 的最大值100．（2）因为0x >,0y >,且440x y +=．所以111111419()(4)(5)(540404040y x x y x y x y x y +=++=+++=, 当且仅当2x y =且440x y +=即403x =,203y =时取等号, 所以11x y +的最小值940． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,属于中档题18．已知函数2()21f x x ax a =--+,a R ∈．（Ⅰ）若2a =,试求函数()(0)2f x y x x =>的最小值; （Ⅱ）对于任意的[0x ∈,2],不等式()f x a 成立,试求a 的取值范围;（Ⅲ）存在[0a ∈,2],使方程()2f x ax =-成立,试求x 的取值范围．【详细分析】（Ⅰ）对式子变形后,利用基本不等式即可求得结果;（Ⅱ）先由题设把问题转化为:2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,构造函数2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],利用其最大值求得a 的取值范围;（Ⅲ）由题设把问题转化为:方程21a x =-在[0a ∈,2]有解,解出x 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）当2a =时,2()41111()22212222f x x x y x x x x -+===+-⨯-=-（当且仅当1x =时取“= “),1min y ∴=-;（Ⅱ）由题意知:221x ax a a --+对于任意的[0x ∈,2]恒成立,即2210x ax --对于任意的[0x ∈,2]恒成立,令2()21g x x ax =--,[0x ∈,2],则(0)10(2)340g g a =-⎧⎨=-⎩,解得:34a , a ∴的取值范围为3[4,)+∞; （Ⅲ）由()2f x ax =-可得:210x a -+=,即21a x =-, [0a ∈,2],2012x ∴-,解得:11x -,即x 的取值范围为[1-,1]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法,属于中档题．19．解方程 （1）231981x x -= （2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++【详细分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可．（2）利用对数运算法则,化简求解方程的解即可．【参考解答】解:（1）231981x x -=,可得232x x -=-,（2分） 解得2x =或1x =;（4分）（2）444log (3)log (21)log (3)x x x -=+++,可得44log (3)log (21)(3)x x x -=++,3(21)(3)x x x ∴-=++,（2分）得4x =-或0x =,经检验0x =为所求．（4分）【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数方程的解法,考查计算能力．20．设函数3()cos 323x x f x ππ=-． （1）求()f x 的最小正周期;（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,求当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值． 【详细分析】（1）利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期;（2）由对称性求得()g x 的详细解析式,再由x 的范围求得函数最值．【参考解答】解:（1）3()cos sin()32333x x f x x ππππ=-=-． ()f x ∴的最小正周期为263T ππ==;（2）函数()y g x =与()y f x =的图象关于x 轴对称,()()3sin()33x g x f x ππ∴=-=-． [0x ∈,3]2,∴[333x πππ-∈-,]6π, sin()[33xππ∴-∈,1]2,()[g x ∈,3]2． ∴当[0x ∈,3]2时,()y g x =的最大值为32． 【点评】本题考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质,考查三角函数最值的求法,是中档题．21．已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的详细解析式及对称中心坐标;（Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,再向右平移6π个单位,最后将图象向上平移1个单位后得到()g x 的图象,求函数()y g x =在3[,]124x ππ∈上的单调减区间和最值．【详细分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ,B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,可得函数的详细解析式,再根据余弦函数的图象的对称性,得出结论． （Ⅱ）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,得出结论．【参考解答】解:（Ⅰ）由函数()cos()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的部分图象知: 1(3)22A --==,1(3)12B +-==-,72212T πππωω-==⇒=, ()2cos(2)1f x x ϕ∴=+-,把点(,1)12π代入得:cos()16πϕ+=, 即26k πϕπ+=,k Z ∈． 又||2πϕ<,∴6πϕ=-,∴()2cos(2)16f x x π=--． 由图可知(,1)3π-是其中一个对称中心, 故所求对称中心坐标为:(,1)32k ππ+-,k Z ∈． （Ⅱ）先将()f x 的图象纵坐标缩短到原来的12,可得1cos(2)62y x π=--的图象,再向右平移6π个单位,可得11cos(2)sin 2222y x x π=--=- 的图象, 最后将图象向上平移1个单位后得到1()sin 22g x x =+的图象． 由22222k x k ππππ-++,k Z ∈,可得增区间是[4k ππ-,]4k ππ+,当3[,]124x ππ∈时,函数的增区间为[,]124ππ． 则32[,]62x ππ∈,当22x π=即,4x π=时,()g x 有最大值为32, 当322x π=,即34x π=时,()g x 有最小值为11122-+=-． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求详细解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A 、B ,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出ϕ的值,余弦函数的图象的对称性．函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的单调性、定义域和值域,属于中档题．22．已知函数2()2cos 12x f x x =-+．（Ⅰ）若()()6f παα=+,求tan α的值; （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的12倍得函数()g x 的图象,且关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解,求m 的取值范围． 【详细分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换,化简()f x 的详细解析式,根据条件,求得tan α的值． （Ⅱ）根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,求得()g x 的详细解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得()g x 的范围,可得m 的范围．【参考解答】解:（Ⅰ）2()2cos 1cos 2sin()26x f x x x x x π-+-=-,()()6f παα=+,∴sin()6παα-=,∴1cos 2ααα-=,即cos αα-=,∴tan α=（Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象, 所以函数()g x 的详细解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-, 关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2π上有解, 等价于求()g x 在[0,]2π上的值域, 因为02x π,所以52666x πππ--, 所以1()2g x -,故m 的取值范围为[1-,2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．。
人教A版(2019)必修第一册2020-2021学年第一学期高一数学期末考试复习试题及答案解析
新人教A 版2020～2021学年度第一学期期末复习高一数学一、单项选择题1．设集合A={x ｜x 2−2x−3≤0}，B ＝{x ｜y ＝ln(2−x) } ，则A∩B ＝（ ） A. [−3，2) B. (2，3] C. (−1，2) D. [−1，2) 2．已知0.20.3a =，0.23b =，3log 0.3c =，则A. a c b >>B. c a b >>C. b a c >>D. c b a >> 3．“”是“21cos =α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知角α的终边上一点P (5)-，则sin tan αα+= （A ）2253--（B ）253-（C ）5（D ）55． ︒︒-+︒︒15sin )105cos(15cos 75sin 等于（A ）0（B ）12（C 3 （D ）16．函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是( )（A ）（－2，－1） （B ）（－1，0） （C ）（0，1） （D ）（1，2） 7．函数⎩⎨⎧≤>=ππx x x x x f ,cos ,sin )(，则=︒)240(f（A ）23-（B ）23 （C ）21- （D ）21 8．已知函数()⎩⎨⎧>≤=1,log 1,22x x x x f x ，若函数()a x x f y ++=2有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．(]1,2B ．[)2,1--C ．[)4,2--D ．[]2,49． 已知函数()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在),0[+∞上是减函数，若()()2-≥f a f ，则a 的取值范围是（A ）2≤a （B ）2≥a （C ）22≥-≤a a 或 （D ）22≤≤-a二、多项选择题10、设,0<<b a 则下列不等式中成立的是A ．b a 11> B ． ab a 11>- C ． b a -> D ． b a ->- 11、下列函数为奇函数的是A.tan y x = B ．sin y x x =- C ．cos y x x =- D ．e e xxy -=- 12．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（ ）． A 、图象C 关于直线11π12x =对称 B 、图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C 、()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，是增函数 D 、由3sin 2y x =图象向右平移π3个单位长度可得图象C ．三、填空题13．命题p ：“2,10∃∈+<x R x ”的否定是 14．若x 、y ∈R +,20=+y x ,则xy 的最大值为 ．15．化简：sin(90)cos()cos(180)ααα︒-⋅-︒-= ．（填最简形式）16．已知2)4πtan(-=+α，则=-αα2cos 2sin 117．已知132a =，则()2log 2a = ．18．若“满足x ：20x p +<”是“满足x ：022>--x x ”的充分条件，求实数p 的取值范围. ． 四、解答题19．已知,αβ都是锐角，35cos ,cos(),513ααβ=+=- （１）求sin α和αtan 的值；（２）求)sin(βα+ 和cos β的值．20、已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间[,44ππ-]上的最大值和最小值.21．某大型专卖店经营一种耐用消费品．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月平均工资为1200元，该店应交付的其它费用为每月13200元．若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数。
苏教版新教材必修一高一数学期末复习(一)集合(含答案)
高一第一学期期末复习（一）（集合）【知识梳理】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．思考：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系（1）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A ；A∩B＝A∪B ⇔ A＝B（2）若一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．【考点突破】一、集合的含义与表示1.下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B2.设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为________．答案 3解析∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1；②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性．综上可知x＝3.3.设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________．答案{0,2，－2}解析∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝－2,0,1,2，当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2,0.4.已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是．答案 6解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.5.给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}； ②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3.答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．二、集合间的关系解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是数集还是点集，再进行相关的运算．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系．1.集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆ND ．N ⊆M答案 D 解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D. 2.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为____． 答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．3．已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}，则集合A 的真子集有 个．答案 7解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}，∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．三、集合的运算1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，利用数轴分析(或Venn 图)能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B = ．答案 [－1,2)解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．2.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B = ．答案 {(1,1)，(－2,4)}解析 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．3.设集合M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,π]}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝________.答案 {x |1<x ≤2}解析 ∵M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0, π]}＝{y |－2≤y ≤2}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{y |－2≤y ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．4.(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( )A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R 答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． (∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．四、利用集合的运算求参数1.设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．2.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是 ．答案a >－1解析 在数轴上画出集合A ，B (如图)，观察可知a >－1.3.已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_____________．答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.4．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]解析 当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1<a ，∴A ∪B ＝R ，故a <1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．5.已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析 因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.【重点突破】1.已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为 . 解：由题意知，A ＝{2，－3}．当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12. 综上可知，a 的值为－13或12或0. 2. 设A 是由方程ax 2－3x ＋2＝0(a ∈R )的根组成的集合．(1)若A 是单元素集合，求a 的取值范围；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解 (1)若A 是单元素集合，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个实数根，当a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足题意．当a ≠0时，由题意知方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98.所以a 的值为0或98.(2)当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或98.当A 中有两个元素时，则a ≠0，且Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根．综上，a ≤98时，A 中至少有一个元素． (3)当A 中没有元素时，则a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0没有实数根． 当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或a ＝98. 综上，a ＝0或a ≥98时，A 中至多有一个元素．3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解 ∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ；(2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.4.已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．(2)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．5.设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解： 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．6.设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解 当A ∩B ＝∅时，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋4≤5，解得－1≤a ≤1. 即A ∩B ＝∅时，实数a 的取值范围为M ＝{a |－1≤a ≤1}．而A ∩B ≠∅时，实数a 的取值范围显然是集合M 在R 中的补集，故实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＞1}．【基本规律】1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题． 例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期末数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期末数学试题❖的。
1.集合，集合，则( )A. B.C.D.2.命题“”的否定是( )A. B.C.D.3.是的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.不等式的解集为( )A. B.C. 或D.或5.计算：( )A. 0 B. 6C.D.6.若点在幂函数的图象上，则的图象大致是( )A. B.C. D.7.函数的最小值为( )A. 12B. 10C. 8D. 48.关于函数，给出以下四个命题：①当时，严格单调递减且没有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，则解的个数一定是偶数；④是偶函数且有最小值，其中真命题是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ③④二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则下列计算正确的是( )A. B.C. D.10.已知函数下列叙述正确的是( )A.B. 的零点有3个C. 的解集为或D. 若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是11.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列叙述正确的是( )A. 函数是偶函数B. 函数的一个对称中心是C. 若，则D. 函数的一个对称中心是12.已知函数若关于x的方程有四个不相等的实根，则m的值可以是A. B. C. D. 0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.__________.14.函数的定义域为__________.15.已知定义在R上的函数满足，设，则的大小顺序是__________用“>”号连接16.已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向左平移1个单位得到的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则的解析式为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
高一数学期末复习题三(试题和答案)
高一数学期末复习题(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k ≤0},若M ∩N ≠∅,则k 的取值范围是（ ） A.k ≤2 B.k ≥-1 C.k>-1 D.-1≤k ≤2 解析：由图形可知k ≥-1.答案：B2．设f 是从集合A 到集合B 的映射，下列四个说法，其中正确的是（ ）①集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应 ②集合B 中的每一个元素在集合A 中也都有元素与之对应 ③集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素也不同 ④集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素也不同A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④思路解析：根据映射的定义，从集合A 到集合B 的映射f ，只要求集合A 的每一个元素在集合B 中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，也没有要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素.解：①符合映射的定义，∴正确；映射的定义不要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素，∴②不正确；集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，∴③不正确；④正确.∵如果集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，①和④正确，因此，选D. 答案：D3．函数y=(21)x -(21)-x是（ ） A.奇函数,在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数,在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,在(0,+∞)上是增函数D.偶函数,在(0,+∞)上是增函数解析：利用奇偶性定义可知为奇函数，再取特殊点验证知在（0，+∞）上单调递减. 答案：A4．若函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，则( )A.1052πθθ+=k ，k ∈Z B.552ππθ+=k ，k ∈Z C.552πθθ+=k ，k ∈Z D.55ππθ+=k ，k ∈Z 思路分析:∵函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，∴当x=0时，有5θ=kπ+2π，k ∈Z ，∴θ=105ππ+k ，k ∈Z .故B 正确. 答案:B5．下列各等式中，正确的是（ ）A.44a =|a|B.3622)2(-=-C.a 0=1 D.21105)12()12(-=-思路解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不相等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则.解：44a =|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；∵62)2(-＞0，32-＜0,∴62)2(-≠32-.因此B 不正确；如果 a=0，则a 0没有意义，因此C 也不正确；∵2＞1,∴105)12(-=21105)12()12(-=-.∴D 正确.因此，选D. 答案：D6．已知0＜α＜2π＜β＜π，又sinα=53，cos(α+β)=54-，则sinβ等于( )A.0B.0或2524C.2524D.±2524思路分析:∵0＜α＜2π＜β＜π，∴2π＜α+β＜23π.∵sinα=53.∴cosα=54.由cos(α+β)=-54＜0,得sin(α+β)=±53.∴sinβ=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα053)54(5453=∙--∙±=或2524. 又∵2π＜β＜π，∴sinβ=2524.答案:C7．函数y=122+x x的值域是（ ）A.{x|0<x<1}B.{x|0<x ≤1}C.{x|x>0}D.{x|x ≥0} 思路解析：求值域要在定义域中求，本题中函数的定义域为R ，∴要求值域就要对函数解析式进行变形，由于分子和分母的“次数”相同，因此想到部分分式法.或者根据指数函数y= 2x 的值域为正，即2x ＞0来求解. 解法一：因此y=122+x x=1-121+x. 又∵2x +1＞1,∴0＜121+x ＜1,∴0＜y ＜1. 因此，选A. 解法二：由2x =yy-1＞0， 得0＜y ＜1.因此，选A. 答案：A8．对于函数f(x)=2sin(2x+3π),给出下列结论: ①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线x=12π成轴对称;③图象可由函数y=2sin2x 的图象向左平移3π个单位得到;④图象向左平移12π个单位,即得到函数y=2cos2x 的图象.其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:∵f(x)是非奇非偶函数,∴①错误. ∵f(x)是由y=2sin2x 向左平移6π得到的, ∴③错误. 把x=12π代入f(x)中使函数取到最值, ∴②正确.f(x)=2sin(2x+3π)−−−−→−个单位左移12πf(x)=2sin ［2(x+12π)+3π］=2cos2x, ∴④正确.答案:C9．偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,下列结论中正确的是（ ） A.f(-x 1)<f(-x 2) B.f(-x 1)>f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.f(-x 1)和f(-x 2)的大小关系不能确定 解析：由条件知-x 2＜x 1，∴f(-x 2)＜f(x 1),又f(x)是偶函数， ∴f(-x 1)=f(x 1)，∴f(-x 2)＜f(-x 1). 答案：B10．设函数f(x)=sin3x+|sin3x|,则f(x)为( )A.周期函数,最小正周期为3πB.周期函数,最小正周期为32πC.周期函数,最小正周期为2πD.非周期函数 解析:f(x)=sin3x+|sin3x|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++≤≤.3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x∴B 正确. 答案:B11．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴．洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水．当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ） A. 3人洗浴 B. 4人洗浴 C. 5人洗浴 D. 6人洗浴思路解析：设经过时间t 时水箱中的水量为y,可知y=2t 2-34t+200,当t=434=217时,y 取得最小值,此时放水为172,易求出至多可供四人洗浴.12．已知函数f(x)=asin(x-φ)(a≠0,x ∈R ）在x=4π处取得最小值，则函数y=f(43π-x)是（ ）A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(23π,0)对称C.奇函数且它的图象关于点(23π,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称思路解析：f(x)=asin(x-φ)的周期为2π，函数在x=4π处取得最小值，不妨设f(x)=sin(x-43π)，则函数y=f(43π-x)=sin(43π-x-43π)=sinx ， 所以y=f(43π-x)是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)13．如果函数y=x 2+2x+m+3至多有一个零点，则m 的取值范围是_________________. 解析：Δ=4-4(m+3)≤0，解得m ≥-2. 答案：［-2，+∞） .14．在△ABC 中，若sinB·sinC=2cos 2A，则此三角形为_______.思路分析:∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C).又∵sinB·sinC=cos 22A ，∴21［cos(B-C)-cos(B+C)］=21 (1+cosA),即cos(B-C)-cos(B+C)=1+cosA.又∵cos(B+C)=-cosA ，∴cos(B-C)=1. 又∵-π＜B-C ＜π，∴B-C=0，即B=C. ∴△ABC 是等腰三角形. 答案:等腰三角形 .15．①已知函数y=21log (x 2-2x+a)定义域为R ，则a 的取值范围是_____________，②已知函数y=21log (x 2-2x+a)值域为R ，则a 的取值范围是________________.思路解析：两题乍一看似乎一样，但若仔细分析，其设问角度不同，解题方法也有区别.①对x ∈R ,x 2-2x+a ＞0恒成立，②由于当t ∈(0,+∞)时,21log t ∈R 故要求x 2-2x+a 取遍每一个正实数,换言之,若x 2-2x+a 的取值范围为D,则(0,+∞)∈D.①x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要a-1＞0则x ∈R 时,x 2-2x+a ＞0恒成立.因此，填a ＞1；②x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故x 2-2x+a 的取值范围为［a-1, +∞］，要求(0,+∞) ⊆［a-1, +∞)只要a-1≤0.因此，填a ≤1.答案：a ＞1 a ≤116．函数y=1gsinx+216x -的定义域是________________.思路解析：要使函数有意义，x 应满足下列不等式组⎩⎨⎧≥->.016.0sin 2x x 解得⎩⎨⎧≤≤-∈+<<.44),(22x Z k k x k πππ当k=0时，不等式组的解为0＜x ＜π； 当k=-1时，不等式组的解为-4≤x ＜-π； 当k 取其他整数时，无解.所以定义域为{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}. 答案：{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)17．已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|)1(22+--a x ax <0}. （1）当a=2时，求A ∩B;（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5),∴A ∩B=(4,5).（2）∵B=(2a,a 2+1) 当a<13时,A=(3a+1,2) , 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧≤++≥212132a a a ,此时a=-1；当a=31时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在； 当a>31时，A ＝（2，3a ＋1）,要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧+≤+≥131222a a a ,此时1≤a ≤3.综上,可知使B ⊆A 的实数a 的取值范围为［1，3］∪{－1}.18．（1）.求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的最大值.思路分析：sinx+cosx 与sinxcosx 有相互转化的关系，若将sinx+cosx 看成整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围.解：设sinx+cosx=t ，t ∈［2,2-］，则(sinx+cosx)2=t 2，即1+2sinxcosx=t 2，sinxcosx=212-t .1)1(2121)2(2121222-+=-+=-+=t t t t t y ，当t=2时，y max =212+（2）.已知tanα-4sinβ=3，3tanα+4sinβ=1，且α是第三象限角，β是第四象限角，求α、β.思路分析：由已知利用方程组求出tanα和sinβ，再依据α和β所在的象限，确定其具体值，注意要写出所有的角.解：由⎩⎨⎧=+=-,1sin 4tan 3,3sin 4tan βαβα得⎪⎩⎪⎨⎧-==.21sin ,1tan βα由tanα=1，α是第三象限角，∴α=2kπ+45π，k ∈Z . 由sinβ=21-且β是第四象限角，∴β=2kπ-6π，k ∈Z .19．已知函数2221()(xx a f x a+=-为常数). (1)证明:函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数; (2)若f(x)为奇函数,求a 的值.解:(1)在()-∞,+∞上任取两个值12x x ,且12x x <,12122212222121()()()()xxx x a a f x f x ++-=--- 2121211222222121(21)(21)x x x xx x x x -++++=-=, ∵2>1且12x x <,∴21220x x->.又12(21)(21)0x x++>,∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >. ∴函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数. (2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即0022210a +-=.∴a=1.20．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Aco sωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 解析:由表中数据,知周期T=12.∴ω=1222ππ=T =6π.① 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.② 由t=3,y=1.0,得b=1.0.由①②得A=0.5,b=1.0,∴振幅为21. ∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知,当y ＞1时才可对冲浪者开放.∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2kπ-2π＜6πt ＜2kπ+2π,即12k-3＜t ＜12k+3.③故可令③中k 分别为0,1,2,得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定的时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00. 21．已知函数f(x)=log 11(xa x +-其中a>0且1)a ≠.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;(3)若12[0]x ∈,时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a 的值.解:(1)由条件知110x x +->,解得-1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数f(x)为奇函数.证明:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=log 11x a x -+=-log 11()xa x f x +-=-.因此f(x)是奇函数.(3)f(x)=log 11x a x +-=log 121x a x -+- =log 1211()x a x x ---+=log 21(1)a x ---,记21()1x g x -=--,则21()1x g x -=--在12[0],上单调递增,因此当a>1时,f(x)在12[0],上单调递增, 由12()1f =,得a=3;当0<a<1时,f(x)在12[0],上单调递减, 由f(0)=1得出矛盾a ,∈;综上可知a=3。
高一数学复习试题(含答案)
高一数学复习试题（含答案）一、数与式一、判断题 (每题2分，共10分)（ ）1.设a ﹐b ∈R 且|a | + |b | = |a - b |﹐则ab ≤0﹒ （ ）2.若r < s 且r ﹐s ∈Q ﹐则r <3r ss +<必成立﹒ （ ）3.若a ﹐b ∈Q ﹐c ﹐d ∉Q 且a + c = b + d ﹐则a = b 且c = d ﹒ （ ）4.已知a ﹐b ∈R ﹐若a + b 和a - b ∈Q ﹐则a ﹐b ∈Q ﹒ （ ）5.若a ﹐b 为有理数﹐则a + b ﹐ab 皆为有理数﹒二、单选题 (每题5分，共15分)（ ）1.(1) 3 (2) 4 (3)5 (4) 6 (5) 7（ ）2.请比较下列大小关系：a b =3c =﹒(1) a > b > c (2) a > c > b (3) b > c > a (4) c > b > a (5) c > a > b（ ）3.设a ﹐b ﹐c ﹐d ∈ R ﹐若a < b ﹐c < d ﹐则下列叙述何者正确﹖(1) a - c < b - d (2) ac < bd (3) bd < ac (4) ad < bc (5) a + c < b + d三、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共18分)（ ）1.a ﹐b ∈R ﹐下列何者为真﹖(1)若|a | + |b | = |a + b |﹐则ab > 0 (2)若ab > 0﹐则|a | + |b | = |a + b | (3) |a | + |b | > |a - b | (4) |a + b |≤|a | + |b | (5) - |a |≤a ≤|a |（ ）2.下列何者不正确﹖(2)两个有理数之间必有一整数 (3)若p 理数(4) a ﹐b 为实数﹐若a + 0﹐则a = b = 0 (5)循环小数为无理数（ ）3.下列哪些数是无理数﹖(1) 3四、填充题 (每格5分，共35分)1.设x ∈R ﹐则y = | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | 之最小值为____________﹒2.用一条长度60公尺的绳子在河边围成一矩形菜圃﹐且河边不围绳﹐则其可围成的面积之最大值为____________平方公尺﹒3.设x ﹐y ∈Q 且(x , y ) = ____________﹒4.a﹐小数部分为b（01b≤<）﹐求11b a b-=+____________﹒5.把循环小数8.15374化为最简分数得____________﹒6.x﹐y∈N且x>y﹐则(x﹐y) = ____________﹒7.设x﹐y∈R且(2x+ 3y)2+ (4x-y- 1)2= 0﹐则x+y= ____________﹒五、计算证明题(第1题8分，第2题14分，共22分)1.a﹐b是有理数﹐且a b<﹐试比较a﹐45a b+﹐325a b+﹐235a b+﹐45a b+﹐b之大小﹒2.(1)设n是正整数﹐试证：若2n是3的倍数﹐则n是3的倍数﹒（7分）(2)（7分）一、判断题(每题2分，共10分)1.○2.╳3.╳4.○5.○二、单选题(每题5分，共15分)1.22.43.5三、多选题(每题6分，只错一个答案得3分，共18分)1.2452.12453.1345四、填充题(每格5分，共35分)1.22.4503.(1, - 1)4.15.814559999006.(2﹐1)7.114五、计算证明题(第1题8分，第2题14分，共22分)1.45a ba+<325a b+<235a b+<45a bb+<<2.(1)见解析;(2)见解析二、多项式函数一、判断题 (每题2分，共10分)（ ）1.201x x -≤+之解与(x - 2)(x + 1) ≤ 0之解相同﹒ （ ）2.奇数次方实系数多项方程式至少有一实根﹒ （ ）3.若a ﹐b 为复数且a 2 + b 2 = 0﹐则a = 0且b = 0﹒（ ）4.设f (x )﹐g (x )为二多项式且g (x ) ≠ 0﹐若有二多项式q (x )﹐r (x )使得f (x ) = g (x ) ⨯ q (x ) + r (x )﹐则r (x )称为f (x )除以g (x )的余式﹒（ ）5.f (x ) = (x - 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2﹐则在x = 2时﹐f (x )有最小值﹒二、单选题 (每题5分，共15分)（ ）1.下列何者的解为无解﹖(1) x 2 - x + 1 ≥ 0 (2) x 2 + x + 3 ≤ 0 (3) x 2 + 4x + 4 ≤ 0 (4) x 2 + x - 1 > 0 (5) x 2 - x - 3 ≤ 0（ ）2.设α﹐β为x 2 + 6x + 4 = 0之二根﹐则(α+β)2 =﹖(1) - 2 (2) - 4 (3) - 6 (4) - 8 (5) - 10（ ）3.设f (x ) = x 3 - 2x 2 - x + 5﹐则f (f (x ))除以(x - 2)的余式为(1) 7 (2) 9 (3) - 8 (4) - 15 (5) 11三、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共18分)（ ）1.下列叙述何者正确﹖(1)设f (x ) = a n x n + a n - 1x n - 1 +…+ a 1x + a 0为整系数n 次多项式﹐a ﹐b 为整数且(a , b ) = 1﹐若a | a n ﹐b |a 0﹐则ax - b 是f (x )的因式 (2)设a ﹐b 为相异实数﹐若实系数多项式方程式f (x ) = 0在a ﹐b 之间至少有一实根﹐则f (a ) f (b ) < 0 (3)一个奇数次的实系数多项式方程式f (x ) = 0至少会有一实根 (4)整系数多项式方程式f (x ) = 0有一根一根3(5)实系数多项式方程式f (x ) = 0i i（ ）2.设a ﹐b ∈ R ﹐b ≠ 0﹐则下列叙述何者正确﹖(1)2a = | a | (2) (a )2 = a (3)a -=a i (4)ab =ab (5)ba =ba（ ）3.xy 平面上﹐有关图形的叙述﹐何者正确﹖(1) y = x 2图形对称于x 轴 (2) y = x 2对于x 轴的对称图形为y = - x 2 (3) y = x 2 + 2图形系由y = x 2向上平移2单位而得 (4) y = (x + 1)2 + 2图形系由y = x 2向右平移1单位﹐再向上平移2单位而得(5) y = (2x + 1)2 - 2图形的对称轴为2x + 1 = 0四、填充题 (每格5分，共35分)1.设a ﹐b 为定数﹐且ax 2 + bx + 10 > 0的解为 - 2 < x < 5﹐则不等式2ax 2 - bx + 5 < 0的解为__________﹒2.设a ﹐b 为实数﹐且多项方程式x 3 + ax 2 + bx + 10 = 0有一根为1 + 2i ﹐求此方程式的实数根为__________﹒3.若f (x ) ∈ R [x ]且deg f (x ) ≥ 3﹐已知f (x )除以(x + 1)2余3x + 2﹐f (x )除以(x - 1)2余2x + 1﹐则f (x )除以(x - 1)(x + 1)2之余式为____________﹒4.设f (x ) = (x 2 - x + 1) q (x ) + 2x - 5﹐且f (x )之各项系数和为2﹐则q (x )除以x - 1之余式为____________﹒5.设x 4 = (x + k )(x - 1)(x + 2)(x - 2) + a (x - 1)(x + 2) + b (x - 1) + c ﹐则a + b + c + k =____________﹒6.设f (x )以x -ab除之商为q (x )﹐余式为r ﹐则x f (x ) + 2被(ax - b )除之商式为____________﹒ 7.某电影院每张票价为120元﹐每场观众平均500人﹐若票价每减5元﹐每场观众就增加50人﹐则每张票价订为____________元时﹐每场电影票价收入为最多﹒五、计算题 (第1题10分，第2题12分，共22分)1.试找出f (x ) = 2x 5 + x 4 - 5x 3 + 2x 2 - 7x + 1 = 0之各实根﹐分别介于哪些相邻整数之间﹒2.设f (x ) = 16x 3 + 12x 2 + 8x + 8 = a (2x + 1)3 + b (2x + 1)2 + c (2x + 1) + d ﹐ (1)求a ﹐b ﹐c ﹐d 的值﹒(6分)(2)求f (- 0.4995)的近似值到小数第三位（以下四舍五入）﹒ (6分)一、判断题 (每题2分，共10分)1.╳2.○3.╳4.╳5.○二、单选题 (每题5分，共15分)1.22.53.5三、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共18分)1.3452.123.235四、填充题 (每格5分，共35分)1.x <25-或x >1 2.- 2 3.221x -+ 2x +23 4.5 5.2 6.a x q (x ) +ar 7.85 五、计算题 (第1题10分，第2题12分，共22分)1.(- 3﹐- 2)﹐(0﹐1)﹐(1﹐2)2.(1) a = 2﹐b = - 3﹐c = 4﹐d = 5;(2) 5.004三、指数函数与对数函数一、单选题 (每题4分，共20分)（ ）1.若a > 0﹐且113532()x a aa a -⨯⨯=﹐则x = (1) 1 (2)215 (3)415 (4)25 (5)35﹒ （ ）2.设x ﹐y 都是不为0的实数﹐则下列何式两端均有意义且相等？ (1) log x 2y 2 = 2log xy (2) log x 2y 2 = log x 2 + log y 2 (3) log x 2y 2 = log x 2log y 2 (4) log yx= log x - log y (5) log(x 2 + y 2) = log x 2log y 2﹒（ ）3.若log 23 = a ﹐log 37 = b ﹐则log 4228 =(1)21ab a ab +++ (2)21abb ab+++ (3)21a b a b +++ (4)21a b a b +++ (5)21ab a b ab ++++﹒（ ）4.下图为函数y = a - log b x 之部分图形﹐其中a ﹐b 皆为常数﹐则下列何者为真？(1) a < 0﹐b > 1 (2) a > 0﹐b > 1 (3) a = 0﹐b > 1 (4) a > 0﹐0 < b < 1 (5) a < 0﹐0 < b < 1﹒（ ）5.假设世界人口自1980年起﹐50年内每年增长率均固定﹒已知1987年世界人口达50亿﹐1999年第60亿人诞生在赛拉耶佛﹒根据这些资料推测2023年世界人口最接近下列哪一个数？(1) 75亿 (2) 80亿 (3) 86亿 (4) 92亿 (5) 100亿﹒二、多选题 (每题5分，只错一个答案得3分，共15分)（ ）1.设y = 2x 的图形为S ﹐y = 3x 的图形为T ﹐则： (1) S ﹐T 两图形恰交于一点 (2) S 恒在T的下方 (3) S ﹐T 的渐近线相同 (4) S ﹐T 均为凹口向上 (5) S ﹐T 与任一条水平线均相交﹒（ ）2.下列等式﹐何者正确？ (1) log 312 = log 312 (2) log 3112= log 32 (3) log 4342 log 32(4) log 32．log 23 = 1 (5) log 32．log 3112= 1﹒ （ ）3.下列叙述﹐何者正确？ (1) y = 3x 与y = 3- x 的图形对称于y 轴 (2) y = log 3 x 与y = log 31x的图形对称于x 轴 (3) y = 3x 与y = log 3 x 的图形对称于y 轴 (4) y = 3-x 与y = log 31x 的图形对称于x - y = 0(5) y = 3x 与y = log 3x 的图形相交于一点﹒三、填充题 (每格5分，共45分)1.100)035.0()5.3(==y x ﹐则=-yx 11__________﹒ 2.设a > 0﹐若a 2x + a -2x = 7﹐则a 3x + a -3x 之值为____________﹒ 3.2⋅4x - 9．2x + 4 ≤ 0之解为____________﹒4.不等式21+2x + 21 - 2x - 7(2x + 2-x ) + 9 < 0﹐则2x + 2-x 的范围为____________﹒5.求log 2116+ log 5125 + log 31 + 23log 2之值= ____________﹒ 6.方程式(8x )x2log = 4x 2之解为____________﹒7.设实数x 满足0 < x < 1﹐且log x 4 - log 2x = 1﹐则x ＝____________﹒（化成最简分数） 8.满足-1 ≤ 13log (log 3x ) < 0之整数有____________个﹒9.某公司为了响应节能减碳政策﹐决定在五年后将公司该年二氧化碳排放量降为目前排放量的75%﹒公司希望每年依固定的比率（当年和前一年排放量的比）逐年减少二氧化碳的排放量﹒若要达到这项目标﹐则该公司每年至少要比前一年约减少____________%的二氧化碳的排放量﹒（计算到小数点后第一位﹐以下四舍五入）四、计算题 (第1题6分，第2题8分，第3题6分，共20分)1.方程式 |log 2 x | - 2-|x | = 0的实数解有多少个？（6分）2.设(67)50于小数点后第p 位开始出现不为0的数字q ﹐求p ﹐q 之值﹒（8分）3.某银行月利率2％﹐每月复利一次计算利息﹐今小峰每月月初存入10000元﹐则一年后本利和约为多少元？（注：121.02≈ 1.27）（6分）一、单选题 (每题4分，共20分)1.42.23.14.15.3二、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共15分)1.1342.12343.124三、填充题 (每格5分，共45分)1.12.183.-1 ≤ x ≤ 24.2≤ 2x + 2-x <25 5.2 6.2或147.14 8.24 9.5.6 四、计算题 (第1题6分，第2题8分，第3题6分，共20分)1.2个2.p =4﹐q =43.137700。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
高一数学期末复习题五(试题和答案)
高一数学期末复习题(五)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}，定义P ※Q ＝{(a, b)|a ∈P, b ∈Q}，则P ※Q 中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 12思路解析：这是一创新题,在给出一个新定义的条件下,通过理解然后简单的应用之,可使用列举法.P ※Q 中元素分别为(3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,4), (5,5), (5,6),(5,7)共12个. 答案：D2．下列叙述中，错误的是（ ）A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B.1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的π21C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关思路解析：根据角度和弧度的定义，知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，所以D 是错误的. 答案：D3．设f(x)=|x-1|-|x|，则f ［f(21)］等于（A. -21 B. 0C. 21D. 1思路解析：这是一个多层法则求值问题,先内后外,易得到答案.因为f(21)=0,而f(0)=1. 答案：D4．若cos100°=k ，则tan(-80°)的值为( )A.k k 21--B.k k 21-C.k k 21+D.kk 21+-思路分析：由cos100°=k 可得cos80°=-k ，于是可求sin80°=2)(1k --，利用商数关系式可得tan80°，进一步求得tan(-80°).答案：B5．4. 同时满足下列条件：（1）有反函数;（2）是奇函数;（3）其定义域集合等于值域集合的函数是（A. f(x)=xB. f(x)=(x-1)32C. f(x)=-x 3D. f(x)=x 5+1思路解析：本题可使用排除法,借助是奇函数可去掉A 、B 、D 三个选项. 答案：C6．观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜＜1的x 的取值范围是(其中k ∈Z )( )A.(2kπ-4π，2kπ+4π)B.(kπ，kπ+4π)C.(kπ-4π，kπ+4π)D.(kπ+4π，kπ+43π)思路分析：在基本区间(2π-,2π)当中，满足|tanx|＜1的x 的范围是(4π-,4π)，推广到整个定义域可得答案.答案：C7．设函数f(x)=x|x|+bx+c①c=0时，y=f(x)是奇函数；②b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个实根;③y=f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实根.其中正确的命题是（ ） A. B. C. D.思路解析：要注意到函数f(x)=x|x|+bx+c 的图象同参量b 和c 之间的关系. 答案：C8．函数y=2sin(6π-2x)(x ∈［0,π］)为增函数的区间是( ) A.［0,3π］ B.［12π,127π］C.［3π,65π］ D.［65π,π］解析:由2x-6π∈［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z )得kπ+3π≤x≤kπ+65π,又x ∈［0,π］,∴x ∈［3π,65π］.答案:C9．已知集合A={m 1,m 2},B={n 1,n 2,n 3},则从A 到B 的不同映射共有 …（ ） A.3个 B.6个 C.9个 D.12个思路解析：根据映射的定义，集合A 中的这两个元素可以同时对应集合B 中的同一个元素，也可以对应集合B 中的不同的两个元素，据此将所有情况分类枚举出来即可.当集合A 中的两个元素同时对应集合B 中的一个相同的元素时，有3种映射；当集合A 中的两个元素与集合B 中的不同的两个元素相对应时，有6种映射.∴一共有9种不同的映射.因此，选C. 答案：C10．若tanθ+cotθ=2，则sinθ+cosθ的值为( )A.0B.2C.2-D.±2思路分析：将tanθ+cotθ=2化弦得2sin cos cos sin =+θθθθ，即2cos sin cos sin 22=+θθθθ，应用平方关系式得2sinθ·cosθ=1，再求(sinθ+cosθ)2的值，然后开方可得结论.11．f(log 2x)=x,则f(21)等于( ) A. 21 B. 41C. 1D. 2思路解析:采用换元法,令log 2x=t,则x=2 t,则原函数即f(t)=2 t,则f(21)=221=2.答案: D12．函数f(x)=cos(sinx)的值域是（ ）A.(-1,1)B.［-1,1］C.［cos1,1］D.(cos1,1］ 思路解析：y=cosx 为偶函数，又sinx ∈［-1,1］，∴只需研究sinx ∈［0,1］时，f(x)=cos(sinx)的值域即可.又∵［0,1］⊂［0,π］， ∴在［0,1］上y=cosx 为单调递减函数.由0≤sinx≤1知cos1≤cos(sinx)≤cos0，即该函数的值域为［cos1,1］. 答案：C二、填二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)13．已知函数f(x)=211x -的定义域是F ，函数g(x)= log 12(2+x-6x 2)的定义域是G ，全集U=R ，那么F ∩G=____________________.思路解析：本题考查求一个函数的定义域以及在全集基础上的集合间的求“补”运算和集合间的求“交”运算,所以要分别求出集合F 和G 以及G 的补集，最后求F∩G.解：∵1-x 2＞0,∴-1＜x ＜1,∴F=(-1,1). ∵2+x-6x 2＞0,∴-21＜x ＜32,∴G=(-21，32),G=（-∞,-21）∪［32,+∞］,∴F∩G=(-1,-21)∩［32,1］.14．.函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标是_________.思路分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2πk，0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图象可由y=tanx经过变换图象而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图象与x轴的交点.由232ππkx=+(k∈Z)得64ππ-=kx(k∈Z).∴对称中心坐标为(64ππ-k，0)(k∈Z).答案：(64ππ-k，0)(k∈Z)15．已知0＜α＜π,sinα+cosα=31,则tanα=_____________.解析:方法一:显然2π＜α＜π,∴sinα＞0,cosα＜0.由sinα+cosα=31得sin2α+2sinαcosα+cos2α=91.∴2sinαcosα=98-.∴sinαcosα=94-.∴sinα,cosα为方程x2-9431-x=0的根.∴sinα=6171+,cosα=6171-,tanα=8179+-.方法二:∵sinα+cosα=31,∴α∈(2π,π),∴tanα＜0,且sin2α+2sinαcosα+cos2α=91.两边同除以cos2α得tan2α+2tanα+1=91(1+tan2α),解得tanα=8179+-.答案:8179+-16．下列结论中:①定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是增函数,在区间［0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;②若f(2)=f(-2),则函数f(x)不是奇函数;③函数y=x -0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.写出上述所有正确结论的序号:.思路解析:①符合增函数定义,正确;②不正确,f(x)=0,x∈R就是奇函数;③画出函数图象草图可判断;④不正确;⑤只对m、n非常接近x0时,f(m)f(n)<0才成立.答案:①③三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)17．计算:lg2lg5lg8lg50lg40(1)+--+;(2)lg5(lg8+lg1 000)+(lg2+lg16+lg0.06.解:(1)原式54lg25lg8lg⨯-=+1-5454lglg10=-=.(2)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg22)-lg6+lg6-23=⋅lg5⋅lg2+3lg5+3lg222-=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1.18．（1）已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+.思路分析：将第一个被开方数的分子、分母同时乘以1+sinα，即可去掉根号.同理，将第二个被开方数的分子、分母同时乘以1-sinα，可去掉第二个根号，然后化简可得结论. 答案：-2tanα.（2）求函数3cos 2)3lg(tan ++-=x x y 的定义域.分析：要使函数有意义，需同时满足三个条件，一是tanx 有意义；二是真数大于零，即tanx-3＞0；三是被开方数不小于零，即2cosx+3≥0，找出各部分的公共元素.解：欲使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠≥+>).(2,03cos 2,3tan Z k k x x x ππ∴函数的定义域为(kπ+3π，kπ+2π).19．设三角函数f(x)=sin(5k x+3π)(k≠0). (1)写出f(x)的最大值M 、最小值m 与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m.解析:(1)∵f(x)=sin(5kx +3π)(k≠0)且x ∈R ,∴M=1,m=-1,T=||10k π. (2)设x ∈［n,n+1］(n ∈Z ),由已知题意,当自变量x 在任意两个整数间变化时,函数f(x)至少有一个最大值,又有一个最小值,则函数的周期应不大于区间的长度,即|(5kn +3π)-5)1(+n k -3π|≥2π. 解得|k|≥10π.∴最小的正整数k=32. .20．已知f(x)=12+++bx x ax 是定义在［-1，1］上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论.解：∵f(x)=12+++bx x ax 是定义在［-1，1］上的奇函数， ∴f(0)=0，即10002+++a=0,∴a=0.又∵f(-1)=-f(1),∴b --21=-b +21,∴b=0,∴f(x)=12+x x.函数f(x)在［-1，1］上为增函数. 证明如下，任取-1≤x 1＜x 2≤1, ∴x 1-x 2＜0,-1＜x 1x 2＜1, ∴1-x 1x 2＞0. f(x 1)-f(x 2)=1211+x x -1221+x x =)1)(1(222122211221++--+x x x x x x x x =)1)(1()()(2221121221++---x x x x x x x x =)1)(1()1)((22212121++--x x x x x x ＜0, ∴f(x 1)＜f(x 2),∴f(x)为［-1，1］上的增函数.21．设a ＞0，f(x)=a e x +xe a是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解析：依题意，对一切x ∈a e x +x e a =x ae1+ae x ,所以（a-a 1）(e x -x e 1)=0， 对一切x ∈R 成立. 由此得到a-a1=0，即a 2=1. 又因为a ＞0，所以a=1. (2)证明：设0＜x 1＜x 2,f(x 1)-f(x 2)=1x e -2x e +11x e -21x e =(2x e -1x e )(211x x e+-1)=1x e (12x x e +-1)·12121x x x x e e ++-, 由x 1＞0，x 2＞0，x 2-x 1＞0，得x 1+x 2＞0,12x x e--1＞0,1-12x x e+＜0，∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x)在（0，+∞）上是增函数。
高一数学期末试题及答案
高一数学期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. 1/2D. 1/33. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 函数f(x) = |x|的图象是：A. 直线B. 抛物线C. V形D. U形6. 等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值是：A. 11B. 13C. 15D. 177. 向量a = (3, -4)与向量b = (-2, 5)的点积是：A. 13B. -13C. 3D. -38. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)10. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的顶点坐标是：A. (3, 0)B. (-3, 0)C. (3, 9)D. (-3, 9)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b3的值是________。
12. 函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标是________。
13. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。
14. 向量a = (1, 2)与向量b = (-2, 4)的向量积是________。
15. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点是________。
新高考高一数学期末复习必修一复习试题1-2套含答案教学文案
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2018 年新高考高一数学必修一复习试题1一、选择题（每小题5分，共 60分）1. 设集合A x |4x3， B x | x2，则AI B （）A．(4,3)B． ( 4,2]C． (, 2]D． (,3)2．若全集U0,1,2,3且C U A 2 ，则集合A的真子集共有（）A3个B5个C7 个D8个3．已知集合 A={x|x2﹣5x+6 ≤ 0} ，集合 B={x|2x＞ 4} ，则集合 A∩ B=（）A． {x|2 ≤ x≤ 3} B ． {x|2≤ x＜ 3}C．{x|2＜ x≤ 3}D． {x|2 ＜ x＜3} 4．不等式x23x20的解集为（）A．,2U1, B ．2,1 C ．,1U2, D ．1,2 5．若A1,4, x, B1, x2且 B A ，则 x（）A．±2 B ．±2 或0 C．±2 或1或0 D ．±2 或±1或06．函数y1的值域是（）x 21A．[1,)B．(0,1]C．(,1]D．(0, )7．已知偶函数 f ( x) 在区间0, ) 单调递增，则满足 f ( x) ＜ f (1) 的x取值范围是() A．（ -1，1）B． (-1，0）C．（ 0， 1）D． [-1， 1)9．函数y| x2 1 |与y a 的图象有4个交点，则实数 a 的取值范围是（）A．（0，+）B． (-1， 1）C．（ 0， 1）D．（ 1， +）9.设函数 f(x) 是 R上的奇函数，A．0B．1C．f (1)1, f (x 2) f (x) f (2), 则f(5)=( )25D． 5210. 函数y x2 2 x ,x [0,3]的值域为（）A． [0,3]B． [1,3]C． [-1,0]D．[-1,3]11. 已知函数 f(x)是 R 上的增函数， A(0, -1),B(3, 1)是其图象上的两点，那么|f(x+1)| ≥ 1 的解集是（）A． (-1, 2) B． (1,4) C.， 14，D．， 12，12．奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x（1+x），则f(x)在上有（）A．最大值 -1/4B．最大值1/4 C ．最小值 -1/4D．最小值1/4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．函数y x 11。
新教材2020-2021学年新高一数学 人教版必修集合练习题含多选
集合练习题一、选择题．1．若{1,4,}A x =，2{1,}B x =且B A ⊆，则x =（ ） A ．2±B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或02．满足条件{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ⊆的集合M 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A =，{2,3,5}B =，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（ ）个．A ．3B ．4C ．7D ．84．设集合{0,1,2}A =，{|,,}B m m x y x A y A ==+∈∈，则集合A 与B 的关系为（ ） A ．A B ∈B ．A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆5．设全集为R ，集合{|10}A x x =->，{|2}B x x =>，则集合()A B =R（ ）A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >6．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足MN Q =，MN =∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(,)M N ，下列选项中，不可能成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素7．（多选题）已知集合{}2|1A y y x ==+，集合{}2(,)|1B x y y x ==+，下列关系正确的是（ ） A ．(1,2)B ∈B ．A B =C ．0A ∉D ．(0,0)B ∉8．（多选题）设集合{|()(3)0}M x x a x =--=，{|(4)(1)0}N x x x =--=则下列说法不正确的是（ ） A ．若M N 有4个元素，则MN ≠∅B ．若M N ≠∅，则MN 有4个元素C ．若{}1,3,4M N =，则MN ≠∅D ．若M N ≠∅，则{}1,3,4MN =二、填空题．9．若2{,1,3}A a a =+-，2{3,21,1}B a a a =--+，{3}A B =-，则a =_____．10．已知集合1{|(21),}9A x x k k ==+∈Z ，41{|,}99B x x k k ==±∈Z ，则集合A ，B 之间的关系为_______．11．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为_______． 12．已知全集{2,3,5}U =，集合20{|}A x x bx c =++=，若{2}UA =，则b =_______，c =_______．三、解答题．13．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>． （1）求()B A R ；（2）设集合{|6}M x a x a =<<+，且A M M =，求实数a 的取值范围．14．设集合{|12,}A x a x a a =-<<∈R ，不等式2280x x --<的解集为B ． （1）当0a =时，求集合A ，B ； （2）当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．15．给定数集A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合．（1）判断集合{4,2,0,2,4}A =--，{|3,}B x x k k ==∈Z 是否为闭集合，并给出证明． （2）若集合A ，B 为闭集合，则A B 是否一定为闭集合？请说明理由．（3）若集合A ，B 为闭集合，且A R ，BR ，求证：()AB R ．一、选择题．1．【答案】B【解析】因为B A⊆，所以24x=或2x x=，所以2x=±、1或0，根据集合中元素的互异性得2x=±或0．2．【答案】B【解析】由题意可知：{1,2,3,4}M A=，其中集合A为集合{5,6}的任意一个真子集，结合子集个数公式可得，集合M的个数是2213-=．3．【答案】C【解析】∵集合{1,2,3,4,5}U=，{1,3,5}A=，{2,3,5}B=，∴{3,5}A B=，图中阴影部分表示的集合为(){1,2,4}UA B=，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有321817-=-=．4．【答案】D【解析】∵集合{0,1,2}A=，{|,,}{0,1,2,3,4}B m m x y x A y A==+∈∈=，∴A B⊆．5．【答案】D【解析】因为{|10{|1}}A xx x x=>>=-，{|2B x x=<或2}x>，∴{|1}A x x=≤R，∴(){|1A B x x=≤R或2}x>．6．【答案】C【解析】对A，若{|0}M x Q x=∈<，{|0}N x Q x=∈≥；则M没有最大元素，N有答案与解析一个最小元素0，故A 正确； 对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素， 故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈≤，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确． 7．【答案】ACD【解析】由已知集合{}1}[1,)A y y =≥=+∞，集合B 是由抛物线21y x =+上的点组成的集合，A 正确，B 错，C 正确，D 正确，故选ACD ． 8．【答案】ABC【解析】（1）当3a =时，{3}M =，M N =∅，{134}M N =，，；（2）当1a =时，{1,3}M =，{1}M N =，{134}M N =，，； （3）当4a =时，{3,4}M =，{4}MN =，{134}MN =，，；（4）当1a ≠，3，4时，{3,}M a =，M N =∅，{1,3,4,}MN a =，故A ，B ，C 不正确，D 正确．二、填空题． 9．【答案】1- 【解析】{3}AB =-，则3B -∈，分3种情况讨论：①33a -=-，则0a =，此时{3,1,1}B =--，{0,1,3}A =-，{1,3}A B =-，不合题意；②213a -=-，则1a =-，此时{0,1,3}A =-，{4,3,2}A =--， 此时{3}AB =-，符合题意；③213a +=-，此时a 无解，不合题意， 综上所述1a =-． 10．【答案】A B =【解析】对于集合A ，2k n =时，141(41)999n x n =+=+，n ∈Z ， 当21k n =-时，141(421)999n x n =-+=-，n ∈Z ， 即集合41{,}99n A x x n ==±∈Z ， 由41{,}99k B x x k ==±∈Z ，可知A B =． 11．【答案】1-或0【解析】若2(1)1a +=，则0a =或2a =-． 当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去． 若2331a a ++=，则1a =-或2a =-． 当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去． 故答案为1-或0． 12．【答案】8-，15 【解析】∵{2}UA =，∴{3,5}A =，∴方程20x bx c ++=的两个实数根为3和5， ∴(35)8b =-+=-，3515c =⨯=．三、解答题．13．【答案】（1）{|21}x x -≤≤；（2）{|42}a a -<<-． 【解析】（1）∵集合{}|1B x x =>，则{|1}B x x =≤R，∵集合{}2|2A x x -=≤≤，则(){|21}B A x x =-≤≤R．（2）∵集合{|6}M x a x a =<<+，且A M M =，∴622a a +><-⎧⎨⎩，解得42a -<<-，故实数a 的取值范围为{|42}a a -<<-．14．【答案】（1）{|10}A x x =-<<，{|24}B x x =-<<；（2）2a ≤． 【解析】（1）当0a =时，{|10}A x x =-<<，2280{|24}x x B x x --<⇒=-<<．（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意； ②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有121242a a a a -≥-≥-⎧⎧⇒⎨⎨≤≤⎩⎩，解得12a -<≤， 综合①②，得2a ≤．15．【答案】（1）A 不为闭集合，B 为闭集合；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析． 【解析】（1）因为4A ∈，但是448A +=∉，所以A 不为闭集合． 任取a ，b B ∈，设3a m =，3b n =，m ，n ∈Z ， 则333()a b m n m n +=+=+且m n +∈Z ，所以a b B +∈， 同理，a b B -∈，故B 为闭集合． （2）结论：不一定．令{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|3,}B x x k k ==∈Z ， 则由（1）可知，A ，B 为闭集合，但2，3A B ∈，235A B +=∉，因此，AB 不为闭集合．（3）证明：（反证法）若AB =R ，则因为AR ，存在a ∈R 且a A ∉，故a B ∈， 同理，因为BR ，存在b ∈R 且b B ∉，故b A ∈，因为a b A B +∈=R ，所以，a b A +∈或a b B +∈，若a b A +∈，则A 为闭集合，()a a b b A =+-∈，与a A ∉矛盾， 若a b B +∈，则B 为闭集合，()b a b a B =+-∈，与b B ∉矛盾， 综上，存在c ∈R ，使得c AB ∉，∴()A B R ．。
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参考答案
1．BD
【分析】
分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可判断.
【详解】
对于A， ，对应关系不一致，故A错误；
对于B， 和 的定义域都为 ，且 ，对应关系一致，故B正确；
对于C， 满足 ，故 的定义域为 ， 满足 ，解得 或 ，即 的定义域为 ，定义域不一致，故C错误；
A． B．
C． D．
7．（多选）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则下列判断正确是（）
A．当 时， B． 的解集为
C．函数在R上单调递增D．函数 有3个零点
9．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量 （单位：mg）随时间 （单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中， 与 成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数），则（）
5．ABC
【分析】
根据指数函数、幂函数和对数函数性质对各个选项进行判断．
【详解】
由指数函数的性质可知，当 时， ， 恒成立，A正确；
由对数函数的性质可知，当 时， ， ， 恒成立，B正确；
对于C，当 时， ， ，当 时， , 则 ，C正确；
对于D，当 时， ，由对数函数与指数函数的性质可知，当 时， ， ，故 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故B正确；
对于C，当 时，由 ，知 ，
当 时，由 ，知 ，
则 ，故C错误；
对于D，浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，故D错误；
故选：AB
【点睛】
本题考查了指数函数的增长模型，同时考查了指数式与对数式的互化以及指数函数的性质，属于基础题.
故选：ABC．
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握指数函数、幂函数和对数函数的单调性是解答本题的关键，对于全称命题：必须所有的对象都使命题成立，命题为真命题；存在一个对象使命题不成立，则命题即为假命题；对于特称命题：存在一个对象使命题成立，则命题为真；所有的对象都使命题为假，则命题为假命题.
6．BD
【分析】
绝密★启用前
高一期末复习-多选题训练
一、多选题
1．下列各组函数表示的是同一个函数的是（）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（）
A． B．
C． D．
3．对于任意实数 ， ， ， ，下列四个命题中，其中真命题的是（）
A．若 ， ，则 ；B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ；D．若 ， ，则 .
【详解】
弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误;
因为 ,所以 正确;
因为 ,所以 正确.
故选 .
【点睛】
本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题,注意:在同一个表达式中,弧度与角度不能混用.
8．BD
【分析】
对选项A，求出 的解析式即可判断A错误；对选项B，根据 ，再分类讨论解不等式即可判断B正确.对选项C，首先利用导数求出函数 在 为增函数，再根据奇函数的性质即可判断C错误，对选项D，分类讨论解方程 即可判断D正确.
【详解】
对选项A，当 时， ，所以 ，
所以 ，故A错误.
对选项B，因为 ，
所以 ， ， ，
综上 的解集为 ，故B正确；
对选项C，当 时， ， ，
所以 在 为增函数，又因为 是定义在R上的奇函数，
所以函数 在 ， 上单调递增，不能说在R上单调递增，故C错误.
对选项D，因为 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以函数 有3个零点，故D正确.
对于D， 和 的定义域都为 ，且 ， ，对应关系一致，故D错误.
故选：BD.
【点睛】
方法点睛：判断两个函数是否同一个函数的方法：先求出函数的定义域，判断定义域是否相同，再化简判断函数的对应关系是否一致.
2．BCD
【分析】
由条件可得 ，结合 ，即可得出．
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以A错，BD对；
因为 ，
由函数的奇偶性、单调性可逐项判断，
A． 在定义域上不是增函数；
B． ，因为 ， ，所以为奇函数； ， 都是增函数，所以 是增函数；
在定义域上既是奇函数，也是增函数；
C． 在其定义域上既是奇函数又是增函数；
D． 在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，
故选：BC．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．
则 ，
化为： ，当且仅当 时取等号，C对．
故选： ．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．CD
【分析】
举出反例可判断A、B，由不等式的基本性质可判断C、D，即可得解.
【详解】
对于A，若 ，当 时，则 ，故A错误；
对于B，若 ，当 时， ，故B错误；
故答案为：BD
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查函数的综合应用，考查了函数的奇偶性、单调性和函数的零点，利用奇函数的性质求出 为解决本题的关键，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
9．AD
【分析】
利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．
【详解】
解：当 时，设 ，则 ，故 ，即 ，故 正确；
根据二次函数的单调性，易知 在 和 都是减函数，且在 处连续，所以 在 上是减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD.
【点睛】
思路点睛：
求解函数新定义问题时，一般根据函数的新定义，结合函数基本性质（单调性、奇偶性、对称性等），确定新定义下的函数的性质，即可求解.
7．CD
【分析】
由弧度与角度不能混用,排除 ,把 化成角度数,变成 ,说明 正确,把 变成 ,说明 正确.
满足（1）可得， 是奇函数，满足（2）可得， 在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质；根据选项，逐项判断函数奇偶性与单调性，即可得出结果.
【详解】
由（1）对于定义域内的任意 ，恒有 ，即 ，所以 是奇函数；
由（2）对于定义域内的任意 ， ，当 时，恒有 ，所以 或 ，则 在定义域内是减函数；
对于A：由 可得 ，所以 是偶函数，故不是“理想函数”；
对于B：由 得 ，所以 是奇函数，又 在 上是增函数，所以 在 上是减函数，所以是“理想函数”；
对于C：由 得 ，所以 是奇函数；又 在定义域上增函数， 在 和 上是减函数，所以 在 和 上都是增函数，故不是“理想函数”；
对于D： ， ，所以 是奇函数；
4．（多项）下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．若函数 同时满足：（1）对于定义域内的任意 ，有 ；（2）对于定义域内的任意 ， ，当 时，有 ，则称函数 为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（）
对于C，若 ，可得 ，所以 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 ，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查了不等关系的判断及不等式性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
4．BC
【分析】
根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是不是奇函数；根据基本初等函数的性质、图象即可判断函数是否为增函数．
【详解】
当 时，把 代入 可得： ， ，即 ，故 错误；
令 ，即 ， ，解得 ，故 错误， 正确．
故选： ．
【点睛】
本题考查函数图象的意义，函数解析式及不等式解法，属于基础题．
10．AB
【分析】
由图像知： 时， ，代入解析式求出 可判断A；令 代入解析式求解判断B；令 ， 分别求出 ，再求出差值判断C；根据图像的变化趋势判断增长速度越来越快，可判断D.
A．当 时，
B．当 时，
C． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到 以下
D． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到 以下
10．如图某池塘中的浮萍蔓延的面积（ ）与时间 （月）的关系： ，以下叙述中正确的是（）
A．这个指数函数的底数是2；B．第5个月时，浮萍的面积就会超过 ；
C．浮萍从 蔓延到 需要经过1.5个月；D．浮萍每个月增加的面积都相等；