线性代数考试题库及答案(四)

合集下载

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

线性代数题库4

200 —200 学年度第学期《线性代数》期末考试题4复查人签名: 核分人签名:一、判断题（每小题1分，共10分）1．n(n-1)(n-2)…21是偶排列。

（） 2．n 阶方阵A 可逆，则r(A)=n 。

（）3．设A 1，A 2都是n 阶矩阵，则│A │=021A A =│A 1││A 2│ （）4．正交向量组必线性无关。

（） 5．若矩阵A n 中有某个S 阶子式不等于零，则R （A n ）≥S 。

（） 6．若α1，α2，…, αr 是一组线性无关的向量，则对任何一组不全为零的数k 1,k 2,…,kr ，都有k 1α1+k 2α2+…+k r αr ≠0。

（）7．齐次线性方程组AX=0的基础解系是唯一的。

（） 8．对A m ×n 左乘初等矩阵，相当于对A 做相应的初等列变换。

（） 9．若两个向量组等价，则它们的秩相等，反之，若两个向量组的秩相等，则它们必等价。

（） 10．若向量组α1，α2，…, αs 的秩为r ，则其中任意r 个向量都可以构成它的一个极大无关组。

（）二、填空题（每小题2分，共10分）1．排列75284631的逆序为。

=-5.013 。

3.如果⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-b b a a63312010311,则a= ,b= 。

4.若A 为n m ⨯矩阵，则≤≤)(0A R 。

5．设A==≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12121),0(,A a a a a a a n n 则。

三、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设A 为n 阶矩阵，下述结论正确的是（）A 、矩阵A 有n 个不同的特征根B 、矩阵A 有T A 有相同的特征值和特征向量C 、矩阵A 的特征向量α1, α2的线性组合C 1α1+C 2α2仍是A 的特征向量D 、矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关2．设A=的是则00,)(*==⨯A A a n n ij （）A 、充分条件但非必要条件B 、必要条件但非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件3．设A , B 都是n 阶非零矩阵，且AB =0，则A 和B 的秩（）A 、必有一个等于零B 、都小于nC 、一个小于n ,一个等于nD 、都等于n 4．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 等价，则下列命题中不正确的是（）A 、存在可逆矩阵P 和Q ，使PAQ=B B 、若,0≠A s 则存在可逆矩阵P ，有PB=EC 、若A 与E 等价，则B 可逆D 、若0,0>>B A 则5.设321,,ξξξ是四元非齐次线性方程组AX =b 的解向量，且r (A )=3.若1ξ=(－1, 0, 1, 2)T , T )6,4,2,2(32-=+ξξ，则线性方程组AX =b 的通解X =（）A 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-11112101c B 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-11122101c C 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-01012101c D 、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10102101c其中c 为任意常数.四、（15分）求n 阶行列式xaaaa x a aa a x aa a a x的值五、(10分 )已知R 3的两个基为：=1α(1, 1, 1)T，2α=(1, 0, －1)T , 3α=(1, 0, 1)T=1β(1, 2, 1)T，2β=(2, 3, 4)T ,3β=(3, 4, 3)T求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵P六、（15分）设A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-71534321101111a b ，求A 的秩七、（10分）设矩阵A 、B 及A +B 都可逆，证明A－1+B－1也可逆，并求其逆矩阵八、（15分）用消元法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=+-+-25333251072223243215432154321x x x x x x x x x x x x x x200 —200 学年度第学期《线性代数》期末考试题5复查人签名: 核分人签名:一、判断题（每小题1分，共10分） 1．排列n (n -1)(n-2)…21的逆序数为2)1(-n n （）2．设向量组A 与向量组B 的秩相等，且A 组能由B 组线性表示，则A 组与B 组等价。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。

答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。

答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。

答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。

答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。

答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。

答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。

答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。

线性代数第4,5章综合练习题和答案

第4，5章综合练习题一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7．二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8．设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ；（C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 都不可逆；（B）A 、B 有相同的特征值；（C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似；（D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（）（A ）（123,,ααα）（B）（132,,ααα）（C）（321,,ααα）（D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式（D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零（D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（）（A）A 、B 同时可逆或不可逆；（B）A 、B 有相同的特征向量；（C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似；（D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（）。

线性代数课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3, b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明令B=(b1,⋅⋅⋅,b r),A=(a1,⋅⋅⋅,a s),则有B=AK.必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101*********||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解因为AP =A (x , A x , A 2x )=(A x , A 2x , A 3x )=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B . (2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T ,⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA , 所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .(2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1. 当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ; 解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r . (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一.当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000013101201 ~r , 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R . 因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3)l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关. 32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解. 由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r 线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,k s 为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0,λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1,λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1.V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2. 证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .。

线性代数模拟试卷及答案4套

线性代数模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式（12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解（12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系（8分）线性代数模拟试卷(二)三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式（13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解（14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换（16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝。

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc

充 1：当 A 列秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行秩（或 B 可逆），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用明次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此矩 AB 和 B 的列向量有相同的性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确同解 .同理当 B 行秩（或B 可逆）， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元性方程有解, 且其系数矩的秩r, 当 ______, 方程有唯一解;当 ______ , 方程有无多解 .解：假方程A m × n x = b, 矩的秩 r ( A) r .当 r n , 方程有惟一解 ; 当 r n , 方程有无多解 .4. 在次性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程只有零解。

线性代数练习册第四章习题及答案（本）

线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。

《线性代数》习题四答案

《线性代数》习题四答案1习题四(A)1.解:(1)EA23456(6)(1)023得特征值16,21.对于16,解对应的齐次线性方程组6EA某0,可得它的一个基础解系1(1,1)T,所以,A的属于特征值6的全部特征向量为c11,(c10,为任意常数)对于21,解对应的齐次线性方程组EA某0,T可得它的一个基础解系2(4,3),所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c22,(c20,为任意常数)2(2)EA00110(2)(1)02211得特征值122,31,对于122,解对应的齐次线性方程组2EA某0,TT可得它的一个基础解系1(1,0,0),2(0,1,1),所以,A的属于特征值2的全部特征向量为c11c22,(c1,c2为不全为零的任意常数)对于31,解对应的齐次线性方程组EA某0,T可得它的一个基础解系3(1,0,1),所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c33,(c30,为任意常数).1(3)EA36333(2)(4)02564得特征值122,34对于122,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系1(1,1,0)T,2(0,1,1)T,所以,A的属于特征值2的全部特征向量为c11c22,(c1,c2为不全为零的任意常数)对于34,解对应的齐次线性方程组4EA某0,T可得它的一个基础解系3(1,1,2),所以,A的属于特征值4的全部特征向量为c33,(c30,为任意常数).(4)010(1)(1)02EA0110得特征值121,31对于121,解对应的齐次线性方程组EA某0,TT可得它的一个基础解系1(0,1,0),2(1,0,1),所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c11c22,(c1,c2为不全为零的任意常数)对于31,解对应的齐次线性方程组EA某0,T可得它的一个基础解系3(1,0,1).,所以,A的属于特征值1的全部特征向量为c33,(c30,为任意常数).2.解:(1)A0,EA0n得特征值0(n重),解齐次线性方程组(0E0)某0,可知某可取任一向量,特征向量为任一非零n维列向量.a(2)AaE,EaE(a)0na得特征值a(n重),解齐次线性方程组(aEaE)某0,可知某可取任一向量,特征向量为任一非零n维列向量.3.解:detA1234,trA1232.4.解:设是A1的对应于特征值的特征向量,即A1,则3AAA,即A,从而5111111,1kk13k可得,解之得,k5或k1.5k1k5.证明:设是A的对应于特征值0的特征向量(1)A0(kA)k(A)k(0)(k0).即k0是kA的一个特征值.(2)当m2时,AAAAA22即是A2的一个特征值.2设0m1是矩阵Am1的一个特征值,则Am10m1,于是AA(Amm1)0m1mA0.即0是矩阵A的一个特征值.mm(3)A可逆,故00又A0,A1AA10,0A1,A1110.即0是矩阵A1的一个特征值(4)A某AA,由(1),(3)可得A某1detA0,即detA0是矩阵A某的一个特征值,(5)A0kEAk0(kEA)(k0).即k0是矩阵kEA的一个特征值.6.证明:设A,则TATTTTAA,0,2TT2TT2T(1)00,01201.7.证明：（反证法）假设c11c22是A的属于特征值的特征向量，则A(c11c22)(c11c22).A(c11c22)c1A1c2A2c111c222，(c11c22)c11c22，c111c222c11c22c1(1)1c2(2)20.12，1,2线性无关.于是，c11c220.c1,c20，120,12，矛盾.▍8.证明:AB可逆P使得P1APB(1)BP1APP1APA(2)rBrP1APrAPrA(3)BTP1APPTATP1PTATPT(4)B1P1AP1TT1,从而ATBT.P1A1P11,从而A1B1.9.证明:AB可逆P使得P1APB,CD可逆Q使得QCQD,1P100A1Q00PC00P1APQ0B1QCQ000D10.解:均可对角化1P(1)取143P11AP00.61(2)取P001(3)取P1001101011210121PAP2.1.421PAP20111(4)取P100P1AP1.011111.解:(1)EA11213(2)0,得2对于2,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系1(1,1)T,从而不可对角化.423(2)EA212(3)(1)2012可得13,231,r(EA)21,从而不可对角化.111(3)EA242(2)2(6)0335可得122,36,对于122,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系(1,1,0)T,T12(1,0,1),对于36,解对应的齐次线性方程组6EA某0,可得它的一个基础解系T3(1,2,3).1112令P102,可得P1AP2013.63(4)EA1271000034(2)0143531可得2(四重).r(2EA)10,从而不可对角化.12.解:矩阵D是对角矩阵,而各选项中的矩阵与D有相同的特征值122,33,故只需判断各矩阵能否对角化.（1）显然，A1,从而与D相似（2）r2EA221,故矩阵A2不可对角化,从而不可能与D相似.(3)r2EA31,故矩阵A3可对角化,从而与D相似(4)r2EA421,故矩阵A4不可对角化,从而不可能与D相似13.解:(1)ABdetAdetB,trAtrB从而detA2detB2y,trA2某trB2y1解得某0,y1(2)AB,A,B有相同的特征值,从而A的特征值为2,1,1当2时,解对应的齐次线性方程组2EA某0,得基础解系11,0,0.当1时,解对应的齐次线性方程组EA某0,得基础解系T20,1,1当1时,解对应的齐次线性方程组EA某0,得基础解系T30,1,1T1令P0001101,则P1APB.1214.解:EA00110(2)(1)0,2211可得122,31当122时,解对应的齐次线性方程组2EA某0,可得它的一个基础解系1(1,0,0)T,2(0,1,1)T,当31时,解对应的齐次线性方程组EA某0, T可得它的一个基础解系3(1,0,1).1令P0001110,121PAP211,则P0012nP001212nnn111n1012n则(P1AP)nP1AnPP12n12210.115.解:令P1,2,31111010111,则PAP12,3其中P11011101111AP13AP211P22311P263263111124717726.342316.证明:AB,从而存在可逆矩阵P1,使得P1APB所以B2P1APP1APP1A2PP1APB.17.解:(1)EA01010110可得10,21,31,对于10,解对应的齐次线性方程组0EA某0,得其基础解系1(0,1,0).T对于21,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系2(1,0,1).T对于31,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系3(1,0,1).12111,,0,3222T将向量2,3单位化可得2,0,令Q1,2,3010120220210,则QAQ121111(2)EA11111(3)0.2111可得120,33对于120,解对应的齐次线性方程组0EA某0,得其基础解系1(1,1,0),21,0,1.TT对于23,解对应的齐次线性方程组3EA某0,得其基础解系3(1,1,1).TT把向量1,2正交化,有11,1,0再将向量1,2,3单位化,有121,0,2212120T11,2,,122T1,16161626,12111,,,,366333TT令Q1,2,313011,则QAQ3130.3 1(3)EA20222(1)(2)(5)0.223可得11,22,35对于11,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系1(2,2,1).T对于22,解对应的齐次线性方程组2EA某0,得其基础解系2(2,1,2).T对于35,解对应的齐次线性方程组5EA某0,得其基础解系3(1,2,2).T将向量1,2,3单位化可得113(2,2,1)T,213(2,1,2)T,313(1,2,2)T.11令Q(1,2,3),则QAQ2.52(4)EA111111111(1)(5)0.3211212可得1231,45对于1231,解对应的齐次线性方程组EA某0,得其基础解系1(1,1,0,0),21,0,1,0,31,0,0,1TTT对于45,解对应的齐次线性方程组5EA某0,得其基础解系4(1,1,1,1)T把向量1,2,3正交化,有T11,1,0,011111,2,,1,0,3,,,122333TT将向量1,2,3,4单位化可得112111,,0,0,2,,,0,26626T31111,,,,4222232323232,,,12120016162 6012312312332312112,则Q1AQ1212T1113TT令Q11.518.解:(1)设与向量1正交的向量为某1,某2,某3,则某1T10,1,1某2某3某2某30,TT解此线性方程组,可得其基础解系21,0,0,30,1,1从而A对应于特征值1的特征向量为21,0,0,30,1,1.TT(2)将1,2,3单位化:1111T10,,,1,0,0,0,,23222201212011,212TT100令Q1,2,311则Q为正交矩阵,且Q1AQ,所以10000101.0AQQ1QQT19.解:由于A中各行元素之和小于1,由定理4.17,A的所有特征值的模小于1,再由定理4.15,可知limA0.nnRt1.120.解:(1)Ft0.11.1某(t)0.10.15Rt10.85Ft10.151.1某(t1),令A0.850.1t0.15.0.85(2)某(t)A某(t1)A某(0),EA(1)(0.95)0可得11,20.95,当11时,解对应的齐次线性方程组EA某0,得基础解系1(3,2)T当20.95时,解对应的齐次线性方程组0.95EA某0,得基础解系2(1,1).T令P(1,2),P11AP000.95t330.95t230.951AP0tt01320.95tPt0.95220.95t 10640.95某(t)At8440.95.6(3)lim某(t)相互依存,使数量趋于稳定.t40.121.解:(1)A0.20.10.9(2)EA0.20.10.10.40.10.10.3.00.10.3102082561.10.10.60.121某(EA)Y51。

高等数学线性代数习题答案第四章

习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()ln sin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π2x = 即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20ex f x x '==得 0x =,即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2 上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)()f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导.又 (0)(2)1f f == 又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.(3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos 02f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理 ()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f ff x x -'=+==-则x =,取ξ=,即存在(0,1)3ξ=∈,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e xF x f x =,则()()()e e xxF x f x f x ''=+由e x 在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即abF a f a F b f b F a F b =====,由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=. 即 ()()0e e f f ξξξξ'+= 而0e ξ≠ 故 ()()0f f ξξ'+=即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --+++= 有一个正根x 0,证明方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根. 证: 令1011()…nn n f x a x a xa x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,使得()0f ξ'=成立,即12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++= 的一个小于0x 的正根.7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ)= 0.证: 显然()f x 分别在[],a c 和[],c b 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在1(,)a c ξ∈,2(,)c b ξ∈,使得12()()0f f ξξ''==.又由题意知()f x '在[]12,ξξ上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂,使得()0f ξ''=.即在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1) sin3lim tan5x xxπ→; (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---;(3)lim m m n n x a x a x a →--； (4) 20()lim x xx a x a x →+-,(a ＞0)； (5) 0ln lim cot x xx+→； (6) 0lim sin ln x x x +→; (7) 1ln(1)lim arccot x x x →+∞+; (8) 0e 1lim()e 1x x x x →--; (9) 10lim(1sin )xx x →+; (10) 2lim (arctan )πx x x →+∞(11) c s c 03e lim()2x x x x →-+ ; (12) 2120lim e x x x →;(13) lim )x x →+∞; (14) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.解:222000011sin 33cos33(1)limlim lim cos3cos 5tan 55sec 5533(1)(1)5511(2)lim lim lim (1)111lim 22(3)lim lim lim πππe e e e e e e e e x x x x x xx x x x x xx x x x m m m n n n x a x a x a x x x x x x x x x x x x a mx x a nx →→→→→→→--→→→==⋅=⋅-⋅-=----==--+++==+-==-.m n m nm m x a n n --=2002220()ln ln()()(4)lim lim 21()()()ln ln()()lim2x xxxx x x x x x x a x a a a x a x a a x x xa x a x a x a a a x a x a x a x →→→⎡⎤+-++⎢⎥+-+⎣⎦=⎡⎤++++-++⎢⎥+++⎣⎦=[]200021()ln ln 012 aa a a aa a a a ++-⋅+==2200000000001ln sin 2sin cos (5)lim lim lim lim cot csc 12sin 0cos 001ln sin (6)lim sin ln lim lim lim tan csc csc cot sin lim lim tan 100x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xxx x ++++++++++→→→→→→→→→→==-=--=-⋅====-⋅-=-⋅=-⨯=222221111ln(1)111(7)lim lim lim lim 111cot 11arc x x x x xx x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞-++++====+-++ 20002200001(1)(8)lim()lim lim 1(1)21443limlim 12022e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x x x xx x x x x x →→→→→-----==-------====+-++0002cos 11ln(1sin )cos 1sin ln(1sin )lim limlim 11sin 12112ln(arctan )arctan 1limlim 112ln(arctan )(9)lim(1sin )lim 2(10)lim (arctan )lim πππee =e ee ee eeπx x x x x xx xx x xxxxx x x x x x x x xxx x x x →→→→+∞→+∞++++→→⋅⋅+-→+∞→+∞+========221lim12lim(1)arctan (1)arctan πeeex x x xx xx→+∞→+∞--+-+===020033lnln322csc ln lim csc 2sin sin 0002(2)(3)33(2)limlim 1(3)(2)cos cos 3(11)lim()lim lim 21e e e e e e e e eee ee exxxx x x x x x x x e e e x x x x xxxxx x x x x x x x xxx →→→---+++→→→+-+--⋅----+--+-===+====2221111220000221()(12)lim lim lim lim 11()e e ee x xx x x x x x x x x x→→→→'⋅====∞'202211ln(1)1ln(1)1limlim lim 0(13)lim )lim1111lim31(14)lim (1) eeee x x x x x x x x xx xxx x x x x →→→+∞→+∞+-+-→=++===⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦00111211lim2(1)2eex x xx →→-+--+==2.设 21lim 1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n 的值.解: 1lim(1)0, x x →-= 而21lim 51x x mx n x →++=-21lim()0 x x mx n →∴++= 且21()lim 5(1)x x mx n x →'++='-即 10m n ++= 且 1l i m (2)5x x m →+= 即 1m n +=- 且 25m += 于是得 3,4m n ==-. 3.验证极限sin lim x x xx→∞+存在，但不能由洛必达法则得出.解: sin 1limlim(1sin )1x x x x x x x→∞→∞+=+=,极限存在,但若用洛必达法则,有sin lim lim(1cos )x x x xx x→∞→∞+=+因lim cos x x →∞不存在,所以不能用洛必达法则得出.4.设f (x )二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解: 这是型未定式,利用洛必达法则有 [][]200000()2()()()()limlim2()()()()1lim 21()()1()()11lim lim ()()2222().h h h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x hf x h f x f x h f x f x f x h h f x →→→→→''+-+-+--=''''-+---=''''+---''''=+=+-''=5.设f (x )具有二阶连续导数，且f (0) = 0,试证g (x ) = (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩可导，且导函数连续. 证: 当0x ≠时,2()()()()()f x xf x f x g x x x '-''==当0x =时,由200000()(0)()(0)()(0)lim lim lim 00()(0)1()(0)1lim lim (0)2202x x x x x f x f g x g f x xf x x x x f x f f x f f x x →→→→→'-'--==--''''--''===- 即 1(0)(0)2g f '''=所以 2()(),0()1(0),02xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩由(),()f x f x '的连续性知()g x '在0x ≠处连续,又20000()()()()()lim ()limlim211lim ()(0)(0)22x x x x xf x f x f x xf x f x g x x xf x fg →→→→'''''-+-'=='''''===故()g x '在0x =处连续,所以()g x '在(),-∞+∞内处处连续.综上所述,(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导,且导函数连续.习题4-31.求函数f (x ) =e x x 的n 阶马克劳林公式.解:()()(1),()(1)(2),()()…x x x x x x k x f x e xe e x f x e x e e x f x e k x '=+=+''=++=+=+()()(0)1(0),(1,2,3,)!!(1)!k k f k fk k k k k ∴====-又 (0)0f =321(1)()(01)2!(1)!(1)!n x n x x e n x f x x x x n n θθθ+++∴=+++++<<-+2.当01x =-时，求函数f (x ) = 1x的n 阶泰勒公式. 解:()()[]23()2341()1()112212!3!!()(1),()(1),()(1),,()(1)!(1)(1)!(1)(1)!1,(0,1,2,)!!(1)()(1)1(1)111(1) … n n n n n n n n n nn n f x f x f x f x x x x x n f n f n n n n x f x x x x x θ-++++''''''=-=-=-=-∴-=-⋅=----==-=+∴=-+-⎡⎤+++++++⎣⎦-++ (01)θ<<3.按(4)x -的乘幂展开多项式432()53 4.f x x x x x =-+-+解: 函数432()534f x x x x x =-+-+,根据泰勒公式按(4)x -的幂的展开式是2(4)34(4)()(4)(4)(4)(4)2!(4)(4)(4)(4)3!4! f f x f f x x f f x x '''=+-+-'''+-+- 而[][][]432324244(4)(4)454434456,(4)21,41523(4)137,123022!2(4)111,24303!3!(4)12414!4!x x x f f x x x f x x f x f ====-⨯+-⨯+=-'==-+-''==-+'''==-=⨯=所以,234()5621(4)37(4)11((4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.4.利用泰勒公式求下列极限:(1) 30sin limx x x x →-; (2) 21lim ln(1)x x x x →+∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解: (1) 利用泰勒公式,有34sin ()3!x x x o x =-+所以 343300430()sin 3!lim lim 1()1lim()66x x x x o x x x x x o x x →→→--==-= (2) 利用泰勒公式,有221111ln(1)()2o x x x x+=-+,所以222222221111lim lim ln(1)(())21()1111lim lim .()1222x x x x x x x x o x x x x o x x o x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 习题4-41. 求下面函数的单调区间与极值：(1)32()26187f x x x x =---； (2)()ln f x x x =-； (3)23()1(2)f x x =--； (4)()(4)f x x x =-. 解: (1) 2()612186(1)(3),f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得驻点121,3,x x =-=-在()(),,13,-∞-+∞上,()0f x '>,在()1,3-上()0f x '< ∴ ()f x 在(,1],[3,)-∞-+∞上单调增加,在[]1,3-上单调减少.当 1x =-时, ()f x 有极大值,极大值为(1)3f -=, 当 3x =时, ()f x 有极小值,极小值为(3)61f =-.(2) 11()1x f x x x-'=-=,令()0f x '=得驻点1x = 在()0,1上,()0f x '<;在()1,+∞上,()0f x '> ∴ ()f x 在(0,1]上单调递减;在[1,)+∞上单调递增. 当1x =时,()f x 有极小值,极小值为(1)1f =. (3)()()0f x f x ''=≠ 但当2x =时,()f x '不存在, 在(,2)-∞上,()0f x '>;在(2,)+∞上,()0f x '<, ∴ ()f x 在(,2]-∞上单调递增;在[2,)+∞上单调递减. 当2x =时, ()f x 有极大值,极大值为(2)1f =.(4) 2240()40x xx f x x xx ⎧-≥=⎨-+<⎩ ,则 240()240x x f x x x ->⎧'=⎨-+<⎩且当 0x =时,()f x '不存在,又令()0f x '=得2x = 在(,0),(2,)-∞+∞上,()0f x '>,在(0,2)上()0f x '< ∴ ()f x 在(,0],[2,)-∞+∞上单调递增;在[0,2]上单调递减; 当0x =时,()f x 有极大值,极大值为(0)0f =; 当2x =时, ()f x 有极小值,极小值为(2)4f =-. 2. 试证方程sin x = x 只有一个根.证: 显然0x =是方程sin x x =得一个根(亦可将()sin f x x x =-运用零点定理).令()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,而()0f x '=的点不是单调区间的分界点,故()f x 在(,)-∞+∞内单调下降,所以()f x 在(,)-∞+∞内只有一个零点,即方程sin x x =只有0x =一个根.3. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在［0,＋∞)内也单调增加.解: 0 x ∀>,由题意知()f x 在[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定理得,(0,) x ξ∃∈,使()(0)()f x f xf ξ'-=, 因 ()f x '在[0,)+∞单调增加,且(0)0f =,所以()()()f x xf xf x ξ''=≤ 即 ()()0xf x f x '-≥令 ()()(0) f x F x x x=>,则 2()()()0xf x f x F x x '-'=≥ 所以()F x 单调递增,即 ()f x x在(0,)+∞内单调增加.4. 证明下列不等式：(1) 1+12x x ＞0； (2)2ln(1)(0)2 x x x x x -<+<>.证: (1) 令 1()12f x x =+则1()(12f x '=, 当 0x >时1,()0f x '<>即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >=,故112x +>. (2) 令 2()ln(1)2x f x x x =+-+,则 21()111x f x x x x'=-+=++当 0x >时,有()0f x '>,即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >= ,即2ln(1)2x x x +>-又令 ()ln(1)g x x x =-+,则1()111xg x x x'=-=++ 当 0x >时,()0g x '>,即 ()g x 单调递增,从而()(0)0g x g >=,即ln(1)x x >+.综上所述,当0x >时有2ln(1)2x x x x -<+<. 5. 试问a 为何值时，f (x ) = a sin x +13sin ３x 在x =3π处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解: ()cos cos3f x a x x '=+若3πx =为极值点,则cos cos 03ππa +=,所以2a =.又()2sin 3sin 3,()03πf x x x f ''''=--=<故函数在3πx =处取得极大值,极大值为()3πf =习题4 - 51. 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为402Q P =-,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润? 解: 利润2()10260400L P PQ Q P P =-=-+-, ()460L P P '=-+,令 ()0L P '=得 P =15所以应将销售价定为每条15元,才能获得最大利润.2.设 f (x ) = cx α (c ＞0,0＜α＜1)为一生产函数，其中c 为效率因子，x 为投入量，产品的价格P 与原料价格Q 均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大? 解: 依题意,总利润()()()L x Pf x Q x P cx Qx α=-=⋅- 则 1()L x Pc xQ αα-'=- 令 ()0L x '=得 11Q x Pc αα-⎛⎫=⎪⎝⎭所以,投入量为11Q Pc αα-⎛⎫⎪⎝⎭时利润最大.3. 某产品的成本函数为23()156C Q Q Q Q =-+，(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?(2) 求出边际成本，并验证边际成本等于平均成本时平均成本最小. 解: (1) 2()()156C Q C Q Q Q Q==-+ 令 260()Q C Q '=-=⎡⎤⎣⎦得Q =3 故生产数量3Q =时,可使平均成本最小. (2) 2()15123MC C Q Q Q '==-+当 3Q =时,15123396MC =-⨯+⨯= 2()156336C Q =-⨯+=即边际成本等于平均成本时平均成本最小. 4. 已知某厂生产Q 件产品的成本为C ＝25000＋2000Q ＋1402Q （元). 问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2) 若产品以每件5000元售出，要使利润最大，应生产多少件产品? 解: (1) 平均成本 250001()200040C Q Q Q =++ 边际成本1()200020C Q Q '=+. 当()()C Q C Q '=时,平均成本最小,由()()C Q C Q '=即2500011200020004020Q Q Q ++=+ 得1000Q =(负值不合题意已舍去). 所以要使平均成本最小,应生产1000件产品.(2)221()5000()500025000200040130002500040L Q Q C Q Q Q Q Q Q =-=---=-+-令 1()3000020L Q Q '=-+=, 得60000Q =(件) 所以应生产60000件产品.5. 某厂全年消耗(需求)某种钢材5170吨，每次订购费用为5700元，每吨钢材单价为2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的13.2%，求： (1) 最优订购批量； (2) 最优批次； (3) 最优进货周期； (4) 最小总费用.解: 由题意 215170,5700,1,240013.2%316.8 R C T C ====⨯= 则(1)最优订购批量70*431.325q === (2)最优批次 5170*12*431.325R n q ==≈(次)(3)最优进货周期 36530.452*12T t n ===(天) (4)最小总费用*136643.9E ==≈(元)6. 用一块半径为R 的圆形铁皮，剪去一圆心角为α的扇形后，做成一个漏斗形容器，问α为何值时，容器的容积最大?解: 设漏斗的底面半径为r ,高为h ,为了计算方便令2ϕπα=-,则2,,2ππR r R r h ϕϕ====漏斗的容积2322123(83)πππV hr V ϕϕ==<<'=-令 0V '=得10ϕ=(舍之),2ϕ=,34222237),40,9πππV V ϕϕϕ''=-+-⎫''=-<⎪⎭故当ϕ=时漏斗得容积最大.由2πϕα=-得2π2πα==, 所以,当2πα=-时,容积最大. 7. 工厂生产出的酒可即刻卖出，售价为k ；也可窖藏一个时期后再以较高的价格卖出.设售价V 为时间t 的函数V = k (k ＞0)为常数.若贮存成本为零，年利率为r ，则应何时将酒售出方获得最大利润(按连续复利计算). 解: ()e rtrtA t k k -=⋅=令()0rt r A t k ⎫'-==⎪⎭得214t r = 所以,应窖藏214r 时以后售出可获得最大利润. 8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的三次方成正比，已知速度为20km/h ，每小时的燃料费用40元，其他费用每小时200元，求最经济的行驶速度. 解: 设火车每小时所耗燃料费为Q ,则 3Q k v = (k 为比例常数) 依题意得 34020k =⋅, 解得 1200k =, 又设火车行驶()km s 后,所耗费用为, 32200(200)()s E kv kv s v v=+⋅=+ 令 2200()0100v E s v'=-=, 得27.14v =≈ (km/h), 所以,最经济得行驶速度为27.14 km/h.习题 4-61. 讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) y =2x －3x ； (2) y = ln(1+2x )； (3) y = x e x； (4) y = 4(1)x +＋e x； (5) y =2(3)x x +； (6) y=arctan e x. 解: (1)223,126,0.3令得 y x x y x y x '=-''''=-==当13x <时,0y ''>; 当13x >时,0y ''<,且12()327f = 所以,曲线23y x x =-在1(,)3-∞内是下凸的,在1(,)3+∞内是上凸的,点12(,)327是曲线的拐点.(2) 222222222(1)222(1),1(1)(1)x x x x x y y x x x +-⋅--'''===+++, 令0y ''=得,121,1x x =-=,这两点将定义域(,)-∞+∞分成三个部分区间,列表考察各部分区间上二阶导数得符号.所以,曲线2l n (1)y x =+在(,1)-∞-及(1,)+∞内是上凸的,在(1,1)-内是下凸的,点(1,ln 2)±是曲线的拐点.(3) 324(1),12(1)0xxy x e y x e '''=++=++> 所以,曲线在定义域(,)-∞+∞内处处下凸,没有拐点.(4) 343212,(3)(3)x x y y x x --'''==++,令 0y ''=得6x = 当 6x <时,0y ''<,当6x >时,0y ''>;又2(6)27f =,函数的定义域为(,3)(3,)-∞--+∞ ;所以曲线在(,3),(3,6)-∞--内上凸,在(6,)+∞内下凸,点2(6,)27是拐点. (6)arctan 2arctan arctan arctan 2222221112(12)(1)(1)(1)x x x x y e x x x ey e e x x x '=⋅+-''=⋅-⋅=+++令 0y ''= 得 12x =当 12x <时,0y ''>,当12x >时,0y ''<,且 1arctan 21()2e f =,所以曲线在1(,)2-∞内向下凸,在1(,)2+∞内向上凸,点1arctan 21(,)2e是拐点. 2. 利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y +＞2e x y+， x ≠y ;(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y .证: (1) 令()e x f x =,则()e x f x '=,()0e xf x ''=>,所以函数()f x 的曲线在定义域(,)-∞+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有: ()(),()()22x y f x f y x y f x y ++∀≠<≠ 即 22e e ex y x y ++< 即2()2e e e x yx y x y ++>≠.(2) 令()ln f x x x =,则1()1ln ,()f x x f x x'''=+=当 0x >时,恒有()0f x >,所以()f x 的曲线在(0,)+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有, 0,0,,x y x y ∀>>≠有()()()22f x f y x y f ++>即ln ln ()ln222x x y x y x y+++> 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.3. 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点. 解: 因为32y ax bx =+是二阶可导的,所以在拐点处0y ''=,而232,62y a x b x y a x b'''=+=+ 所以 620a b += 又拐点(1,3)应是曲线上的点,所以3a b +=解方程6203a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得 39,22a b =-=所以当39,22a b =-=时,点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点. 4. 求下列曲线的渐近线：(1) y = ln x ; (2)y =22x -; (3) y = 23xx -； (4) y = 221x x -.解: (1) 0lim lim ln x x y x ++→→==-∞,所以ln y x =有垂直渐近线 0x =. 又 lim x y →+∞=+∞,但1ln lim lim lim 01x x x y xx y x x→+∞→+∞→+∞====,lim (0)x y x →+∞-⋅=∞,所以不存在水平或斜渐近线.(2) 220x x -=,所以有水平渐近线0y =,又2lim 0x x x y x -→∞→∞== ,所以没有斜渐近线,又函数22x y -=没有间断点,因而也没有垂直渐近线. (3) 221limlim 0331x x xxx x →∞→∞==--,所以有水平渐近线0y =,又函数23x y x ==-有两个间断点x x ==,且22,,3x x x xx x=∞=∞--所以有两条垂直渐近线x =x =又 21lim lim 3x x y x x →∞→∞==∞-,所以没有斜渐近线.(4) 2lim lim 21x x x y x →∞→∞==∞- ,所以没有水平渐近线,又函数221x y x =-有间断点12x =,且212lim 21x x x →=∞-,所以有垂直渐近线12x =. 又 1limlim 212x x y x x x →∞→∞==- 2111l i m ()l i m ()l i m 22122(21)4x x x x x y x x x x →∞→∞→∞-=-==-- 所以有斜渐近线1124y x =+. 5.作出下列函数的图形： (1) f (x ) =21xx+； (2) ()2arctan f x x x =- (3) ()2,(0,)e xf x x x -=∈+∞. 解: (1) (i) 定义域为(,)-∞+∞.()()f x f x -=- ,故曲线关于原点对称.(ii) 21lim limlim 012x x x x y x x→∞→∞→∞===+ ,故曲线有渐近线0y =.(iii) 222222121,(1)(1)x x x x y x x +-⋅-'==++ 22223322423232(1)(1)2(1)222442(3)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x x -+--⋅+⋅---+-''===+++,令0y '=即210x -=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0,x =.图4-1(2) (i) 定义域为(,)-∞+∞.又 ()arctan y x x x y -=-+=-,故为奇函数.(ii) 2arctan lim ,limlim (1)1,x x x y x y x x→±∞→±∞→±∞=∞=-=πlim ()lim (2arctan )(2)()π2x x y x x →±∞→±∞-=-=-±= 所以有渐近线πy x = .(iii) 222211,11x y x x -'=-=++ 2222222(1)(1)24,(1)(1)x x x x x y x x +--⋅''==++令 0y '=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0x =. 列表如下:图4-2(3) (i) 定义域为(,)-∞+∞,且()((,))f x C ∈-∞+∞. (ii) ()2(1),()2(2),e e xxf x x f x x --'''=-=-由()0f x '=得1x =,由()0f x ''=得2x =,把定义域分为三个区间 (,1),(1,2),(2,);-∞+∞(iv) lim ()0x f x →+∞=,故曲线()y f x =有渐近线0y =,lim ()x f x →+∞=-∞.(v) 补充点(0,0)并连点绘图,如图所示:图4-3。

大学专业课程《线性代数》试题及答案(四)

大学专业课程《线性代数》试题及答案（四）1．填空题（1）若齐次方程组只有零解，则参数应满足.解：只有零解；有非零解；且.（2）若方程组有解，则常数满足.解：有解；则.（3）若方程组无解，则.解：则无解；，则当时，，此时无解.123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩λ12λλ≠≠-且0n A x =()0A R A n ⇔≠⇔=0n A x =()0A R A n ⇔=⇔<()()21111120111A λλλλλλ==-+≠⇒≠2λ≠-121232343144x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩1234,,,a a a a 12340a a a a +++=m n A xb ⨯=()()()R A R A b R A ⇔==1112223331234414110011001100011001100110001100110011000010010101a a a a a a A a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪⎪+++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12340R A R A a a a a =⇔+++=12312112313120x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =32±()()R A R A <Ax b=2121112111211231301110111120023100313A a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭2310a a a --=⇒=a =()()23R A R A =<=Ax b =（4）若方程组有无穷多解，则 -2 .解：，则有一解；有0，解；当时，，，故无解；当时，，，故有无穷解；综上所述：.（5）若方程组有惟一解，则满足.解：，对无要求，即.（6）若阶矩阵的每一行元素之和为零，且，则齐次线性方程组的基础解系为.解：，即为的非零解向量；记为的解空间，则，则的任何一个线性无关的解向量均是的基础解系，从而的基础解系是.123111111112x a a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =n n A x b ⨯=0A Ax b ≠⇔=0A =⇔Ax b =∞()()()()0R A R A R A R A ⎧=∞⎪⎨<⎪⎩有解有解，，()()211111201211a A a a a a a==-+=⇒=-或1a =111111111111000011120003A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()12R A R A =<=2a =-3121322211111221122121112110333112221110000r r r r r r A +-+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23R A R A ==<2a =-1231202231334x x a b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,a b 2, a b R≠∀∈202A a a =-+≠⇒-b 2, a b R ≠∀∈n A ()1R A n =-0Ax =(1,1,,1)T1111010n j j n nj j a A a ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0Ax ={}0A S x Ax ==0Ax =()()dim 11AS n R A n n =-=--=A S A S 0Ax =(1,1,,1)T（7）设为非齐次线性方程组的两个不同解，其中为矩阵，且，则的通解为.解：记为的解空间，则，则的任何一个线性无关的解向量均是的基础解系，为非齐次线性方程组的两个不同解，则是的一个非零解，从而线性无关，那么是的基础解系，则的通解为：或者.（8）设为矩阵，则非齐次线性方程组有惟一解的充要条件是.解：有唯一解；无解；有无穷解.（9）设为阶方阵，若齐次线性方程组的解都是齐次线性方程组的解，则.解：记为的解空间，为的解空间，由已知，则.（10）若，且三条不同直线相交于一点，则矩阵的秩满足.解：三条不同直线相交于一点有唯一解，，令则12,ααAx β=A m n ⨯()1R A n =-Ax β=112212() (),x k x k k R αααααα=+-=+-∈或者A S 0Ax =()()dim 11AS n R A n n =-=--=A S A S 12,ααAx β=12αα-0Ax =12αα-12αα-A S Ax β=112()x k ααα=+-212 (),x k k R ααα=+-∈A m n ⨯Ax β=()()R A R A nβ==m n A x β⨯=()()()R A R A R An β⇔===m n A x β⨯=()()()R A R A R A β⇔<=m n A x β⨯=()()()R A R A R A n β⇔==<,A B n 0Ax =0Bx =()R A ≥()R B {}0A S x Ax ==0Ax ={}0B S x Bx ==0Bx =A B S S ⊂()()()()dim dim AB S n R A S n R B R A R B =-≤=-⇒≥111112222233333,a b a b c A a b B a b c a b a b c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 (1,2,3)i i i a x b y c i ++==,A B ()()2R A R B ==0 (1,2,3)i i i a x b y c i ++==111222333a x b y c a x b y c a x b y c+=-⎧⎪⇔+=-⎨⎪+=-⎩()()2R A R A n ⇔===()111222333a b c A a b c A a b c β-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭()123B ααα=，则与等价，从而，则 .2．选择题（1）齐次线性方程组仅有零解的充要条件是( A ) （A ）矩阵的列向量组线性无关；（B ）矩阵的列向量组线性相关；（C ）矩阵的行向量组线性无关；（D ）矩阵的行向量组线性相关.解：只有零解线性无关，故选（A ）.（2）设是矩阵，是与非齐次线性方程组相对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D )（A ）若仅有零解，则有惟一解；（B ）若有非零解，则有无穷多解；（C ）若有无穷多解，则仅有零解；（D ）若有无穷多解，则有非零解.解：只有零解；有非零解；对，若，则有解，且有唯一解，有无穷解；对，有：有零解或唯一解（可能无解，当），有无穷解或零解（可能无解，当）.（A ）仅有零解有零解或唯一解，故（A ）错误；（B ）有非零解有无穷解或零解，故（B ）错误；（D ）有无穷解有非零解，故（D ）正确. (3) 设是矩阵，且，则( A ) (A) 时，非齐次线性方程组有解； (B) 时，非齐次线性方程组有惟一解；()123A ααα=-123,,ααα123,,ααα-()()R B R A =()()2R B R A ==0Ax =A A A A 0Ax =()()11,,,,n n R A n R n αααα⇔=⇔=⇔A m n ⨯0Ax =Ax β=0Ax =Ax β=0Ax =Ax β=Ax β=0Ax =Ax β=0Ax =0m n A x ⨯=()R A n ⇔=0m n A x ⨯=()R A n ⇔<m n A x β⨯=()()R A R A =m n A x β⨯=()R A n Ax β=⇔=()R A n Ax β<⇔=m n A x β⨯=()R A n Ax β=⇔=()()R A R A ≠()R A n Ax β<⇔=()()R A R A ≠0Ax =()R A n Ax β⇔=⇔=0Ax =()R A n Ax β⇔<⇔=Ax β=()()0R A R A n Ax ⇔==⇒=A m n ⨯()R A r =r m =Ax β=r n =Ax β=(C) 时，非齐次线性方程组有解； (D) 时，非齐次线性方程组有无穷解.解：（A ）且有解，故（A ）正确；（B ）有零解或唯一解；（C ）当时，无解；（D ）有无穷解或零解.(4) 设为非齐次线性方程组的两个不同解，则( B )是的解. (A)； (B) ； (C) ； (D) .解：，（A ）；（B ），故选（B ）；（C ）；（D ）.(5) 当矩阵等于( A )时，都是齐次线性方程组的解.(A) ； (B) ； (C)； (D) . 解：显然，线性无关，记为的解空间，则，故（A ）正确.m n =Ax β=r n <Ax β=()()R A R A r m ≥==()()()R A m R A R A m Ax β≤⇒==⇒=()R A n Ax β=⇔=()()R A R A ≠Ax β=()R A n Ax β<⇔=12,ααAx β=Ax β=12αα+122133αα+12αα-1122, , 1,2i k k k R i αα+∈=1A αβ=2A αβ=()122A ααβββ+=+=2121212121333333A A A ααααβββ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭()120A ααββ-=-=()()112211*********A k k k A k A k k k k k k ααααββββ+=+=+=+=⇔+=A 12100,121ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0Ax =(2,1,1)-201011-⎛⎫⎪⎝⎭102011-⎛⎫⎪-⎝⎭011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭1102ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭{}0A S x Ax ==0Ax =()()dim 21A S n R A R A =-≥⇒≤可简单验证：，.(6) 设矩阵的秩为，为阶单位矩阵，则下列结论正确的是( C ) (A) 矩阵的任意个列向量必线性无关；(B) 矩阵的任意阶子式必不等于0； (C) 若矩阵满足，则必有；(D) 矩阵通过初等行变换，必可化成的形式.解：，，则线性无关，线性相关.（A ）（B ）存在阶子式不等于0，设此子式对应矩阵为，，则线性无关；（D ）行最简形标准形；（C ）方法一：由，不妨设，且可逆，；方法二：，则线性无关；方法三：由书16题知，记，则，即可逆，（两边右乘）（两边右乘）.()1211002⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭()0211101⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭m n ⨯A ()R A m n =<m E m A m A m B 0BA =0B =A (,0)m E ()m n R A m n ⨯=<()11n m A αββα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()11,,mm R R A m αααα⎛⎫⎪==⇒ ⎪ ⎪⎝⎭()()11,,n n R R A n ββββ=<⇒()R A m =⇒m 1A ()11,,i im A ββ=110,,i im A ββ≠⇒()m AE C 初等行变换()mE O 初等列变换()R A m n =<()12mn mA A A -=1A ()()11211m n mk m m n k n k m k m B A B A A O O O BA O B OA O --⨯⨯⨯⨯⨯===⇒=⇒==k m m nk n B A O ⨯⨯⨯=111111111100mj j j m n mk km m n kj j j b b b O b b O b αααα=⨯⨯=⎧=⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪=⇒⎨⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩∑∑()1,,m R A m αα=⇒10,,0,1,,j kj k m b b j m B O ⨯⇒===⇒=()()TR A A R A m ==TB A =TA B =()()()()()()()()T T T T T n n m m R A A R B B R B R A R A R A R A A R AA ⨯⨯⎡⎤⎡⎤====⇒==⎣⎦⎣⎦0,0,T T m n A A AA =<⇒=≠T AA T T BA O BAA OA O =⇒==T A ()1T B O AA O -⇒==()1T AA -综上：（C ）正确.(7) 设为阶方阵，且，而为非齐次线性方程组的两个不同解，为任意实数，则齐次线性方程组的通解为( C ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，则的任何一个非零解向量均为的基础解系，由是的两个不同解是的非零解，则是的基础解系，的通解为：，选（C ）.(8) 设为非齐次线性方程组的两个不同解，而为对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意实数，则的通解为( AB ) (A) ； (B) ；(C) ； (D) .解：非齐次方程组通解=非齐次方程组特解+齐次方程组通解非齐次方程组特解可选：（）齐次方程组通解可选择：注意：不一定是的通解，因为可能与相关综上：选（A ）（B ）.(9) 设为矩阵，为矩阵，对于齐次线性方程组，以下结论正确的是( D )(A) 当时仅有零解； (B) 当时必有非零解； (C) 当时仅有零解； (D) 当时必有非零解.解：（A ）（B ），则有非零解，只有零解，故有非零解或者只有零解均有可能，故（A ）（B ）错误；（C ）（D ）有非零解，故（D ）正确. 3．求解以下方程组A n ()1R A n =-12,ααAx β=k 0Ax =1k α2k α12()k αα-12()k αα+()()dim 11A S n R A n n =-=--=0Ax =0Ax =12,ααAx β=12αα⇒-0Ax =12αα-0Ax =0Ax =()12,k k R αα-∈12,ββAx β=12,αα0Ax =12,k k Ax β=1211212()2k k ββααα++++1211212()2k k ββααα++-+1211212()2k k ββαββ-+++1211212()2k k ββαββ++-+1212,,2ββββ+()1212122AA A βββββ+=+=()()11221121211212,,k k k k k k αααααααα++++-()11212k k αββ+-0Ax =12ββ-1αA m n ⨯B n m ⨯()0AB x =n m >n m >m n >m n >()()m n m m R AB R A m n ⨯⨯⎡⎤≤≤<⎣⎦()0AB x =()R AB m ⇔<()0AB x =()R AB m ⇔=()0AB x =()()m n m m R AB R A n m ⨯⨯⎡⎤≤≤<⎣⎦()0AB x ⇒=(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)解：（1），方程组有无穷多解同解方程组为，即得通解；（2），方程组无解；1234123412342121255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩123123123123312213231x x x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩12312312312322355723314x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩123412341234123412323132123122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩12341234123420202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩1231231242232101138x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩2344538213496x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩31222221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩2131121111211112100121110002200011121550004400000r rr r -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()24R A R A ==<∴1232233421x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩12121234021010, ,001100x x x k k k k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11311131212101431113004412310102----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()()34R A R A =≠=∴（3），方程组有唯一解；（4），同解方程组为即得通解；（5）同解方程组为，通解为；23411311211111121122002112222131502412010201261157190012001122082223314000000002412r r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-⎝⎭()()3R A R A ==∴123122x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭123111231112311321110482201531231110153100651222110241100121025520205135300000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭311202201531006510000000000⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭1422433444312223515166x x x x x x x x x x⎧=-+⎪⎪=-+⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩123415171, 15606x x x k k R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭54110100112111213321110131010301032212003400340034⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1424344443343x x x x x x x x⎧=⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩123449,43x x x k k R x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）同解方程组为，通解为；（7），方程组无解；（8），方程组有唯一解；（9），同解方程组为，通解为；（10） 1211121112013613004000105101500400000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1422234420x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩121212342110,,0001x x x k k k k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111124224242125111751117312100024224211308511500060242⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()23R A R A =≠=∴231405714114510031145114505714010038213011142801000012419601371402000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3R A R A ==∴302x y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭322123311113111131111441412221200111333342111170112100004r r r r --⎛⎫⎪--⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎪-⎝⎭100000110100010⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭010x y z z z w =⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩0011,0100x y k k R z w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1323232111107595321340141018101435214352r rr r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭同解方程组为，通解为.4．求参数取何值时，下列方程组有惟一解、无解或有无穷多个解. 当有无穷多个解时，求其一般解.(1) (2)(3) (4)(5) (6)解：（1）116107771435259507595017770000000000⎛⎫--⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭1342343344611777559777x x x x x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎪=-+-⎨⎪=⎪⎪=⎩121212346115591,,0707007x x x k k k k R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,a b λ1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩12312321232222x x x x x x x x x λλ⎧-++=-⎪-+=⎨⎪+-=⎩123412341234212427411x x x x x x x x x x x x λ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪+-+=⎩123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩123123123(21)(1)1(2)(1)(2)(21)(1)(21)x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλ+-++=-⎧⎪-+-+-=⎨⎪-+-+-=⎩()11111121aA bb a b ==--当且时，，由克莱姆法则知方程组有唯一解：；当时，，，无解；当时，若，即时，，无解；若时，，有无穷多解，此时，通解为：.（2）当，即且时，无解.当，即或时，有无穷多解，且：时，，通解为：； 1a ≠0b ≠0A ≠12312(1)1421(1)b b a x x b x b ab b a -⎛⎫ ⎪-⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭-- ⎪⎪-⎝⎭0b =1141141013101310140001a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()R A R A ≠1a =322111141114111411301010101121400100011r r r r b b b b b b b --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ⎪-⎝⎭101b b +≠-12b ≠()()R A R A ≠12b =()()2R A R A ==1114101210010102200000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1232120,01x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23132222222211221121121210330113112033220002r r r r λλλλλλλλλλλ-+⎛⎫-⎛⎫---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪+-⎝⎭220λλ+-≠1λ≠2λ≠-220λλ+-=1λ=2λ=-1λ=112110110110011000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1231101,01x x k k R x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，，通解为：；（3）当时，，无解；当时，有无穷多解，同解方程组为，通解为：；（4）当时，，无解；当时，方程组有无穷多解，此时，通解为：；当且时，有唯一解，此时：2λ=-112410120112011200000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1232121,01x x k k R x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211110537312142121421214205373174110537200005λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭5λ≠()()R A R A ≠5λ=123443224273355x x x x x x x =-+-+⎧⎪-⎨=+⎪-⎩12124163371, ,0505005x k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3212222760211222122542254224510111r r r r λλλλλλλλλλλλλ+--⎛⎫-+--- ⎪--⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--------⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭()()()()()()()()254225420111011101641210010141λλλλλλλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭10λ=()()R A R A ≠1λ=244212210000000000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212123122010,,001x x k k k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1λ≠10λ≠()()()()2542254201110111001014100104λλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭方程组解为：；（5）当或时，，无解；当且时，有无穷多解，，通解为：；（6）当且时，有唯一解；当时，，无解；当时，，，无解；123316104x x x λλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1111111111113211301226301226301226354331012265a a b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭23432311111101226300000000002r r r r r r a b ++↔⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭0a ≠2b ≠()()R A R A ≠0a =2b =101152012263000000000000----⎛⎫⎪----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123211532260100, ,,00100001x k k k k k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2211212122101211212110A λλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-++--=---=--=------0λ≠1λ≠±0λ=101110111011212001020102111001010001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()R A R A ≠1λ=312031201011101110110002--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()R A R A ≠当时，有无穷多解，通解为：.5．对于向量组；试讨论参数满足什么条件时，(1) 可由线性表出，且表示方式惟一； (2) 可由线性表出，但表示方式不惟一； (3) 不能由线性表出.且（1）可由线性表出，且表达式唯一且；（2）当时，，，此时有无穷解，可由线性表出，且表达式不唯一；1λ=-3101110211025323105350535323100000000⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭12335131,501x x k k R x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭123211101,1,1,111λααλαβλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λβ123,,αααβ123,,αααβ123,,ααα()2111111300111A λλλλλλ+=+=+≠⇔≠+3λ≠-β123,,ααα0λ⇔≠3λ≠-0λ=111011101110000011100000A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()13R A R A ==<Ax β=β∴123,,ααα（3）当时，，此时无解，不能由线性表出.6．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是2，并已知该方程组的三个解向量是求该方程组的通解.解：，则的任何两个线性无关的解向量均是它的一组基础解系；由为非齐次方程组的三个解向量知：，为的两个线性无关的解向量，故为的一组基础解系；故的通解为. 7．设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，且已知它的三个解满足：求该方程组的通解.解：，故的任何两个线性无关的解向量均是它的一组基础解系；，，，3λ=-211011291129121303312033121129033180006A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=------ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()23R A R A =<=Ax β=β∴123,,ααα123123234,,344455ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()dim 422A S n R A =-=-=0Ax =123,,ηηηAx β=1312211ξηη⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭2211111ξηη⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭0Ax =0Ax =Ax β=12121234121221,,311411x x k k k k R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123,,ηηη1223131012,1,0311ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭()dim 312A S n R A =-=-=0Ax =121123ηηα⎛⎫ ⎪+== ⎪ ⎪⎝⎭232011ηηα⎛⎫ ⎪+=-= ⎪ ⎪⎝⎭133101ηηα⎛⎫⎪+== ⎪ ⎪-⎝⎭则，又，为非齐次方程组特解；，为的两个线性无关的解向量，故为的一组基础解系；故为的通解.注意：此题中非齐次方程组的特解、齐次方程组的基础解系找法不唯一.8．设矩阵，矩阵为3阶非零矩阵，且，求的值. 解：，由P110例9知：，又是非零矩阵，，，则；.9．设矩阵，为三阶非零矩阵，且满足，求及.解：，由P110例9知：，又是非零矩阵，，，即不满秩，则；或；当时，，与不能同时为0，，此时，；()12312312ηηηααα++=++133ηηα+=()21230112252ηααα⎛⎫⎪∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭11213132ξααηη⎛⎫ ⎪=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭21323024ξααηη⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭0Ax =0Ax =2112212,,x k k k k R ηξξ=++∈Ax β=12243311A t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B 0AB =t 0AB =()()3R A R B +≤B ()1R B ∴≥()2R A ∴≤0A =122437210311A tt -==+=-3t ∴=-1111131a A b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 0AB =, a b ()R B 0AB =()()3R A R B +≤B ()1R B ∴≥()2R A ∴≤A 0A =()11111111210131020a a A bbb a b b ===-=1a ∴=0b =1a =111111110101310310A b b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1b -31b -()2R A ∴=()11R B ≤≤()1R B ∴=当时，，此时，.10．设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足，证明也是方程组的解.证明：由已知：故也是方程组的解.11．试证方程组有解的充要条件是，并在有解的情况下，求出它的全部解.证明：有解；当时，同解方程组为，通解为.0b =12121111101101101011101000000r rr ar a a A a ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2R A ∴=()11R B ≤≤()1R B ∴=12,,,s ηηηAx b =s 1s k k ,,121=+++s k k k 1122s s x k k k ηηη=+++Ax b =,1,2,,,i A b i s η==()()1111111s s s s s s Ax A k k k A k A k b k b k k b b b ηξηη=++=++=++=++=⋅=1122s s x k k k ηηη=+++Ax b =121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩054321=++++a a a a a 5123411223314451511111111111111111100r r r r r a a a a A a a A a a a a a ++++--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭Ax b =()()()1123450R A R A R A a a a a a ⇔==⇔++++=123450a a a a a ++++=3423121234234134411111111000r r r r r r a a a a a a a A a a a +++-+++⎛⎫⎪-++ ⎪ ⎪-+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭15123425234353445455x x a a a a x x a a a x x a a x x a x x =++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪=⎪⎩123423434411,1101a a a a a a a x k k R a a a +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．设为元非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： (1) 向量组线性无关；(2) 向量组线性无关.证明：（1）设，则，，为的基础解系，有，，是非齐次方程组，即，，代入有，线性无关，，即，线性无关；（2）设，则，由（1）知：线性无关，，，线性无关.13．设元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，且是它的个解，证明： (1)是齐次方程组的一个基础解系；(2) 的通解为，其中.证明：（1）首先我们证明是的解.，，为解；其次我们证明线性无关.*ηn Ax β=12,,,n r ξξξ-0Ax =*12, , ,, n r ηξξξ-****12, , ,, n r ηηξηξηξ-+++0110n r n r k k k ηξξ*--+++=()0110n r n r A k k k ηξξ*--+++=0110n r n r k A k A k A ηξξ*--∴+++=1,,n r ξξ-0Ax =0,1,,i A i n r ξ==-000k A k ηβ*∴==Ax β=0β≠00k ∴=110n r n r k k ξξ--++=1,,n r ξξ-10n r k k -∴===010n r k k k -====1,,,n r ηξξ*-∴()()0110n r n r k k k ηηξηξ***--+++++=()01110n r n r n r k k k k k ηξξ*---++++++=1,,,n r ηξξ*-0110n r n r k k k k k --∴+++====00k ∴=∴****12, , ,, n rηηξηξηξ-+++n Ax β=r 121,,,,n r n r ηηηη--+1n +11211, ,, n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---0Ax =Ax β=112211n r n r n r n r x k k k k ηηηη---+-+=++++111n r ii k-+==∑11211, ,, n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---0Ax =121n r A A A ηηηβ-+====()()()112110n r n r n r n r A A A ηηηηηηββ-+-+--+∴-=-==-=-=11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+∴---11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+---设，则，线性无关，，线性无关，为的一个基础解系；（2）由（1）知：的解为：，取，则. 证毕.14．设A 为n 阶矩阵()，证明.证明： ①若，则，，；②若，不可逆，则，有一个阶子式不为0，于是有一个代数余子式不为0，. 因为，所以【见书P110：例9】，，故；③若，则的所有阶子式全为0，于是所有代数余子式全为0，，. 证毕.15．设为阶矩阵，且，证明.证明：，可逆，设，则，，()()()11122110n r n r n r n r n r k k k ηηηηηη-+-+---+-+-++-=()11110n r n r n r n r k k k k ηηη----+++-++=121,,,n r ηηη-+110n r n r k k k k --∴===++=11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+∴---11211,,,n r n r n r n r ηηηηηη-+-+--+∴---0Ax =Ax β=()()()11122111n r n r n r n r n r n r x k k k ηηηηηηη-+-+---+-+=-+-++-+()11111n r n r n r n r x k k k k ηηη----+∴=+++---111n r n r k k k -+-=---111n r ii k-+==∑2≥n *,()()1,()10,()1n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩当当当()R A n =0A ≠10n A A-*=≠()R A n *∴=()1R A n =-A 0A =A ()1n -A ()1R A *≥0AA A E *==()()R A R A n *+≤()1R A *∴≤()1R A *=()2R A n ≤-A ()1n -A n n A O *⨯=()0R A *=A n 2A E =()()R A E R A E n ++-=()()()()20A E A E A E R A E R A E n =⇒+-=⇒++-≤2210A A E A A ===⇒≠⇒()()1,,n R A R n αα⇒==()1,,n E e e =()11,,n n A E e e αα+=++()11,,n n A E e e αα-=--设，，易知可由线性表示，故，综上：.16．设为矩阵，证明.证明：由方程解与秩的关系知：只须证明与同解即可.事实上，，若，则，的解必为的解；反之，，若，则，即，为列向量，，的解必为的解；与同解，，证毕.17．设为维列向量，证明齐次线性方程组与有公共非零解的充要条件是：.证明：与有公共非零解，使，使，即有非零解. 18．若阶方阵，其中为矩阵，为矩阵，且，证明齐次线性方程组只有零解.证明：只有零解.， ()R A E r +=()R A E s -=1,,n αα1111,,,,,n n n n e e e e αααα++--()()11111,,,,,,,n n n n n n R R e e e e αααααα=≤++--()()()()1111,,,,n n n n R e e R e e R A E R A E αααα≤+++--=++-()()R A E R A E n ++-=A m n ⨯()()TR A A R A =0Ax =0TA Ax =x R ∀∈0Ax =0TA Ax =0Ax ∴=0TA Ax =x R ∀∈0TA Ax =0TT x A Ax =()0TAx Ax =m Ax R ∈0Ax ∴=0TA Ax ∴=0Ax =∴0Ax =0T A Ax =()()T R A R A A ∴=x n 0Ax =0Bx =A R n B ⎛⎫< ⎪⎝⎭0Ax =0Bx =00x ⇔∃≠000000Ax x Bx =⎧⇔∃≠⎨=⎩000000Ax A x Bx B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭A R n B ⎛⎫⇔< ⎪⎝⎭n A BC =B n k ⨯C k n ⨯||0A ≠0TB x =0TB x =()()TR B R B n ⇔==n n n k k n A B C ⨯⨯⨯=()()111111111,,,,,,n kkn k j j jn j j j k kn c c c c c c ααββββ==⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑∑故能由线性表示，则，得，，又，. 证毕.1,,n αα1,,k ββ()()()()11,,,,n k R A R R R B ααββ=≤=0A ≠()R A n =()R B n ∴≥()R B n ≤()R B n ∴=。

线性代数考试题及答案4

2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。

评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。

(每小题3分,共24分)【】1.行列式=----2111021010211102(A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3【】2.设A 为3阶方阵，数2=λ，3-=A ，则=A λ(A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6-【】3.设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =,其中E 是n 阶单位阵，则必有(A) E BCA = (B E CBA = (C) E BAC = (D) E ACB =【】4.设A 为2阶方阵, 02≠=A ，则=*A(A) 2 （B) 4 (C) 8 (D) 16【】5.设向量组A 与向量组B 等价，则有(A) B A R R < (B) B A R R >(C) B A R R = (D) 不能确定A R 和B R 的大小【】6.设线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为)(A R ，增广矩阵),(b A 的秩为),(b A R ，则b Ax =有解的充分必要条件是__________________系__________专业___________班级姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(A) ),()(b A R A R < (B) ),()(b A R A R > (C) ),()(b A R A R = (D) ),()(b A R A R ≤【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性无关的充分必要条件是(A) m a a a R m <),,,(21 (B) m a a a R m ≤),,,(21 (C) m a a a R m =),,,(21 (D) m a a a R m >),,,(21【】8. 如果n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值，则有(A)n A R =)( (B)A 与对角阵相似 (C)A 没有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。

线性代数习题答案4

a2 + b2 3 (a2 + b2 3)(a2 − b2 3) a22 − 3b22
a22 − 3b22
3,
a1 ± a2 , b1
± b2;
a1a2
+ 3b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 a22
− 3b1b2 − 3b22
,
(a2b1 − a1b2 a22 − 3b22
)
都是有理数,故 K2 是数域.
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )T , 2(x1 + y1) + 3(x2 + y2 ) − (x3 + y3 ) = 0 ⇒ x + y ∈W4 , kx = (kx1, kx2 , kx3)T , 2(kx1) + 3(kx2 ) − (kx3) = 0 ⇒ kx ∈W4 故W4 对 R3 中的加法与数乘运算封闭, 它是 R3 的子空间. (5) W5 = {x ∈ R3 | 2x1 + 3x2 − x3 = 1}; 【解】W5 不是 R3 的子空间. 显然W5 中不含有零向量, 故W5 不是 R3 的子空间. (6) W6 = {x ∈ R3 | x1 − x22 = 0}.
=
a1a2 a22
+ b1b2 + b22
+
(a2b1 a22
− a1b2 ) + b22
i,
a1
± a2 , b1
± b2;
a1a2
− b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 + b1b2 a22 + b22

2023年04月04184线性代数真题及答案

2023年4月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.设A=(a11a12a21a22)，M ij为元素a ij(i,j=1,2)的余子式，M21=4，M22=5，则A=（）A.(5−4−32)B.(5−3−42)C.(53 42)D.(54 32)【答案】D2.设A=(12−30)，则A∗中位于第1行第2列的元素是（）A.-3B.-2C.2D.3【答案】B3.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C4.设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0，|E−4|=0，则|A−1+E|=（）A.-lB.−23C.23D.1【答案】A5.二次型f(x1,x2,x3)=2x12−3x22+5x32的正惯性指数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.行列式|a1+b1a1+b2a1+b3a2+b1a2+b2a2+b3a3+b1a3+b2a3+b3|=_________。

【答案】07.设矩阵A=(1−4−10)，B=(1024)，则AB=_________。

【答案】(−7−16−10)8.设A为2阶矩阵，若存在矩阵C=(1−201)，使得C T AC=(−1002)，则A=_________。

【答案】(−1−2−2−2)9.设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|−2A −1|=_________。

【答案】-410.已知向量组a 1=(1,k,−3)T ，a 2=(2,4,−6)T ，a 3=(0,0,1)T 的秩为2，则数k =_________。

【答案】211.齐次线性方程组{x 1+2x 2+3x 3 =0x 2−x 3+x 4=0的基础解系所含解向量的个数为__________。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1、设n 阶方阵A B 与等价，则必有（） (A) 当(0)A a a B a =≠=时， (B) 当(0)A a a B a =≠=-时， (C) 当0A B ≠=0时， (D) 当00A B ==时，2、设,A B 为同阶可逆矩阵，则（） (A) 矩阵A 与B 等价 (B) 矩阵A 与B 相似 (C) 矩阵A 与B 合同 (D) 矩阵A 与B 可交换3、向量组Ⅰ：12,,,r ααα；可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ线性表示，则（）(A) 当r s <时，向量组Ⅱ必线性相关 (B) 当r s >时，向量组Ⅰ必线性相关 (C) 当r s <时，向量组Ⅰ必线性相关 (D) 当r s >时，向量组Ⅱ必线性相关4、已知1β和2β是非奇次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应导出组的基础解系，12,k k 为任意常数，则方程组Ax b =的通解（一般解）为（） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211212()2k k ββααα++-+ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5、若方阵110101011C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则C 的特征值为（）(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D ）-1，1，1 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1、已知12αα，为2维列向量，矩阵121212(2,),(,)A B αααααα=+-=，若行列式6,A B =-=则。

2、设3阶方阵500012,011A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则A 的逆矩阵1A -= 。

3、设210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中A *为A 的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵，则B 的行列式B = 。

4、设A 是3⨯5阶矩阵，A 的秩()2r A =，而101020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()r BA = 。

5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，3，2，1，则该行列式的值为。

6、设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，三维列向量11a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知A αα与线性相关，则a = 。

7、设四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 为四阶单位矩阵，则行列式B E -= 。

8、如果10阶方阵A 的各行元素之和均为0，且()9r A =，则线性方程组0Ax =的通解为。

9、若方阵A 与对角阵相似，且0m A =，（m 为自然数），则A = 。

10、若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的所属区间为。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1、解方程11111111011111111x x x x ---+-=--+--2、求向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向量。

其中12(2,7,1,4)T αα==---T（1，4，0，2），，3(1,4,1,3)T α=- 45(2,5,1,0)T αα==T（-4,-4,3,1），。

3、设11123512536A λ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的秩。

4、求矩阵X ，使2XA XB C =+。

其中249657532A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，114232101B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，123231C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1、已知向量12321511253,,,3312641113βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，判断向量β能否由向量组123,,ααα线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。

2、设181411112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）计算二次型T X AX ，写出该二次型所对应的矩阵；（2）将二次型T X AX 化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。

3、设124522,4214A x B y --⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，如果,A B 相似，求（1）,x y 的值（2）相应的正交矩阵1,P P AP B -=使。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、设A 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且2240A A E --=。

试证：3A E -可逆，并求1(3)A E --。

2、若向量组1234,,,αααα线性无关，向量组12233441,,,αααααααα++++是否线性相关？说明其理由。

线性代数课程试卷（A ）一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1. 行列式x010x 4x13 的展开式中，2x 的系数为（）(A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 42．设,A B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则（） (A) n B r A r ≤+)()( (B) 0)(,)(==B r n A r (C) n B r A r <+)()( (D) n B r A r >+)()( 3．向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是（）(A) 向量组12,,,s ααα不含零向量 (B) 向量组12,,,s ααα中任意两个线性无关(C) 向量1α不能由向量组23,,,s ααα 线性表出(D)任一组不全为零的数12,,,s k k k ，都使11220s s k k k ααα+++≠4．已知四阶方阵A 有特征值0，1，2，3，则方程组0AX=的基础解系所含解向量个数为（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．n 阶对称阵A 为正定矩阵的充分必要条件是（） (A) 0A > (B) A 等价于单位矩阵E (C) A 的特征值都大于0 （D ）存在n 阶矩阵C ，使T A C C =二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是。

2．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。

3．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。

4．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为。

5．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是。

6．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是。

7．设矩阵A 的特征多项式为2(1)(2)E A λλλ-=-+，则行列式123A A E -*+-= 。

8．如果n 阶方阵A 的各行元素之和均为2，则矩阵A 必有特征值。

9．设123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正交矩阵，则其逆矩阵1A -= 。

10．二次型22212312312(,,)22f x x x x x x x x =+++的正惯性指数为。

三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）1．计算n 阶行列式：1000111000011000001000011nD =2.设1200010000220012A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, (1)用初等变换法求1A -；（2）将1A -表示为初等矩阵之积。

3．设301130113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，110110B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足2AX X B -=，求X 。

4．化二次型22123131323(,,)222f x x x x x x x x x =++-为标准形，并写出可逆的线性变换。

四、计算题（二）（共3小题，每题10 分，共30分）1．当a 为何值时，方程组12345234512345123453230226315433x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a+++-=⎧⎪+++=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩ 有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解。

2. 判别向量组12(3,0,7,14)Tββ==T（1,2,5,2），能否由向量组12(2,1,5,6)T αα==T（1，-1，0，4），，3(1,1,2,0)T α=-- 线性表出，并求向量组12312,,,,αααββ的一个极大无关组。

3．设422242224A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求正交矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵，并写出相应的对角阵。

五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1．设n 阶方阵A 有不同的特征值12,λλ，相应的特征向量分别是12,αα，证明：当12,k k 全不为零时，线性组合1122k k αα+不是A 的特征向量。

2. 设n 维列向量组12,,,s ααα线性相关，A 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,s A A A ααα线性相关。

附：《线性代数》（A 卷）答案要点及评分标准一．选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．C .二．填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1．负号； 2．1； 3．0； 4．010100001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，或(1,2)E -； 5．唯一解（或只有零解）； 6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； 10．3.三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到11100011001111(1)1(1)001000011011120n n n D n n ++=+-=+-⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数………8分2、解：（1）1200100001000100()0022001000121AE ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………2分→1200100001000100100110002100010012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭→10001200010001000010001110001012-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以 112000100001110012A --⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭………5分（2）11(1,2(2))(3,4(1))(4,3(1))(3())2A E E E E -=--- ………8分3、解：方法一：由2AX X B -=, 得到(2)A E X B -=， ……2分101100(2,)110010111001A E E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭→100111010101001011⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭……5分所以，2A E -可逆，1(2)X A E B -=-=222111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. ……8分方法二：由2AX X B -=, 得到(2)A E X B -=， ……2分用初等行变换求X10111(2,)1100111110A E B -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭→100220102100111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ……6分所以，2A E -可逆， 1(2)X A E B -=-=222111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. ……8分4、 f =22131323222x x x x x x ++- =22213232()()x x x x x ++-- ………6分令 11322332y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为112323332x y y y x y x y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ………8分四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由(,)r A b =32113001226311111154331a -⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭→⋅⋅⋅→111111012263000002000a ⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭方程组有无穷多组解，所以()(,)2r A r A b ==，故2a = ……4分(,)r A b →101152012263000000000----⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价于方程组 13452345253226x x x x x x x x =-+++⎧⎨=---⎩ 取3450x x x ===，得到特解(2,3,0,0,0)T η=- ……7分令3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为1(1,2,1,0,0)T ξ=-，2(1,2,0,1,0)T ξ=-，3(5,6,0,0,1)T ξ=- 方程组的全部解为112233x k k k ηξξξ=+++ 其中123,,k k k 为任意常数……10分2、解：初等行变换矩阵12312(,,,,)αααββ到行最简梯矩阵为123121211311120(,,,,)05257460214αααββ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭→ 1001201011001010000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭……6分可得到12,ββ能由123,,ααα线性表示，且1122123,2βααβααα=-+=+-向量组12312,,,,αααββ的一个极大无关组为123,,ααα ……10分 3、解：2422242(8)(2)224E A λλλλλλ----=---=----- ………4分得到矩阵A 的全部特征值为1232,8λλλ=== 当122λλ==时，由(2)0E A x -=得一个基础解系12(1,1,0),(1,0,1)T T ξξ=-=-正交化,单位化1(T β=，2(Tβ= …7分当38λ=时，由(8)0E A x -=的一个基础解 3(1,1,1)T ξ=将其单位化得3Tβ= ………9分则正交阵123(,,)03P βββ⎛⎫⎪ == ⎝，1P AP B -=使，相应的对角阵为 200020008⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭……10分五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）1、证明： 112211221122()A k k Ak Ak k A k A αααααα+=+=+因为 111222,A A αλααλα==1122111222()A k k k k ααλαλα+=+ 而12λλ≠所以 1122k k αα+不是A 的特征向量. ………4分 2、证明：由12,,,s ααα线性相关，根据定义，存在不全为0的12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=，用矩阵A 左乘等号两边得到 112211220s s s s Ak Ak Ak k A k A k A αααααα+++=+++=i k 不全为0，根据线性相关的定义得到向量组1122,,,s s k k k ααα线性相关. ………4分。