数学中常用不等式及其应用

目录数学中常用不等式及其应用 (2)1.前言 (2)2.研究背景及研究意义 (3)2.1 不等式研究背景 (3)2.2 研究意义 (4)3.高等数学常用不等式举例介绍 (5)3.1柯西不等式 (5)3.2拉格朗日中值定理 (5)3.3均值不等式 (8)4.数学中不等式的中的应用 (9)4.1 构造条件不等式对命题进行证明 (9)4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明 (12)5.总结 (15)参考文献 (17)数学中常用不等式及其应用1.前言正所谓“问渠那得清如许。

为有源头活水来”。

回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。

我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。

在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。

没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。

中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。

自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。

回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。

作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。

随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。

不等式是数学基础理论的重要部分。

不等式是刻画现实世界和日常生活、生产和科学研究中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研究数量关系和进一步学习数学的必备知识。

此外，不等式在高中数学中占有举足轻重的地位，是学习数学及其他学科的基础知识。

2.研究背景及研究意义2.1 不等式研究背景继义务教育阶段课程改革的全面推进，我国高校规定了高校数学教学的课程目标设置大纲》。

目前，高校数学课程改革己经得到了普遍实施和开展，我们知道，新课程改革的核心环节是课程实施，而课程实施的基本方式是教学，那么如何将新课程的理念和构想落实到实处，这是需要通过实际的课堂教学来完成的。

高校数学课程改革对教学提出了以下新的要求：数学教学要以学生为本，以学生的发展为本，应当指导学生根据自己的实际情况和兴趣爱好来合理地选择课程和制定学习计划；高校数学教学要打好学生的知识基础，注重发展能力；高校数学教学要注重联系，提高数学整体的认识；高校数学教学中要关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成；数学教学应改善教与学的方式，使高校学生主动地学习。

不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，体现出了“工具”的作用。

如研究函数的定义域时常用到分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数的真数大于0等不等关系；求函数定义域、值域（最值）、单调性；讨论方程根与系数的关系；数列的项的最值与前n项和的最值；讨论方程与方程组的解的情况，在一元二次求根公式的教学中，用判别式的符号判断方程的根的存在情况；求空间线线、线面、面面间的距离及夹角的范围；概率的范围等等。

可以看出，不等式与集合、充要条件、函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何、实际问题都有知识交汇处，在相关的数学领域中有着广泛的应用。

在不等式学习过程中，可以体现出数学思想及素养的培养。

数学思想不仅在学生形成良好认知结构的过程中起着桥梁作用，在将基础知识转化为能力和技能的过程中也发挥着重要作用，它是培养学生的数学思维意识和形成好的数学思维素质的关键所在。

不等式的相关教学内容涉及到数形结合、分类转化、函数与方程、转化等数学思想。

例如：通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，能够培养学生的动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养简约直观的思维方法和良好的思维品质，进而渗透抽象与具体、联系与转化等辩证唯物主义的观点和方法；二元一次不等式（组）与平面区域，揭示出了不等式的几何意义，使学生对不等式的认识有了质的飞跃，同时，极有利于发展学生对集合思想，数形结合思想在思维层面上的提升，进一步促使学习者在思维的深层面上主动完成对函数、方程、不等式形成有机的数学知识网络的构建；线性规划问题开拓了不等式的实际运用的领域。

本文希望通过对高中数学不等式的教学进行研究，结合相关数学教育理论，针对不等式各部分教学内容和知识点提出有效的教学策略，改进不等式课堂教学，提高学生的学习效率和教师的教学效果，对进行高中不等式教学的教师提供一定的参考作用。

使得通过不等式基础知识的学习和基本技能的训练，学生的逻辑推理等思维能力能力以及分析解决问题的综合能力能够得以培养和提升。

2.2 研究意义教学策略是当前教学研究的一个重要问题，它无论是对教学理论研究的深化，还是对教学实践的变革都有重要价值。

教学策略可以帮助我们从整体上综合地认识和探讨教学过程中各种因素间的相互作用，有利于从动态上把握教学过程的本质和规律。

不等式教学策略的研究，有助于促进不等式教学法的丰富与发展，有助于教师理论与实践相结合，使教师形成自己的教学风格。

教学策略既是教学过程理论体系的具体化，又是建立在教学经验的基础上的，既具体、明了、可操作性强，又具有概括、完整和系统性，便于理解和掌握，有利于提高教学质量。

以期改进不等式课堂教学，提高学生的学习效率和教师的教学效果，对进行高中不等式教学的教师提供一定的参考作用，减少不等式教学中的困惑。

使得通过不等式基础知识的学习和基本技能的训练，学生的逻辑推理等思维能力能力以及分析解决问题的综合能力能够得以培养和提升。

3.高等数学常用不等式举例介绍3.1柯西不等式柯西不等式是由法国大数学家柯西在研究数学分流中的“流数”时得到的．但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy -Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步．柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，比如在证明不等式、求函数最值及变量取值范围、方程与等式、几何等方面．然而，目前柯西不等式的研究主要集中于高等数学及其解法应用研究．作为其中著名不等式之一，理应跟中学数学教学紧密联系在一起，为培养学生的数学能力提供教育素材．可喜地是随着新课程改革的不断推进，2003 年 4 月教育部制定了《普通高中数学课程标准（实验）》，到 2008 年全国各省区全面使用《标准》教材进行教学．选修 4-5 专题——《不等式选讲》将柯西不等式纳入了选修课程系统，柯西不等式由此进入了新教材，进入了学生的课堂．作为选修内容之一，为拓展学生的知识面，开阔学生的视野，拓展学生的思维空间具有很大的作用，同时也为教育工作者提出了新的挑战。

柯西不等式的表现形式如下:(1)(n 维形式)对于任意实数123,,,...,n a a a a 与123,,,...,n b b b b 满足222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当1212n na a ab b b ===等式成立。

3.2拉格朗日中值定理如果函数f （x ）满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导，那么在（a,b ）内至少有一点ξ（b a <<ξ），使得等式))((')()(a b f b f a f -=-ξ成立。

2.3.1拉格朗日中值定理的证明以及推广设)(x f 在区间[a,b]内k 阶可微，则),(b a ∈ξ使)()(a f f h k k k ∆=ξ其中h=k a b - ∑=-+-=∆k i i k i k k hi a f C a f 0)()1()( 证明定理：我们这里就用辅助的思想来看待这个问题。

(1)当k=l 时，即是拉格朗日中值定理。

(2)当k=2 时， 在区域}0,0:),{(2121h x h x x x D i ≤≤≤≤=作辅助函数：())()()(),(212121a f x a f x a f x x a f x x g ++-+-++=，则)(),(2a f h h g ∆=。

固定2x 让1x 在(O ，h]上变化，则),(21x x g ，关于1x 满足拉格朗日中值定理，所以)](a f'-)x (a [f')x g(h, ,0(12121ξξξ+++=∈∃）使得h ，其中),(2x h g 关于变量2x 又满足拉格朗日中值定理，所以）h ,0(1∈∃ξ可有221)(''),(h a f h h g ξξ++=，记21ξξξ++=a 。

则有)()(''2a f f ∆=ξ成立。

（3）当k=n 时，访k=2构造定义在),0(),0(),0(h h h ⨯⋅⋅⋅⨯⨯上的函数：)()1(][)()(),,,(1111111111121a f x x x a f x x a f x x a f x x x g n n n j m n j i i j m i i m i i n m nm i i m i i n m -+⋅⋅⋅+++++++-+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅∑∑∑∑∑∑∑≤<≤+=-+=-==+=-=同理有 )(),,,(a f h h h g n ∆=⋅⋅⋅第一步：固定n x x x ,,,32⋅⋅⋅让1x 在(0，h)上变化，则),,,(21n x x x g ⋅⋅⋅关于变量1x 满足拉格朗日中值定理，所以),0(1h ∈∃ξ使得h a f x x x a f x x a f x x a f x x h g n n n j m n j i i j m i i m i i n m nm i i m i i n n )}(')1()(')(')('{),,,(11211112121121112ξξξξ+-+⋅⋅⋅+++++++++-+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅-≤<≤+=-+=-==+=-=∑∑∑∑∑∑∑第二步：固定n x x x ,,,43⋅⋅⋅让2x 在(0，h)上变化，则),,,(2n x x h g ⋅⋅⋅关于变量1x 满足拉格朗日中值定理，所以),0(2h ∈∃ξ使得212311113131132121)}(')1()(')('')(''{),,,(h a f x x x a f x x a f x a f x h h g n n n j m n j i i j m i i m i i n m nm i i m i i n n ξξξξξξ+-+⋅⋅⋅++++++++++-+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅-≤<≤+=-+=-==+=-=∑∑∑∑∑∑∑ 依次类推第3步，...，第n 步1121)1(121)1()]()([),...,,(-----+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++=n n n n n n n h a f x a f x h h g ξξξξξξ 关于变量n x 满足拉格朗日中值定理，所以),0(h n ∈∃ξ使得n n n h a f h h h g )(),...,,(21)(ξξξ+⋅⋅⋅+++= 因为∑=-+-=∆=ni i n i n nhi a f C a f h h h g 0)()1()(),...,,( 所以我们令n a ξξξ+⋅⋅⋅++=1 则b a <<ξ即)()()(n f f h n n n ∆=ξ定理2：设I 是有界闭区间0>∀δ构造一个多项式函数)(x P ，使得对全体I x ∈都有δ<-x x P )(在证明该定理时，如果我们试图用证明不等式的一般方法直接去证明它，那难度是相当大，甚至不能把该命题证明出来，但是如果我们此时换一种思维方式，通过构造条件不等式，问题就迎刃而解。