第一节 有界线性算子的谱

第一节 有界线性算子的谱一、算子代数定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。

性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m nm n T T T m n +=∈N ；2、()()()ST S T S T ααα==；3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；4、单位算子I 满足：IT TI T ==；5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1T -，并称T 为可逆算子。

以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。

6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且11111(),()()n n ST T S T T -----==。

当()T GL X ∈时约定10()(0),nn T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。

注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)nn ST S T TT n ≤≤≥；3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。

定义：设T 属于某算子代数，称010()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞===++++∑、（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。

性质：设通常幂级数0()nnn f λαλ∞==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数（3.1.1）绝对收敛：nn n n T T αα≤<∞∑∑。

引理3.1.1 设()T L X ∈，则1()n n I T T ∞-=-=∑只要其右端级数收敛。

特别，当1T <时上式必成立。

推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则1110()()n n T S T ST ∞---=+=-∑，只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。

二、谱与谱半径定义3.1.2 设(),T L X ∈1、若,I T λλ∈-C 不可逆，即()I T GL X λ-∉，则称λ为T 的谱值。

以()T σ记T 的谱值的全体，成其为T 的谱；称()()sup T r T σλσλ∈=为T 的谱半径，它是以原点为中心且包含()T σ的最小的圆的半径。

2、令()\()T T ρσ=C ，称任何的()T λρ∈为T 的正则值；称1(,)()(())R T I T T λλλρ-=-∈为预解式，也记为()R λ或R λ。

3、若λ∈C ，存在0x ≠，使得Tx x λ=（这相当于()x N I T λ∈-），则称λ为T 的特征值，并称x 为T 关于λ的特征向量，称()N I T λ-为T 关于特征值λ的特征子空间。

以()p T σ记T 的特征值的全体，称其为T 的点谱。

性质：1、()()p T T σσ⊂；2、若(),dim T L X X ∈<∞，则(){0}N I T I T λλ-=⇔-可逆，因而()()p T T σσ=。

3、若dim X =∞，则可能有()()p T T σσ≠，即谱值未必是特征值。

定理3.1.3（Gelfand 定理） 设()T L X ∈，则()T σ是非空紧集，且成立谱半径公式：1/()lim nnnr T T σ=。

三、某些应用 定理3.1.4 设幂级数nnαλ∑的收敛半径为,()R T L X ∈。

1、若()r T R σ<，则级数n n T α∑绝对收敛；2、若()r T R σ>，则级数nnTα∑发散。

注：若()r T R σ=，级数nnTα∑可能收敛，也可能发散。

第二节 算子函数一、解析扩张由定理3.1.4可推得：若00()()n n n f λαλλ∞==-∑是圆00(){:}r D r λλλλ∈-<C内的复解析函数，则当0(),()T L X r T I r σλ∈-<时，00()()(3.2.3)nn n f T T I αλ∞==-∑有意义，且上式右端级数绝对收敛。

因000()(){:()}T I T T σλσλλλλσ-=-=-∈，于是00()()(0)()(0)()r r r r T I r T I D T D D σλσλσλλ-<⇔-⊂⇔⊂+=所以：（3.2.3）表示一个定义于集合0{():()()}r T L X T D σλ∈⊂上的算子函数()f T 。

我们将()f T 视为复解析函数()f λ的某种扩张。

特别，熟知的初等函数都可适当地扩张为算子函数。

例如，对数函数111(1)(1)ln ((0))n nn D n λλλ-∞=--=∈∑可扩张为集1{():()(1)}T L X T D σ∈⊂上的算子对数函数11(1)()ln n nn T I T n -∞=--=∑。

类似地，还可定义算子的指数函数Te 、正弦函数sin T ，等等。

但是，在通过深入思考后，我们发现这种推广并非可以简单地实现，我们将会发现以下的问题：1、幂级数仅能表达圆域内的解析函数。

对任意开集()Ω⊂C 内的解析函数()f λ及满足()T σ⊂Ω的()T L X ∈，应如何定义()f T ？2、()f T 能继承()f λ的哪些性质？3、函数()f T 仅只是()f λ的形式扩张，还是有某些不可缺少的实质性应用？为解决以上问题，先介绍算子积分的概念。

设L 是复平面上任一可求长曲线，()T τ是定义于L 上而取值于()L X 中的函数（称为算子值函数），则可用通常的“分割、求和、取极限”的方式定义()T τ沿L 的积分：max 01()lim()i nii Li T d T τττξτ→==∑⎰。

其中01,,,n τττ为L 上顺次排列的分点，0τ与n τ分别为L 的起点与终点，i ξ是L 上介于1i τ-与i τ之间的任一点，1(1)i i i i n τττ-=-≤≤。

性质：1、当()T τ对τ连续时，上述积分必存在。

2、对任给的*u X ∈与x X ∈有,(),()LLu T d x u T x d ττττ<>=<>⎰⎰下面考虑任意复解析函数的扩张问题。

取定非空开集Ω⊂C ，以()H Ω记Ω内的复解析函数之全体，令{():()}D T L X T σΩ=∈⊂Ω设()(),f H T D λΩ∈Ω∈，今探求()f T 的合理定义。

因未必有某个圆0()r D λ，使得0()()r T D σλ⊂⊂Ω，形如式（3.2.3）的定义式一般不再有效。

注意到在复函数理论中，复解析函数不仅可表为幂级数，而且可表为积分，即有如下形式的Cauchy 公式表示：11()()()2L f f d iλττλτπ-=-⎰， 其中L 是Ω内任一围绕λ的简单闭曲线（或称围道，且假定沿其正方向行进时，保持λ所在区域在左边），我们设想将()f T 类似地定义为11()()()(3.2.6)2L f T f I T d iτττπ-=-⎰定义3.2.1 任给()()f H λ∈Ω与T D Ω∈，取Ω内任一围绕()T σ的围道L ，依式（3.2.6）定义()f T ，则得到一个从D Ω到()L X 的函数()f T ，称它为()f λ的解析扩张，或简称为扩张。

注：1、式（3.2.6）右端的积分必存在。

2、式（3.2.6）右端的积分不依赖于L 的选择。

3、定义式（3.2.3）与（3.2.6）（两者都可使用时）是一致的。

4、()f T 的确是()f λ的扩张。

首先，(),L X I λλ→→C显然是一等距嵌入，且此嵌入保持乘积运算。

因此，不妨认为()L X ⊂C ，即将λ与I λ等同。

显然(){}I σλλ=，因此可以认为D ΩΩ⊂。

λ∀∈Ω，在Ω内取一围绕λ的围道L ，则11()()()2L f I f I I d iλττλτπ-=-⎰⎰ 11[()()]()2Lf d I f I i ττλτλπ-=-=⎰， 可见()f I λ与()f λ一致。

二、解析扩张的性质定理3.2.2 设(),()(),()()f g H h H λλλ'∈Ω∈Ω，(),f T D Ω'Ω⊂Ω⊂∈C ，则 1、()()()()f g T f T g T +=+； 2、()()()()fg T f T g T =； 3、()()(())h f T h f T =。

定理3.2.3（谱映射定理） 设()(),f H T D λΩ∈Ω∈，则有(())(())f T f T σσ=。

三、谱分解定理3.2.4（谱分解定理） 设1(),(),2,ni i T L X T n σσσ∈=≥为互不相交的非空闭集，则存在X 的拓扑直和分解：12,(3.2.17)n X X X X =⊕⊕⊕使得每个i X 是T 的不变子空间(即,1)i i TX X i n ⊂≤≤,且()i i T σσ=,(,),(3.2.18)i ii i i iTx T x x x x X ==∈∑∑此处|i i T T X =看作i X 上的有界线性算子。

证明：取充分小的0ε>,令{:(,)}(1),i i C d i n λλσεΩ=∈<≤≤使得i Ω互不相交.令1ni Ω=Ω,则Ω为开集,()T σ⊂Ω.以()i f λ记i Ω之特征函数,则()()i f H λ∈Ω.令(),i i i i P f T X P X ==,以下验证(1)i X i n ≤≤即为所求.(1)验证(3.2.17)式。

显然有恒等式:()()(),()1()i j ij i i if f f f λλδλλλ==∈Ω∑。

于是，由定理3.2.2得,(1,).(3.2.19)i j ij i i iPP P P I i j n δ==≤≤∑特别，2(1)i i P P i n =≤≤，由i iP I =∑得i i iiX P X X ==∑∑，这意味着对每个x X ∈有分解,(1)(3.2.20)i i iix x x X i n =∈≤≤∑。

因i i X P X =，故对式（3.2.20）中的i x 有i y X ∈，使i i i x P y =，从而由式（3.2.19）有i ij j j i j j i j i jjjx P y PP y P x Px δ====∑∑∑。

这表明分解式（3.2.20）是惟一的，因而直和分解式（3.2.17）成立，且i P 就是从X 到iX 的投影。

下证()(1)i j j i X N P i n ≠=≤≤∑。

若()jj ix N P ≠∈∑，则jiiiij ix Ix P x Px Px PX X≠==+=∈=∑。