第一节 有界线性算子的谱

第一节 有界线性算子的谱

一、算子代数

定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。

性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m n

m n T T T m n +=∈N ；

2、()()()ST S T S T ααα==；

3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；

4、单位算子I 满足：IT TI T ==；

5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1

T -，并称T 为可逆算子。以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。 6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且

11111(),()()n n ST T S T T -----==。

当()T GL X ∈时约定10()(0),n

n T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。

注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)n

n ST S T T

T n ≤≤≥；

3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。

定义：设T 属于某算子代数，称

010

()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞

===++

++

∑、

（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。

性质：设通常幂级数0

()n

n

n f λαλ

∞

==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数

（3.1.1）绝对收敛：

n

n n n T T αα≤<∞∑∑。

引理3.1.1 设()T L X ∈，则

1

()n n I T T ∞

-=-=∑

只要其右端级数收敛。特别，当1T <时上式必成立。

推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则

1

110

()()n n T S T ST ∞

---=+=-∑，

只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。

二、谱与谱半径

定义3.1.2 设(),T L X ∈

1、若,I T λλ∈-C 不可逆，即()I T GL X λ-∉，则称λ为T 的谱值。以()T σ记T 的谱值的全体，成其为T 的谱；称

()

()sup T r T σλσλ∈=

为T 的谱半径，它是以原点为中心且包含()T σ的最小的圆的半径。

2、令()\()T T ρσ=C ，称任何的()T λρ∈为T 的正则值；称

1(,)()(())R T I T T λλλρ-=-∈

为预解式，也记为()R λ或R λ。

3、若λ∈C ，存在0x ≠，使得Tx x λ=（这相当于()x N I T λ∈-），则称λ为T 的特征值，并称x 为T 关于λ的特征向量，称()N I T λ-为T 关于特征值λ的特征子空间。以()p T σ记T 的特征值的全体，称其为T 的点谱。

性质：1、()()p T T σσ⊂；

2、若(),dim T L X X ∈<∞，则(){0}N I T I T λλ-=⇔-可逆，因而()()p T T σσ=。

3、若dim X =∞，则可能有()()p T T σσ≠，即谱值未必是特征值。

定理3.1.3（Gelfand 定理） 设()T L X ∈，则()T σ是非空紧集，且成立谱半径公式：

1/()lim n

n

n

r T T σ=。

三、某些应用 定理3.1.4 设幂级数n

n

αλ

∑的收敛半径为,()R T L X ∈。

1、若()r T R σ<，则级数n n T α∑绝对收敛；

2、若()r T R σ>，则级数n

n

T

α∑发散。

注：若()r T R σ=，级数n

n

T

α∑可能收敛，也可能发散。

第二节 算子函数

一、解析扩张

由定理3.1.4可推得：若

00

()()n n n f λαλλ∞

==-∑

是圆

00(){:}r D r λλλλ∈-

内的复解析函数，则当0(),()T L X r T I r σλ∈-<时，

00

()()(3.2.3)n

n n f T T I αλ∞

==-∑

有意义，且上式右端级数绝对收敛。因

000()(){:()}T I T T σλσλλλλσ-=-=-∈，

于是

00()()(0)()(0)()r r r r T I r T I D T D D σλσλσλλ-<⇔-⊂⇔⊂+=

所以：（3.2.3）表示一个定义于集合0{():()()}r T L X T D σλ∈⊂上的算子函数()f T 。我们将()f T 视为复解析函数()f λ的某种扩张。特别，熟知的初等函数都可适当地扩张为算子函数。例如，对数函数

111

(1)(1)ln ((0))n n

n D n λλλ-∞

=--=∈∑

可扩张为集1{():()(1)}T L X T D σ∈⊂上的算子对数函数

11

(1)()ln n n

n T I T n -∞

=--=∑。

类似地，还可定义算子的指数函数T

e 、正弦函数sin T ，等等。

但是，在通过深入思考后，我们发现这种推广并非可以简单地实现，我们将会发现以下

的问题：

1、幂级数仅能表达圆域内的解析函数。对任意开集()Ω⊂C 内的解析函数()f λ及满足

()T σ⊂Ω的()T L X ∈，应如何定义()f T ？

2、()f T 能继承()f λ的哪些性质？

3、函数()f T 仅只是()f λ的形式扩张，还是有某些不可缺少的实质性应用？

为解决以上问题，先介绍算子积分的概念。

设L 是复平面上任一可求长曲线，()T τ是定义于L 上而取值于()L X 中的函数（称为算子值函数），则可用通常的“分割、求和、取极限”的方式定义()T τ沿L 的积分：

max 0

1

()lim

()

i n

i

i L

i T d T τττξτ→==

∑⎰。

其中01,,,n τττ为L 上顺次排列的分点，0τ与n τ分别为L 的起点与终点，i ξ是L 上介于

1i τ-与i τ之间的任一点，1(1)i i i i n τττ-=-≤≤。

性质：1、当()T τ对τ连续时，上述积分必存在。 2、对任给的*

u X ∈与x X ∈有

,(),()L

L

u T d x u T x d ττττ<>=<>⎰⎰