简单线性规划的实际问题

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各 截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张 数最少？ 【思路分析】 设变量，列出线性约束条件，画出可行域， 可用不同的方法求整点最优解．
【解析】
设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
2x＋y≥15， x＋2y≥18， 可得 x＋3y≥27， x≥0，y≥0，
18 39 首先在可行域内打网格，其次描出A( ， )附近的所有整 5 5 点，接着平移直线l：x＋y＝0，会发现当移至B(3,9)、C(4,8)时， 即z的最小值为12. 方法二 特值验证法
由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次满足条件的整点A0(0,15)， A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)， A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100 元、200元，现有原料甲20 kg，原料乙33 kg，那么可以获得的 最大销售额为( A．600元 C．800元
答案 D
) B．700元 D．900元
2．某电视台每周播放甲、乙两部连续剧，播放连续剧甲一 次需80分钟，有60万观众收看，播放连续剧乙一次需40分钟， 有20万观众收看．已知电视台每周至少播出电视剧6次，总时间 不超过320分钟，则电视台最高收视率为每周观众有( A．300万人 C．210万人
当z变化时，可以得到一族平行直线． z 直线与阴影部分的交点满足不等式组，且当截距 最大时， 12 目标函数取得最大值． 由图可知，当直线l经过M点时， 在y轴上的截距最大，此时z取最大值．
3x＋10y＝300， 由 4x＋5y＝200， x＝20， 得 y＝24，
即A(20,24)．
x≥1， y≥1， 则有不等式组 3x＋5y≤20， 5x＋4y≤25
3x 5 符合条件的解集是以直线x＝1，y＝1，y＝－ 5 ＋4，y＝－ 4 x 25 ＋ 4 为边界所围成的区域(如图中的阴影部分)，这个区域内的整 数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．
3．3.2
简单的线性规划问题(第二课时) 线性规划的实际应用
题型一
最值问题
例1
某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超
过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的 广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个 电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别 为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的 广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
A．4 650元 C．4 900元
答案 C
B．4 700元 D．5 000元
4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设 备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200 元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产 品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
【解析】
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y 分钟，总收益为z元．由题意得 x＋y≤300， 500x＋200y≤90 000， x≥0，y≥0， 目标函数为z＝3 000x＋2 000y. 二元一次不等式组等价于
x＋y≤300， 5x＋2y≤900， x≥0，y≥0， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如图所示． 作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0. 平移直线l，从图中可知，
调整优值法的解法思路是先求非整点最优解，再借助不定方 程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解． 答：本例有两种截法． 第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张． 两种方法最少要截两种钢板共12张．
探究2
对于线性规划中的最优整数解问题，当解方程得到
且x、y都是整数．
求目标函数z＝x＋y取最小值时的x、y. 18 作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y可知直线经过点( 5 ， 39 57 18 39 5 )，此时x＋y＝ 5 ，但 5 与 5 都不是整数，所以可行域内的点 18 39 ( 5 ， 5 )不是最优解，如何求整点最优解呢？
方法一
平移求解法
的解不是整数解时，常用下面的一些方法求解： (1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直 线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解． (2)检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐 标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解． (3)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知 识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
答案 B
)
B．200万人 D．220万人
3．(2011· 四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆 载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天 需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一 次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利 润为( )
将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验 证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值， 其解法的思路是找整点、验证算、选优解． 方法三 调整优值法
18 39 57 由非整点最优解( ， )，z＝ ，∴z≥12. 5 5 5 9 令x＋y＝12，y＝12－x代入约束条件整理得3≤x≤ ，∴x＝3 2 和x＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润 是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 吨，并且供电局只能供电200度，试问该企业生产A、B两种产品 各多少吨时，才能获得最大利润？最大利润为多少？
【解析】 元．
设生产A、B两种产品各为x，y吨，利润为z万
3x＋10y≤300， 9x＋4y≤360， 由题意得 4x＋5y≤200， x≥0，y≥0， z＝7x＋12y. 作出不等式组表示的平面区域(如图)． 7 z 将目标函数z＝7x＋12y转化为直线l：y＝－12x＋12. 7 z 这是一条斜率为－12，在y轴上的截距为12的直线，
故zmax＝20×7＋12×24＝428(万元)．
答：该企业生产A产品20吨，B产品24吨时，可以获得最大利 润，最大利润为428万元．
【讲评】
解线性规划应用题，要认真审清题意，获得准
确的线性约束条件，准确作图，利用图解法求得结论．
题型二
最优整数解问题
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 B规格 C规格 2 1 1 2 1 3
探究1
解线性规划应用题的步骤：①审题(需要时可列表分
析)；②设相关变元，列出目标函数和线性约束条件(不等式 组)；③作图，确定可行域；④找最优解，求出目标函数的最 值；⑤回答实际问题．
思考题1 某企业生产A、B两种产品，每生产一吨产品所需 要的劳动力和煤、电如下表： 产品品种 A产品 B产品 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(度) 4 5
所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最 多配四剂，B种药最多配三剂．
【讲评】
正确画出可行域，从可行域中找出整数点解，
可知当B种药保证一剂时，A种药可最多配4剂，同理B种药最多 配3剂，应正确理解整数点解的含义．
1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如 下表所示(单位：kg) 原料 药剂 A B 甲 2 5 乙 5 4
当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
x＋y＝300， 联立 5x＋2y＝900.
解得x＝100，y＝20源自文库.
∴点M的坐标为(100,200) ∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广 告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
答案 2 300
5．某验室至少需要某种化学药品10 kg，现在市场上出售的 该药品有两种包装，一种是每袋3 kg，价格为12元；另一种是每 袋2 kg，价格为10元．由于保质期的限制，每一种包装购买的数 量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为 ________元．
答案 44
思考题2
配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配剂
A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配剂B种药需甲料5毫克，乙 料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A、B两种药至少各 配一剂，问最多能各配几剂？
【解析】
设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N＋， x≥1， y≥1， 3x ⇒y≤－ ＋4， 5 5 25 y≤－4x＋ 4 .