2020-2021学年辽宁省实验中学高一上学期末考试数学试卷 PDF版

18.（本小题满分 12 分）
已知幂函数 f (x) xm2 2m3 , (m Z ) 为偶函数，且在区间 (0, ) 上是增函数.函数 g(x) (log2 x)2 log4 x m ， x [1, 2] ⑴求 m 的值； ⑵求 g(x) 的最小值.
19.（本小题满分 12 分）
某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与19 秒之间，将测试结果按如下 方式分成六组：每一组，成绩大于等于13 秒且小于14 秒；第二组，成绩大于等于14 秒 且小于15 秒；……第六组，成绩大于等于18 秒且小于等于19 秒．下图是按上述分组方
∴ x12 +1 + x1 − ( x22 +1 + x2 ) = x1 − x2 + x12 +1 − x22 +1
= x1 − x2 +
x12
x22 − +1 +
x12 x22
+1
= (x1 − x2 ) x12 +1x12−+x11 ++ xx2222
+1 − +1
x2
<
0
∴ x12 +1 + x1 < x22 +1 + x2 ∴ log2 ( x12 +1 + x1) < log2 ( x22 +1 + x2 )
c
1 2
，则
logb
c
_____
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16.对任意 x [2, ) ， x 1 kx ，则实数 k 的取值范围是 _______
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分）
已知集合 A {x m 1 x m 2 1} ， B {x x2 4 0} . ⑴若 A B ，求实数 m 的取值范围； ⑵若" x A ”是" x B ”的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.
A x2 x
B x2 x
C x2 x
D x2 x
5.已知函数 f (x) x2 2(a 1)x 1 在 (,1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A (,1]
B [1, )
C (, 0]
D [0, )
6.已知函数
f
(x)
ln(1 ln(1
x), x x), x
0
，则不等式
0
合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9.已知甲运动员的投篮命中率是 0.7 ，乙运动员的投篮命中率是 0.8 ，若甲、乙各投篮一
次，则
（）
A 都命中的概率是 0.56
B 恰有一人命中的概率是 0.42
C 恰有一人没命中的概率是 0.38
D 至少一人命中的概率是 0.94
10.已知 O 为坐标原点，A(2， 1) , B(1,2) ，则
（）
A 与 AB 同方向的单位向量为 ( 10 , 3 10 ) 10 10
B 若 AP 2PB ，则点 P 的坐标为 (5 ,0)
3
C 若 a (1, 3) ，则 a ∥ AB
D 若 C(1,3) ，则四边形 OBAC 为平行四边形
∴ h(t)= t2 − 1 t= (t − 1)2 − 1 ≥ − 1
2
4 16 16
∴最小值为 −
1
，当且仅当 t
=
1
即
x
=
2
1 4
时等号成立
16
4
19.解：(1)前两组的概率和为 0.02 + 0.18 = 0.2 前三组的概率和为 0.02 + 0.18 + 0.36 = 0.56 ∵ 0.5 − 0.2 = 0.3 ∴中位数为15 + 0.3 ≈ 15.83 ；
0.36
(2) 由已知,第五组的频数为 50 × 0.06 ×1 =3 ，同理第六组的频数为 2
记第五组的学生为 a1, a2 , a3 ，第六组的学生为 b1, b2 ，
则样本空间为
Ω ={(a1, a2 ), (a1, a3 ), (a1, b1), (a1, b2 ), (a2 , a3 ), (a2 , b1), (a2 , b2 ), (a3, b1), (a3, b2 ), (b1, b2 )}
2 2
的大小关系无法判断
8.设函数 f (x) 的图象与 y 2xa 的图象关于直线 y x 对称，若 m n 2020 ，
f (2m ) f (2n ) 2 ，则 a
（）
A 1011
B 1009
C 1009
D 1011
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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
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数学答案
1～4：DBBA ；5～8：CDCA ；9. ACD ；10. ACD ；11. BD ；12. BCD 13 1 14 5 15 2 16 (−∞, 0] ∪ (1 , +∞)
2 17.解：∵ m2 +1− (m −1)= (m − 1)2 + 7 > 0 ，∴ A ≠ φ
共10 个样本点 记事件 A :两位同学来自同一组，则
A = {(a1, a2 ), (a1, a3 ), (a2 , a3 ), (b1, b2 )}
共 4 个样本点 ∴ P( A=) 4= 2
10 5
20.解：(1)∵ ME = 2EN ∴ AE = AM + 2AN 3
由已知 AM= AB + 1 AD ， A=N AD + 1 AB
解得 −1 < m < 3 ，∴ m = 0 或 m = 1或 m = 2
∵ f (x) 为偶函数，∴ m = 1
(2) 由(1)
g ( x)=
(log2 x)2 − log4 x=
(log2
x)2
−
1 2
log2
x
令 log2 x = t ， h(t=)
t2 − 1 t ，∵1 ≤ x ≤ 2
2∴0≤t ≤ 1 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若 g(x) x 1， f (g(x)) 2x ，则 f (1) _____ x2
14.甲、乙两位同学高三 8 次物理模拟考试成绩如图所示， 甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则 m _____
15. loga
c
2 3
， logab
∵ AF= tAM + (1− t)AN ∴1− k =t, k =1− t
∴ t ∈[−1, 0]
21.解：(1) f (x) 的定义域为 R ， ∀x ∈ R ， −x ∈ R
∵ f (x) 为偶函数，∴ f (x=) f (−x) ∴ 2x − a ⋅ 2−x= 2−x − a ⋅ 2x
整理得 (2x − 2−x )(1+ a) = 0 ，∴ a = −1
已知函数 f (x) 2x a 2x . ⑴若 f (x) 为偶函数，求 f (x) 的最小值； (2)当 a 0 时，判断 f (x) 的单调性 (不用证明)，并借助判断的结论求关于 x 的不等式 f (log2 a x) f (2 x 2) 0 的解集.
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) log2( x 2 1 ax) , g(x) mx2 (m2 3)x m . ⑴若 f (x) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； ⑵若 a 0 ，函数 y f (x) 为奇函数，且对任意 x1 (0, ) ，存在 x2 [0,1] ，使得 f (x2 ) g(x1) ，求实数 m 的取值范围.
∴ f (x) =2x + 2−x ≥ 2 2x ⋅ 2−x =2 ，当且仅当 2x = 2−x 即 x = 0 时等号成立。 ∴ f (x) 的最小值为 2
(2) a > 0 时， f (x) 在 R 上为单调递增函数
∵ f (log2 a −= x) 2log2 a−x − a ⋅ 2x− = log2 a 2log2 a ⋅ 2−x − a ⋅ 2x ⋅ 2−log2 a = a ⋅ 2−x − a ⋅ 2x ⋅ 1 =a ⋅ 2−x − 2x =− f (x)
法得到的频率分布直方图.
⑴估计此次百米测试成绩的中位数(精确到 0.01 )；
⑵为了尽快提高学生的体育成绩，对此次百米测
试成绩不小于17 秒的两组同学进行特训，特训一
段时间后有两位同学成绩符合要求，求这两位同 学来自同一组的概率.
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20.（本小题满分 12 分）
如图，平行四边形 ABCD 中，
11.已知 a 0, b 0, a b 1 ,则
（）
A a b 的最大值为1
B (4a )b 的最大值为 2
C log2 (a2 b2 ) 的最小值为 0
D 2a2 1 的最小值为 3 1 2ab
12.[x] 表示不大于 x 的最大整数，设函数 f (x) [x] [x]
（）
A f (x) 为增函数 B f (x) 为奇函数 C [ f (x)] f (x) D f (x 1) f (x) 2
3
2
∴= AE 2 AB + 7 AD ∴=λ 2= , µ 7 ∴ λµ = 14
39
39
27
(2)∵ DP ∥ MC ， N 为 CD 的中点，
易证 ∆DNP 与 ∆CNM 全等，则 NM = MP ，
设 MF = k MN ，则1 ≤ k ≤ 2
∵ AF − AM = k(AN − AM) ， AF = (1− k)AM + k AN
a 则 f (2 − x2 ) > f (x) ∴ 2 − x2 > x ，即 x2 + x − 2 < 0 解得 −2 < x < 1 ∴解集为{x −2 < x < 1}
22.解：⑴由已知 x2 +1 + ax ≥ 0 恒成立，即 −ax ≤ x2 +1 恒成立
x > 0 时， −a ≤
1 x2
24 (1)由已知 m2 +1 ≤ −2 或 m −1 ≥ 2 ，解得 m ≥ 3
∴ m ∈[3, +∞)
m2 +1≤ 2
(2)由已知
，解得 −1 ≤ m ≤ 1
m −1 ≥ −2
经检验 −1 < m ≤ 1
∴ m ∈ (−1,1]
18.解：(1) ∵ f (x) 在区间 (0, +∞) 上是增函数，∴ −m2 + 2m + 3 > 0
f
(2 x)
f
(x) 的解集为
A (1, )
B (1, )
C (, 1)
D (,1)（）源自7.已知数据 x1, x2 ,, xn , t 的平均数为 t ，方差为 s12 ，数据 x1, x2 ,, xn 的方差为 s22 ，则
A s12 s22
B s12 s22
C s12 s22
D
s12
与
s
BM
1
MC
，
N
为线段
CD
的中点，
E
为线段
BN
上
2
的点且 ME 2EN .
⑴若 AE AB AD ，求 的值；
⑵延长 MN 、 AD 交于点 P ， F 在线段 NP
上(包含端点)，若 AF t AM (1 t )AN ，
求 t 的取值范围.
21.（本小题满分 12 分）
+1
恒成立，∵
1 x2
+1
>1∴ −a
≤1∴a
≥
−1
x = 0 时， a ∈ R
x < 0 时， a ≤
1 x2
+1
恒成立，∵
1 x2
+1
>1∴
a
≤1
综上 a ∈[−1,1]
⑵由已知 f (x)min < g(x)min
设 x1 < x2 ，
∵ x12 +1 − x1 > x1 − x1 ≥ 0 ，∴ x12 +1 − x1 > 0 ，同理 x22 +1 − x2 > 0
即 f (x1) < f (x2 )
∴ f (x) 在 R 上单调递增，∴ f (x= )min f= (0) 0
则
0
<
g ( x)min
，即
g(x)
>
0
恒成立，∵
x
>
0
，∴
m(x
+
1 x
)
>
m2
−
3
恒成立
m > 0 时， x + 1 > m2 − 3 恒成立， xm
∵ x + 1 ≥ 2 x ⋅ 1 =2 ，当且仅当 x = 1 时等号成立，∴ m2 − 3 < 2
-
2020-2021学年辽宁省实验中学高一上学期末考试数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知 A {0,1, 2} ， B {x R | x2 x 0} ,则 A B 为
（）
A {0}
B {1, 2}
C {1, 0,1}
D {1, 0,1, 2}
2.记
a
log
2
1 3
，b
20.1
，c
log3
2
，则
A abc
B acb
C bac
3.函数
f
(x)
log 2
x
1 x
的零点所在的区间是
A (0,1)
B (1, 2)
C (2,3)
D cba D (3, 4)
（） （）
4. f (x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x2 x ，则 x 0 时， f (x) （ ）