2020-2021学年辽宁省实验中学高一上学期末考试数学试卷 PDF版

18.（本小题满分 12 分）
已知幂函数 f (x) xm2 2m3 , (m Z ) 为偶函数，且在区间 (0, ) 上是增函数.函数 g(x) (log2 x)2 log4 x m ， x [1, 2] ⑴求 m 的值； ⑵求 g(x) 的最小值.
19.（本小题满分 12 分）
某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与19 秒之间，将测试结果按如下 方式分成六组：每一组，成绩大于等于13 秒且小于14 秒；第二组，成绩大于等于14 秒 且小于15 秒；……第六组，成绩大于等于18 秒且小于等于19 秒．下图是按上述分组方
∴ x12 +1 + x1 − ( x22 +1 + x2 ) = x1 − x2 + x12 +1 − x22 +1
= x1 − x2 +
x12
x22 − +1 +
x12 x22
+1
= (x1 − x2 ) x12 +1x12−+x11 ++ xx2222
+1 − +1
x2
<
0
∴ x12 +1 + x1 < x22 +1 + x2 ∴ log2 ( x12 +1 + x1) < log2 ( x22 +1 + x2 )
c
1 2
，则
logb
c
_____
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16.对任意 x [2, ) ， x 1 kx ，则实数 k 的取值范围是 _______
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分）
已知集合 A {x m 1 x m 2 1} ， B {x x2 4 0} . ⑴若 A B ，求实数 m 的取值范围； ⑵若" x A ”是" x B ”的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.
A x2 x
B x2 x
C x2 x
D x2 x
5.已知函数 f (x) x2 2(a 1)x 1 在 (,1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A (,1]
B [1, )
C (, 0]
D [0, )
6.已知函数
f
(x)
ln(1 ln(1
x), x x), x
0
，则不等式
0
合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9.已知甲运动员的投篮命中率是 0.7 ，乙运动员的投篮命中率是 0.8 ，若甲、乙各投篮一
次，则
（）
A 都命中的概率是 0.56
B 恰有一人命中的概率是 0.42
C 恰有一人没命中的概率是 0.38
D 至少一人命中的概率是 0.94
10.已知 O 为坐标原点，A(2， 1) , B(1,2) ，则
（）
A 与 AB 同方向的单位向量为 ( 10 , 3 10 ) 10 10
B 若 AP 2PB ，则点 P 的坐标为 (5 ,0)
3
C 若 a (1, 3) ，则 a ∥ AB
D 若 C(1,3) ，则四边形 OBAC 为平行四边形
∴ h(t)= t2 − 1 t= (t − 1)2 − 1 ≥ − 1
2
4 16 16
∴最小值为 −
1
，当且仅当 t
=
1
即
x
=
2
1 4
时等号成立
16
4
19.解：(1)前两组的概率和为 0.02 + 0.18 = 0.2 前三组的概率和为 0.02 + 0.18 + 0.36 = 0.56 ∵ 0.5 − 0.2 = 0.3 ∴中位数为15 + 0.3 ≈ 15.83 ；
0.36
(2) 由已知,第五组的频数为 50 × 0.06 ×1 =3 ，同理第六组的频数为 2
记第五组的学生为 a1, a2 , a3 ，第六组的学生为 b1, b2 ，
则样本空间为
Ω ={(a1, a2 ), (a1, a3 ), (a1, b1), (a1, b2 ), (a2 , a3 ), (a2 , b1), (a2 , b2 ), (a3, b1), (a3, b2 ), (b1, b2 )}
2 2
的大小关系无法判断
8.设函数 f (x) 的图象与 y 2xa 的图象关于直线 y x 对称，若 m n 2020 ，
f (2m ) f (2n ) 2 ，则 a
（）
A 1011
B 1009
C 1009
D 1011
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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
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数学答案
1～4：DBBA ；5～8：CDCA ；9. ACD ；10. ACD ；11. BD ；12. BCD 13 1 14 5 15 2 16 (−∞, 0] ∪ (1 , +∞)
2 17.解：∵ m2 +1− (m −1)= (m − 1)2 + 7 > 0 ，∴ A ≠ φ
共10 个样本点 记事件 A :两位同学来自同一组，则
A = {(a1, a2 ), (a1, a3 ), (a2 , a3 ), (b1, b2 )}
共 4 个样本点 ∴ P( A=) 4= 2
10 5
20.解：(1)∵ ME = 2EN ∴ AE = AM + 2AN 3
由已知 AM= AB + 1 AD ， A=N AD + 1 AB
解得 −1 < m < 3 ，∴ m = 0 或 m = 1或 m = 2
∵ f (x) 为偶函数，∴ m = 1
(2) 由(1)
g ( x)=
(log2 x)2 − log4 x=
(log2
x)2
−
1 2
log2
x
令 log2 x = t ， h(t=)
t2 − 1 t ，∵1 ≤ x ≤ 2
2∴0≤t ≤ 1 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若 g(x) x 1， f (g(x)) 2x ，则 f (1) _____ x2
14.甲、乙两位同学高三 8 次物理模拟考试成绩如图所示， 甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则 m _____
15. loga
c
2 3
， logab
∵ AF= tAM + (1− t)AN ∴1− k =t, k =1− t
∴ t ∈[−1, 0]
21.解：(1) f (x) 的定义域为 R ， ∀x ∈ R ， −x ∈ R
∵ f (x) 为偶函数，∴ f (x=) f (−x) ∴ 2x − a ⋅ 2−x= 2−x − a ⋅ 2x
整理得 (2x − 2−x )(1+ a) = 0 ，∴ a = −1
已知函数 f (x) 2x a 2x . ⑴若 f (x) 为偶函数，求 f (x) 的最小值； (2)当 a 0 时，判断 f (x) 的单调性 (不用证明)，并借助判断的结论求关于 x 的不等式 f (log2 a x) f (2 x 2) 0 的解集.
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) log2( x 2 1 ax) , g(x) mx2 (m2 3)x m . ⑴若 f (x) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； ⑵若 a 0 ，函数 y f (x) 为奇函数，且对任意 x1 (0, ) ，存在 x2 [0,1] ，使得 f (x2 ) g(x1) ，求实数 m 的取值范围.
∴ f (x) =2x + 2−x ≥ 2 2x ⋅ 2−x =2 ，当且仅当 2x = 2−x 即 x = 0 时等号成立。 ∴ f (x) 的最小值为 2
(2) a > 0 时， f (x) 在 R 上为单调递增函数
∵ f (log2 a −= x) 2log2 a−x − a ⋅ 2x− = log2 a 2log2 a ⋅ 2−x − a ⋅ 2x ⋅ 2−log2 a = a ⋅ 2−x − a ⋅ 2x ⋅ 1 =a ⋅ 2−x − 2x =− f (x)
法得到的频率分布直方图.
⑴估计此次百米测试成绩的中位数(精确到 0.01 )；
⑵为了尽快提高学生的体育成绩，对此次百米测
试成绩不小于17 秒的两组同学进行特训，特训一
段时间后有两位同学成绩符合要求，求这两位同 学来自同一组的概率.
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20.（本小题满分 12 分）
如图，平行四边形 ABCD 中，
11.已知 a 0, b 0, a b 1 ,则
（）
A a b 的最大值为1
B (4a )b 的最大值为 2
C log2 (a2 b2 ) 的最小值为 0
D 2a2 1 的最小值为 3 1 2ab
12.[x] 表示不大于 x 的最大整数，设函数 f (x) [x] [x]
（）
A f (x) 为增函数 B f (x) 为奇函数 C [ f (x)] f (x) D f (x 1) f (x) 2
3
2
∴= AE 2 AB + 7 AD ∴=λ 2= , µ 7 ∴ λµ = 14
39
39
27
(2)∵ DP ∥ MC ， N 为 CD 的中点，
易证 ∆DNP 与 ∆CNM 全等，则 NM = MP ，