2.3.2离散型随机变量的方差

=(ax1-aE(x))2p1+ (ax2-aE(x))2p2 +...+(axn-aE(x))2pn
=a2(x1-E(x))2p1+a2 (x2-E(x))2p2 +...+a2 (xn-E(x))2pn =a2[(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2 +...+ (xn-E(x))2pn] =a2D(X)
1.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的 二等品件数，则D(X)=________； 解：由题可知，X～B(100,0.02)， 所以，D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96
2.已知ξ ～B(n,p)，E(ξ)=8，D(ξ)=1.6，则n=___________，p=___________. 解：由题可得， D(ξ)=np(1-p)=(1-p)×E(ξ)，即1.6=8(1-p），解得p=0.8 E(ξ) =np=8=n×0.8，解得n=10.
我们还能从哪个角度比较两名同学的射击水平？
思考
分布列还能怎样呈现？如何直观观察随机变量的分布情况？还有其他刻画两名同学各自射击特点的指 标吗？
左右两图分别表示X1和X2的分布列。比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环， 即第二名同学的射击成绩更稳定。
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
例5：为决策提供依据 对于两个随机变量X1和X2 在E(X1)与E(X1)相等或很接近时，比较D(X1)和D(X2)可以确定哪个 随机变量的性质更适合实际的生产、生活的需要.
小结
1.离散型随机变量X的均值、方差的定义及计算公式。
n
E(x) xi pi , i 1
n
D(x) (xi E(x))2 pi i 1
特殊分布的方差
1；X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) 因为X服从两点分布，则E(X)=p 所以，D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)
2；X服从二项分布，即X ～B(n，p)，E(X)=np，则D(X)=np(1-p) D(X)=(1-p) E(X)
特殊分布的方差
练习
练习
3.设X为随机变量，且X～B(n，p)，若随机变量X的数学期望E(X)＝4，D(X)＝ 4，则P(X＝2)＝_______； 3
解：由题可得，
D(X)=(1-p)×E(X)，即
43=4(1-p），解得p=
2 3
E(X)=4=np，解得n=6.
所以，
P(X＝2)＝C62
(
2 3
)2
(
1)4 3

设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi-E(x))2描述了xi （i=1,2,...,n）相对于其平均值E(x)的偏离程度。而
D(x)=(x1-E(x))2p1+ (x2-E(x))2p2+(xi-E(x))2pi) )+...+(xi-E(x))2pi+...+ (xn-E(x))2pn
n
(xi E(x))2 p（i i=1,2,...,n） i 1
我们称D(x)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差
离散型随机变量的方差
分别计算“自主探究” 中两名同学射击成绩的方差.
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
10
则，D(ξ)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4
练习
5.设0<p<1，离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1 p
1
p
2
2
2
则当p在(0,1)内变化时，
A.D(ξ)变小
B.D(ξ)变大
解：根据题意可求得E(ξ)=
1 2

p
所以
D( ) (0 1 p)2 1 p (1 1 p)2 1 (2 1 p)2 p
E(X ) nM N
两点分布的期望
E(X ) p
xn pn
二项分布的期望
E(X ) np
自主探究
要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
2.期望、方差的性质—线性性质
E(aX+b ) =aE(X) +b，D(aX+b ) =a2D(X)
3.特殊分布的均值及方差 超几何分布
E(X ) nM N
两点分布 E(X ) p D(X)=p(1-p)
二项分布 E(X ) np D(X)=np(1-p)
下 课
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X1
O 5 6 7 8 9 X2
思考
怎样定量刻画随机变量的稳定性？
由初中和必修三知识我们知道，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度，用它可以 刻画样本数据的稳定性。
类比于此，我们定义随机变量的方差来刻画随机变量的稳定程度。
离散型随机变量的方差
20 243
4.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ=0)=0.2，E(ξ)=1，则D(ξ)=_____________；
解：列出ξ的分布列，设P(ξ=1)=p，则P(ξ=2)=0.8-p 所以，E(ξ)=0×0.2+1×p+2×(0.8-p)=1
ξ
0
P 0.2
1
2
p 0.8-p
解得：p=0.6，
2
2
2
2
2
2
p2 p 1 ( p 1)2 1
4
22
所以，当0<p<1时，D(ξ)先变大后变变小，选D
C.D(ξ)先变小后变大
D.D(ξ)先变大后变变小
课本例题
例4：考查计算 求解方差的一般步骤 ①理解X的意义，写出X 所有可能的取值；②求X取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E(X)； ④根据方差的定义求出D(X)。
D X1 (i 8)2 P(X1 i) 1.50 , i5
X2
5
6
7
8
9
P
0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
9
D X 2 (i 8)2 P(X 2 i) 0.82 i5
因此，第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
复习回顾
1.离散型随机变量的均值（数学期望）
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
E(X ) x1 p1 x2 p2 ...xi pi ... xn pn
2.数学期望的线性性质:
若Y aX b, 则E(Y ) E(aX b) aE(X ) b
3.特殊分布的数学期望 超几何分布的期望
该派那名同学去参加比赛呢？
离散型随机变量方差的性质
离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…Hale Waihona Puke Baidu
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1) D(X) ≥0；
(2)设Y= aX+b ，则E(Y)=aE(X)+b，D(aX+b ) =a2D(X) 所以， D(aX+b )=(ax1+b-aE(x)-b)2p1+ (ax2+b-aE(x)-b)2p2 +...+(axn+b-E(x)-b)2pn
X2
5
6
7
8
9
P
0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
应该派哪名同学参赛？
自主探究
由上节知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较 两名同学射击水平的高低。
通过计算得E(X1)=8，E(X2)=8，均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平。