样本方差的抽样分布

样本方差的抽样分布

样本方差

先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。

在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。[

从一个样本取n个值y1，...，y n，其中n

直接取样本数据的方差给出平均偏差的平均值：

这里，表示样本均值

由于y i是随机选择的，所以和是随机变量。他们的预期值可以通过从群体中的大小为n的所有可能样本{yi}的集合进行平均来评估。对于，有

因此给出了基于因子的人口方差的估计值。被称为偏样本方差。纠正该偏差之后形成无偏样本方差：

估计值可以简单地称为样本方差。同样的证明也适用于从连续概率分布中抽取的样本。

样本方差分布

作为随机变量的函数，样本方差本身就是一个随机变量，研究其分布是很自然的。在yi是来自正态分布的独立观察的情况下，s2服从卡方分布：

所以可求;和

如果y i独立同分布，但不一定是正态分布，那么

如果大数定律的条件对于平方观测值同样适用，则s2是σ2的一致估计量。

抽样分布

抽样分布也称统计量分布、随机变量函数分布，是指样本估计量的分布。样本估计量是样本的一个函数，在统计学中称作统计量，因此抽样分布也是指统计量的分布。以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能

样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。

抽样分布定理

(1)从总体中随机抽取容量为n的一切可能个样本的平均数之平均数，等于总体的平均数，即(E为平均的符号,为样本的平均数，μ为总体的平均数)。

(2)从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。

(3)虽然总体不是正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。

样本方差的抽样分布

样本方差的抽样分布是指在重复选取容量为n的样本时，样本方差的所有可能取值形成的概率分布。

χ2分布具有如下性质和特点：

(1)χ2分布的变量值始终为正。

(2)χ2(n)分布的形状取决与其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称，如图7-2所示。

(3)χ2分布的期望为E(χ2)=n,方差为D(χ2)=2n(n为自由度)。

(4)χ2分布具有可加性。若U和V为两个独立的χ2分布随机变量，U～χ2(n1)，V～χ2(n2)，则随机变量U+V服从自由度为n1+n2的χ2分布。