综合练习一-矩阵、行列式-习题+答案
考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年]行列式=( )．A．(ad-bc)2B．一(ad-bc)2C．a2d2一b2c2D．一a2d2+b2c2正确答案：B解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知识模块：矩阵4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵填空题5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式6．[2015年] n阶行列式=______.正确答案：2n+1-2解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式7．[2016年]行列式=______．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．正确答案：一22n-1／3解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·正确答案：2解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．正确答案：2解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．正确答案：1/9解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．正确答案：3解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．正确答案：λ≠1解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．正确答案：3解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．正确答案：O解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
行列式课后练习及答案
0
0 0 0 0 0 0
0 解：Dn (1)
n ( n 1) 2
0 0 0
0 0
0 0
...............................
0
(1)
n ( n 1) 2
[ n ( 1) n 1 n ]
[ n 1 (1) n 1 n 1 ] (1)
2.若
(5 ) x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 (6 ) x2 0, 有非零解, 则 = 2或5或8 . 2 x1 (4 ) x3 0
5
x1 x2 x3 x4 5, x 2 x2 x3 4 x4 2, 3. 1 2 x 3x x3 5 x4 2, 的解是否唯一? 3x1 x 2 1 2 2 x3 11x4 0
答案：1.行列式概念的引进课后作业
a11
1. a21
a12 a22 a32 4 3 6 1 0 0 3 5
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
a31 1 3 1 3
2. 5 2 1 80
(1 a) x1 x2 xn 0, 2 x (2 a)x 2x 0, 2 n 4.设齐次线性方程组为 1 (n 2) , 若其有非零解, nx1 nx2 (n a)xn 0.
则 a=
n(n 1) 或a 0 2
x1 2 x2 x3 1, 5.用克莱姆法则求解 2 x1 3x2 x3 0, 4 x 7 x 2 x 2. 2 3 1
高中数学 矩阵 行列式 专题练习及答案精析版含答案(79页)
高中数学 矩阵 行列式 专题练习及答案精析版含答案（79页）1．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）.A. 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，其中0θπ<<，则sin θ=A ．12-B．2-C．2±D．23．定义行列式运算：32414321a a a a a a a a -=，将()xx x f c os 1s in 3----=向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为（ ）A 、8π B 、3πC 、32πD 、65π4．如图， 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==， 从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）A ．37 B ．47 C ．114 D ．13145．（选修4－2矩阵与变换）试从几何变换角度求解矩阵AB 的逆矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0 11 0B . 6．定义：a b ad bc c d=-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -7．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b cc c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 [答]（ ）A 、0a b c ++=．B 、a b c 、、两两平行． C 、a b //． D 、a b c 、、方向都相同． 8．定义运算a bad bcc d=-,则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 9．定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-10．定义运算bc ad db ca -=,则符合条件i ziz=12的复数z 的虚部为（ ）A ．51 B ．51- C ．52 D ．52- 11．设1141A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则矩阵A 的一个特征值λ和对应的一个特征向量α为 A ．3=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1-=λ，21α⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．3=λ，12α-⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．1-=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭12．对2×2数表定义平方运算如下： （ ）222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cd bc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 则21201-⎛⎫ ⎪⎝⎭为 A.1011⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0110⎛⎫⎪⎝⎭13．已知2010200820062004262422201816141210864,++++-= 则bc ad dc b a =（ ）A ． 2008B ．—2008C ．2010D ．—201014．定义2×2矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若sin()()cos()1x f x x ππ⎛-= +⎝⎭，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin()3y x π=- B ．2sin()3y x π=+C ．2cos y x =D ．2sin y x =15．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a ，则A B C ∆一定是（ ）． A 、等腰非等边三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形16．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n 2填入n×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图1的幻方记为N 3=15，那么N 12的值为 （ ）A ．869B ．870C ．871D ．875 17．矩阵E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数18．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6 19． 已知bc ad dc b a -=,则=+++20102008200620041816141210864 ( )A －2008B 2008C 2010D -201020．定义运算bc ad db ca -=，则符合条件121211-+--x yy x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为（ ）A ．(x – 1)2 + 4y 2 = 1B ．(x –1)2 – 4y 2 = 1C ．(x –1)2 + y 2 = 1D ．(x –1)2 – y 2 = 121．第3行第2列的元素的代数余子式记作()x f ，()x f +1的零点属于区间 （ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）；22．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55331135217532 A 8413 B72C8471 D75 24． 已知a b ad bc c d=-,则46121420042006810161820082010+++=( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－201025．若规定bcad d c ba -=，则不等式0111lg<x的解集是A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．（-∞，2）D ．（-∞，3）26．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110n m y x ______________ 27．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，则sin θ= ．28．函数x x xx x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T29．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________________．30．对任意的实数y x ,，矩阵运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x d c b a 都成立，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a . 31．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.32．定义矩阵变换a b m am bn c d n cm dn +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于矩阵变换11sin 20cos u v αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数1()2y u v =+的最大值为_____________ 33．设二阶矩阵,,a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中每一个数字称为二阶矩阵的元素，又记二阶矩阵乘法222,,a bc ab bd A A A ac cd bc d ⎛⎫++=⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，请观察二阶矩阵乘法的规律，写出1112322122,,a a A A A a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭中的元素21a =__________.34．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.35．二阶行列式ii i++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）36．计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 37．若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -= . 38．行列式（a,b,c,d ∈{－1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .39．如果矩阵()111113-是线性方程组{111222a x b y c a x b y c +=+=的增广矩阵，则这个线性方程组的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为 ▲ ．40．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当4=n 时数表的“特征值”为_________ 41．当πcos12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．42．方程cos sin sin cos =x x xx 的解为__________________.43．若行列式124012x -=，则x = .44．各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.45．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= ． 46．不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .47．已知变换100M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 48．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6421的逆矩阵为 . 49．行列式987654321中元素8的代数余子式为______________.50．已知矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为51．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110的逆矩阵是 ．52．矩阵2130A ⎛⎫=⎪⎝⎭的特征值是_____________________． 53．．由9个正数组成的数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a 12，a 22，a 32必成等比数列；②第一列中的a 11，a 21，a 31不一定成等比数列；③a 12+ a 32≥a 21+a 23； ④若9个数之和大于81，则a 22>9． 其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）． 54．已知函数11()13xf x -=，则1(4)f-= ．55．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值.56．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos ()sin xf x x的图象向左平移m个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为57．已知矩阵A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ．58．若2211x x x y y y =--，则______x y += 59．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________． 60．已知，则cos2α= ．61．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．62．规定矩阵3A A A A =⋅⋅，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________．63．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2563N 的特征值为______________．来源 64．设平面上一伸缩变换把(1,1)A 变换为(2,3)P -,则点(2,3)B -在此变换下所对应的点是65．已知圆22:4C x y +=在矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为66．对2×2数表定义平方运算如下：222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cdbc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则21201-⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 67．已知,1->t 当[]2,+-∈t t x 时，函数xxx y 4=的最小值为-4，则t 的取值范围是 68．如图，2(4)nn ≥个正数排成n 行n 列方阵：符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且每一列的数的公比都等于q ． 若1112a =，241a =，3214a = ， 则q = ________，ij a =__________．69，则x =__________70．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当3n =时数表的“特征值”为_________71．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=72．增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111311的线性方程组的解为________________. 73．关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 74．三阶行列式12324310中第二行第一列元素0的代数余子式是________.75．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=421x A 可逆，则x 的取值范围为76．已知函数cos ()sin xf x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.77．下列命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值； ④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）.78．不等式1111x x+-1≤的解集为._______79．若规定a b cd=|ad -bc|，则不等式log2111x<0的解集为80．三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，111213212223313233 a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________．81．不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．82．规定矩阵A A A A ∙∙=3，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________.83． 已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其对应的方程组为_____________ 84．若1250120131xx =，则实数x = ． 85．矩阵1141⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为 ． 86．若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于__________．87．已知矩阵2134A -⎛⎫=⎪⎝⎭，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=____________ 88．cos()αβ-计算公式可用行列式表示为_____________． 89．若1312,2433A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=-B A 3 ．90．若关于x, y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn的值为 ．91．已知N=0110-⎛⎫⎪⎝⎭,计算N 2.92．三阶行列式xb x x D 31302502-=， 元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ，(){}0≤=x H x P ，(1) 求集合P ；(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围；93．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程.94．点(－1，k)在伸压变换矩阵001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．95．已知矩阵A ＝ ⎝⎛0a ⎪⎪⎭⎫b 1把点（1，1）变换成点（2，2） （Ⅰ）求b a ,的值（Ⅱ）求曲线C ：122=+y x 在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程. 96．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)已知矩阵3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41α，试计算：10M α． 97．（1）（矩阵与变换）求矩阵12A 14⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和对应的特征向量。
线性代数（本）习题册行列式-习题详解（修改）（加批注）
线性代数（本）习题册行列式-习题详解（修改）（加批注）||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 1 页共 18 页行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是( ) (A)b a dcd c b a -= ； (B)ac bd d c b a =； (C)d c b a d c d b c a =++33； (D)dc b ad c b a -----=. 答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）．(A)保持不变；(B)可以变成任何值；(C)保持不为零；(D)保持相同的正负号．答案：C二、填空题1.ab ba log 11log = . 解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为； x x xx xx g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 2 页共 18 页4.n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式113420321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2.7.在n 阶行列式ij a D =中，当i<="" =="" a="" i="" ij="" j="" l="，则D" p="" 时，),,2,1,(0n="" 答案：nn="">8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---a b b a . 解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba a bba故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-?+-?||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 3 页共 18 页110010100-=--=(2)000000h g f e d c b a . 原式=000000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 4 页共 18 页则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6．答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ?-+?==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x x x D 31213231232154-=的展开式中，4 x 的系数为；3x 的系数为 .解析：xx x xx x x x x x D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3 x 的||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 5 页共 18 页系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010= =160400004001210111110123012101210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 6 页共 18 页(4)000000xy y x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 0000000-- =22222)(y x xyyx x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x111；原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yzx z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200001301201012---=--=-- =2031124=---.(7)43211111111111111111x x x x ++++；||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 7 页共 18 页解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+ =43121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=. 3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --?+--?=1141113*********-------=0.4.计算下列n 阶行列式.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 8 页共 18 页(1)2111解：原式=211121111 +++n n n =2 11121111)1( +n=110010111)1(+=+n n .(2)xy yyy x y yy y x yy y y x；解：原式=[]xy y yy x y yy y x yy n x1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ 00000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(0100101111021n i x x x x i n=≠.||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 9 页共 18 页解：原式=nni ix x x x00000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x .四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab a ac a b a c b ac ba----= =3333a c ab ac ab ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 10 页共 18 页=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ；(B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B .2.当≠a （）时，方程组??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解. (A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ，选D .三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，132231221=---=D ，||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 11 页共 18 页61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解：043 342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,23241231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D . 因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2 144==D D x . 2.判断线性方程组=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解？解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 12 页共 18 页=030596042122180960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k k kk k --+--=-- =)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解？解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 13 页共 18 页3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化. 答案：C2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc ba 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6. 答案：D三、填空题1.?40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：-??=?40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos ==. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0. 3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yx x ,得x =2,x -y =1,从而y =1||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 14 页共 18 页4. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C . 5.设xx x x x x f 111123111212)(-=，则4x 的系数为；3系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ；(2)3534A A + ；（3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 15 页共 18 页01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)4434433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. ||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 16 页共 18 页(3)2007000002006000200500020001000.解：原式=!2006)1(2007220052006?-?=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D222333222111=；解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D[])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n !2)!2()!1(! --=n n n .||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： ||第 17 页共 18 页(2)211121112 ；解：原式=211121111 +++n n n =2121111)1( +n=110010111)1(+=+n n .(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得mx x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=22221111(mm m x x x n ---+++= 0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 18 页共 18 页(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=（其中n i a i ,,2,1,0 =≠）解： 122110000000)1(-+----=n nnn a a a a b D122211221000000------+n n n n n a a a a a b b b b a 121-+?=n n nnn D a a b a a a==∑=n i i in a b a a a 121 . 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++= 10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。
行列式练习题及答案
第1章行列式(作业1)一、填空题1. 设自然数从小到大为标准次序，则排列 1 3...(2n 1) 2 4 排列1 3 (2)1) (2n) (2n2)…2的逆序数为2. 在6阶行列式中， 3•所有n 元排列中， 二、选择题1. 由定义计算行列式三、请按下列不同要求准确写出1.各项以行标为标准顺序排列; n 阶行列式D det(a j )定义式:四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n 2 n ，则此行列式的值等于多少？说明理由2 各项以列标为标准顺序排列；(A ) n! (B ) n 1 0 n(n1) 0n! 2.在函数 f (x) 中, (C) n (n 1)(n 2) (1) 2 33的系数是( n!(D ) (1)n(n°n! 1 (B ) 1 -1(A ) 1 3•四阶行列式的展开式中含有因子 (A ) 4;( B ) 2;(C ) 2 (D ) a 32的项，共有( (C ) 6;( D)8.)个. (2n)的逆序数为 _________823842831 a 56aga 65这项的符号为奇排列的个数共第1章行列式（作业2）1 1 12 x 2 23 2 32 3 151 9 x2、计算题2 13 4a1 0 0 1 .4 1 9162 .1 b 1 030 15 45 600 1 c1117 1 81 d3. D n、填空题 a 12 a 13 a 22 a 23a 32a 33a ii1 .右 D= a 2i a 314an2an 3a 12 a 134a 21 2a 21 3a 22 a 234a 31 2a 313a 32a 331,则 D i2.方程=0的根为X a ia2a n i i a i X a2 a n i i4. D n i a ia2X a n i ia ia2a3 X ia i a2a3 a n i5.计算n阶行列式D nx1 1 x1 2x2 1 x2 2X i nX2 n(n 2)。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
行列式测试题（有答案）
⾏列式测试题（有答案）第九讲⾏列式单元测试题点评⼀、填空题（每⼩题2分，满分20分）1．全体3阶排列⼀共有6 个，它们是123,132,213,231,312,321；2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列；3. ⾏列式D和它的转置⾏列式D'有关系式D D'=；4. 交换⼀个⾏列式的两⾏（或两列），⾏列式的值改变符号；5. 如果⼀个⾏列式有两⾏（或两列）的对应元素成⽐例，则这个⾏列式等于零；6. ⼀个⾏列式中某⼀⾏（列）所有元素的公因⼦可以提到⾏列式符号的外边；7. 把⾏列式的某⼀⾏（列）的元素乘以同⼀数后加到另⼀⾏（列）的对应元素上，⾏列式的值不变；8. ⾏列式的某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式的乘积之和等于零；9.111212221122; 00nnnnnna a aa aa a aa=LM M M ML10.当k=22±时，542k kk=。
⼆、判断题（每⼩题3分，满分24分）1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若（∨）的符号的⼀般项则设n n j i j i j i nnn n nna a a a a a a a a a a a D ΛΛMM M M ΛΛ2211D ,.2212222111211= .)1()(21n j j j Λπ-是（×）3. 若n(n>2)阶⾏列式D=0,则D 有两⾏（列）元素相同. (×) 4．若n 阶⾏列式D 恰有n 个元素⾮0，则D ≠0. (×) 5.对于线性⽅程组，只要⽅程个数等于未知数个数，就可以直接使⽤克莱姆法则求解。
（×） 6．若⾏列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×)7.11121313233321222312222331323311a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×)8.n 阶⾏列式主对⾓线上元素乘积项带正号，副对⾓线上元素乘积项带负号。
考研数学一(行列式,矩阵,向量)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式，矩阵，向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1999年试题，二)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m>n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m>n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n>m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n>m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：结合题设，应分析矩阵的秩，从而可判断其行列式是否为0．由已知，AB是m×m矩阵，则r(AB)≤m，又由r(AB)≤min(rA，rB)，知r(AB)≤min(n，m)，由此，当m>n时，r(AB)≤n<m，从而｜AB｜=0，因而B正确；当n>m 时，r(AB)≤m，不能确定等式是否成立，综上，选B．对于未知矩阵AB的具体元素，其相关的计算和证明问题往往可考虑转化为利用：(1)矩阵的秩；(2)行或列向量组的线性相关性；(3)方程组解的判定；(4)特征值和相似矩阵的性质等来求解和证明．知识模块：行列式2．(2012年试题，一)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α2)，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)因此应选B．知识模块：矩阵3．(2008年试题，一)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=0可得E—A3=(E一A)(E+A+A2)=E和E+A3=(E+A)(E一A+A2)=E显然｜E—A｜≠0，｜E+A｜≠0，所以E一A和E+A均可逆．故应选C．解析二由A3=0知，A的任意特征值满足λ3=0，即λ=0是A的n重特征值，从而λ=是E一A和E+A的n重特征值，即二者的特征值均不为0．故E 一A和E+A均可逆。
(新)高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
2
.
2
15 ． 已 知 直 线
l：x
y
1 在 矩 阵
A
m 0
n 1
对
应
的
变换
作
用下
变
为直
线
l：x y 1，求矩阵 A .
16．[选修 4—2：矩阵与变换]
已知矩阵
A
1 1
2 4
，求矩阵
A 的特征值和特征向量．
17．已知二阶矩阵
M
有特征值
=3
及对应的一个特征向量
e1
1 1
，并且矩阵
M
对应的
变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵 M． 18．（选修 4—2：矩阵与变换）
试题分
析：根据
题意，由
于根据新
定义可知
a c
b
d
e
f
ae ce
bf df
，
那
么
由
2
,
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
cos cos
cos sin sin sins in( cos() Nhomakorabea)=
0 0
，故选
A.
考点：矩阵的乘法 点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查 知识点比较多有一定的计算量 2．D 【来源】2012-2013 学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析： 按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于
这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
行列式习题1附答案
级班命题人或命题小组负责人签名: 教研室（系）主任签名：一、填空题«线性代数》第一章练习题1、 （631254） ____________ 82、 要使排列（3729m14n5为偶排列，则m =___8 __ , n = ____ 6 ____x 11 「入 3 23、关于x 的多项式x x X 中含x 3,x 2项的系数分别是-2,4122x4、 A 为3阶方阵，A 2，则3A* ________________ 1085、 四阶行列式det （a j ）的次对角线元素之积（即aga 23a 32a 41） 一项的符号为 +6、 求行列式的值（1）1234 2469 234469=__1000__1 2 1⑵ 24 2 =010 14 131 0 2000 12001⑶0 12002 2003 =20052004 20051 2⑷行列式213 40中元素0的代数余子式的值为 27、 1 5 25 1 7 49 1 8 641 11 1 423 516 4925 64 827 125: ___ 1680 ________8、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5,则|A*|=__125.1| 2A| =__80__，| A |=0 1 19、 1 0 1 =2;1 1 0bx ay 010、若方程 组 cx az bcy bz a有唯一解，则abcM _______0 1 2 22 2 2 0 121 3 0 01 0 0 0O11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上行列式^不变 12、行列式a 12a 13 a 22a 23a 32 a 33a 42 a 43a 11 a 21a 31 a 41a 14 a 24 a 34a 44的项共有4! 24 项，在&11&23&14&42a 34 a 12a 43a 21中,X 2 X 3 013、当a 为1 1或2时，方程组x 12x 2 ax 3 0有非零解。
行列式习题及答案
行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。
2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案
2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案【2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案】在数学学科中，矩阵与行列式是重要的内容之一。
它们不仅在线性代数中有着广泛的应用，而且在其他数学分支以及工程学科中也有着重要地位。
为了帮助广大同学更好地掌握矩阵与行列式的知识，我将为大家提供一些2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案，在学习中希望能有所帮助。
练习题1：已知矩阵A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵，记为A^T，并计算A^T的行列式。
解答1：矩阵A的转置矩阵为A^T=[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，将A^T的行列式记为|A^T|，可以通过展开式计算得到：|A^T|=1*(5*9-6*8)-4*(2*9-3*8)+7*(2*6-3*5)=1*(45-48)-4*(18-24)+7*(12-15)=(45-48)-4*(-6)+7*(-3)=(-3)-(-24)+(-21)=0练习题2：已知矩阵B=[2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵，并计算逆矩阵B^-1的行列式。
解答2：矩阵B的逆矩阵为B^-1=[3 -4; -1 2]，将B^-1的行列式记为|B^-1|，可以计算得到：|B^-1|=3*2-(-4)*(-1)=6+4=10练习题3：已知矩阵C=[2 1; 3 4]，求矩阵C的特征值和特征向量。
解答3：设矩阵C的特征值为λ，特征向量为x=[x1; x2]。
根据特征值和特征向量的定义，可以得到以下方程：2x1+x2=λx13x1+4x2=λx2化简方程，得到：(2-λ)x1+x2=03x1+(4-λ)x2=0解方程组得到特征值和特征向量：当λ=2时，方程组有一个解x1=-1，x2=2，因此特征向量为[-1; 2]；当λ=4时，方程组有一个解x1=-2，x2=3，因此特征向量为[-2; 3]。
练习题4：已知矩阵D=[2 1 3; -1 2 4; 3 0 1]，求矩阵D的秩。
（完整版）第一章行列式与矩阵的计算的练习（含答案）
（完整版）第一章行列式与矩阵的计算的练习（含答案）行列式及矩阵的计算（课堂练习）一、填空1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则2A -= -242. 设12,01A -??= 1()32x g x x -=-+，则()g A =0800-??3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若3,A B =则=,,,,6αβγβγα+=4.行列式11111111---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=kA 1021k ??。
（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=，1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n +解：11231232,,,2,,,Dαααβαααβ=+-14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 .解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3二、判断题1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =.（× ）2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ）三、行列式计算（1）4333343333433334ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=n D 解：nD n c c c c c c +++13121M 43313343133341333313ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 11312r r r r r r n ---M 10100001033313ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231149118271D --=--解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－1）＝－240五、a 为何值时，线性方程组：-=++=++=++aax x x x ax x x x x a 322321321321有唯一解？解：2)1)(2(111111det -+==a a aa a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.。
初中数学解矩阵与行列式练习题及答案
初中数学解矩阵与行列式练习题及答案矩阵和行列式是初中数学的重要内容，通过解题练习可以加深对概念和性质的理解。
下面是一些初中数学解矩阵与行列式的练习题及其答案，供同学们参考和练习。
一、选择题1. 下列选项中，哪个不是矩阵的定义？A. 行数与列数相等B. 由数所组成的一个长方形阵列C. 矩阵的元素可以是实数或复数D. 矩阵可以进行加、减和乘法运算答案：A2. 若矩阵A的行数为m，列数为n，则A的维数为：A. mB. nC. m×nD. n×m答案：C3. 下列选项中，哪个不是行列式的定义？A. 行列式是一种特殊的矩阵B. 行列式是一个数C. 行列式可以表示一个线性方程组的解D. 行列式的计算可以通过代数余子式展开答案：C4. 下列向量中，是列向量的是：A. (1, 2, 3)B. (1, 2, 3)^TC. (1, 2, 3)^-1D. (1, 2, 3)·(4, 5, 6)答案：B二、填空题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则A的转置矩阵为 ________。
答案：[1, 3; 2, 4]2. 若矩阵A = [2, 1; 3, -4]，则A的逆矩阵为 ________。
答案：[2/11, 1/11; 3/11, -1/11]3. 若行列式D = |1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9|，则D的值为 ________。
答案：04. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]和矩阵B = [5, 6; 7, 8]，则A-B的结果为________。
答案：[-4, -4; -4, -4]三、计算题1. 计算矩阵A = [1, 2; 3, 4]与矩阵B = [5, 6; 7, 8]的乘积。
答案：矩阵AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵A = [2, 1; 3, -4]的行列式的值。
答案：行列式D = 103. 判断矩阵A = [2, 3; 5, 6]是否为可逆矩阵，若可逆则计算其逆矩阵。
（完整版）行列式练习题及答案
（完整版）行列式练习题及答案一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。