线性变换的运算

(1) (kl)A k(l A) (2) (k l)A k A l A (3) k( A B) k A kB (4) 1A A
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
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四、 线性变换的逆
1．定义
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2．基本性质 （1）满足交换律：A B B A
（2）满足结合律： A B C A B+ C
（3）0 A A 0 A, 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：
A B C AB AC B C A BA CA
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3．负变换
设 A 为线性空间V的线性变换，定义变换 A 为：
又 A 可逆，于是 A 是一一对应，且 A(0) 0
k11 k22 krr 0
由 1,2 , ,r 线性无关，有 k1 k2
故 A(1), A(2 ), , A(r ) 线性无关.
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kr 0.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设 A 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
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例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
A( X ) AX , B( X ) XB,
X P nn
An A A,
n
称之为 A 的n次幂. 当 n 0 时，规定 A0 E（单位变换）.
第18Leabharlann Baidu共24页
注：
① 易证 Amn Am An , Am n Amn ,
m,n 0
② 当 A为可逆变换时，定义A 的负整数幂为
An A1 n
③ 一般地， AB n AnBn .
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从而，A 为单射. 故 A 为一一对应.
由(2)， A 为可逆变换.
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(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关
的向量组.
证：设 A 为线性空间V的可逆变换，1,2 , ,r V
线性无关. 若 k1A 1 k2A 2 kr A r 0.
则有， A(k11 k22 krr ) 0
证：" " 设 A 为线性空间V上可逆线性变换.
任取 , V , 若 A( ) A( ), 则有 ( A1A)( ) A1(A( )) A1(A( ))
(A1A)( ) . A 为单射. 其次，对 V , 令 A1( ), 则 V ,且 A( ) A(A1( )) AA1( ) . A 为满射.
AkB ABAk1 (k 1)Ak1,
③
对①两端右乘 Ak1, 得
ABA k1 BA k A k1,
④
③＋④，得 A kB BA k k A k1.
由归纳原理，命题成立..
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小结
▪ 线性变换的运算包括线性变换的线性运 算、乘积运算及幂运算。重要的是经过 各种运算后还是线性变换。这意味着我 们对线性变换的讨论内容将是十分广泛 的。
则 A,B 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有
(AB)( X ) A(B( X )) A( XB) A( XB) AXB,
(BA)( X ) B(A( X )) B( AX ) ( AX )B AXB.
AB BA.
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二、 线性变换的和
1．定义
设 A,B为线性空间V的两个线性变换，定义它们
(AB)(k ) A(B(k )) A(kB( )) kA(B( )) k(AB)( )
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２．基本性质
（1）满足结合律： AB C A BC
（2） E A AE A，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
AB BA.
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例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
▪ 基于乘积运算，还介绍了线性变换的逆 作变业换：。P317:3,4,6
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感谢下 载
A 为满射.
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n
n
其次，任取 , V , 设 aii , bii ,
i 1
i 1
若 A( ) A( ), 则有
n
n
ai A(i ) bi A(i ),
i 1
i 1
A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关
ai bi , i 1,2, , n, 即 .
A1A A1 A1
A1 A1
A1 k A1 k AA1 A1 k A A1 A1 A k A1 k A1 kA1
A1 是V的线性变换.
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(2) 线性变换 A 可逆 线性变换 A 是一一对应.
的和 A B为： A B A B , V
则A B也是V的线性变换.
事实上，(A B)( ) A( ) B( ) A( ) A( ) B( ) B( ) (A B)( ) (A B)( ), (A B)(k ) A(k ) B(k ) k A( ) kB( ) k(A( ) B( )) k(A B)( ).
故 A 为一一对应.
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" " 若 A 为一一对应，易证 A的逆映射 B 也为V 的线性变换，且 AB BA E. 故 A 可逆，B A 1 .
(3) 设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基，A 为V的
线性变换，则 A 可逆当且仅当 A(1 ), A( 2 ), , A( n )
2．线性变换的多项式
设 f x am xm a1x a0 P[x],
A 为V的一个线性变换，则 f ( A) am Am a1A a0E
也是V的一个线性变换，称 f (A)为线性变换 A 的 多项式.
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注： ① 在 P[x] 中，若
h x f x g x, p x f x g x 则有，h A f A g A,
线性无关.
证：" " 设k1A(1 ) k2 A( 2 )
于是 A(k11 k2 2 kn n ) 0
kn A( n ) 0.
因为 A 可逆，由(2)， A 为单射，又 A(0) 0,
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k11 k2 2 kn n 0 而 1, 2 , , n线性无关，所以 ki 0, i 1, 2, , n.
A A , V
则 A也为V的线性变换，称之为 A的负变换.
注： ( A) A 0
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三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 A 为线性空间V的线性变换，k P, 定义 k与 A 的数量乘积 kA为：
kA kA , V
则 k A 也是V的线性变换.
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2．基本性质
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
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一、 线性变换的乘积
1．定义
设 A,B为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积AB为： AB A B , V
则AB也是V的线性变换.
事实上，(AB)( ) A(B( )) A(B( ) B( )) A(B( )) A(B( )) ( AB)( ) ( AB)( ),
当k=2时，若 AB BA E,
①
对①两端左乘 A ，得 A2B ABA A,
对①两端右乘 A，得 ABA BA 2 A,
上两式相加，即得 A2B BA2 2A 2A 21.
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假设命题对 k 1时成立，即
Ak1B BAk1 (k 1)Ak2 .
②
对②两端左乘 A ，得
设 A 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 B 使 AB BA E
则称 A 为可逆变换，称 B 为 A 的逆变换，记作 A 1.
2．基本性质
(1) 可逆变换 A 的逆变换 A1 也是V的线性变换.
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证：对 , V , k P,
A1 A1 AA1 AA1 A1 A A1 A1
故 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关. " " 若 A(1 ), A( 2 ), , A( n ) 线性无关，则它
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1A(1 ) k2 A( 2 ) kn A( n ),
即有 A(k11 k2 2 kn n ) .
pA f AgA
② 对 f ( x), g( x) P[x], 有
f A gA gA f A f AgA gA f A
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
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练习：设 A,B 为线性变换，若 AB BA E,
证明： AkB BAk k Ak1, k 1.
证：对k作数学归纳法.