两条直线平行与垂直的判定 -PPT课件
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直角坐标平面两直线平行垂直的判定
详细描述
在直角坐标平面中，有时两条直线的斜率相等且截距相等时，需要结合其他条件来判断 它们是否平行或垂直。例如，直线$y = x + 1$和$y = x - 1$是平行的，因为它们的斜
率相等且截距分别为1和-1，互为相反数。
谢谢
THANKS
垂直直线判定实例
总结词
垂直直线的斜率互为相反数
详细描述
在直角坐标平面中，如果两 条直线垂直，那么它们的斜 率互为相反数。例如，直线 $y = x + 1$和$y = -x + 2$是垂直的，因为它们的 斜率分别为1和-1，互为相 反数。
总结词
垂直直线的斜率不存在
详细描述
在直角坐标平面中，如果两 条直线垂直且其中一条直线 的斜率不存在（例如直线$x = 1$），那么另一条直线 的斜率必为无穷大。例如， 直线$y = x + 1$与直线$x = 1$垂直，因为当$x = 1$ 时，$y = x + 1 = 2$，斜 率为无穷大。
截距不相等
总结词
如果两条直线在直角坐标平面上的截距不相等，则这两条直线平行。
详细描述
在平面直角坐标系中，如果两条直线的截距不相等，即$b_1 neq b_2$，其中 $b_1$和$b_2$分别是两条直线的截距，那么这两条直线平行。这是因为截距不 相等的直线在平面上不会相交，而是平行。
方向向量平行
详细描述
直线的方向向量是直线上任意两点的 向量差分比上该两点之间的距离，如 果两直线的方向向量互相垂直，则这 两条直线垂直。
斜率不存在与水平线垂直
总结词
当一条直线斜率不存在且与水平线垂直时，另一条直线也与这条直线垂直。
详细描述
如果一条直线与x轴垂直，即斜率不存在，那么与它垂直的直线也必须与x轴垂直 ，即斜率也不存在。
两条直线平行与垂直的判定
l1 // l2 k1 = k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
1
如果直线L1,L2的方程为 L1:A1x+B1y+C1=0, L2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B２C２≠0)
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被破咯"孟获见孟优在乱军之中壹条腿已经被咬得伶仃将断,被火焰层层包围,呛得走否动,连忙朝沙摩柯劝道:"大王,退兵吧,否然吾弟就要死在那火江之中咯/"沙摩柯眉头皱得否可开交,眼前大势否得否顾及,便摆手大喝道:"儿郎们,速速撤退/"被火烧死壹大片の藤甲兵听见沙摩柯の呼喊, 也顾否上什么面子否面子,纷纷把身上の藤甲全部脱掉,光着身子窜出火江."哪里跑/"突然城门之中冲出壹支骑兵,文鸯和白起二人当先在前,凭借着战马の飞速,安然无恙の直接杀入火江之中.剑芒泼射万丈寒光,壹剑攸然可斩千万首级,白起手起剑落,如壹道雷芒划破空际,几颗人头腾飞在 半空之中,鲜血与火焰融合在壹起."检测到文鸯触发冲阵潜能,武力+3,基础武力96,当前武力上升至99,请宿主注意查看."文鸯左手握钢鞭,将疼痛否堪の蛮人成排削去头颅,脑浆
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(共30张PPT)
2
0+2+
2
=
=
= -2,
解得
所以 R 点的坐标是(-2t,2).
= 2.
1+
2
+
2
,
,
归纳总结
利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤
描点 → 在坐标系中描出给定的点
↓
猜测 → 根据描出的点，猜测图形的形状
↓
求斜率 → 根据给定点的坐标求直线的斜率
↓
结论 → 由斜率之间的关系判断形状
y=3.此时 AB 与 CD 不平行.
故所求点 D 的坐标为(3,3).
②若 AD 是直角梯形的直角边,
-3
则 AD⊥AB,AD⊥CD,kAD= ,kCD= .
-3
-3
由于 AD⊥AB,则 ·3=-1.
又 AB∥CD,∴-3=3.
18
= 5 ,
AD 与 BC 不平行.
解上述两式可得
梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是
直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有
x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的
坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
3-
-2-3
,k
=
2
-5
-1-2
-5
= -3 .
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
3-
-5
即-5× -3 =-1,解得 a=0.
综上所述,a的值为0或5.
3-
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
6 ＝－1， x＋1x－4
∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
知 kAC· kBC＝－1，故 y－3 y－2 · ＝－1， 0＋ 1 0－ 4
5＋ 17 5－ 17 ∴y＝ 或 y＝ . 2 2 故 C0，
5－ 17 5＋ 17 或 C0， . 2 2
综 上 所 述 ： C(1,0) 或 C0，
C(2,0)
或
C 0，
5－ 17 或 2
5＋ 17 为所求． 2
小结
结论1：对于两条不重合的直线l1和 l 2 : (1)l1 // l2 1 2 ; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k1 , k 2 都不存在 . l1∥l2 k1＝k2. 条件：不重合、都有斜率 结论2： 对于任意两条直线 l1和 l 2 :
或 k 1 , k 2 中一个为 0 , 另一个不存在 .
注意： l1⊥l2
k1k2=-1.
条件： 都有斜率
练习
1、下列哪些说法是正确的（ C）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2； B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等；
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜率不 存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2； E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
A. 3 3 C. 3 B．－ 3 3 D．－ 3
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)， B(0,－3)的直线，则 直线的倾斜角为( D ) A．30° B．45° C．120° D．135° 4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)， 2 则 l 的斜率为___.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
达标检测
两条直线平行于垂直的判定的应用
1.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点C(1，
0)和D(0，a)，若l1∥l2,则a的值为 ( A )
(A)-2
(B)2
(C)0
(D)
2.已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一 条直线上，为什么？
解析：易求得直线AB和BC的斜率 且共用点B，所以三点共线.
特别的，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0 时，两直线也是垂直的.
典例精析
两直线垂直的判定的应用
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q
（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系。
分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
解：直线AB的斜率
直线PQ的斜率
因为
，所以直线AB⊥PQ.
新课讲授
两条直线平行的判定
思考 判断直线与直线平行的方法有哪些？ 两条不重合直线的倾斜角相等或斜率相等时两条直线平 行，当两条直线的斜率同时不存在时也平行.
典例精析
两条直线平行的判定的应用
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线 BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解:直线BA的斜率
典例精析
两条直线平行的判定的应用
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)， C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
分析：判断两组对边是否分别平行.
解：∵ 且它们为不重合的直线， ∴AB//CD，且BC//DA，所以四边形ABCD为平行四边形.
跟踪训练
两直线垂直的判定的应用
两条直线的位置关系-平行和垂直
直线的方程及其性质
直线的方程：一般形式为 Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0。
直线的性质
直线上的任意两点确定的直线方程是 唯一的。
两条不重合的直线，如果斜率相等，则它们平 行；如果斜率之积为-1，则它们垂直。
两条平行线之间的距离是常数，可以 通过公式计算。
两条垂直线的斜率互为相反数的倒数， 即k1*k2=-1。
01
两条垂直相交直线的交角为90度 。
02
在同一平面内，两条直线的交角 的平分线与这两条直线所形成的 四个角中，有一个角是直角。
垂直直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在坐标系中的表示
在平面直角坐标系中，两条垂直相交直线的斜 率互为相反数的倒数。即，如果一条直线的斜 率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
一条直线与y轴垂直，那么它的斜率为 0，可以表示为y=b(b为常数)的形式。
利用方程联立求解交点坐标
01
02
03
04
将两条直线的方程联立，解出 交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行 ；
若方程组有唯一解，则两直线 相交于该点；
若方程组有无穷多解，则两直 线重合。
结合图形分析实际问题
在平面直角坐标系中， 画出两条直线的图形；
结合实际问题的背景 和意义，分析两直线 位置关系对问题的影 响。
在三角形 ABC 中，已知 A(0,0)， B(4,0)，C(0,3)。若直线 DE 与 AB 边平行且过点 C，求 DE 所在 直线的方程。
解答
由题意知 AB 边所在直线的方程为 x/4 + y/3 = 1。因为 DE 与 AB 边平行，所以 DE 所在直线的斜率 也为 -3/4。设 DE 所在直线的方 程为 y = -3/4x + b，将点 C(0,3) 代入得 b = 3。所以，DE 所在直 线的方程为 y = -3/4x + 3。
8.4.2两条直线平行垂直的条件
例1 已知两条直线： l1:2x-4y+7=0,l2:2x+y-5=0, 求证:l1⊥l2.
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y10=0垂直的直线方程. • 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
判定定理： 当直线Ｌ１和Ｌ２有斜截式方程 L1：y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 时，
结论：
l1 l2 a·b 0 1 k1k 2 0 即k1k 2 1
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
④若两直线斜率都不存在,则两直线平 行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2 2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与 斜率为-2的直线平行,则m的值为( A ) A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合
• 练习： 判断下列直线组的位置关系： • (1)l1：2x-4y+7=0，l2：x=2y-5；
•
(2)l1：x-2y+1=0， l2：3x=6y-3．
练习：求过点A(1,-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程。
例1 ： 两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2： 求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。
两条直线平行与垂直的判定
1. 通过定义直接判断两条直线是 否平行。
3. 利用垂直于同一直线的两条直 线平行等性质定理来判断两条直 线是否平行。
两条直线平行的坐标表示及判定方法
01
02
坐标表示：在平面直角 坐标系中，设两条直线 的方程分别为 $y = k_1x + b_1$ 和 $y = k_2x + b_2$，若它们 平行，则它们的斜率相 等且截距不同。
判定方法
03
04
05
1. 通过计算斜率来判断 两条直线是否平行，如 果斜率相等则两条直线 平行。
2. 通过判断截距是否相 等来判断两条直线是否 平行，如果截距不同则 两条直线平行。
3. 利用垂直于同一直线 的两条直线平行等性质 定理来判断两条直线是 否平行。
03
两条直线垂直的判定
两条直线垂直的定义及判定方法
VS
详细描述
在欧几里得几何中，两条直线平行的判定 通常是基于同一直线上的三点或两直线之 间的距离。而垂直的判定则是基于两直线 之间的角度或利用中点连线长度相等来进 行。这些判定方法为我们解决各种几何问 题提供了重要的工具和思路。
对两条直线平行与垂直判定的展望
总结词
随着几何学的发展，两条直线的平行与垂直判定将会越来越重要，其应用领 域也将越来越广泛。
定义
如果两条直线相交成90度角，则这两条直线垂直。
判定方法
利用三角尺或量角器测量两条直线的夹角，如果夹角为90度，则两条直线垂 直。
两条直线垂直的几何意义及判定方法
几何意义
如果一条直线与另一条直线在平面内相交，且交点处形成的角度为90度，则这两 条直线垂直。
判定方法
利用几何知识，通过证明两条直线交角为90度来证明两条直线垂直。
平行线与垂直线的性质
平行线在几何中的应用还包括：解决几何问题中的平行四边形、矩形、正方形等图形的性质和 判定。
垂直线是两条直线 相交成90度的情 况
垂直线是两条直线 互相垂直的情况
垂直线是两条直线 在同一平面内互相 垂直的情况
垂直线是两条直线 在同一平面内互相 垂直且相交成90度 的情况
垂直线是两条直线相交成90度 的情况
同位角相等，两 直线平行
内错角相等，两 直线平行
同旁内角互补， 两直线平行
平行于同一直线 的两直线平行
平行线是几何中最基本的概念之一，广泛应用于各种几何问题中。
平行线在几何中的性质包括：平行线永不相交、平行线之间的距离相等等。
平行线在几何中的应用包括：证明三角形全等、证明线段相等、证明角相等等。
垂直线是两条直线互相垂直的 情况
垂直线相交成90度的情况
两条直线相交成直角，其中一条直线就是垂直线
两条直线平行，其中一条直线就是垂直线
两条直线相交，其中一条直线的斜率等于另一条直线的斜率的负倒数，则这两条直线 垂直
两条直线相交，其中一条直线的斜率等于另一条直线的斜率的倒数，则这两条直线垂 直
平行线与垂直线没有交点，因 此平行线与垂直线不相交
平行线与垂直线是几何图形中的基本元素 平行线与垂直线在几何图形中相互垂直 平行线与垂直线在几何图形中相互平行 平行线与垂直线在几何图形中相互交叉
平行线与垂直线在解题中可以 用来证明三角形全等、相似等 性质。
平行线与垂直线是几何学中的 基本概念，它们在解题中起着 重要的作用。
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01.
02.
03.
04.
平行线是指在同 一平面内，永不 相交的两条直线
平行线的性质： 平行线之间的距 离始终保持不变
垂直线是两条直线 相交成90度的情 况
垂直线是两条直线 互相垂直的情况
垂直线是两条直线 在同一平面内互相 垂直的情况
垂直线是两条直线 在同一平面内互相 垂直且相交成90度 的情况
垂直线是两条直线相交成90度 的情况
同位角相等，两 直线平行
内错角相等，两 直线平行
同旁内角互补， 两直线平行
平行于同一直线 的两直线平行
平行线是几何中最基本的概念之一，广泛应用于各种几何问题中。
平行线在几何中的性质包括：平行线永不相交、平行线之间的距离相等等。
平行线在几何中的应用包括：证明三角形全等、证明线段相等、证明角相等等。
垂直线是两条直线互相垂直的 情况
垂直线相交成90度的情况
两条直线相交成直角，其中一条直线就是垂直线
两条直线平行，其中一条直线就是垂直线
两条直线相交，其中一条直线的斜率等于另一条直线的斜率的负倒数，则这两条直线 垂直
两条直线相交，其中一条直线的斜率等于另一条直线的斜率的倒数，则这两条直线垂 直
平行线与垂直线没有交点，因 此平行线与垂直线不相交
平行线与垂直线是几何图形中的基本元素 平行线与垂直线在几何图形中相互垂直 平行线与垂直线在几何图形中相互平行 平行线与垂直线在几何图形中相互交叉
平行线与垂直线在解题中可以 用来证明三角形全等、相似等 性质。
平行线与垂直线是几何学中的 基本概念，它们在解题中起着 重要的作用。
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01.
02.
03.
04.
平行线是指在同 一平面内，永不 相交的两条直线
平行线的性质： 平行线之间的距 离始终保持不变
直线平行与垂直的判定1
若l1//l2 ,则k1=k 2。 反之， k1=k2 ，则 l1//l2 。
于是，对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1， k2 ，有
l1//l2 k1=k2 。
请注意：若直线l1与l2可重合时，我们得到
k k 1 2
l1// l 2, 或l1与l2重合。
例如，我们用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习提问：
直线倾斜角是怎么定义的?它的范围是什么? 直线的倾斜角与直线的斜率之间有什么关系？ 斜率的坐标公式是什么？
思考：直线l1//l2时，它们的斜率k1与k2 满足什么关系？
提示：建系,画图，猜想，证明。
若l1//l2，则l1与l2的倾斜角A1与A2相等，由A1 = A2,可得tanA1=tanA2 ,即k1=k2.因此，
1 tan(A 450 ) tan 450
1 1
tan( tan(
A A
450 450
) )
1 tan 450 tan(A 450 )
所以，左边=右边，得证。
思考：反过来，当k1k2=-1时，l1与l2的位置关系如何？
由上我们可以得到，如果两条直线都有斜率，且它们都垂直， 那么它们的斜率之积等于-1，那么他们相互垂直，即
课堂练习：课本P89练习1，2.
课堂小结：
1， 对于两条不重合的直线l1， l2 ，其斜率分别为k1， k2 ，有
l1//l2 k1=k2 。
请注意：若直线l1与l2可重合时，我们得到
k k 1 2
l1// l 2, 或l1与l2重合。
2，如果两条直线都有斜率，且它们都垂直，那么它们的斜率之积 等于-1，那么他们相互垂直，即 l1⊥l2 k1k2=-1。
于是，对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1， k2 ，有
l1//l2 k1=k2 。
请注意：若直线l1与l2可重合时，我们得到
k k 1 2
l1// l 2, 或l1与l2重合。
例如，我们用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习提问：
直线倾斜角是怎么定义的?它的范围是什么? 直线的倾斜角与直线的斜率之间有什么关系？ 斜率的坐标公式是什么？
思考：直线l1//l2时，它们的斜率k1与k2 满足什么关系？
提示：建系,画图，猜想，证明。
若l1//l2，则l1与l2的倾斜角A1与A2相等，由A1 = A2,可得tanA1=tanA2 ,即k1=k2.因此，
1 tan(A 450 ) tan 450
1 1
tan( tan(
A A
450 450
) )
1 tan 450 tan(A 450 )
所以，左边=右边，得证。
思考：反过来，当k1k2=-1时，l1与l2的位置关系如何？
由上我们可以得到，如果两条直线都有斜率，且它们都垂直， 那么它们的斜率之积等于-1，那么他们相互垂直，即
课堂练习：课本P89练习1，2.
课堂小结：
1， 对于两条不重合的直线l1， l2 ，其斜率分别为k1， k2 ，有
l1//l2 k1=k2 。
请注意：若直线l1与l2可重合时，我们得到
k k 1 2
l1// l 2, 或l1与l2重合。
2，如果两条直线都有斜率，且它们都垂直，那么它们的斜率之积 等于-1，那么他们相互垂直，即 l1⊥l2 k1k2=-1。
两条直线平行和垂直的定义和判定
两条直线平行和垂直的定义和判定在数学的世界里，平行和垂直就像是朋友和对手，各自都有自己的特性和定义。
咱们说说平行线。
想象一下，两条平行线就像是两位志同道合的朋友，永远不相遇，永远在同一条跑道上。
无论你走多远，它们都不会碰面，保持着相同的距离，这就好比你和你的好朋友，走在同一条街上，不管路有多长，始终有一米的“私人空间”。
平行线的定义就是：在同一个平面内，永远不交叉的两条线。
听起来简单吧？对，就是这么简单。
咱们得聊聊垂直线。
垂直线就像是两个人的精彩碰撞，想象一下你和朋友在跳舞，一个人转个身，正好和另一个人形成了个十字，简直太完美了！垂直线的定义是这样的：两条线在一个点相交，形成90度的角。
这个角就像是交响乐中的高兴部分，瞬间让人心潮澎湃，仿佛所有的气氛都被点燃了。
它们在空间里显得如此特别，就像是一对情侣，相互依偎，形成美丽的交汇。
如何判断两条线是否平行呢？有很多方法。
最简单的就是看它们的斜率。
如果两条线的斜率完全相同，那它们就是一对亲密的平行线，永远不分开。
就像你们几个朋友，大家都喜欢同样的事情，总是一起做。
图形化的方法也很有趣，画出来的两条线，看看它们的延伸线是否交叉。
如果它们总是平行，那么恭喜你，你发现了一对好朋友。
说到垂直线，判断的方法也不复杂。
你可以通过它们的斜率来判断。
如果一条线的斜率是另一条线的负倒数，那就意味着它们在某个点相交，形成了90度的角。
就像你跟朋友的默契配合，瞬间切换舞步，碰撞出新的火花。
简单来说，搞清楚这两条线的关系，就能知道它们是平行的还是垂直的。
此外，图形的直观性让这些概念更加易懂。
拿个纸笔，画出几条线，看看它们的相互关系，心里会有种“哦，原来是这样”的感觉。
无论是数学课上，还是生活中，理解平行和垂直的概念都能让你在图形的世界里游刃有余。
当我们深入到这两个概念的核心，平行线和垂直线的魅力就显现出来了。
它们不仅仅是数学符号，更是生活中的真实反映。
想想那些走在同一路上的朋友，想想在十字路口相遇的人。
高中数学必修二《两条直线平行与垂直的判定》PPT
问题5：依照结论下列说法正确的有( )
（1）若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直。
（2）若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1.
问题6：判断以下各对直线的位置关系 （1）经过点A（2,3），B（-4,0）的直线l1 ，与经 过点P（-3,1）,Q（-1,2）的直线l2
（2）经过点A（-6,0），B（3,6）的直线l3 ,与经过 点P（0，3）,Q（6，-6）且斜率为-5的直线l4
3.1.2 两条直线平行与垂直的 判定
回顾旧知，发现问题
问题1：回忆直线倾斜角与斜率的定义
我们知道倾斜角和斜率可以刻画直线与x轴的位置关系， 那我们能否通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系？
问题2：观察下面三幅图， 阅读课本86页到87页 例3之前的内容，l1 ∥ l2 时，k1 , k2 满足什么关 系？
问题7：是否可以利用判定条件判断图形的形状？
例.已知直角坐标系中四个点：A（1, 1），B（3, 0）， C（4, 2），D（2, 3）
试判断四边形ABCD的形状， 并给出证明
课堂小结 两个判定，三个思想 课堂检测
1.当经过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过P(1,2),Q(-5,0)的
直线：
得到两直线平行的判定条件：
问题3：依照结论下列说法是否正确？ ①若两直线斜率相等,则两直线平行; ②若两直线 l1 // l2 ,则 k1 k2 ;
问题4：观察下面两幅图，阅读课本88页例5 之前的内容，l1 ⊥ l2 时，k1 , k2 满足什么关 系？
倾斜角的关系为
α2=α1+90°
tan 2
tan(1
90 )
1
tan 1
k1 k2 1
平行线与垂直线的认识与性质
垂直线与圆的位置关系
如果一条直线与圆垂直且经过圆心，那么它就是圆的直径 。如果它只与圆相交于两点，那么它就是圆的割线。这些 性质在圆的计算和证明中有重要作用。
平行线与垂直线在圆中的综合应用
在圆中，平行线和垂直线经常同时出现，它们与圆的交点 、切线、割线等都有着密切的联系。利用这些联系可以解 决很多与圆相关的问题。
全等三角形判定
如果两个三角形全等且有一个公共边，那么这两个三角形中的两个直角 就是垂直的。
判定方法的比较与选择
适用场景
平行线的判定方法适用于需要判断两条直线是否平行的场景，而垂直线的判定方法适用于 需要判断两条直线是否垂直的场景。
优缺点
平行线的判定方法较为简单直观，但可能受到角度测量误差的影响；垂直线的判定方法相 对复杂一些，但可以通过多种方式进行验证，提高准确性。
计算菱形的面积和判定菱形的存在。
垂直线与正方形的综合应用
03
正方形作为矩形和菱形的特例，其对角线既相等又垂直，这一
性质在正方形的判定、性质和应用中都有重要作用。
平行线与垂直线在圆中的应用
平行线与圆的位置关系
如果一条直线与圆平行，那么它要么与圆相离，要么与圆 相切。这一性质在圆的切线判定和性质中有重要应用。
定义
在同一平面内，不相交的两条直 线叫做平行线。
性质
平行线间的距离处处相等；平行 线间同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补。
垂直线的定义及性质
定义
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线。
性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行线是两条在同一平面内且永远不会相交的直线。它们 具有相同的斜率，因此它们的倾斜角也相同。平行线间的 距离始终保持不变，这是平行线的一个重要性质。
如果一条直线与圆垂直且经过圆心，那么它就是圆的直径 。如果它只与圆相交于两点，那么它就是圆的割线。这些 性质在圆的计算和证明中有重要作用。
平行线与垂直线在圆中的综合应用
在圆中，平行线和垂直线经常同时出现，它们与圆的交点 、切线、割线等都有着密切的联系。利用这些联系可以解 决很多与圆相关的问题。
全等三角形判定
如果两个三角形全等且有一个公共边，那么这两个三角形中的两个直角 就是垂直的。
判定方法的比较与选择
适用场景
平行线的判定方法适用于需要判断两条直线是否平行的场景，而垂直线的判定方法适用于 需要判断两条直线是否垂直的场景。
优缺点
平行线的判定方法较为简单直观，但可能受到角度测量误差的影响；垂直线的判定方法相 对复杂一些，但可以通过多种方式进行验证，提高准确性。
计算菱形的面积和判定菱形的存在。
垂直线与正方形的综合应用
03
正方形作为矩形和菱形的特例，其对角线既相等又垂直，这一
性质在正方形的判定、性质和应用中都有重要作用。
平行线与垂直线在圆中的应用
平行线与圆的位置关系
如果一条直线与圆平行，那么它要么与圆相离，要么与圆 相切。这一性质在圆的切线判定和性质中有重要应用。
定义
在同一平面内，不相交的两条直 线叫做平行线。
性质
平行线间的距离处处相等；平行 线间同位角相等，内错角相等， 同旁内角互补。
垂直线的定义及性质
定义
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线。
性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行线是两条在同一平面内且永远不会相交的直线。它们 具有相同的斜率，因此它们的倾斜角也相同。平行线间的 距离始终保持不变，这是平行线的一个重要性质。
3[1].1.2nbsp两条直线平行与垂直的判定1
![3[1].1.2nbsp两条直线平行与垂直的判定1](https://img.taocdn.com/s3/m/bb9816f87c1cfad6195fa77a.png)
tan 0 0
tan tan(180 )
tan120 tan 60 3 tan135 tan 45 1
3 tan 30 3 tan 45 1
tan 60 3
3 tan150 tan 30 3
tan 90不存在
当0< 90时， tan 0 当90< 180时， tan 0
思考：l1// l2时，k1与k2满足什么关系？
y
解：若l1 // l2 , 则1 2 tan 1 tan 2 k1 k2
l1 l2
反之，若k1 k2 , 则l1 // l2
y
解：
D C
1 AB边所在直线的斜率k AB , 2 1 CD边所在直线的斜率kCD , 2 3 BC边所在直线的斜率k BC , 2 3 DA边所在直线的斜率k DA , 2
x
A
O
B
k AB kCD , kBC kDA ,
AB // CD, BC // DA
四边形ABCD是平行四边形.
直线AB PQ.
例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点， 试判断三角形ABC的形状.
y
C
1 解： AB边所在直线的斜率k AB 2 , BC边所在直线的斜率kBC 2,
k AB kBC 1
B
O
0 AB BC , 即 ABC 90 x
A
ABC是直角三角形.
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
作业设计：
P 3.1 A组6, 7,8 89 习题 B组1,2,3,4,5,6
3#1#2两条直线平行与垂直的判定两直线平行和垂直的判定
导
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
前面我们学习了倾斜角（几何）来表示直线的
倾斜程度，进而用斜率（代数）来表示。 我们知道两直线平行，同位角相等；垂直夹 0 角为90 ，那么能否通过斜率来判断两条直线的位 置平行、垂直关系呢？
思
• 1、两条直线平行，则一定斜率相等吗？
要存在斜率时，即倾斜角不直角。
• 2、两条直线垂直，则一定斜率互为负倒数 （k1×k2=-1)吗？ • 3、如何证明三点A（x1,y1)、B(x2,y2)、 C(x3,y3)共线？你有些什么方法？
要两条直线都存在斜率时，即不 能是垂直坐标轴时，才适用！
向量？斜率？模？
• 4、当直线斜率不存在时，如何判断平行、 垂直？
议
1、如图，已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三 点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB,且CB//AD。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、这里的平行与向量的平行（共线）有何区别？
评
• 1、当两条直线都存在斜率时（倾斜角不为直 角） l1 //l2 ? k1 k2 • 2、当两条直线斜率存在，且不为0时
l1 ^ l2 ? k1 1 k2
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
前面我们学习了倾斜角（几何）来表示直线的
倾斜程度，进而用斜率（代数）来表示。 我们知道两直线平行，同位角相等；垂直夹 0 角为90 ，那么能否通过斜率来判断两条直线的位 置平行、垂直关系呢？
思
• 1、两条直线平行，则一定斜率相等吗？
要存在斜率时，即倾斜角不直角。
• 2、两条直线垂直，则一定斜率互为负倒数 （k1×k2=-1)吗？ • 3、如何证明三点A（x1,y1)、B(x2,y2)、 C(x3,y3)共线？你有些什么方法？
要两条直线都存在斜率时，即不 能是垂直坐标轴时，才适用！
向量？斜率？模？
• 4、当直线斜率不存在时，如何判断平行、 垂直？
议
1、如图，已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三 点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB,且CB//AD。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、这里的平行与向量的平行（共线）有何区别？
评
• 1、当两条直线都存在斜率时（倾斜角不为直 角） l1 //l2 ? k1 k2 • 2、当两条直线斜率存在，且不为0时
l1 ^ l2 ? k1 1 k2
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分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.
解：直线AB的斜率kAB
3 6（06）
2 3
,
直线PQ的斜率
kPQ
6 3 60
3 2
,
Q kBAkPQ 1,直线AB PQ.
当堂检测2
判断下列各对直线的位置关系 （1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0) 且斜率为-1的直线l2； （2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点 M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.
y2）， 并且x1 ≠x2，则直线P1 P2的
y2 y1
斜率k=___x_2___x_1 ________．
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们 引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
能否通过斜率来判断 两条直线的位置关系？
o
x
思考1 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1, k2，
解：（1）垂直； （2）垂直.
1.两条直线平行的判定
l1
/
/l2
k1
k
（两条直线的斜率均存在）
2
2.两条直线垂直的判定
l1 l2 k1k 1 （两条直线的斜率均存在）
“几何问题代数化”的思想
作业布置 P89.第6.7题
l1∥ l2时，k1与k2满足什么关系？
k2
1
O
2
x
即 k1 k2
l1∥l2 , 或l1与l2重合.
思考2 设两条直线l1,l2的斜率都不存在，
两直线l1与l2有何位置关系？
y l1 l2 斜率均不存在的两条直线平行或重合
1 2
O
x
一、两条直线平行的判定
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1, k2，y
o
x 则两直线互相垂直.
二、两条直线垂直的判定
y l2
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1, k2，
两直线的斜率
均存在.
O
l1 x
l1 l2 k1k2 1.
特别地，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角 为0°，两直线互相垂直.
例2 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6）， 试判断直线AB与PQ的位置关系.
3.1.2 两条直线平行与垂直 的判定
预习情况反馈 1.不能熟练掌握两条直线平行与垂直的条件 2.不能运用所学新知识判断两条直线的位置关系
优秀预习学生：茹柯椰姆.阿布拉 祖丽胡马.艾合买提 苏比努尔.努尔卡马力 帕尔哈提
优秀预习小组：1 4 6
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；（重点） 2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）
复习回顾
1、取x轴作为基准，x轴_正__方_向_与直线 l_向_上__方向 之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 ．
2、一条直线的倾斜角α的__正__切_值__叫做这条
直线的斜率. 即：k=__ta_n_____
3、直线的倾斜角和斜率刻画的是直线 的__倾__斜_程_度__
复习回顾
4、已知两点P1 （ x1 ，y1），P2 （ x2 ，
kBA
2 3（04）
1, 2
直线PQ的斜率kPQ
2 1 1 (3)
1 2
,
Q kBA kPQ ,直线BA∥PQ.
当堂检测1
1、经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与一倾斜角是45°
的直线平行，则a=___4___.
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1, k2,
l1 l2时，k1与k2满足什么关系？
如图，2 1 90o，
tan 2
tan(1
90o)
1
tan 1
,
即k1k2 1.
反之，成立
l1 l2 k1k2 1.
y l2
l1
α1
α2
O
x
思考4 设两条直线l1的斜率k1 0,l2的斜率不存在,
l1 l2吗？
y
l2
l1 l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1 另一条直线的倾斜角为____0_°_ ,
l1 / /l2 k1 k 2
公式成立的条件：
O
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
l1
l2
x
特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行或重合.
例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，
试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.（讲学
稿第一题）
解:直线BA的斜率