高中数学竞赛试题及答案(word版本)

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数学竞赛高数试题及答案

数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。

试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。

解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。

试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。

试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。

试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。

对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。

2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题+Word版含解析

2022年宁波市高中数学竞赛试题2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）．请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上，一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．己知正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB BC AC ++=（）A ．1BCD 2．已知实数a ，b ，则“a b >”是“||a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体ABCD 中，设弧,AC BD 的中点分别为M ，N ，若线段AB 的长度为a ，则（）A ．弧AC 的长度为3aπ B ．线段MN 的长度为aC ．勒洛四面体ABCD 能置于一个直径为a 的球内 D ．勒洛四面体ABCD4．己知A ，B 分别在两圆222212:1,:4C x y C x y +=+=上运动，且在1C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则线段AB 中点M 轨迹的面积为（） A ．π B ．54π C ．2π D ．94π 二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分．）5．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（） A ．事件A 与事件C 互斥 B ．事件B 与事件C 互斥 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．事件B 与事件C 相互独立6．已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31xa a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是RB ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是(2022,)+∞ 7．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(1)(1)2,()(2)2,(4)()2f x g x g x f x g x f x -++=--=--=，且当(0,1]x ∈时，2()1f x x =+，则（）A ．(2022)2g =B ．()(2)0g x g x ++=C ．函数()f x 在(1,3)上单调递减D ．方程(2022)f x x +=有且只有1个实根8．设函数()f x 的定义域为I ，区间(,)a b I ⊆，如果对于任意的常数0M >，都存在实数12,,,n x x x ，满足1n a x x b <<<<，且()()111n i i i f x f x M -+=->∑，那么称()f x 是区间(,)a b 上的“绝对差发散函数”．则下列函数是区间(0,1)上的“绝对差发散函数”的是（） A ．1()21x f x x =++ B ．()tan 2x f x π= C ．2,,(),.x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 D ．()cos 2f x x x π= 三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸相应位置上．）9．设O 为坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，若P 是该抛物线上一点，且23PFO π∠=，则点P 到y 轴的距离为_______________．10．已知实数12,x x 满足()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，则12x x +=_______________．11．在44⨯的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列．若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是_______________．12．己知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，M ，N 分别为棱11,BB CC 上的点．若平面AMN 将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AMN △的面积的最小值为_______________． 13．已知n *∈N ，集合{}(,)|1||22|1,,n nn A x y x y x y =-+-<∈R ，记1n n A A ∞==，则集合A 中的点组成图形的面积为_______________．14．己知m ∈R ，关于z 的方程()()2220z z mzz m ++++=有四个复数根1234,,,z z z z ．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m 的值为_______________．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．如图，在ABC △中，2ACB ABC ∠=∠．设点D 是BC 边上一点，满足2BAD ABC ∠=∠．（Ⅰ）记ABC θ∠=，用θ表示ABBD；（Ⅱ）若111AB AC+=，求BD ． 16．已知0a ≥，设函数()|||1|f x x a ax =-+-．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）若对任意的x ∈R ，不等式()(2)f x x a x ≥-恒成立，求a 的取值范围．17．设点(0,2),(0,2),(0,4)A B F --，过点F 作斜率为k 的直线l 交椭圆221:1164x y Γ+=于C ，D 两点．（Ⅰ）记直线,,,AC AD BC BD 的斜率分别为1234,,,k k k k ．从下列①②③三个式子中任选其一，当k 变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． ①12k k ⋅；②14k k ；③23kk ．（Ⅱ）当直线,BC BD 分别交双曲线222:1412y x Γ-=的下支于P ，Q 两点（异于点B ）时，求||||PF QF +的取值范围．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．已知正整数数列{}n a 满足()21220222n n n a a n a *+++=∈+N ．（Ⅰ）若21a =，求2022a ；（Ⅱ）求12022a a +的取值的集合．19．甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验．设k a 为前k 次试验中硬币正面向上的次数，k b 为前k 次试验中图钉针尖朝下的次数，记,(1,2,3,,100)k k k k a bp q k k k===．（Ⅰ）若11000,0.5p p ==，问是否存在常数P ，不论试验过程中k p 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k p P =？若存在，求出所有P 的可能值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若11000,0.7q q ==，问是否存在常数Q ，不论试验过程中k q 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k q Q =？若存在，求出所有Q 的可能值；若不存在，请说明理由．2022年宁波市高中数学竞赛参考答案2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）．请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．答案：D解析：|2||23|13AB BC AC AB BC ++=+=，故选D ． 2．答案：A解析：若a b >，则||a a b ≥>，故“a b >”是“||a b >”的充分条件；当3,2a b =-=时，||a b >但a b <，故“a b >”不是“||a b >”的必要条件；所以选A ． 3．答案：D ．解析：选项A ，弧AC 为两个半径为a 、球心距为a 的球面相交所得的小圆中的弧；，弦AC 长为a ，可得弧AC 长不为3a π．故A 错误；选项B ，22222MN a a a a ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭⎭，故B 错误；选项C ，由MNa >，故C 错误；选项D ，由四面体ABCD 的体积为312，故D 正确． 4．答案：C解析：法一：不妨设PA x ∥轴，如图：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A P θθθθ-，不妨设,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，(cos B θ-，所以0,2sin M M x y θ==+sin [1,1]t θ=∈-，则2()[1][3,3]M y f t t ==-，当01t ≤≤时，()f t 递增，此时()f t ∈；当10t -≤≤时，()f t =递增，此时()f t ∈．所以13()[1,3],22M f t y ∈≤≤，此时M 的轨迹为线段13022x y ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．则当弦AP 在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为12，外径为32的圆环，易得面积为2π．法二：作矩形PACB ，则由2222||||||||||2OA OB OP OC OC +=+⇒=，记OP 中点为E ，则1||||12EM OC ==，则点M 在OP 中点E 为圆心，1为半径的圆上若记cos sin (cos ,sin ),,22P E θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的轨迹方程为22cos sin 122x y θθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos sin 4x y x y θθ+-=+，当θ变化时，x ，y1≤，可得1322≤≤．所以当P 变化时，点M 的轨迹为，内径为12，外径为32的一个圆环，此圆环的面积为2π．二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的得0分．）5．答案：ACD解析：对AB ，显然事件A 与事件C 互斥，事件B 与事件C 不互斥，故A 正确，B 错误；对C ，易得111(),(),()()()428P A P B P AB P A P B ====⋅，所以C 正确；对D ，易得111(),(),()()()248P B P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确；故选ACD ． 6．答案：ACD ．解析：①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确； ②log (31)11,31log (31)3a a x a a a a a x a -><<-=⇒<-，又log (31)a a R -∈，故存在a 使得log (31)2022a a -=，故C 正确； ③log (31)1,31log (31)a a xa a a a ax a ->>-=⇒>-，又log (31)(1,)a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，故D 正确；故选ACD ． 7．答案：ACD解析：对AB ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(2)(4)4g x g x -+-=，可得()(2)4g x g x ++=，故B 错误，且()(4)g x g x =+．由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(4)()4g x g x -+=，令2x =可得(2)2g =，所以(2022)(2)2g g ==，故A 正确；对C ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(3)0f x f x -+-=，即(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=，由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，根据上述性质可得()f x 的图象如下，故()f x 在(1,3)上单调递减，所以C 正确；对D ，(2022)(2)()2f x x f x x f x x +=⇔+=⇔=-，由上述对称性可得()f x 的图象如下，故方程只有1个解，所以D 正确．故选ACD ． 8．答案：BCD解析：对A ，因为()f x在1)递减，在1,1)-递增，所以()()()()11111)1)3n i in i f x f x f x f f x f -+=-≤--+-<-∑，A 错误；对B ，因为()tan 2xf x π=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是递增的，所以()()1111tan tan 22n n i i i x x f x f x ππ-+=-=-∑，当11,0n x x →→时1tantan22nx x ππ-→+∞，B 正确；对C ，设递增数列{}k x 满足：11,,1,2,3,,32k x k n ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，且21k x -为有理数，2k x 为无理数则()()1112k k f x f x +->，所以()()1111(1)12n i i i f x f x n -+=->-∑，当n →+∞时，()()211kii i f x f x -=-→+∞∑，C 正确；对D ，设1,1,2,,2x k n k ==，则()()1111111112446222n i i i f x f x n n -+=⎛⎫⎛⎫-=+++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑21111ln 1ln(1)ln 223n k n n k =⎛⎫>+++>+=+- ⎪⎝⎭∑，所以()()111,n i ii n f x f x -+=→+∞-→+∞∑，D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答卷相应位置上．）9．答案：3解析：P 到y 轴的距离2||1131cos3d PF π=-=-=-．10．答案：1解析：设()2ln f x x x =+，显然函数单调递增，由题可得()()121f x f x =-，所以121x x =-，即121x x +=． 11．答案：5．解：设*号的空格上填的实数为x ，则13,262x A B x +==-．进而有第三列的公差为396536A xd --==，从而16926x C A d +=+=．又13，B ，C 成等差数列，得1692(26)136x x +-=+，解得5x =．12．答案：2．解析：由111111111111223BCNM BCNM A BCNMABC AB C A BCC B ABC A B C BCCB BCC B S S V V V V S S ----==⋅=⋅四边形四边形四边形四边形，得1134BCNM BCC B S S =四边形四边形，从而3BM CN +=．建立空间直角坐标系如图，可设(2,0,),)M t N t -，则(2,0,),(1,3,3)AM t AN t ==- 设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =则0,0.n AB n AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,(3)0.x tz x t z +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，可取(,32)n t t =-+-．又平面ABC 的法向量为0(0,0,1)n =．设平面ABC 与平面AMN 所成角为α，则02cos ||nn n n tα⋅==⋅．由射影面积公式可得cos ABC AMNAMNS S S α==△△△，所以2AMN S =≥△，等号当且仅当32t =时取到，所以()min AMN S =△ 13．答案：1．解析：若1(,)x y A ∈，则|1||22|1x y -+-<，从而|1|[0,1),|22|[0,1)x y -∈-∈．所以()|1||22||1||22|1n nx y x y n N*-+-≤-+-<∈，即得(,)nx y A ∈．故有11n n A A A ∞===．又易知集合1A 中的点组成图形的面积为1，所以集合A 中的点组成图形的面积为1．14．答案：16．解析：设20z z m ++=根为2121,,14,20z z m z z m ∆=-++=的根为342,,18z z m ∆=-，由题意12140,180m m ∆=-≠∆=-≠，即18m ≠且14m ≠．①当18m <时，1234,,,z z z z 均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； ②当1184m <<时，12,z z 为实数且34,z z 为虚数，且1234z z z z -=-，所以114816m m m -=-⇒=； ③当14m >时，1234,,,z z z z 均为虚数，且四个虚数根的实部均为12-，即四个对应点均在直线12x =-上矛盾．综上：16m =．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．答案：（Ⅰ）23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+；（Ⅱ）1．解析：（Ⅰ）由题,22BAD ACB θθ∠=∠=．在ABD △中，根据正弦定理可得23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+．（Ⅱ）在ABC △中，根据正弦定理可得sin 2sin AB AC θθ=，所以12cos AC ABθ=，所以1112cos 1AB AC ABθ++==，可得2cos 1AB θ=+．又由（Ⅰ）知2cos 1ABBDθ=+，所以1BD =．16．答案：（Ⅰ）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（Ⅱ）0a ≤≤．解析：（Ⅰ）易知(1)2|1|,(1)2|1|f a f a =--=+，若(1)(1)f f =-，则2|1|2|1|a a -=+，解得0a =，此时()||1f x x =+为偶函数；若(1)(1)f f =--，则2|1|2|1|a a -=-+，解得a 不存在．综上，当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（Ⅱ）0a =时，2()||1f x x x =+≥-显然成立，所以0a =符合．0a >时，若(,0][2,)x a ∈-∞+∞，则(2)0()x a x f x -≤≤恒成立，故只需考虑|||1|(2)x a ax x a x -+-≥-对任意(0,2)x a ∈恒成立．（*），取x a =，有221a a -≥，解得212a ≤，即得0a <≤．而当02a x a <≤<<时，21210ax a -≤-≤，故（*）式可化为2||310x a x ax -+-+≥对任意[0,2]x a ∈恒成立，令2()||31g x x a x ax =-+-+,①当(0,]x a ∈时，22()(31)(1)()120g x x a x a g a a =-+++≥=-≥恒成立； ②当[,2)x a a ∈时，2()(31)(1)g x x a x a =--+-，对称轴312a x a -=≤，且2()120g a a =-≥．因此，02a <≤．综上：0a ≤≤． 17．答案：（Ⅰ）均为定值，1212433,3,34k k k k k k ⋅==-=-；（Ⅱ）28,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．解析：（Ⅰ）由题可得:4l y kx =-，设()()1122,,,C x y D x y ．l 与1Γ联立()2222441324801164y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩，则12212232414841k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩．选择①：()()()21212121212121212666362234kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅===，故12k k ⋅为定值，且1234k k ⋅=；选择②：易得1314k k ⋅=-，则143414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===，所以1434134k k k k =-=-⋅，故14k k 为定值，且143k k =-；选择③：易得2414k k ⋅=-，则233414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===⋅，所以2334134k k k k =-=-⋅，故23k k 为定值，且233k k =-．（Ⅱ）若选择①，结合132414k k k k ⋅=⋅=-，可得3412121111441612k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭；若选得②减③，则已得34112k k ⋅=．此时34:2,:2PB y k x QB y k x =-=-．PB 与2Γ联立()322322332321231120311412p y k x k k x k x x y x k =-⎧⎪⇒--=⇒=⎨--=⎪⎩，所以()2332233128||212163131P P l k PF e d k x k k -⎛⎫=⋅=-=-=-- ⎪--⎝⎭准，同理可得248||631QF k =---．所以()()()22342222223434341532112||||128128417173131331616k k PF QF k k k k k k ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+=--+=--=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-++-++⎝⎭．因为,BC BD 分别交2Γ下支于P ，Q两点，所以340|,|3k k <<∣，所以2222341748k k +<+=．又223434126k k k k +>=，所以2234117,648k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以28||||,3PF QF ⎛⎫+∈+∞⎪⎝⎭．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）{343,677,1013,2023}．解析：（Ⅰ）由条件知：2123231222022,222022n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=++=+ 两式相减得()()()312222n n n n n a a a a a ++++-+=-，若310a a k -=>，则312n n n n a a a a +++-<-．则3121n n n n a a a a +++-≤--，则423110k k a a a a k ++-≤---<，矛盾．所以310a a -=，所以2n n a a +=，所以2022202021a a a ====．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n n a a +=，所以设212,k k a b a c -==，则220222b bc +=+，所以2022bc =．而202223337=⨯⨯，所以{,}{1,2022},{2,1011},{3,674},{6,337}b c =，所以2023,1013,677,343b c +=，所以12022a a +的取值的集合为{343,677,1013,2023}． 19．答案：①不存在；（Ⅱ）存在，12Q =或23．解析：（Ⅰ）不存在，先考虑最后50次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均小于0.5．再考虑第2次至第51次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均大于等于0.5．这与最后50次试验硬币正面向上的情形没有公共的取值，故这样的P 不存在，（Ⅱ）存在，12Q =或23，先考虑最后70次试验针尖向下，则对应的(1100)k q k <<均小子0.7．再考虑第2次至第71次试验针尖向下，则对应的k q 分别为123707070700,,,,,,,,,234717299100，所以符合要求的Q 只可能取12,23．下证1,2,3n Q n n -==时，必存在1100k <<时，使得1k k b n q k n-==．设(1)k k S nb n k =--，若第k 次试验针尖朝上，则1k k b b -=，则11(1)(1)(1)(1)(1)k k k k S nb n k nb n k n S n --=--=-----=--；若第k 次试验针尖朝下，则11k k b b -=+，则11(1)(1)(1)11k k k k S nb n k nb n k S --=--=---+=+当2,3n =时，11100(1)(1)0,70100(1)100300S nb n n S n n n =--=--≤=--=->．所以由介值性定理知，必存在1100k <<，使得0k S =，即1k k b n q k n-==，得证．。

2021年全国高中数学联赛试卷及答案(Word可编辑版)

2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛及答案(word)

全国高中数学联赛江苏赛区初赛一、填空题（每小题7分，共70分））1.关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ，则ab 的值是 -3。

2.从1, 2,3.4.5.6.7.8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率。

4/93.已知()x f 是周期为4的奇函数且当()2,0∈x 时()60162+-=x x x f ,则()102f 的值是。

-364.己知直线l 是函数()2ln 2x x x f +=图象的切线，当的斜率最小时l 的方程是。

034=--y x5.在平面直角坐标系XOY 中，如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取位范围是。

[]2,06.己知等边△ABC 的边长为2,若()BC AP AQ AC AB AP 21,31+=+=,则△APQ 面积是。

337.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC1的中点.若过点A,P .Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围为。

⎪⎭⎫⎝⎛1,218.己知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列.且对任意,*∈N n 都有.1+<n n a a 若,2,121==a a 且数列{}n a 的前10项和,7510=S 则=8a119.己知正实数y x ,满足()()162222=+++xy yx 则=+y x。

410.设M 表示满足下列条件的正整数n 的和:n 整除22016，且2016整除2n .那么M 的所有不同正因子几的个数为。

360二、解答题（每小题20分，共80分））11.已知,2,0,1235cos 1sin 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+πθθθ求θtan 。

3/4或4/312.如图，点P 在△ABC 的边AB 上且 AB=4AP ，过点P 的直线MN 与△ABC 外接圆交于点M, N ，且点A 是弧M N 的中点.求证： (1)△ABN ≈△ANP 。

全国高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷Word版含答案

上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,, a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++ n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .F2E2D 2C 2B2A2E1F1B1A1C 1D 1FB DACE二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．。

高中的数学竞赛试题及答案

高中的数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.333...（无限循环）D. 1/32. 如果函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x = 2时取得最小值，那么f(2)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 已知等差数列的前三项分别为3, 8, 13，求第10项的值。

A. 43B. 48C. 53D. 584. 若sinx = 1/2，求cosx的值（假设x在第一象限）。

A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题4分，共12分）5. 计算(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) / (x - 1)的商式和余数。

商式为：________余数为：______6. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。

共轭复数为：______7. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

边长为：______三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。

9. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数g'(x)，并找出g(x)的极值点。

10. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| > 4。

四、证明题（每题10分，共10分）11. 证明：对于任意实数a和b，(a^2 + b^2)(1/a^2 + 1/b^2) ≥ 2。

五、附加题（每题15分，共15分）12. 一个圆的半径为r，圆内接正n边形的边长为s。

证明：s =2r*sin(π/n)。

高中数学竞赛试题答案一、选择题1. A（π是无理数）2. B（f(2) = 4 - 10 + 3 = -3，但题目要求最小值，故应为B）3. C（公差d = 13 - 8 = 5，第10项a_10 = 3 + 9*5 = 53）4. A（根据勾股定理，cosx = √3/2）二、填空题5. 商式为：2x^2 - x - 5，余数为：-36. 共轭复数为：3 - 4i7. 边长为：10三、解答题8. 证明略。

2020年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛试卷(初赛) (word版,含答案)

2020年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛试卷考生注意:1､本试卷共两大题(14小题),全卷满分150分｡考试时间:120分钟.2､用钢笔､签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一､填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分,要求直接将答案写在横线上.)1.已知集合A={1,2,3,...2020}, B={1,2,3,...2000}, 若集合C 满足C∩A=C 且C∩B≠∅,则集合C 的个数是_____.2.已知函数22,1,()2,(),1,x x f x x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩则不等式f(x)≤2g(x)的解集为____. 3.已知在△ABC 中,2.3.AB BC BC CA CA AB ⋅==,则△ABC 的最大角的正弦值为_______.4.函数242(1)()31x x f x x x +=++的最小值是_________. 5.已知集合A={-2,0,2},在平面直角坐标系xOy 中,点集P ={(x,y)|x ∈A,y ∈A},从集合P 中任取三个点,这三个点能构成等腰直角三角形的概率是________.6.已知在△ABC 中, AB=4,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,且AD=3DB,则∠CAB 的取值范围是_________.7. 已知z 为复数,若为纯虚数,则的最小值为_________.8.已知棱长为a 的正方体中,E 为DC 的中点, F 在线段上运动,则三棱锥F - ADE 的外接球表面积的最小值为________.9. 已知正整数m,n 均为质数,且7m + n 和mn+11也都是质数,则的值为_______.10. 平面区域的面积是________.二､解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)11.如图,已知椭圆的下顶点为A,上顶点为B,点M(m,-2) (m≠0)在直线y=-2上,直线MA, MB分别与椭圆C 交于两点G,H,记△MAB 的面积为△MGH 的面积为求最大值及相应的m 的值.12.已知递增数列{a n }的前n 项和满足2n n S na n -=.(1)求证:数列是等差数列;(2)设求证:存在唯一的正整数n,使得12n n n a b a ++≤<13.如图,过等腰△ABC底边BC上一点P作PM//CA交AB于点M ,作PN//BA交AC于点N ,设点P关于直线MN 的对称点为Q,求证:点Q在△ABC的外接圆上.14.在△ABC的内部有2020个点,将顶点A,B,C和这2020个点用线段连结,使这些线段除端点外没有其它公共点,可以把△ABC分割成多少个没有重叠部分的小三角形?.。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题(word文档有答案)

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题班级姓名学号评分一．选择题（10*4=40）1.设},0)()({,}0)({,}0)({=⋅=Φ≠==Φ≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为( ) A.N M P ⋃= B.N M P ⋃⊆ C.Φ≠P D.N M P ⋂=2.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，==-=+B C A b c a 则,3,2π( )A.839arccos B.45 C.60 D.839arcsin3.设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)( ，对于所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是( )A.x x g sin )(=B.x x g =)(C.2)(x x g =D.x x g =)(4.已知,都是长度小于1的向量，对于任意非负实数,,b a 下列结论正确的是( )A.b a u a +≤+B.b a u a +≥+C.b a u a +=+D.不能确定b a u a ++的大小关系5.设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin ,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 ( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 6.函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 的图象关于y 轴对称，则=θ( )A.)(6Z k k ∈-ππ B.)(3Z k k ∈-ππ C.)(62Z k k ∈-ππ D.)(32Z k k ∈-ππ7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a ( ) A.412550 B.2500 C.412450 D.24018.设函数22)(2+-=x ax x f 对于满足41<<x 的一切0)(>x f ，则a 的取值范围是( )A.1>aB.1-<aC.11<<-aD.1-≥a9.设函数xxx y +-+=11arctan arctan ，则它的值域为( ) A.]4,43[ππ-- B.}43,4{ππ- C.)4,43(ππ-- D. )4,43(ππ-10.函数8422)(22+-++-=x x x x x f 的最小值是( )A.23B.15+C.10D.22+二．填空题（4*5=20）11.ABC ∆中，36=∠A ，F E ,分别在边AC AB ,上，且CF BE =，N M ,分别是线段CE BF ,的中点，则直线MN 与直线AB 所成的较小的角的大小为。

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题一．选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．若椭圆的离心率215-=e ，则我们称这种椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆:E )0(12222>>=+b a by a x ，如果c b a ,,不是等比数列，那么椭圆E （）A ．一定是“黄金椭圆”B ．一定不是“黄金椭圆”C ．可能是“黄金椭圆”D ．可能不是“黄金椭圆”2．如果θθθθcos )cos 1(sin )sin 1(22+>+，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是（） A .)4,0(πB .)43,2(ππC .)45,4(ππD .)2,45(ππ3. 若点(),a b 是圆()2211x y ++=内的动点,且函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内, 则该函数的另一个零点在()0,1内的概率为（） A .14 B .1π C .12 D .2π4．对于给定的一个Z n ∈，方程n z y x =-+222的正整数解的组数为（） A ．1 B ．3 C ．8 D ．无穷多组5．数列{}n a 中，相邻两项1,+n n a a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b 的值为（）A ．5800B ．5840C ．5860D ．60006．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11D A B C 均成030角，则这样的直线l 的条数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 二．填空题（本题满分42分，每小题7分） 7．设M 是函数xx x f 1)(+=图象上的任意一点，过点M 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，则=⋅||||MB MA 8. 函数 ∈+=x x x y |)(2cos ||cos (|2R ) 的最小值是 .9．设函数)(x f )0,(≠∈x R x 对任意的非零实数21,x x ，有)()()(2121x f x f x x f +=，且)(x f 在),0(+∞上为增函数，则不等式0)21()(≤-+x f x f 的解为 10．定义运算：ba b a 1+=⊗，设z y x ,,为互不相等的三个实数，且x z z y y x ⊗=⊗=⊗，则=xyz11．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则334032004⎤⎤⎤++++⎢⎣＝________________．12．给定正整数n （3≥n ），设正数n λλλλ,,,,321⋅⋅⋅满足n n =+⋅⋅⋅+++λλλλ321，n P P P P ,,,,321⋅⋅⋅ 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的n 个点，且332211=+⋅⋅⋅+++n n OP OP OP λλλλ.若M 是圆O 所在平面上的任意一点，则||||||||332211n n MP MP MP MP λλλλ+⋅⋅⋅+++的最小值是三．解答题（要求必须写出必要的演算或证明的过程）13．（本题满分16分）一个人随机地将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做这个小球放对了，否则叫做放错了．求：四个小球都放错了的概率．14．（本题满分16分）已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αt a n ，y =βtan ，记)(x f y =（1）求)(x f 的表达式；（2）定义正数数列{}n a ：211=a ，)(221n n n a f a a ⋅=+（*N n ∈）．试求数列{}n a 的通项公式。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题Word版含答案

2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题第Ⅰ卷（共64分）一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.设三个复数1，i ，z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z = ．2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =，则n = ．3.函数()()()()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期= ．4.设点P ，Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上，则PQ 的最小值= ．5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率= ．6.在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值= ．7.设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ．8.把21,2,,n 按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n .例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j = ．第Ⅱ卷（共86分）二、解答题（本大题共4小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ，F 分别是线段AD ，BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ，H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：3HAB GAB ∠=∠.10. 设O 是坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点.（1）求证：AOB ∆的面积S 是定值；（2）求AOB ∆的外心P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数x ，y ，z 都有)22223x y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数k >x ，y ，z 下式恒成立？()22223x y z k xy yz zx ++≥++试证明你的结论.12. 在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题参考答案一、填空题1.43i -或34i -+2.2133.2π4.()1ln ln 22ln 2+ 5.115 6.465- 7.66- 8.()34,95二、解答题9.解：由E ，F 分别是AD ，BC 的中点，得//EF AB AD ⊥.设P 是E 关于l 的对称点，则//EP AG l ⊥，故四边形AEPG 是等腰梯形. 进而PAG EGA GAB ∠=∠=∠，APG GEA ∠=∠，从而AP HG ⊥.再由HP DE EA PG ===，得HAP PAG GAB ∠=∠=∠.因此3HAB GAB ∠=∠.10.解：（1）()00,M x y 处的切线方程00221x x y y a b -=. 与渐近线方程联立，得()110000,,a b A x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，()220000,,a b B x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 从而，122112S x y x y ab =-=是定值. （2）由（1）可设(),A a b λλ，,a b B λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，λ为非零常数.由PA PO PB ==，得()()222222a b x a y b x y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫-+-=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而有()222ax by a b λ+=+，()2212ax by a b λ-=+. 上述两式相乘，得P 的轨迹方程为()222222214a xb y a b -=+.11.解：（1）由均值不等式，221322x y +≥，221322x z +≥，221322y z +≥.故)22223x y z xy yz zx ++≥++.（2）()222222222232322442k k k k k x y z k xy yz zx x y z y z k yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++=--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上式0≥恒成立当且仅当2204k -≥且2222423244k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.化简得k ≤326240k k -+≥.显然，2k =>. 12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，i x 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有32018M N C +=，()2018120172i ii x x M =-=∑. 当且仅当每个1008i x =或1009时，N 取得最小值32320181009100910082C C -⨯=.310092N C =是可以取到的，例如把线段()mod201812018,1504i i j i j →±≤≤≤≤染成红色，其它线段染成蓝色.。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。

AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。

求BMN ∆外心O 的轨迹。

(12分)二、任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。

(12分)三、试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。

(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。

(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。

试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。

(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。

试题（二）一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。

(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。

求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。

(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。

(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。

(5分)试题（一）解答一、【解】令G 为ABC ∆的外心。

因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。

因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。

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