直线的斜率

A、B、C三点共线 如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一 条直线上,求a的值 (a=-3)
直线的倾斜角的定义
当直线 l 与x轴相交时，我们取 x轴作为基准，x轴正方向与直线 l 向 上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角． y
l O
x
直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的 直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋 转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直 线的倾斜角，并规定：
而言,直线的斜率是定值吗?
o
x来自百度文库
是定值,直线上任意两点确定的 斜率总相等
求一条直线的斜率需要什么条件? 思考：
只需知道直线上任意两点的坐标
例1：
如图直线 l1 , l2 , l3 , l4 都经过点 P(2,3) ，又 l1 , l2 , l3 , l4 分 别经过点 Q1 (2,1),Q2 (4,1),Q3 (5,3),Q4 (2,5),讨论 l1 , l2 , l3 , l4 斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.
y2 y1 y
x2 x1
x
o
x
形
数
y2 y1 k＝ x2 x1 y x
纵坐标的 增量
横坐标 的增量
直线斜率的概念辨析
y
Q( x1 , y2 ) P( x1 , y1 )
思考：如果 x1=x2，则直线 PQ的斜 率怎样? 斜率不存在,这时直线PQ⊥x轴 思考：对于一条与x轴不垂直的定直线
y
B
k=
A
y BN = x AN
tan
x
N
O
tan( 180 )

tan
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率 和倾斜角之间的关系为
k tan
讨论：当直线的倾斜角逐渐增大时，直线 的斜率是如何变化的呢？
当 0时,k 0; 当0 90时,k 0且随的增大而增大; 当 90时,k不存在; 当90 180时,k 0且随的增大而增大.
斜率为2
思考：直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到 直线l1,则l1的斜率为多少?
斜率为2
思考：平行直线的斜率之间有怎样的关系?
斜率相等 或斜率都不存在
已知三点A(-3,-3)，B(-1,1)，C(2,7),求kAB， kBC
kAB=2
kBC=2
思考：
如果kAB=kBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？
例3：已知过点P(1- a,1 + a)和Q(3, 2a)的直 线的倾斜角为锐角，求实数a的取值范围
例4：已知M (2, - 3)、N (- 3, - 2)，直线l过点P(1,1)， 且与线段MN 相交，求直线l的斜率k的取值范围
回顾小结：
y2 y1 tan 当x1 x2时，k x2 x1
与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。
直线的倾斜角的取值范围是 0°
<180°
直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是 刻画直线的倾斜程度的量。 任何直线都有倾斜角，但不是任何直 线都有斜率
1、当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角
y
B A O x
N
y k= x
=
BN tan AN
2、当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角
高度 坡度= 宽度
3m 坡度越大，楼梯越陡．
直线倾斜程度的刻画
直线
级宽 级高
y Q
P
高度 宽度 M
类比思想
直线的倾斜程度=
o
ＭＰ ＱＭ
x
直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)， y 如果 x ≠x ，则直线 PQ的斜率为： 1 2
Q( x2 , y2 )
P( x1 , y1 )
问题情境 问题：
确定直线的要素
两点 确定一条直线 (1)._______ 无数 条直线. (2).过一个点有________
. .
y o
y
x
o
.
x
确定直线位置的要素除了点之外,还有 直线的方向,也就是直线的倾斜程度. 如何刻画“直线的倾斜程度”呢？
问题情境
楼梯的倾斜程度用坡度来刻画
2m
1.2m
3m
yQ
4
P
Q3 Q2
l1
Q1 K1=1
o
l4
斜率不存在
l2
K2=-1
1 3 解: 直线l1的斜率k1= 2 2 1 l3 1 3 K3=0 直线l2的斜率k2= 4 2 1 33 0 直线l3的斜率k3= 52 x
直线l4的斜率不存在
变式：已知直线l经过点A(m,2)， B(1,m2+2),试求直线l的斜率.
当x1 = x2时，k不存在 对于一条直线来说，若斜率存在， 其斜率和倾斜角是定值
m2 2 2 m2 解 当m≠1时， k 1 m 1 m
当m＝1时，直线AB垂直于x轴， 所以斜率不存在.
注意分类讨论
例2：根据下列条件，分别画出经过点P， 且斜率为k的直线
(1) P(1, 2)
(2) P (2, 4)
k= 3
3 k= 4
思考：如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移1个单 位,再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在直 线l上,那么该直线的斜率为多少?