第三十一讲 完全平方数和完全平方式
完全平方式是什么？完全平方公式的证明推导过程讲解
完全平方公式的证明推导过程完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。
(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。
先用代数方法证明，a²+2ab+b²=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b) （乘法分配律）=(a+b)x(a+b)=(a+b)²同理，a²-2ab+b²=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b) （乘法分配律）=(a-b)x(a-b)=(a-b)²完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。
如下图所示，两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。
显然，大正方形的面积为(a+b)²。
它也等于①②③④四部分的面积和。
分别计算四部分的面积，如下图：那么，大正方形的面积=a²+ab+ab+b²(a+b)²=a²+2ab+b²同样，我们再来证明(a-b)²=a²-2ab+b²。
如下图，大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。
小正方①的面积为(a-b)²。
同样，①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。
和G老师一起分别计算下②③④的面积吧大正方形的面积为a²，小正方形①的面积=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb 即，(a-b)²=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb展开后，得(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方式又常常写成：(a±b)²=a²±2ab+b²小学阶段对于完全平方式并不要求，但是某些小升初试题中会考到简单的计算，知道该怎么简便计算即可。
数学完全平方公式
03
完全平方公式的证明
证明方法
01
02
03
代数证明
通过代数运算，将完全平 方公式进行展开和重组， 证明其正确性。
几何证明
利用几何图形，如正方形 或矩形，通过面积和边长 的关系证明完全平方公式。
归纳法证明
通过归纳法，对n进行归 纳推理，证明完全平方公 式的通用形式。
证明实例
代数证明实例
利用代数运算，将 $(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，证明 其为完全平方公式。
数学完全平方公式
目录
• 完全平方公式定义 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的应用
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ完全平方公式定义
公式表述
完全平方公式是数学中一个重要的恒 等式，表示一个二次多项式等于两个 一次多项式的平方和。具体公式为： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
平方和公式
总结词
表示两个数的平方和，等于它们与这两个数的平均数的平方的积。
公式
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
描述
这个公式用于计算两个数的平方和，通过将和表示为两个因子的平 方的差，简化计算过程。
平方倍数公式
总结词
01
表示一个数的平方乘以另一个数的平方，等于它们与这两个数
几何法实例
考虑边长为$a+b$的正方形，可以将 其划分为多个边长为$a$和$b$的小正 方形，通过计算小正方形的面积之和 ，得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 。
完全平方的规律
完全平方的规律一、完全平方公式1. 完全平方和公式- 对于(a + b)^2，根据乘法分配律展开：- (a + b)^2=(a + b)(a + b)=a(a + b)+b(a + b)- 进一步展开得到a^2+ab+ba + b^2=a^2 + 2ab+b^2。
- 例如：(x+3)^2，这里a = x，b = 3，根据公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。
2. 完全平方差公式- 对于(a - b)^2，同样根据乘法分配律展开：- (a - b)^2=(a - b)(a - b)=a(a - b)-b(a - b)- 进一步展开得到a^2 - ab - ba+b^2=a^2-2ab + b^2。
- 例如：(x - 2)^2，这里a=x，b = 2，根据公式(x - 2)^2=x^2-2× x×2+2^2=x^2-4x + 4。
二、完全平方数的规律1. 个位数字规律- 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、9、6、5。
- 因为0^2 = 0，个位数字是0；1^2 = 1，个位数字是1；2^2=4，个位数字是4；3^2 = 9，个位数字是9；4^2 = 16，个位数字是6；5^2 = 25，个位数字是5；6^2 = 36，个位数字是6；7^2 = 49，个位数字是9；8^2 = 64，个位数字是4；9^2 = 81，个位数字是1。
2. 十位数字规律（以两位数为例）- 设一个两位数n=10a + b（a是十位数字，b是个位数字），n^2=(10a + b)^2 = 100a^2+20ab + b^2。
- 当b = 0时，n^2的十位数字是0；当b = 1或9时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是1，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 2或8时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是4，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 3或7时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是9，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 4或6时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是6，所以n^2的十位数字是奇数；当b = 5时，n^2的十位数字是2。
完全平方(微课件)
03
完全平方的应用
在代数式简化中的应用
总结词
完全平方在代数式简化中起到关键作用，通过完全平方公式，可以将复杂的代数式转化为易于处理的形式。
详细描述
完全平方公式是数学中的重要工具，它可以用来简化复杂的代数式。例如，对于形如 (a^2+2ab+b^2) 的式子， 我们可以将其转化为 ((a+b)^2) 的形式，从而更方便地进行计算或化简。
和求解。
解决几何问题
在几何问题中，常常需要利用完 全平方公式计算面积和周长。解 题思路是先将几何图形表示为完 全平方形式，再利用公式进行计
算。
解决物理问题
在物理问题中，常常需要利用完 全平方公式计算位移、速度和加 速度等物理量。解题思路是先将 物理量表示为完全平方形式，证明中的应用
总结词
完全平方在不等式证明中起到重要的桥梁作用，通过完全平方，可以将不等式转化为易于证明的形式 。
详细描述
在证明不等式时，我们经常使用完全平方来转化不等式。例如，对于不等式 (a+b geq 2sqrt{ab})，我们 可以利用完全平方将其转化为 ((sqrt{a}-sqrt{b})^2 geq 0)，从而更容易证明其正确性。
例如
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，各项系数之和为1+1+1=3，等于首末两项 平方和$a^2+b^2$，中间项系数2是首末两项系数之和1+1的两倍。
02
完全平方的证明
证明方法一：数学归纳法
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方的有效方法，通过归纳步骤和基础步骤，逐步推 导证明结论。
在几何图形中的应用
完全平方数
完全平方数完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。
注意不要与完全平方式所混淆。
完全平方数性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则或即或∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。
性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
完全平方公式PPT课件
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
(1)(3m+n)2；
(2)
x
-
1 2
2
.
(1)(3m+n)2
解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·x·1Fra bibliotek+
12
2 2
= x2 - x+ 1 4
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改 正？
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
说一说
1. (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 2. (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (-a-b)2 = [-(a+b)]2=(a+b)2.
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义 和的完全平方公式：
b ab
b²
(a+b)²
完全平方数公式
完全平方数公式
完全平方公式有哪些?下面让我们一起来了解一下吧
1、两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.
(a+b) 2=a2 + 2ab+b2
2、两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍
( a - b ) 2=a2 - 2ab+b2
公式特征
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征
左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍:
左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接，左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“_”两项乘积的2倍(注: 这里说项时未包括其符号在内)
公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式
公式口诀
首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央
也可以是: 首平方，尾平方，积的二倍放中央
同号加、异号减，负号添在异号前。
注意事项
1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方的和，加上(或减去)这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项
3、不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4、不要漏下一次项。
5、切勿混淆公式
6、运算结果中符号不要错误。
7、变式应用难，不易于掌握.
8、最重要的是做题小心谨慎。
完全平方公式课件2
定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方 之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函 数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾 股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的 应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学 习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进 行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2
完全平方数和完全平方式(初三)
初中数学辅导资料完全平方数和完全平方式内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根练习题1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习题答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
完全平方式的所有公式
完全平方式的所有公式完全平方式是数学中一个非常重要的知识点，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多数学难题的大门。
咱们先来说说完全平方和公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
想象一下，a 和 b 是两个小伙伴，它们手拉手一起做游戏。
当它们决定要一起变成完全平方的样子时，就按照这个公式来变身啦。
比如说，a = 3，b = 4 ，那么 (3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4²，算一算，7² = 9 + 24 + 16 ，49 = 49 ，是不是很神奇？再看看完全平方差公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这个就像是 a 和 b这两个小伙伴闹了点小别扭，分开的时候的变化规则。
比如 a = 5 ，b = 2 ，(5 - 2)² = 5² - 2×5×2 + 2²，3² = 25 - 20 + 4 ，9 = 9 ，分毫不差。
咱们在实际解题的时候，这两个公式可太有用啦！记得有一次，我在给学生们讲一道数学题，题目是：已知 x + y = 7 ，xy = 12 ，求 x² +y²的值。
这时候，完全平方公式就派上用场啦！我们可以把 x² + y²变形为 (x + y)² - 2xy ，然后把 x + y = 7 ，xy = 12 代入，就得到 7² - 2×12= 49 - 24 = 25 。
同学们恍然大悟，那种因为掌握了新知识而眼睛放光的样子，让我特别有成就感。
还有呢，这两个公式还能帮助我们进行因式分解。
比如 x² + 6x + 9 ，我们一看，这不就是 (x + 3)²嘛。
还有 4x² - 12x + 9 ，可以写成 (2x -3)²。
新课标八年级数学竞赛讲座：第三十一讲 完全平方数和完全平方式
第三十一讲 完全平方数和完全平方式设n 是自然数，若存在自然数m ，使得n=m 2，则称n 是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；(5)任何整数平方之后，只能是3n 或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n ，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；(7)如果自然数n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解【例1】 n 是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l 是3个完全平方数之和． 思路点拨 设3n+1=m 2，显然3卜m ，因此，m=3k+1或m=3k+2(k 是正整数)．若rn=3k+1，则k k m n 233122+=-=． ∴ n+1=3k 2+2k+1= k 2+ k 2+( k+1)2．若m=3k+2，则1433122++=-=k k m n ∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2+(k+1)2+( k+1)2．故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．设所求正整数为x ，则x+100=m 2 ----①x+168==n 2 -----②其中m ，n 都是正整数， ②—①得n 2—m 2=68，即 （n —m ）(n+m)=22×17．---- ③ 因n —m ，n+m 具有相同的奇偶性，由③知n —m ，n+m 都是偶数．注意到0<n —m<n+m ，由③可得 ⎩⎨⎧⨯=+=-1722m n m n ． 解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k 2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k ，有4k=(k+1)2—(k —1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x 2—y 2=(x+y)(x －y)，其中x ，y 为正整数，当x ，y 奇偶性相同时，(x+y)(x －y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x ，y 奇偶性相异时，(x+y)(x －y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ，y 使得x 2—y 2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde 满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a 是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de 也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．思路点拨 设abcde M =2，且2m a =(一位数)，2n bc = (两位数)，2t de = (两位数)，则 2224221010t n m M +⨯+⨯= ①由式①知 224222210210)10(t mt m t m M +⨯+⨯=+⨯= ②比较式①、式②得n 2=2mt ．因为n 2是2的倍数，故n 也是2的倍数，所以，n 2是4的倍数，且是完全平方数． 故n 2=16或36或64．当n 2=16时，得8=mt ，则m=l ，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去； 故116642=M 或41616．当n 2=36时，得18=mt ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去． 故436812=M 或93636．当n 2= 64时，得32=mt ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去． 因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．【例5】 (2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足22002m n n j i =+；j i ，=1，2，3，4，rn 是正整数；因为2002被4除余2，所以j i n n 被4除应余2或3．(1)若正整数n 1，n 2，n 3，n 4中有两个是偶数，不妨设n 1，n 2是偶数，则200221+n n 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n 1，n 2，n 3，n 4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数．(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与j i n n 被4除余2或3的结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．【例6】 使得(n 2—19n+91)为完全平方数的自然数n 的个数是多少?思路点拨 若(n 2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了． ∵ n 2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)当n>10时，(n －10)2<n 2－19n+19<(n-9)2∴ 当n>10时(n 2—19n+19)不会成为完全平方数∴ 当n ≤10时，(n 2—19n+91)才是完全平方数经试算，n=9和n=10时，n 2—19n+91是完全平方数．所以满足题意的值有2个．【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知200221a a a ，，， 的值都是1或—1，设m 是这2002个数的两两乘积之和．(1)求m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；(2)求m 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．思路点拨 (1)m m a a a a a a 220022)(2200222212200221+=++++=+++ ，22002)(2200221-+++=a a a m ． 当1200221====a a a 或1-时，m 取最大值2003001．当200221a a a ，，， 中恰有1001个1，1001个1-时，m 取最小值—1001．(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且200221a a a +++ 必为偶数，所以，当46200221=+++a a a 或46-；即200221a a a ，，， 中恰有1024个1，978个1-或恰有1024个1-，978个1时，m 取最小值57)200246(212=-．【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2都是平方数(即整数的平方)，证明：(1) 2a 、2b 都是整数；(2)a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x 的整数值，c bx ax ++2的值都是平方数?思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数=2l ；令x=±1，得2m c b a =++，2n c b a =+-，其中m 、n 都是整数．所以，c n m a 2222-+=， 222n m b -=都是整数．(2) 如果2b 是奇数2k+l(k 是整数)，令x=4得22416h l b a =++，其中h 是整数． 由于2a 是整数，所以16a 被4整除，有2416416++=+k a b a 除以4余2．而))((22l h l h l h -+=-，在h 、l 的奇偶性不同时，))((l h l h -+是奇数；在h 、l 的奇偶性相同时，))((l h l h -+能被4整除．因此，22416l h b a -≠+，从而2b 是偶数，b 是整数，b c m a --=2 ^也是整数． 在(2)成立时，c bx ax ++2不一定对x 的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，c bx ax ++2=8不是平方数．另解(2)：令x=±2，得4a+2b+c=h 2，4a —2b+c=k 2，其中h 、k 为整数．两式相减得4b=h 2—k 2=(h+k)(h —k)．由于4b=2(2b)是偶数，所以h 、k 的奇偶性相同，(h+k)(h —k)能被4整除．因此，b 是整数，b c m a --=2也是整数．学力训练(A 级)1．(山东省竞赛题)如果a -是整数，那么a 满足( )A ．a>0，且a 是完全平方数B ．a<0，且－a 是完全平方数C ．a ≥0，且a 是完全平方数D ．a ≤0，且—a 是完全平方数2．设n 是自然数，如果n 2的十位数字是7，那么n 2的末位数字是( )A ．1B ．4C ．5D ．63．(五羊杯，初二)设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N 的最大值是 ．4．使得n 2—19n+95为完全平方数的自然数n 的值是 ．5．自然数n 减去52的差以及n 加上37的和都是整数的平方，则n= ．6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是．7．是否存在一个三位数abc (a ，b ，c 取从1到9的自然数)，使得cab bca abc ++为完全平方数?8．求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完全平方数．（B 级）1．若x 是自然数，设1222234++++=x x x x y ，则 ( )A ．y 一定是完全平方数B ．存在有限个，使y 是完全平方数C ．y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个，使y 是完全平方数2．已知a 和b 是两个完全平方数，b 的个位数字为l ，十位数字为x ；b 的个位数为6，十位数字为y ，则( )A ．x ，y 都是奇数B ．x ，y 都是偶数C ．x 是奇数，y 是偶数D ．x 为偶数，y 为奇数3．若四位数xxyy 是一个完全平方数，则这个四位数是 ．4．设m 是一个完全平方数，则比m 大的最小完全平方数是 ．5．(全国联赛题)设平方数y 2是11个连续整数的平方和，则y 的最小值是 ．6．(北京市竞赛，初二)p 是负整数，且2001+p 是—个完全平方数，则p 的最大值为 ．7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?8．证明：10006999309个各n n 是一个完全平方数．。
七年级下册完全平方公式讲解
七年级下册完全平方公式讲解一、引入在数学中，我们经常会遇到一些形式为a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2的式子。
这些式子被称为完全平方公式。
完全平方公式在代数运算中非常重要，可以帮助我们简化复杂的式子，提高解题效率。
二、定义完全平方公式定义为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这两个公式分别表示了两个数的和或差的平方，等于它们的平方和加上或减去它们积的二倍。
三、推导过程我们可以使用多项式乘以多项式的方法来推导完全平方公式。
具体来说，(a+b)^2 = (a+b)×(a+b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a^2 + 2ab + b^2。
同样地，(a-b)^2 = (a-b)×(a-b) = a×a - a×b - b×a + b×b = a^2 - 2ab + b^2。
四、应用完全平方公式在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算一些复杂的代数式时，我们可以利用完全平方公式将其简化。
此外，完全平方公式还可以用于解决一些几何问题，如计算一些图形的面积或周长。
五、注意事项在使用完全平方公式时，要注意公式的适用范围。
只有当a和b都是实数时，才能使用完全平方公式。
在计算过程中，要注意运算的顺序和法则，确保计算的正确性。
在应用完全平方公式时，要注意公式的变形和运用，以便更好地解决问题。
六、总结完全平方公式是七年级数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们简化复杂的代数式，提高解题效率。
通过学习和掌握完全平方公式，我们可以更好地理解和掌握代数运算的基本方法和技巧。
完全平方式的定义
完全平方式的定义完全平方式是一个数学概念，它指的是一个数可以被平方数整除。
换句话说，如果一个数n能够表示成m的形式，那么n就是一个完全平数。
例如，4、9、16、25等都是完全平数。
在数学中，完全平数是一个重要的概念，它与平方数、因数、素数等数学知识密切相关。
因此，我们有必要深入了解完全平方式的定义及其相关内容。
一、完全平方式的定义完全平方式的定义非常简单，它是指一个数n可以表示成m的形式，其中m为整数。
例如，16=4，25=5，36=6等都是完全平数。
完全平数也可以用另一种方式来表示，即n可以表示成p1^a1 * p2^a2 * … * pn^an的形式，其中p为素数，a为正整数，并且每个a都是偶数。
例如，36=2 * 3，100=2 * 5等都是完全平数。
二、完全平数的性质完全平数有许多有趣的性质，下面列举一些常见的性质。
1. 完全平数的个数是无限的。
证明：假设完全平数的个数有限，那么我们可以将它们按照大小排序，设最大的完全平数为N。
由于完全平数是无限的，所以一定存在一个更大的完全平数M>M，且M<N，这与N是最大的完全平数矛盾，因此假设不成立，完全平数的个数是无限的。
2. 完全平数的奇数次方根是无理数。
证明：假设√n是一个有理数，即√n=p/q，其中p和q互质。
那么n=p/q，即nq=p。
由于p是完全平数，所以p也是完全平数。
设p=m，那么nq=m，即n可以表示成m/q的形式，而这与n是完全平数矛盾，因此假设不成立，完全平数的奇数次方根是无理数。
3. 完全平数的因数个数是奇数。
证明：假设n是一个完全平数，即n=m。
那么n的因数可以表示成m的因数的平方。
设m的因数个数为k，那么n的因数个数为k。
由于k是奇数，所以k也是奇数，因此完全平数的因数个数是奇数。
4. 完全平数的因数和是完全平数。
证明：假设n是一个完全平数，即n=m。
那么n的因数可以表示成m的因数的平方。
设m的因数为p1、p2、…、pk，那么n的因数可以表示成p1、p2、…、pk的形式。
完全平方式是什么
完全平方式是什么
完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话，则称A是完全平方式。
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的重要公式方法。
完全平方式我们通常表示为：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
注：通常a,b是表示一个整体的代数式，不一定是数，例如：[(3x-y)-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2。
完全平方式分两种：（1）完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。
（2）完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。
记忆口诀：首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。
完全平方数和完全平方式
完全平方公式ppt课件
推导过程
引入
通过具体例题引入完全平方公式 的概念，让学生明确学习目标。
推导步骤
逐步详细展示完全平方公式的推 导过程，包括展开、整理、简化 等步骤，确保逻辑严密。
推导结论
公式形式
总结得出完全平方公式的标准形式， 强调公式中的重要部分，如中间项系 数、首尾项平方等。
应用举例
通过具体例题，演示如何运用完全平 方公式进行计算，帮助学生理解公式 的实际应用。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个 更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理 ，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本 概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过 程。
详细描述
该公式是二次项和一次项的完全平方 公式，其中$a$和$b$是常数，表示一 个二次多项式和一个一次多项式相加 或相减的结果。
二次项和常数的完全平方公式
总结词
表示形式为$a^2+2ac+c^2$，适用于二次项和常数的完全平方公式。
详细描述
该公式是二次项和常数的完全平方公式，其中$a$、$c$是常数，表示一个二次多项式和一个常数相加 或相减的结果。
完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式， 用于将一个二次多项式表示为一 个一次多项式和一个常数的乘积 的平方。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是数学中的一种重要概念，作为学习数学的基本概念，它在帮助我们掌握数学的过程中发挥了重要作用。
完全平方公式是一种表明数学关系的工具，有助于理解数学中的概念和现象。
下面将对完全平方公式做一个详细的说明。
完全平方公式可以表达多项式中数学性质的关系，对于指定的数学现象能够有效地剖析。
完全平方公式的形式一般为$ax^2 +bx+c=0$，其中a，b，c是实数，a≠0。
完全平方公式可以解释如下：$ax^2+bx+c$表示等式左侧，等式右侧也可以写成一个完全平方形式：$(x+α)^2+β=0$。
α和β是两个实数，α=－b/2a，β=c/a。
完全平方公式可以用来解决多项式的根，即求出多项式的原根，也可以直接得出结果。
下面用完全平方公式来解决求解多项式根的问题，$ax^2 +bx+c=0$，求解x的值：$(x+α)^2+β=0$将其化为一元二次方程，有：$x^2+2αx+α^2+β=0$根据二次公式：$x_1,x_2=-αpm sqrt{α^2-4(1)β}$将α和β的值代入，可得：$x_1,x_2=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$将该公式带入到多项式中，就能得出多项式的根：$x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$完全平方公式还可以用来解决含有绝对值的一元二次不等式，新的形式如下：$|ax^2 +bx+c|=0$。
可以看出，此类不等式左侧的绝对值变成了括号，这就使其转换成普通的一元二次不等式，此时就可以使用完全平方公式来解决了。
完全平方公式的用途还不止如此，它还可以用来处理有理函数，特别是能够使有理函数形式更清楚、更简便，更具有可读性。
因此，完全平方公式也被广泛应用于高等数学中。
完全平方公式也可以解决三次方程，其具体步骤如下：首先，将三次方程转化为一次二次mixed型方程，即有如下形式：$ax^3+bx^2+cx+d=0$，然后，利用完全平方公式将其中的二次项处理，将它变成完全平方的形式，有：$(x^2+2αx+α^2)+β=0$，将α和β的值代入，即可得出解，最后，将解代入原方程中，检查解的有效性。
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第三十一讲完全平方数和完全平方式
设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．
例题求解
【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde满足下列条件：
(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．
【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．
【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知200221a a a ，，， 的值都是1或—1，设m 是这2002个数的两两乘积之和．(1)求m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
(2)求m 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．
例8】 (全国竞赛题)如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2都是平方数(即整数的平方)，证明： (1) 2a 、2b 都是整数； (2)a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数．
反过来，如果(2)成立，是否对一切x 的整数值，c bx ax ++2的值都是平方数?
学力训练
(A 级)
1．(山东省竞赛题)如果a -是整数，那么a 满足( )
A ．a>0，且a 是完全平方数
B ．a<0，且－a 是完全平方数
C ．a ≥0，且a 是完全平方数
D ．a ≤0，且—a 是完全平方数
2．设n 是自然数，如果n 2的十位数字是7，那么n 2的末位数字是( )
A ．1
B ．4
C ．5
D ．6
3．(五羊杯，初二)设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N 的最大值是 ．
4．使得n 2—19n+95为完全平方数的自然数n 的值是 ．
5．自然数n 减去52的差以及n 加上37的和都是整数的平方，则n= ．
6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是
．
7．是否存在一个三位数abc (a ，b ，c 取从1到9的自然数)，使得cab bca abc ++为完全平方数?
8．求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完全平方数．
（B 级）
1．若x 是自然数，设1222234++++=x x x x y ，则 ( )
A ．y 一定是完全平方数
B ．存在有限个，使y 是完全平方数
C ．y 一定不是完全平方数
D ．存在无限多个，使y 是完全平方数
2．已知a 和b 是两个完全平方数，b 的个位数字为l ，十位数字为x ；b 的个位数为6，十位数字为y ，则( )
A ．x ，y 都是奇数
B ．x ，y 都是偶数
C ．x 是奇数，y 是偶数
D ．x 为偶数，y 为奇数
3．若四位数xxyy 是一个完全平方数，则这个四位数是 ．
4．设m 是一个完全平方数，则比m 大的最小完全平方数是 ．
5．(全国联赛题)设平方数y 2是11个连续整数的平方和，则y 的最小值是 ．
6．(北京市竞赛，初二)p 是负整数，且2001+p 是—个完全平方数，则p 的最大值为 ．
7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?
8．证明：1000699930
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个各n n 是一个完全平方数．。