常微分方程第1章教案

第一章 绪论

定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+

=

1=，3121x x x

--=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+-

以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x =

二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210

x y z ++-=等等

根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算

一、引例

例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.

解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意

1d 2(1)d 2(2)x y x x y =⎧=⎪⎨⎪=⎩

由（1）得2d y x x =⎰，即2y x C =+ （3）

把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221

C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+

例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式

00

220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t

s v t s ===⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩（）

把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t =

=-+ （6）

把式（6）两端再积分一次，得2120.2s t C t C =-++（7）,这里12C C 、都是任意常数. 把条件020t v

==代入式（6）得120C =. 把条件00t s ==代入式（7）得20C =.把12,C C 的值代入式（6）及式（7）得

0.420v t =-+（8）

20.220s t t =-+（9）

在式（8）中令0v =，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间20500.4t ==（s ） 再把50t =代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程s =20.2502050-⨯+⨯ = 500 (m). 二、微分方程的基本概念

微分方程：联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式.

例如d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =-，224T T x t

∂∂=∂∂，222

2220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =- 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 224T T x t

∂∂=∂∂，222222

0T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.

一阶常微分方程的一般形式为：

(,,)0F x y y '=称为一阶隐式方程

(,)y f x y '=称为一阶显式方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为微分形式的一阶方程

n 阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '=L （*）

n 阶显式方程的一般形式为 ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=L

高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程.

如果（*）的左端为(),,n y y y

'L 及的一次有理整式，则称（*）为n 阶线性微分方程，否则

是非线性微分方程. 例如：22d y dy y t dt dt

+= 是二阶非线性微分方程，而22d 0.4 d s t =-是一个二阶的线性微分方程.

微分方程的解：代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解.确切地说，设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，

(),(),(),,()0n F x x 'x x ϕϕϕ⎡⎤=⎣⎦L ，

那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程()(,,,,)0n F x y y'y =L 在区间I 上的解. 称(,)()0x y y x ϕΦ=-=为（*）的隐式解.

例如：2y x C =+叫做微分方程d 2d y x x

=的解，则2y x C -=或20y x C --=叫做微分方程d 2d y x x

=的隐式解 通解：把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c L 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=L 称为方程（*）的通解.（如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.）

定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.

初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.

例如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成00x x y y ==，00

x x y y =''= 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.

例如求微分方程(,)y'f x y =满足初始条件00x x y y ==的特解的问题，记为0

0(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 例如例1中21y x =+是式（1）的特解.

一般地，初值问题为

()(1)(1)(1)000000

(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩L L 定义：一阶微分方程(,)dy f x y dx

=的解()y x ϕ=是Oxy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解(,)y x c ϕ=对应于Oxy 平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件00()y x y =的特解就是通过点00(,)x y 的一条积分曲线.

定义：设函数(,)f x y 的定义域为D ，在D 内每一点(,)x y 处，画上一小线段，使其斜率恰好为(,)f x y ，将这种带有小线段的区域D 称为由方程所规定的方向场.在方向场中，方向