多元函数的微积分

z
二元函数的图形是一张曲面．
M0
例
z=a x+b y + c是一张平面， O
y0
y
x0
x
3
由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原 点，半径为a的球面．它的定义域为D ={(x，y)|x2y2 a 2}． 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：
z a2 x2 y2 , y
看成二者之商.
2
z x
，求
z
时，只要暂时把y看作常量对x求导即可
x
3 ，求 z 时，只要暂时把x看作常量而对y求导即可 y
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例3 求zx23x yy2在点(1，2)处的偏导数．
解
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z 2x 3 y, x
z 3 y 2x . y
z 21 3 2 8, x x1
y2
z 31 2 2 7 . y x1
x x x0
y y0
zx x x0 ,或f x ( x0 , y0 ) 。
y y0
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（２）如果极限 lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) 存在，
y0
y
则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导数，
记作
z , x x0
y y y0
f ,
y x x0
例４
函数f
(
x,
y)
x2 x2
y
2,(x2 y2,(x2
y2 y2
1) 1)
在单位圆
x2 y2 1上各点是否连续？
解： 如果 2 函数在单位圆上任何点都连续
若 2 在单位圆上任何点都不连续
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三. 偏导数的概念及简单计算
1. 偏导数的概念：
定义 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，当y 固定
在y0 而x 在x0 处有增量x 时，相应地函数有增量
f (x0x，y0)f(x0，y0) ，
（１）如果极限
lim f ( x0 Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，
Δx0
Δx
则称此极限为函数zf (x，y)在点(x0，y0)处对x 的 偏导数，记作
z , x x0
x y y0
f ,
z a2 x2 y2 .
z a2 x2 y2 ,
O
x
z a2 x2 y2 .
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二.二元函数的极限和连续
1.二元函数的极限
定义 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，
P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的
正数e 总存在正数d ，使得对于适合不等式
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
xy
kx2
k
lim
x0
x2
y2
lim x0
x2
k2x2
1 k2
.
y kx 0
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例1 求lim sin(xy) . x0 x
y2
解： lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin(xy)
lim
lim y
变量 x、y的二元函数(或点P的函数)，记为
z=f (x，y)(或z=f (P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
类似地可定义三元及三元以上函数．
当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函 数
2
二元函数的图形：
点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数 zf(x，y) 的图形．
6.2 多元函数的微积分
主要内容： 一.多元函数的概念 二.二元函数的极限和连续 三.偏导数的概念及简单计算 四.全微分 五.空间曲线的切线与法平面 六.曲面的切平面与法线 七.多元函数的极值
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一.多元函数的概念
二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D， 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是
函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续：
是指函数f (x，y)在D内每一点连续．此时称f (x，y)是
D 内的连续函数．
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数 f(P)上去．
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例2
函数f (x, y) 1 在原点是否连续？
x2 y2
解： 因为f (0,0)是无穷大，
所以函数在原点不连续.
y y0
z y , x x0 y y0
或f x ( x0, y0 ) 。
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偏导函数：
如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x 的偏导数都
存在，那么这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数zf(x，y)
对自变量的偏导函数，记作
z , x
f , x
zx,
或f x ( x, y).
类似地， 可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏导
函数， 记为
z ,
y
f ,
y
z y ,或f y ( x, y)。
偏导数与偏导函数的关系：f x ( x0 , y0 ) f x ( x, y) |x x0 , y y0 .
f y ( x0 , y0 ) f y ( x, y) |x x0 , y y0
.
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2 .一阶偏导数的计算
注意： 1, z , f , z , f ,只是一种记号，不能把它们 x x y y
我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
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注意：
(1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，
函数都无限接近于A. (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数
趋于不同的值，则函数的极限不存在．
例
xy
x2
y2
, x2 y2 0 .
f (x, y)
0 , x2 y2 0 .
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，
0 pp0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 d
的一切点P(x，y)D ，
都有 |f (x，y)A|<e 成立，
则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，
记为
lim f ( x, y) A,或f ( x, y) A(r 0),
x x0
y y0
这里r|P P0|．
x0 xy
x0
y2
y2
2 lim sin( xy) 2 . xy0 xy
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2.二元函数的连续性
定义： 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0) D ．
如果
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续．
y2
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3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数：
设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数
f x f x ( x, y),
f y f y ( x, y).