任意角三角函数的定义优秀课件
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任意角三角函数的定义优秀课 件
初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)
B
斜
对
边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
边
A 邻边 C
对边 sin A 斜边
邻边 cosA 斜边
对边 tan A 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
2
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角
sin(
π 4
)
；
(2)
cos130 ；
(3)tan
4π ． 3
解 (1) 因为 π 是第四象限角，所以 sin( π ) ＜0.
4
4
(2) 因为 130 是第二象限角，所以 cos 130 ＜0.
(3) 因为 4 π 3
4π 是第三象限角， 所以 tan ＞0.
3
14
O
A1,0 x
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
例 1 已知角 终边经过点 P（2，-3）如图，
求角 的三个三角函数值．
y
解 已知点 P（2， -3），则
O
rOP 2232 13．
sin y 3 3 13 ； r 13 13
cos x 2 2 13 ； r 13 13
11
三角函数在各象限的符号如下图所示：
y
++
-o- x
sin
y
-+ -o + x
cos
y
-+ + o- x
tan
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余 弦
12
3.根据三角函数的定义，确定它们的定 义域
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R R
2k(kZ)
练习1 确定下列各三角函数值的符号：
(1)
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
y 那么:（1） 叫做角 的正弦，记作sin ，即siny ；
x （2） 叫做角 的余弦， 记作 cos,即 co sx；
y
（3） x 叫做角
的正切，记作 tan，即 tan y (x 0) 。
x
y
Px, y﹒
所以，正弦，余弦，正切都是以角 为自变量，以单位圆上点的坐标或坐 标的比值为函数值的函数，我们将他 们称为三角函数.
10
例 2 试确定三角函数在各象限的符号．
解 由三角函数的定义可知，
sin ＝ y ，角 终边上点的纵坐标 y 的正、负 r
与角 的正弦值同号；
cos ＝ x ，角 终边上点的横坐标 x 的正、负 r
与角 的余弦值同号；
tan ＝ y ，则当 x 与 y 同号时，正切值为正， x
当 x 与 y 异号时，正切值为负．
别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个
对应关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的余弦函数、正弦函数和正切函数．
9
三角函数求值
计算三角函数值的步骤：
S1 画角 在直角坐标系中，作转角 ；
S2 找点 在角的终边上任找一点P，使 OP ＝r， 并量出该点的纵坐标和横坐标；
S3 求值 根据三角函数定义，求出角 的三角函数值．
的终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
r r r r x x
由于点 P，P 在同一象限内，
所以它们的坐标符号相同，因此得
y P
r P' y
r' y'
O x' x x
xx， yy， yy． r r r r x x
3
所以当角 不变时，不论点 P 在角
tan y 3 ． x2
x
P（2，-3）
7
于是我们有如下定义：
设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原
点的距离为 r.
x
比值
r
叫做角 的余弦.记作
cos
x r
y
比值
r
叫做角 的正弦.记作
sin
y r
y
比值
x
叫做角 的正切.记作
tan
y x
8
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分
的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，
只依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上
的位置无关.
4
1.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr 1，则
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(a, b)
1
x
o
M
sin
MP OP
b
cos OM a OP
tan MP b OM a
2.任意角的三角函数定义
初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)
B
斜
对
边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
边
A 邻边 C
对边 sin A 斜边
邻边 cosA 斜边
对边 tan A 邻边
思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角 的三角函数呢？
2
任意角三角函数的定义
已知 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角
sin(
π 4
)
；
(2)
cos130 ；
(3)tan
4π ． 3
解 (1) 因为 π 是第四象限角，所以 sin( π ) ＜0.
4
4
(2) 因为 130 是第二象限角，所以 cos 130 ＜0.
(3) 因为 4 π 3
4π 是第三象限角， 所以 tan ＞0.
3
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O
A1,0 x
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
例 1 已知角 终边经过点 P（2，-3）如图，
求角 的三个三角函数值．
y
解 已知点 P（2， -3），则
O
rOP 2232 13．
sin y 3 3 13 ； r 13 13
cos x 2 2 13 ； r 13 13
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三角函数在各象限的符号如下图所示：
y
++
-o- x
sin
y
-+ -o + x
cos
y
-+ + o- x
tan
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余 弦
12
3.根据三角函数的定义，确定它们的定 义域
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R R
2k(kZ)
练习1 确定下列各三角函数值的符号：
(1)
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
y 那么:（1） 叫做角 的正弦，记作sin ，即siny ；
x （2） 叫做角 的余弦， 记作 cos,即 co sx；
y
（3） x 叫做角
的正切，记作 tan，即 tan y (x 0) 。
x
y
Px, y﹒
所以，正弦，余弦，正切都是以角 为自变量，以单位圆上点的坐标或坐 标的比值为函数值的函数，我们将他 们称为三角函数.
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例 2 试确定三角函数在各象限的符号．
解 由三角函数的定义可知，
sin ＝ y ，角 终边上点的纵坐标 y 的正、负 r
与角 的正弦值同号；
cos ＝ x ，角 终边上点的横坐标 x 的正、负 r
与角 的余弦值同号；
tan ＝ y ，则当 x 与 y 同号时，正切值为正， x
当 x 与 y 异号时，正切值为负．
别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个
对应关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的余弦函数、正弦函数和正切函数．
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三角函数求值
计算三角函数值的步骤：
S1 画角 在直角坐标系中，作转角 ；
S2 找点 在角的终边上任找一点P，使 OP ＝r， 并量出该点的纵坐标和横坐标；
S3 求值 根据三角函数定义，求出角 的三角函数值．
的终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
r r r r x x
由于点 P，P 在同一象限内，
所以它们的坐标符号相同，因此得
y P
r P' y
r' y'
O x' x x
xx， yy， yy． r r r r x x
3
所以当角 不变时，不论点 P 在角
tan y 3 ． x2
x
P（2，-3）
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于是我们有如下定义：
设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原
点的距离为 r.
x
比值
r
叫做角 的余弦.记作
cos
x r
y
比值
r
叫做角 的正弦.记作
sin
y r
y
比值
x
叫做角 的正切.记作
tan
y x
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依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分
的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，
只依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上
的位置无关.
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1.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr 1，则
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(a, b)
1
x
o
M
sin
MP OP
b
cos OM a OP
tan MP b OM a
2.任意角的三角函数定义