因式分解—公式法

14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间：

教学目标：

1．知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。

2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。

3．情感、态度与价值观： 培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。

教学重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。

教学难点：提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。

教学过程：

(一) 复习提问：

1. 讲评上节课作业，复习用提取公因式法分解因式。

2. 计算：（1）))((b a b a -+； （2）)3)(3(-+a a ；

（3）)35)(35(y x y x -+； （4）)43

1)(431(n m n m +-。 （设计意图：通过以上练习，复习用平方差公式进行整式的乘法计算，进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系）

（二）讲解新课：

我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用这种关系，可以得到因式分解的方法，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法，今天我们学习公式中的一种。

板书“平方差公式”。

把乘法公式22))((b a b a b a -=-+，反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-，

这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

公式特征：二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式，符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解，分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。解题的关键在于找出这两项的底数，相当于公式中的a 、b 。

如：把22925y x -进行因式分解，因为22)5(25x x =，22)3(9y y =，底数分别为x 5、y 3，则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。

下面我们举例说明，如何利用平方差公式分解因式：

)3)(3()3(92222y x y x y x y x -+=-=- )

()(22b a b a b a -+=-)2

14)(214()(21)4(41162222n m n m n m n m -+=-=- )

()(22b a b a b a -+=-

（设计意图：使学生充分认识到要先将每项都变为平方的形式，才可使用公式分解，另外平方差公式中的字母b a 、不仅可以表示数，而且可以表示代数式。）

例1 ：把下列各式分解因式：

⑴2251b - ⑵222z y x - ⑶2201.09

4n m - 解：⑴)51)(51()5(1251222b b b b -+=-=-

⑵))(()(22222z xy z xy z xy z y x -+=-=-

⑶)1.03

2)(1.032()1.0()32(01.0942222n m n m n m n m -+=-=- （设计意图：让学生注意要将各项写成平方数或平方式的形式，准确得出各项的底数，套入公式进行因式分解。）

例2 ： 把下列各式分解因式

222

2)(9)(4)2()2()()1(n m n m b a b a --+--+

分析：把)2()(b a b a -+与各看成一个数，则22)2()(b a b a --+符合平方差公式，可以因式分解。

222222)(9)(4,)](3[)(9,)](2[)(4n m n m n m n m n m n m --+--++把改写成改写成看成是)(3)(2n m n m -+与两数的平方差。

解：22)2()()1(b a b a --+

)

5)(5()]

(3)(2[)](3)(2[)](3[)](2[)(9)(4)2()

2(3)2(3)

2(3)]

2()[()]2()[(2

222m n n m n m n m n m n m n m n m n m n m a b a b a a b a a b a b a b a b a --=--+-++=--+=--+---=+-=--+-++=或

（设计意图：让学生注意运用平方差公式把一个多项式分解成两个整式积的形式后，应注意运用去括号法则，去掉每个多项式的括号，再合并同类项，把这个多项式进行整理，合并后的多项式因式要使首项为正。）

例3 ： 把下列各式分解因式

443562516)2(273)1(n m x x --

分析：(1) 小题的两项不是平方差形式，但发现系数及字母x 都有公因式33x ，提出公因

式后则成为平方差形式，可以进一步分解。

35273)1(x x -解：

)

52)(52)(254()

254)(254()25()4(62516)2()

3)(3(3)

9(322222222224

4323n m n m n m n m n m n m n m x x x x x -++=-+=-=--+=-=

（设计意图：使学生认识到如果多项式的各项含有公因式，那么先提出这个公因式，再进一步分解因式，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。）

（三）练习巩固：第117页练习，补充：分解因式

25)32(2-+y x ； 22)73(100b a a +-；22)2()12(+--x x ；22)2(y y x -+； 22)2()23(4y x y x +--；22)(225)(144b a b a +--。

(设计意图：通过练习，巩固本节课所学的知识。)

(四) 课堂小结：

1. 在运用平方差公式进行因式分解时，所给的多项式应为两项的平方差的形式，或经过适当的变形，可以把多项式表示为两项的平方差的形式；

2. 在解题过程中，要注意将这两项写成平方的形式，以利准确得到这两项的底数，即相当于公式中的a 、b ，套入平方差公式，才能提高因式分解的准确率。

3. 检查分解后的每一个因式能否再继续分解因式。

（设计意图：通过小结归纳，使学生对所学知识有一个系统的认识。）

(五) 作业布置：

习题14.3第2题

教学反思：