高数乙1期末练习参考答案

高等数学（乙）1期末练习2012.12（参考答案）

一． 填空题

1．当0→x ，函数)tan (sin x x x -⋅是关于)1ln(x x -的 高阶 无穷小 (注：用洛必达法则求极限)

1ln()

tan (sin lim

0x x x x x x --→为0，分母可先用等价无穷小替换)

2．极限1

1

lim

1

--→x x x 的值是 不存在 （注：因左右极限不相等） 3. 极限221)

1sin(lim x

x x ++∞→= 0 （注：用无穷小与有界函数的积仍为无穷小的性质） 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<--=0

,3sin ln ln 0

,sin tan )(x x x x x x x

x x f ，则0=x 为)(x f 的 第一类（跳跃） 间断点.

（注：用洛必达法则求0=x 处的左极限为2，右极限3

1

ln 3sin ln

lim 0

=+→x x x ） 5. 极限x

dt t x x 21lim

sin 0

30

⎰

+→=

2

1

. （注：用洛必达法则求极限，熟记求导公式：

)())(()())(()()

()(x v x v f x u x u f dt t f dx

d x u x v '-'=⎰） 6. ⎰

xdx 2cos =

C x x ++2sin 4

1

21 . （注：任意常数不要漏） 7．若)(x f 的导数为x sin ，则)(x f 的所有原函数是 21sin C x C x ++- .

8．定积分

⎰--222cos 1cos π

πdx x x

的值为 1 （注：对称区间，偶函数的积分）

9．设x x

x

x e

y x

2sec tan arccos ++

⋅=-，则微分 dy =dx x x x x

x x x

x e x

]2tan 2sec 2tan sec )11

(arccos [222+-+-+--. （注：微分dx 不要漏）

10．某商品的需求函数为2

75p q -=，则4=p 的边际需求为 8- ，需求弹性为 59

32

11．设曲线⎩⎨

⎧

+==t t y t

x 2cos sin ，则曲线在0=t 处的切线方程为 1+=x y .

法线方程为1+-=x y

（注：（1）参数方程确定的函数求导（分子、分母不要弄错）；

（2）求切线斜率（将参数或切点代入，此时斜率为一常数），再求法线斜率：切线斜率的负倒数）

12. 曲线1

223

+=x x y 的斜渐近线方程为x y 2= .

（注：斜渐近线的斜率x

x f k x )

(lim

∞

→=，])([lim kx x f b x -=∞→）

13. 函数x

x f 3)(=在点0x x =处的n 阶泰勒公式为

)10()()!1(3ln 3)(!33ln )(101)(00

000<<-++-⋅=++-+=∑θθn n x x x k

n

k x k x x n x x k x f .

14.设⎰

+=

22

1sin )(x x

dt t

t x F ，则=')(x F

2

4

21sin 21)sin(x

x x x

x +-

⋅+

（注：用求导公式

)())(()())(()()

()(x v x v f x u x u f dt t f dx

d x u x v '-'=⎰） 15.设)(x f 连续，则⎰-x

dt t x tf dx d 0

22)(= )(2x xf （注：（1）先换元2

2

t x u -=，一定要上限换上限，下限换下限；（2）再求导上题的公式） 16. 设)(x f 有一个原函数

x x sin ，则⎰'ππ2

)(dx x f x =14

-π （注：用分部积分和原函数的定义：

（1）

C x x dx x f +=

⎰

sin )(；（2）2

sin cos )sin ()(x

x

x x x x x f -='=） 二．试解下列各题

1．设)(arcsin x f y =，求dx dy ，2

2dx

y

d . 参考答案：

dx dy

=211)(arcsin x

x f -⋅'

22dx y d =2

221)1()

(arcsin 11)(arcsin x x x f x x f --'+

-⋅'' 2．求极限)tan sec lim x x x -→（π.

(注：先通分，再用洛必达法则，答案0)

3. )]1ln()1

([

lim 220

ax a x

x a x +--→ （书后习题） (注：先通分，再用洛必达法则，答案2

2

a )

4. x

x

x e

x 1

10))1((

lim +→ （书后习题） (注：幂指函数求极限，取对数，用洛必达法则，答案2

1-e )

5. x

x x arc ln 1

)

cot (lim +∞

→

(注：幂指函数求极限，取对数，用洛必达法则，答案1

-e ) 6. )112cot(

)1(lim 2

1

x

x

x x x +---→

(注：∞⋅0型求极限，化0

型，分母可用等价无穷小代换，再化简，答案4) 三．试解下列各题

1．设函数)(x y y =由方程y x xy ln )1ln(1)cos(-+=-确定，求dx

dy

，)1,0(dy ,)0(y ''， 并求此曲线)(x y y =在点)1,0(处的法线方程.

注：（1）方程两边对x 求导： dx

dy

y x dx dy x y xy 111))(sin(-+=⋅

+- （*） 得dx dy =)]

sin(1)[1()

sin()1(2xy xy x xy x y y -+++

又0=x ，1=y 时，

1)

1,0(=dx

dy ；所以dx dy =)1,0(

（2）求二阶导数时，用（*）式两边对对x 求导：

y y dx

dy y x y x y y xy dx dy x y xy ''-++-=''⋅+'+'-⋅

+-1)(1)1(1))(sin())(cos(2222 代入0=x ，1=y ，

1)

1,0(=dx

dy

，得1)0(=''y

（3）法线斜率1-，法线方程：x y -=-1

2．求函数32-=x x y 的单调区间与极值，曲线32-=x x y 的凹凸区间与拐点坐标.