河海大学概率论与数理统计试卷2007

河海大学2007~2008学年第一学期
2006级《概率论与数理统计》试卷
（供全校工科专业使用）2007年12月
专业 姓名 学号 （A 卷）
1．设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A –B ）=0.3，则=⋃)(B A P ； 2．某实习生用一台机器接连独立地制造了3 个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率)3,2,1(1
1
=+=i i p i ，以X 表示3 个零件中合格品的个数，则P {2=X }= ； 3．已知X 的密度函数为1
22
1)(-+-=
x x
e x
f π
，则=)(X D ；
4．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则λ= ； 5．设21,X X 是来自正态总体),0(2σN 的样本，则||/21X X U =服从 分布；
6．设总体X 服从()10-分布),1(p B ，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，X 为样本均值，则对任意整数
==≤≤)(),0(n
k
X P n k k 。

二、（本题满分12分）有三个箱子各装有一些红、白球。

第一个箱子装有4个红球4个白球 ，第二个箱子装有2个红球6个白球，第三个箱子装有6个红球2个白球，现用掷骰子来决定从哪箱子里取出一只球，若出一点，则从第一个箱子取出一只球，若出6点，则从第三个箱子取出一只球，若出的是其他点，则从第二个箱子取出1只球。

1．试求取出的是1只红球的概率；
2．已知取出的是1只红球，求这只红球是来自第二个箱子的概率。

三、（本题满分12分）设随机变量X 密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,
)(x x x x x f
求：1．X 的分布函数)(x F ；
2．)(,)(X D X E .
四、（本题满分18分）设二维连续型随机变量（X ，Y ）的密度函数为
⎩⎨
⎧≤≤-≤≤=其它
,01
1,10,2),(y x x y x f ， 求：1．关于X 和Y 的边缘密度分布函数)(,)(y f x f Y X ；
2．X 与Y 的协方差),(Y X Cov ； 3．Y X Z +=的密度函数)(z f Z 。

五、（本题满分10分）设),(~,),(~21p n B Y p n B X 且相互独立，证明：),(~21p n n B Y X ++。

六、（本题满分15分）设总体X 服从()θ,0上的均匀分布，其中θ为未知参数。

n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本。

求θ的矩估
计量M
θ
ˆ和极大似然估计量MLE
θˆ，并说明MLE
θˆ是否为
θ的无偏估计量，请给出理由。

七、（本题满分15分）某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）服从正态分布，现随机地抽取26只电池，测出其寿命的样本方差72002=s
1．试检验假设5000:,5000:2120≠=σσH H （给定显著性水平05.0=α）； 2．求σ的置信度为0.95的置信区间。

附表：部分2χ分布表α=χ>χα)}()({2
2n n P
答案（A ）
一、填空题
1、0.6
2、
24
11 3、2
1
4、1
5、t(1)
6、k n k k n p p C --)1(
二、设i A ={}个箱子中取一只球
从第i ，=i 1,2,3 B ={}取出一只红球
1、∑==3
1
)()()(i i i A B P A P B P
=61×84+64×8
2+61×86=83
2、)(2B A P =)
()()(22B P A B P A P =8
382
64⨯=94
三、1、⎰∞-=x
dt t f x F )()(
当x ≤0，0)(=x F 当0＜x ≤1，⎰=
=x
x tdt x F 022
1)( 当0＜x ＜2，122
1)2()(1021-+-=-+=⎰⎰x x dt t tdt x F x
当x ≥2，1)(=x F
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧≥-+-≤≤=2
,121,12211
0,2
10,0)(22x x x x x x x x F
2、⎰⎰⎰+∞∞-=-⋅+⋅==102
11)2()()(dx x x xdx x dx x xf x E
⎰⎰=
-+⋅=1
2
1
22
2
6
7)2()(dx x x xdx x x E 6
1167)()()(222=-=
-=Ex x E x D 四、1、⎰-==1
122)(x x x dy x f ，（0＜x ＜1）
⎰-==1
122)(y Y y dx y f ，
（0＜y ＜1） 2、3
22)(1
0=⋅=⎰xdx x X E 同理3
2)(=Y E
⎰⎰-=
⋅⋅=⋅1
1
112
52)(x dy y x dx Y X E ))(()(),(EY EX Y X E Y X Cov -⋅=
=
36
1)32(1252-=- 3、⎰+∞
∞--=dx x z x f z f Z ),()(
⎩⎨
⎧≤-≤-≤≤1
11
0x z x x
⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥≤≤11
10z x z x ⎰-≤≤-==1
1
)21()
2(22)(z Z z z dx z f
五、法一：因为),(~1p n B X 所以1
21n X X X X ++=
其中1
21n X X X ++独立同分布),1(p B
同理2
21n Y Y Y Y +++=
其中2
,,,21n Y Y Y 独立同分布),1(p B
又Y X 与相互独立
所以1
,,,21n X X X ，2
,,,21n Y Y Y 独立同分布),1(p B 从而),(~2121212
1
p n n B Y Y Y X X X Y X n n ++++++++=+
法二：对任意的0≤k ≤21n n +
)(k Y X P =+
=∑=-==k
i i k Y i X P 0),(
=∑=-==k
i i k Y P i X P 0)()(
[因为Y X ,独立]
=∑=-------k
i i k n i k i k n i n i i n p p C p p C 0
)(2
2
1
1)1()1(
=k n n k
k i i k n i n p p C C -+=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∑2121)1(0 =k n n k k n n p p C -++-2
1
2
1
)1(
所以),(~21p n n B Y X ++ 六、2
)(θ
=X E
由X X E =)(
得X M
2ˆ=θ θ
1
)(=
x f ，（0≤x ≤θ）
似然函数n
L θ
1
=，（0≤i x ≤θ，n i ,,2,1 =）
n
θ
1
=
，（0≤),,min(1n x x ≤),,max(1n x x ≤θ）
所以),,max(ˆ21n MLE x x x =θ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=θ
θθx x x x x F ,
10,
0,
0)( MLE
θˆ的分布函数为 )(x F L =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=θθθ
x x x
x x F n n n ,
10,
0,
0)( 1)(-=n n L x n
x f θ
，（ 0＜x ＜θ）
)ˆ(MLE E θ=⎰≠+=⋅-θθθθ011
n n dx x n x n n
从而MLE
θˆ不是θ的无偏估计量。

七、1、5000:20=σH ，5000:21≠σH 05.0=α
该检验的拒绝域为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧--)1()1(22202n x S n ασ 或⎭
⎬⎫⎩⎨⎧---)1()1(2
21202n x S n ασ 2S =7200 26=n 50002
0=σ
2
2
)1(σS n -=
5000
7200
)126(⨯-=36
而646.40)25()1(2
025.022
==-x n x α
120.13)25()1(2
975.022
1==--x n x α 由于13.120＜36＜40.646 即)1(2
2
1--
n x
α
＜
2
2
)1(σ
S n -＜)1(2
2
-n x α
从而接受0H ，即认为2σ=5000 2、σ的置信度为α-1的置信区间是
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----)1()1(,1()1(2
212222
n x S
n n x S n αα 95.01,7200,262=-==αS n =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯120.13720025,
646.40720025=（66.547,117.130）。