河海大学概率论与数理统计试卷2007

河海大学2007~2008学年第一学期

2006级《概率论与数理统计》试卷

（供全校工科专业使用）2007年12月

专业 姓名 学号 （A 卷）

1．设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A –B ）=0.3，则=⋃)(B A P ； 2．某实习生用一台机器接连独立地制造了3 个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率)3,2,1(1

1

=+=i i p i ，以X 表示3 个零件中合格品的个数，则P {2=X }= ； 3．已知X 的密度函数为1

22

1)(-+-=

x x

e x

f π

，则=)(X D ；

4．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则λ= ； 5．设21,X X 是来自正态总体),0(2σN 的样本，则||/21X X U =服从 分布；

6．设总体X 服从()10-分布),1(p B ，n X X X ,,,21 是来自X 的样本，X 为样本均值，则对任意整数

==≤≤)(),0(n

k

X P n k k 。

二、（本题满分12分）有三个箱子各装有一些红、白球。第一个箱子装有4个红球4个白球 ，第二个箱子装有2个红球6个白球，第三个箱子装有6个红球2个白球，现用掷骰子来决定从哪箱子里取出一只球，若出一点，则从第一个箱子取出一只球，若出6点，则从第三个箱子取出一只球，若出的是其他点，则从第二个箱子取出1只球。

1．试求取出的是1只红球的概率；

2．已知取出的是1只红球，求这只红球是来自第二个箱子的概率。 三、（本题满分12分）设随机变量X 密度函数为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,

)(x x x x x f

求：1．X 的分布函数)(x F ；

2．)(,)(X D X E .

四、（本题满分18分）设二维连续型随机变量（X ，Y ）的密度函数为

⎩⎨

⎧≤≤-≤≤=其它

,01

1,10,2),(y x x y x f ， 求：1．关于X 和Y 的边缘密度分布函数)(,)(y f x f Y X ；

2．X 与Y 的协方差),(Y X Cov ； 3．Y X Z +=的密度函数)(z f Z 。

五、（本题满分10分）设),(~,),(~21p n B Y p n B X 且相互独立，证明：),(~21p n n B Y X ++。 六、（本题满分15分）设总体X 服从()θ,0上的均匀分布，其中θ为未知参数。n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本。求θ的矩估

计量M

θ

ˆ和极大似然估计量MLE

θˆ，并说明MLE

θˆ是否为

θ的无偏估计量，请给出理由。 七、（本题满分15分）某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）服从正态分布，现随机地抽取26只电池，测出其寿命的样本方差72002=s

1．试检验假设5000:,5000:2120≠=σσH H （给定显著性水平05.0=α）； 2．求σ的置信度为0.95的置信区间。

附表：部分2χ分布表α=χ>χα)}()({2

2n n P

答案（A ）

一、填空题

1、0.6

2、

24

11 3、2

1

4、1

5、t(1)

6、k n k k n p p C --)1(

二、设i A ={}个箱子中取一只球

从第i ，=i 1,2,3 B ={}取出一只红球

1、∑==3

1

)()()(i i i A B P A P B P

=61×84+64×8

2+61×86=83

2、)(2B A P =)

()()(22B P A B P A P =8

382

64⨯=94

三、1、⎰∞-=x

dt t f x F )()(

当x ≤0，0)(=x F 当0＜x ≤1，⎰=

=x

x tdt x F 022

1)( 当0＜x ＜2，122

1)2()(1021-+-=-+=⎰⎰x x dt t tdt x F x

当x ≥2，1)(=x F

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧≥-+-≤≤=2

,121,12211

0,2

10,0)(22x x x x x x x x F

2、⎰⎰⎰+∞∞-=-⋅+⋅==102

11)2()()(dx x x xdx x dx x xf x E

⎰⎰=

-+⋅=1

2

1

22

2

6

7)2()(dx x x xdx x x E 6

1167)()()(222=-=

-=Ex x E x D 四、1、⎰-==1

122)(x x x dy x f ，（0＜x ＜1）

⎰-==1

122)(y Y y dx y f ，

（0＜y ＜1） 2、3

22)(1

0=⋅=⎰xdx x X E 同理3

2)(=Y E

⎰⎰-=

⋅⋅=⋅1

1

112

52)(x dy y x dx Y X E ))(()(),(EY EX Y X E Y X Cov -⋅=

=

36

1)32(1252-=- 3、⎰+∞

∞--=dx x z x f z f Z ),()(

⎩⎨

⎧≤-≤-≤≤1

11

0x z x x

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≥≥≤≤11

10z x z x ⎰-≤≤-==1

1

)21()

2(22)(z Z z z dx z f

五、法一：因为),(~1p n B X 所以1

21n X X X X ++=

其中1

21n X X X ++独立同分布),1(p B

同理2

21n Y Y Y Y +++=

其中2

,,,21n Y Y Y 独立同分布),1(p B

又Y X 与相互独立

所以1

,,,21n X X X ，2

,,,21n Y Y Y 独立同分布),1(p B 从而),(~2121212

1

p n n B Y Y Y X X X Y X n n ++++++++=+

法二：对任意的0≤k ≤21n n +

)(k Y X P =+

=∑=-==k

i i k Y i X P 0),(

=∑=-==k

i i k Y P i X P 0)()(

[因为Y X ,独立]

=∑=-------k

i i k n i k i k n i n i i n p p C p p C 0

)(2

2

1

1)1()1(

=k n n k

k i i k n i n p p C C -+=--⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∑2121)1(0 =k n n k k n n p p C -++-2

1

2

1

)1(

所以),(~21p n n B Y X ++ 六、2

)(θ

=X E

由X X E =)(