(完整版)(精心整理)图像的傅里叶变换
第8章图像变换(傅立叶变换)
二维离散Fourier变换
Fourier变换有两个好处：
离散傅立叶变换
图像的傅立叶变换， 如右图所示。
通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图， 我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和 的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较 小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实 际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素 差异较大的。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的 成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使 我们能通过频率成分来分析一个函数。
Figure1，是a=0.4*sin(4*w*(x))的图形，Figure2，是b=1.6*cos(12*w*(x))的图形。这两个 图形，在时间轴上，很容易看出来。但是两个的和，也就是a+b，如Figure3所示，里面 的一些信息就看不出来了。但是做一个傅里叶变换，转换到频域上，如Figure4所示，就 很明显了。Figure4的横坐标是频率，纵坐标是幅值，就可以看出Figure4是有两个信号 组成的，频率大的信号的幅值比较大.
Butterworth低通滤波器
• n阶Butterworth滤波器的传递函数为：
H (u, v) 1[ D ( u ,v ) ]2 n
1
D0
它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化， 即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的 同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生
频率域图像滤波处理
• 图像增强的目的主要包括： • 消除噪声，改善图像的视觉效果； • 突出边缘，有利于识别和处理
图像的频率域增强
• 假定原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为 F(u，v)。频率域增强就是选择合适的滤 波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处 理，然后经逆傅立叶变换得到增强的图 像g(x,y),频率域增强的一般过程如下：
图像傅里叶变换
图像傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transformation）是一种重要的数学工具，用于分析正弦波、矩形波和其他不同类型的函数。
最初，傅里叶变换
是用来解决热力学方程的，但是后来发展成多种多样的应用，其中之
一就是图像处理。
图像傅里叶变换是把图像中的所有信息转换为一组与波频成正比
的数字。
它通过傅里叶公式，把一副图像分割成它的频率和振幅组成
的多个部分，每一部分都表示图像中的一个特征。
图像傅里叶变换的
最重要的应用之一就是进行图像压缩，在这种压缩技术中，可以利用
傅里叶变换将某些低频成分合并，而抛弃某些高频成分，进而减小图
像的数据量，而且没有太多损失。
另外，图像傅里叶变换还可以用来
识别图像中的不同特征，可以用于图像检索、图像处理、图像分类等。
图像傅里叶变换是解决图像处理问题的一种重要手段，它能够使
我们提取图像像素、压缩图像数据和检测图像特征的能力大大提高，
已成为当今图像处理的重要工具。
常用傅立叶变换表完整版
常用傅立叶变换表
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
18
δ(ω) 代表分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
19 变换23的频域对应
20 由变换3和24得到.
21
由变换1和25得到，应用了:
时域信号
弧频率表示的 傅里叶变换
注释
1线性
2 时域平移
3 频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则
会收缩到
原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。
5 傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量 和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示 和 的卷积 — 这就是 9
和归一化的 10 变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
11
tri 是 12 变换12的频域对应 13 exp( αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
14
15
16 a>0
17
变换本身就是一个公式。
完整版常用傅立叶变换表
xinc(出)
同
产(5
变换10的频域对应.矩形函数是理 想的低通滤波器,sinc函数是这类 滤波器对反因果冲击的响应.
11
siii〞(出
6'tri(0
tri是三角形函数
12
tri(tzZ)
Lsmc2图
变换12的频域对应
13
高斯函数exp( - at2)的傅里叶 变换是他本身.只有当Re( a) > 0时,这是可积的.
24
1
-f7T-sgn(/)
止匕处sgn(⑴)为符号函数;注意止匕变 换与变换7和24是一致的.
25
1
1
变换29的推广.
E(昌6gli0
26
后gn(£)
1i^L
变换29的频域对应.
27
U(Q
此处u(t)是单位阶跃函数;此变换 根据变换1和31得到.
时域信号
弧频率表小的 傅里叶变换
注释
/ kG(3)£3面
g⑴三,27r /-co
劭4?圾3M
1
匕g⑴ +6.h(t)
R・G(f) +b・H(力
线性
2
g(£ —s
)
e-t27rafG(f)
时域平移
3
网g⑴
卜〔〜霜
频域平移,变换2的频域对应
4
皿出〕
如果
m值较大,那么g〔出〕会收缩
ES
工G〔竺〕到原点附近,而।&1口,会扩散并变得扁平.当|a|趋向 无分时,成为Delta函数.
5
幽
k-/)i
傅里叶变换的二元性性质.通过 交换时域及量力和频域发量3得到.
6
即g(t)dtn
第5章 图像变换-傅里叶变换
N 1
从上式可以看出，一个二维傅立叶变换 可用二次一维傅立叶变换来实现
(0,0)
f(x,y)
N-1
y
(0,0)
F(x,v)
N-1
v 列变换
(0,0)
F(u,v) u
N-1
v
N-1
x
行变换 N-1
N-1
x
二维傅立叶变换分离成两个一维变换
行变换
列变换
（2）平移性 在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频 ux vy j 2π ( ) 谱F(u,v)要乘上一个负的指数项 e N
（5）分配性（线性）和比例性（缩放） 傅立叶变换的分配性表明，傅立叶变换和反变换 对于加法可以分配，而对乘法则不行，即
{ f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y )} { f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y )} { f 2 ( x, y )}
图像傅立叶变换
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
图像傅立叶变换
图像中的颗粒状对 应的幅度谱呈环状， 但即使只有一颗颗 粒，其幅度谱的模 式还是这样。
图像傅立叶变换
这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的
例 对比
傅立叶变换的物理意义
梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们 首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较 柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度 相对较小），反之，如果 频谱图中亮的点数 多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明 且边界两边像素差异较大的。
图像傅里叶变换
%设定窗口
imshow(I);
colorbar;
%显示图像的颜色条
title('原彩色图像转换为灰度图像')
%图像命名
j=fft2(I);
%二维离散傅里叶变换
k=fftshift(j);
%直流分量移到频谱中心
l=log(abs(k));
%数字图像的对数变换
figure(3);
%设定窗口
imshow(l,[]);
%显示过二维快速傅里叶变换后的图像
colorbar;
%显示图像的颜色条
title('经过二维快速傅里叶变换后的图像')
%图像命名
n=ifft2(j)/255;
%逆二维快速傅里叶变换
figure(4);
%设定窗口
imshow(n);
%显示经过二维快速傅里叶逆变换后的图像
colorbar;
%显示图像的颜色条
title('经过二维快速傅里叶逆变换后的灰度图像')
%图像命名
i=i(:,:,3);
ffti=fft2(i);
sffti=fftshift(ffti);
%求离散傅里叶频谱
%对原始图像进行二维离散傅里叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置
RRfdp1=real(sffti);
%取傅立叶变换的实部
IIfdp1=imag(sffti);
%取傅立叶变换的虚部
a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);
%计算频谱幅值
a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;
图像的傅里叶变换
实验三 图像的傅里叶变换一、 实验目的1.了解图像变换的意义和手段；2.掌握FFT 变换方法及应用；3.通过实验了解二维频谱的分布特点；4.通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。
二、 实验原理1 应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
2 傅立叶（Fourier ）变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰逆变换： 2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞+-∞-∞=⎰⎰二维离散傅立叶变换为： 112()001(,)(,)i k N N j m n N N i k F m n f i k e N π---+===∑∑ 逆变换：112()001(,)(,)i k N N j m n N N m n f i k F m n e N π--+===∑∑三、 实验步骤及结果步骤：1将图像内容读入内存；2用Fourier 变换算法，对图像作二维Fourier 变换；3将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；4用Fourier 系数的幅度进行Fourier 反变换；5用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；6比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。
7记录和整理实验报告。
结果：四、程序源代码clear;I=imread('');I=rgb2gray(I);subplot(3,3,1);imshow(I);title('');E=fft2(double(I));sfftI=fftshift(E); %正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称RR=real(sfftI);II=imag(sfftI);A=sqrt(RR.^2+II.^2);A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225 ;subplot(3,3,2);imshow(A);title('原图频谱');FE=abs(fftshift(E));subplot(3,3,3);imshow(log(FE+1),[]);%自然对数title('幅度谱');PE=angle(E); %向量E的相角subplot(3,3,4);imshow(PE);title('图像相位谱');IFE=ifft2(FE);subplot(3,3,5);imshow(log(1+abs(IFE)),[]); title('幅度谱的反变换');IPE=ifft2(exp(j*PE));subplot(3,3,6);imshow(abs(IPE),[]);title('相位谱的反变换');IE=ifft2(E)/225;subplot(3,3,7);imshow(IE);title('原图频谱反变换');。
图像处理1--傅里叶变换（FourierTransform）
图像处理1--傅⾥叶变换（FourierTransform）楼下⼀个男⼈病得要死，那间壁的⼀家唱着留声机；对⾯是弄孩⼦。
楼上有两⼈狂笑；还有打牌声。
河中的船上有⼥⼈哭着她死去的母亲。
⼈类的悲欢并不相通，我只觉得他们吵闹。
OpenCV是⼀个基于BSD许可（开源）发⾏的跨平台计算机视觉库，可以运⾏在Linux、Windows、Android和Mac OS操作系统上。
它轻量级⽽且⾼效——由⼀系列 C 函数和少量 C++ 类，同时提供了Python、Ruby、MATLAB等语⾔的接⼝，实现了和计算机视觉⽅⾯的很多通⽤算法。
OpenCV⽤C++语⾔编写，它的主要接⼝也是C++语⾔，但是依然保留了⼤量的C语⾔。
该库也有⼤量的Python、Java andMATLAB/OCTAVE（版本2.5）的接⼝。
这些语⾔的API接⼝函数可以通过在线获得。
如今也提供对于C#、Ch、Ruby,GO的⽀持。
所有新的开发和算法都是⽤C++接⼝。
⼀个使⽤CUDA的GPU接⼝也于2010年9⽉开始实现。
图像的空间域滤波：空间域滤波，空间域滤波就是⽤各种模板直接与图像进⾏卷积运算，实现对图像的处理，这种⽅法直接对图像空间操作，操作简单，所以也是空间域滤波。
频域滤波说到底最终可能是和空间域滤波实现相同的功能，⽐如实现图像的轮廓提取，在空间域滤波中我们使⽤⼀个拉普拉斯模板就可以提取，⽽在频域内，我们使⽤⼀个⾼通滤波模板（因为轮廓在频域内属于⾼频信号），可以实现轮廓的提取，后⾯也会把拉普拉斯模板频域化，会发现拉普拉斯其实在频域来讲就是⼀个⾼通滤波器。
既然是频域滤波就涉及到把图像⾸先变到频域内，那么把图像变到频域内的⽅法就是傅⾥叶变换。
关于傅⾥叶变换，感觉真是个伟⼤的发明，尤其是其在信号领域的应⽤。
⾼通滤波器，⼜称低截⽌滤波器、低阻滤波器，允许⾼于某⼀截频的频率通过，⽽⼤⼤衰减较低频率的⼀种滤波器。
它去掉了信号中不必要的低频成分或者说去掉了低频⼲扰。
傅里叶变换
例2：用DCT变换作图象压缩的例子，求经压缩解压后的图 象（详细程序参见书），结果如图4.14所示。
（a）原始图像
（b）压缩解压后的图像
图：原始图像及其经压缩，解压缩后的图像
3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）
前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。 图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。
N 1
C(u)C(v)F (u, v)
v0
cos
M
u(x
12)
cos
N
v(
y
12)
（3.20）
【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。
解：MATLAB程序如下：
A=imread(‘cameraman.tif');
%读入图像
I=dct2(A);
%对图像作DCT变换
subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像
（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图 图3.5 图像频谱的中心化
2．可分性
离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示
F(u,v)
1
M 1
e j 2ux / M
1 N 1 f (x, y)e j2vy / N
M x0
N y0
1
M 1
F (x, v)e j2ux / M
uX vY
二维信号的图形表示 图3.1 二维信号f (x, y)
二维信号的频谱图
（a）信号的频谱图
（b）图（a）的灰度图
图3.2 信号的频谱图
二、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里 叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变 换定义为：
遥感图像傅里叶变换(分析“傅立叶”文档)共65张PPT
理想低通滤波器
D(u, v)
5.5 频率域增强
D0的大小根据需要可具体确定。 理论上，D D0 的低频分量全部无 损通过，D>D0 高频分量则全部除 去，然后经傅立叶逆变换得到平滑 图像。
由于高频部分包含大量边缘信 息，因此，滤波处理后导致边缘损 失，使图像边缘模糊。
原始图象（TM1） 傅立叶变换后的图像 低通滤（Idea)
一般称为f (x的) 能量谱（功率谱）
5.1 傅立叶变换的定义及基本概念
推广到二维函数：
F(u,v) f(x,y)expi2u xvyddx
f(x,y)F(u,v)exi2 pu xvydduv 式中，u,v是频率变量
5.1 傅立叶变换的定义及基本概念
傅立叶谱
F(u,v)R2(u,v)I2(u,v)
( u ) ar I( u c )/R ( tu ) g
5.1 傅立叶变换的定义及基本概念
F (u)F (u )ex (u p ) F(u) R2(u)I2(u)
( u ) ar I( u c )/R ( tu ) g
幅函数 F (u被) 称为 f的(x傅) 立叶谱，而 为相角(u。) 傅立叶谱的平方： E (u)F(u)2R 2(u)I2(u)
二、频率域锐化
传递函数
0, D(u,v)D0
H (u ,v )
1 , D (u ,v ) D 0 D 0 0
D (u,v)(u2v2)1/2
5.5 频率域增强
H(u,v)
1
0
D0
理想高通滤波器
D(u, v)
5.5 频率域增强
与理想低通滤波相反，理论上， 值 D D0低频分量全部除去； D>D0 高频分量则全部通过，然后 经傅立叶逆变换得到平滑图像。
3-1图像变化-傅立叶变换
f e ( x) g e ( x) f e (m) g e ( x m), x 0,1,2,...,M 1
m 0
M 1
定理：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G*(u,v), f(x,y) g *(x,y) F(u,v) G(u,v), ―*‖表示复共轭。
快速傅立叶变换
DFT与FFT计算量比较
基本思想
基本思想
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
公式推导
FFT特性
FFT思想
例题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
算法实现
算法实现
算法实现
例题
用傅立叶变换和FFT分别求F(u).
图像的频率傅里叶变换（重点）
图像的频率不同频率信息在图像结构中有不同的作用。
图像的主要成分是低频信息，它形成了图像的基本灰度等级，对图像结构的决定作用较小；中频信息决定了图像的基本结构，形成了图像的主要边缘结构；高频信息形成了图像的边缘和细节，是在中频信息上对图像内容的进一步强化，即高频信息决定图像的分辨率与清晰度。
用傅里叶变换可以得到图像的频谱图：上面的图像左边是原图，右边是频谱图图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。
也就是说，傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。
图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际是上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。
图像傅立叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的频谱。
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
(完整版)精心整理图像的傅里叶变换
? 离散傅里叶变换及其反变换总存在。 ? 用欧拉公式得 e j? ? cos? ? j sin ?
N ?1
F (u) ? ? f (x)[cos 2?ux / N ? j sin 2?ux / N] x? 0
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成 ；
u 值决定了变换的频率成份，因此， F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为 FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份 ”相对应。
（a）
（b）
?1 1 1 1 ?? f (0)?
F (u) ?
1 4
??1 ?1
?j ?1
?1 1
j
?? ??
f
(1)
? ?
? 1?? f (2)?
??1
j
?1
?
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?? ??
f
(3)??
yj
-1
1 x
-j
图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减
N ?1
? F (u) ? f (x)e? j2?ux/ N x? 0
?F(u)的反变换的反变换 :
? f (x) ?
1
N ?1
F (u)e j 2?ux/ N
N x? 0
计算F(u)： 1) 在指数项中代入 u=0，然后将所有x 值
相加，得到F(0)； 2) u=1，复对所有x 的 相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复 此过程，得到全部完 整的FT。
图像的傅里叶变换
Fourier Transformation For Image
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
图像傅里叶变换原理
图像傅里叶变换是一种将图像从时域转换到频域的方法。
它通过使用复数数学来表示图像中不同频率的成分。
使用这种变换可以将图像中的高频部分与低频部分分离，这对于图像处理和分析非常有用。
一般的，傅里叶变换是通过将一个函数的时域表示转换为频域表示来实现的，频域表示可以用来对图像中的频率进行分析。
这个变换的过程叫做傅里叶变换，反变换叫做逆傅里叶变换。
常用的傅里里叶变换方法有两种，一种是离散傅里叶变换（DFT），另一种是连续傅里叶变换（FFT）。
离散傅里叶变换（DFT）是将一个图像中的像素值作为输入，通过求解一个复数数组来表示每个像素对应的频率信息。
这个复数数组称为频谱。
连续傅里叶变换（FFT）是通过在离散傅里叶变换的基础上进行优化得到的，它通过使用一种称为快速傅里叶变换的算法来加快计算速度。
图像傅里叶变换的应用包括图像压缩，降噪，图像滤波，图像识别，图像增强等。
图像傅里叶变换(FFT)
图像傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅里叶变换就表示f的谱。
从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。
由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。
为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。
傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。
一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。
图像处理中的傅里叶变换
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2
φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)
离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一 个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。
设f(x,y) ←→F(x,y)，g(x,y) ←→G(x,y)，则
• 离散函数卷积定理 设
其二维离散卷积形式为
二维离散卷积定理可用下式表示
此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x， y ，u ，v 都是离散量
例如
数字图像的傅立叶变换
原图
离散傅立叶变换后的频域图
二维离散傅立叶变换的性质
1）线性
设 F1(u,v)和 F2(u,v)分别为二维离散函数 f1(x,y)和f2(x,y)的DFT，则 式中a，b是常数
2）可分离性
将式 分成两部分乘积
设式后面的求和项为：
此式表示对每一个 x 值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维 傅立叶变换
f ( x) F (u )e j 2ux du
这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函 数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 下：
实部
虚部
R(u) f ( x) cos(2 ux)dx I (u ) f ( x) sin(2ux)dx
-1
-j
2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)=
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运行上面程序后，结果如下：
单狭缝图像
幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）
幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）
以对数方式显示频谱
二维离散傅里叶变换的性质
➢ 线性性
f1 f2
x, x,
y y
F1 u,v F2 u, v
c1
f1
x,
y
c2
f
2
x,
y
c1F1
u
,
v
c2
F2
u
,
v
证明：
DFT c1 f1 x, y c2 f2 x, y
M 1 N 1
c1 f1
x, y
c2 f2
x, y
e
j
2
ux M
vy N
x0 y0
M 1 N1
N 1
F (u) f (x)e j2ux/ N x0
•F(u)的反变换的反变换:
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N x0
计算F(u)： 1) 在指数项中代入 u=0，然后将所有x 值
相加，得到F(0)； 2) u=1，复对所有x 的 相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复
1 1
j 1
1 1
j
f
(1)
1 f (2)
1 j 1 j f (3)
yj
-1
1 x
-j
图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减
许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使 得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它 们时，其高频项变得越来越不清楚。
傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间 频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。
y
Y
0
x
相应的空间频率分别为
X
u 1 cos , v 1 cos
X
Y
思考：噪声、线、细节、 背景或平滑区域对应的空 间频率特性？
对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作周 期性变化的次数。
f x, y e N e M
x0 y0
M 1
j 2 ux
F x, v e M
x0
f
x, y
1
M 1 N 1
F
u, v
ej
2
ux M
vy N
MN u0 v0
1 M 1 1 N1
幅值
时域分析
频域分析
一维FT及其反变换
连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):
F (u) f (x)e j2uxdx
傅立叶变换F(u)的反变换:
f (x) F (u)e j2uxdu
一维DFT及其反变换
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
u 0,1, M 1 v 0,1, N 1
2） 逆傅里叶变换
M 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)e j 2 (ux / M vy/ N )
u0 v0
x 0,1, M 1 y 0,1, N 1
此过程，得到全部完 整的FT。
离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得 e j cos j sin
N 1
F (u) f (x)[cos 2ux / N j sin 2ux / N ] x0
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；
u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
F=fftshift(fft2(f)); G=fftshift(fft2(g)); subplot(223) imshow(log(abs(F+G)),[]) FG=fftshift(fft2(f+g)); title('DFT(f)+DFT(g)') subplot(224) imshow(log(abs(FG)),[]) title('DFT(f+g)')
解： %myseparable.m %该程序验证了二维DFT的可分离性质 %该程序产生了冈萨雷斯《数字图像处理》（第二版） %P125 图4.4
f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg');
subplot(211)
imshow(f,[]) title('原图') F=fftshift(fft2(f));
傅里叶变换的意义
傅里叶变换好比一个玻璃棱镜 棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪 器，每个成分的颜色由波长决定。 傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”， 将函数基于频率分成不同的成分。
一些图像的傅里叶变换
对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶 变换表示成：
g(x, y) G(,) exp[ j2 ( x y)]dd
f
g
DFT(f)+DFT(g)
DFT(f+g)
➢ 可分离性
二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。
M 1 N1
F u,v
f
x, y
e
j
2
ux M
vy N
x0 y0
M 1 N1
j2 vy
j 2 ux
MN u0 v0
二维DFT傅里叶变换
(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为
F(0,0)
1
M 1 N 1
f (x, y) f (x, y)
MN x0 y0
即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)， 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。
subplot(223)
imshow(log(1+abs(F)),[]) title('用fft2实现二维离散傅里叶变换') [m,n]=size(f); F=fft(f); %沿x方向求离散傅里叶变换 G=fft(F')'; %沿y方向求离散傅里叶变换 F=fftshift(G);
subplot(224)
F(u,v) R(u,v) jI(u,v)
频谱/幅度谱/模 F(u, v) R2 (u, v) I 2(u,v)
能量谱/功率谱 相位谱
P(u, v) F(u, v) 2 R2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arctan I (u, v) R(u, v)
c1
f1
x, y
e
j
2
ux M
vy N
M 1 N 1
c2
f2
x, y e
j
2
ux M
vy N
x0 y0
x0 y0
c1F1 u, v c2F2 u, v
%imagelinear.m %该程序验证了二维DFT的线性性质
f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg'); g=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).jpg'); [m,n]=size(g); f(m,n)=0; f=im2double(f); g=im2double(g); subplot(221) imshow(f,[]) title('f') subplot(222) imshow(g,[]) title('g')
二维连续傅里叶变换
1） 定义
F (u) f (x)e j2uxdx
2） 逆傅里叶变换
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
f (x) F (u)e j2uxdu
3） 傅里叶变换特征参数
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
G( ,)是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方
向传播的单色平面波分量的线性叠加。G( ,)d d
为权重因子。空间频率 cos , cos 表示了单色
平面波的传播方向。
二维离散傅里叶变换
1） 定义
F (u, v)
1
M 1 N 1
Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,[]) ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:)) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显 示 title('幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）') S2=log(1+abs(Fc)); subplot(224) imshow(S2,[]) title('以对数方式显示频谱')