正交矩阵

性质3.2 设A，B都是正交矩阵，则： 性质 1)AB，Am(m为自然数),ATB，ABT ，A-1B， AB-1，A-1BA等都是正交矩阵；
A 2) 0 0 1 ， B 2 A A A 是正交矩阵. A
证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知 (AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1， 所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知: Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA
等均为正交矩阵.
A 0 A 2) 因为 = 0 B 0
T
T T
0 A = / B 0
1
0 A 0 = 1 0 B B
1
1 A A 1 A A 1 AT AT 1 A A 及 = T T 2 A A 2 A A 2 A A 2 A A 2AT A 0 E 0 1 = = T 2 0 2A A 0 E
0, i ≠ j ∴ ( Aε i , Aε j ) = (ε i , ε j ) = 1, i = j
故 Aε1，Aε2，…，Aεn是V的一组标准正交基. A A
3)4）设ε1，ε2，…，εn是V的标准正交基, A(ε1，ε2，…，εn)=(Aε1，Aε2，…，Aεn) A A A = (ε1，ε2，…，εn)A 由3), Aε1，Aε2，…，Aεn是V的标准正交基, A A 故A可看作是由标准正交基ε1，ε2，…，εn到标 准正交基Aε1，Aε2，…，Aεn的过渡矩阵,A是正 A A A 交矩阵.
4)1）设ε1，ε2，…，εn是V的标准正交基,且A A 在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由 (Aε1 ， Aε2 ， … ， Aεn)= (ε1 ， ε 2 ， … ， A εn)A,知Aε1，Aε2，…，Aεn也是V的标准正交基, A A A 设α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn,β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn, 则 Aα=x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn Aβ=y1Aε1+y2Aε2+…+ynAεn (Aα,Aβ)= x1y1+x2y2+…+xnyn A A (α,β)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (Aα，Aβ)=(α，β),故A为正交变换. A A A
A 故 0 0 1 ， B 2 A A A 是正交矩阵. A
性质3 性质3.3: 1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不 可逆； 2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必 A-B不可逆. 证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A| =-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B| 得|A+B|=0,即A+B不可逆. 2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A| =|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B| 知n为奇数时,|A-B|=-|A-B|，即|A-B|=0， 从而A-B不可逆.
三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义. 定义3 定义3.1 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为 正交矩阵. 定义3 定义3.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为 正交矩阵. 定义3 定义3.3 A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为 正交矩阵. 定义3 定义3.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行（列） 向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩 阵.
二、等价条件 定理2 定理 2.1 设A 是n维欧氏空间V 的一个线性变换, A V 则下列命题等价: 1)A是正交变换； A 2)A保持向量的长度不变,即对于α∈V，|Aα|=|α|； A A 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基； A V V 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. A 证：1）2）对于α∈V,由(Aα，Aα)=(α，α), A ， 即得： |Aα|=|α| A
性质3 性质3.1 设为A正交矩阵，则： 1）|A|=±1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； 3）AT，A*也是正交矩阵. 证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=±1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正 交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又 (A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E. 故A-1是正交矩阵. 3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵. 而A*=|A|A-1= ±A-1,有 (A*)T=(±A-1)T=±A=(A*)-1, 故A*是正交矩阵.
2）3）设ε1，ε2，…，εn是V的任一标准正交 基,记εi+εj=α∈V. 由|Aα|=|α|或(Aα，Aα)=(α,α)得 A A ， (A(εi+εj)，A(εi+εj))=(εi+εj， εi+εj） A A 而 (A(εi+εj)，A(εi+εj)) A A =(Aεi，Aεi)+2(Aεi，Aεj)+(Aεj，εj) A A A A A =(εi，εi)+2(εi，εj)+(εj，εj) (εi+εj， εi+εj）=(εi，εi)+2(εi，εj)+(εj，εj)
正交变换与正交矩阵
戴立辉 林大华 林孔容
(闽江学院数学系，福建 福州 350108 )
摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变 换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的 常用性质. 关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质
一、正交变换 定义1 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换, A 若A保持向量的内积不变,即对于任意的α，β∈V A 都有(Aα，Aβ) = (α，β)，则称A为V的正交变换. A
推论3.1 推论3 1）设A是第二类正交矩阵，则A+E必不可 逆； 2）设A是奇数阶第一类正交矩阵，则A-E 必不可逆. 四、正交变换的性质 性质4 性质4.1 正交变换的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为 第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二 类的.
证 ： 正交变换A在标准正交基下的矩阵A是正交 A 矩阵,A的行列式等于A的行列式. A 所以正交变换的行列式等于+1或者-1. 性质4 性质4.2 正交变换是欧氏空间的一个自同构映 射. 证 ： 设σ 是V 的正交变换, σ 在任一标准正交基 σ V 下的矩阵为正交矩阵,它有逆矩阵,故σ有逆变换,因 σ 而σ是V到V上的双射. σ V V 对于任意的α,β∈V，由σ是正交变换知 V σ σ(α+β)=σ(α)+σ(β)， σ(kα)=kσ(α)，k∈R σ σ σ (σ(α),σ(β))=(α,β) σ σ 所以σ是V到V的一个自同构映射. σ V V
参考文献 [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代 数小组.高等代数(第三版)[M]，北京：高等教 育出版社,2003. [2]同济大学应用数学系．线性代数(第四 版)[M]，北京：高等教育出版社,2003.
谢谢各位老师! 谢谢各位老师
性质4 性质4.3 正交变换的乘积、正交变换的逆 变换还是正交变换. 证：设A,B是V的线性变换,对于α, β∈V, 由 ((AB)α，(AB)βຫໍສະໝຸດ Baidu=(Bα，Bβ)=(α， β), ， 及 (A-1α， A-1β)= (A(A-1α)， A(A-1β) )=(α，β) ， ， 知 AB, A-1都是V的线性变换.