一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
一阶线性微分方程及其解法
一、 一阶线性微分方程及其解法
二、 一阶线性微分方程的简单应用
三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次
的，则称其为一阶线性微分方程。 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
2y x2 (1) 3 y
P ( x )dx C ) ( Q( x )e
ln x
dx C
例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解.
2
解
dy 2 x 1 y , 其中 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) , Q( x ) 则通解为 2 x x
y
2 dx e x
dy P ( x ) y Q( x ) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
当 分方程。
(1)
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
当
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
4.
一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程 dy P( x) y 0 1）一般式 dx
k k t t m e m g d (e m ) C C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
mg c k
k t mg (1 e m )
1 1 1 y 2 x 2x2
一阶微分方程的解法
dy 2 y 2 xy 2 dx x xy y 2
y y 2 y x x 令u , 2, y y x 1 x x
2
则 dy xdu udx , u xu
2u u , 2 1 u u
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
dy xy 的通解. 例2 求解微分方程 2 dx 1 x
dy xdx 解 , 两端积分 2 y 1 x
dy xdx y 1 x2 ,
1 ln y ln(1 x 2 ) ln C 2
y c 1 x 2为所求通解.
dy x 2 例3 求解微分方程 e 1 y . dx
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
du dx f ( u) u x
dy y y 2 1 ( ) 例8 求解微分方程 dx x x
y 解：令u , 则原方程化为： x du 2 u x u 1 u dx
du 即： x 1 u 2 (9 18) dx 2 当1 u 0时，分离变量得： du dx 2 x 1 u
例5 求微分方程的通解
( xy2 x)dx ( y x 2 y )dy 0
解：分离变量得（ x y 1)dx （ y 1 x )dy 0 xdx ydy 2 0 2 1 x 1 y
2 2
xdx ydy 两边积分 C1 2 2 1 x 1 y 1 y2 ln 2C1 2 1 x
解 这是可分离变量的微分方程，分离变量得 xdx ydy 0 1 x2 1 y2
两边同时积分
写出一阶线性微分方程的通解公式。
写出一阶线性微分方程的通解公式。
一阶线性微分方程是指在一个可以描述历史演变趋势的领域,普遍的一类函数,它通过解决
函数的求导来刻画系统变化的特征.
一阶线性微分方程的通解公式可以表示为：解y=ce^(ax)+f(x),其中e是自然对数的底数,a
为系数,c为常数,f(x)为可积函数，它使得一阶线性微分方程有解。
一阶线性微分方程的解决思路是先对方程进行求导操作，以确定方程的特征方程系数a，
再求解特征方程。
下面我以一个实例来讲述具体的解决过程：若一阶线性微分方程为
y'+2y=4,其解的过程可以分为四个步骤：
（1）先将微分方程化为特征方程：对方程进行求导得到y'=−2y，因此，特征方程为
y'+2y=0；
（2）解特征方程：特征方程的解为y=ce^(−2x)，其中c是一个任意常数；
（3）加法法则：根据加法法则，设方程另有特解，即f(x)=λ，两边同时乘以e^2x得到：
ce^2x+e^2xλ=4e^2x；
（4）求出特解：对上式进行求解得，λ=4，将其代入原微分方程，得到通解形式：
y=ce^(−2x)+4。
以上就是一阶线性微分方程的通解公式的解题思路和解法。
通过这一解法，可以用带有系数a的特征方程来快速求出原微分方程的解，从而使得解一阶线性微分方程变得更加容易。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的通解形式为：
$${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$$。
其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。
解法有以下几种：
1. 变量分离法：将 $dy$ 和 $dx$ 分离到方程两边，然后积分得到$y$ 的通解。
2. 齐次方程法：当 $Q(x)=0$ 时，方程被称为齐次方程。
通过将$y$ 转化为 $u=\frac{y}{x}$ 的方式，将齐次方程转化为分离变量的形式，然后积分得到 $u$ 的通解，再将 $u$ 转化为 $y$。
3.一阶线性非齐次方程法：对于一阶线性非齐次方程，可以通过求解齐次方程的解和特解的方式得到通解。
4. 一阶恰当方程法：对于一个形如 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 的微分方程，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
N}{\partial x}$，那么该方程就是恰当方程。
此时，可以通过求解方程的积分因子，将恰当方程变为恰好可积分的形式，然后求解得到通解。
5.变系数线性微分方程法：如果$P(x)$或$Q(x)$是$x$的函数，那么可以通过变量代换将其转化为常数系数的线性微分方程，然后采用常数系数线性微分方程的解法求解得到通解。
这些解法都有其适用的场合，具体应根据问题的特点来选择相应的方法。
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
第04节一阶线性微分方程
dy Pxy 0
dx
方法一：直接用分式 yCePxdx
方法二：采用分离变量法
2．一阶非齐次线性方程的求解
dyPxy Qx
dx 方法一：直接用公式
y e P x d x Q x e P x d xd x C
注：常用到换底公式 AB eB1nA
方法二： 采用常数变易法
e s in y 2 s in y e s in y 2 e s in y c
4、解 原方程化为 dy 1 y2y2 dx x
这是贝努利方程，进一步化为：
y2 dy1 12 dx x y
令 z 1 ，则 y
dz dx
1 y2
dy dx
代入得
dz 1 z 2 dx x
1dx
求特解
3、解方程
y
1
xcosysin2y
4、解方程 2xy2ydxxdy0
5、解方程 cosydysinyex dx
十六、自测题解
1、解 将方程标准化
y
1 x2
y
x1
ex
1
yex2 dx
ex1xex12 dxdxc
1 x1 1
e x e x ex dxc
ห้องสมุดไป่ตู้
1
e x
ex c
2、解：将方程标准化
dx
dx
代入并整理，得
dz 1zalnx dx x
故该一阶线性方程的通解为：
ze1xdx alnxe1xdxdxc
e1nx alnxelnxdxc
xa2lnx2 c
原方程的通解为:
1 y
xca2lnx2
例５ 求 xdy3yx2 3y 的通解 dx 2
一阶线性微分方程.
2
2x dx x2 1
x2 1
1 4x 2 ( x 2 1)dx C
x2 1 x2 1
1 4x 2dx C
x2 1
1 4 x 3 C .
x2 1 3
5
将 y 代入上式,得 C 2, 所以所求特解为:
再用常数变异法求原方程的解.设
y u( x)( x 1)2
为原方程的解,代入原方程并整理,得
u( x) x 1
两端积分,得
1 u( x) x 2 x C
2
所以原方程的通解为:
1 y ( x 1)2 ( x 2 x C )
2
例4 求方程 ( x 2 1) y 2xy 4x 2 0 满足初
将 y 0 代入通解,得 C 2, 于是所求曲线方程 x0
为:
y 2(e x x 1)
例6 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).n2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3
e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0 t
em
).
四、1、 xy x C ；
2、
x y
2 2
C
2 3
3、 dy dx
一阶线性微分方程
由 y | x = 0 = 0, 得 C = 6,
所求曲线为 y = 3( 2e
x
+ x 2 x + 2).
2
二、伯努利方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy 4 3 2 例 求方程 y = x y 的通解. dx x 2 方 程 两 边 同 除 以 y ,得 注意到 1 dy 4 1 3 =x 2 1 dy d 1 y dx x y = 2 1 y dx dx y 令z = ， 则 y
1 n
伯努利方程的一般形式： 伯努利方程的一般形式： dy n + P ( x ) y = Q ( x ) y ( n ≠ 0,1) dx 1 n n dy 解法： 解法： 形 y 变 + P ( x) y = Q( x) dx
求出通解后， 求出通解后，将 z
=y
1 n
代回即得. 代回即得.
dy 4 2 例 3 求方程 y = x y 的通解. dx x
y=0
如图所示, 平行于y轴的动直线被曲线 例2 如图所示, 平行于 轴的动直线被曲线
y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0) 截下的线段 之长 截下的线段PQ之长 数值上等于阴影部分的面积, 数值上等于阴影部分的面积,求曲线 y = f ( x). 解 由题意，有 由题意，
3
∫0
x
f ( x )dx = ( x y ) ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性微分方程
一阶线性微分方程： 一阶线性微分方程： 未知函数及其导数都是一次的微分方程. 未知函数及其导数都是一次的微分方程.
dy 一般形式 + P( x) y = Q( x) dx 称为齐次线性微分方程 齐次线性微分方程. 当Q ( x ) ≡ 0, 称为齐次线性微分方程. 称为非齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程. 当Q( x) ≡ 0, 称为非齐次线性微分方程. dy 2 2 dx 线性的; = y + x , = x sin t + t 线性的; 例如 dt dx
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
解一阶线性微分方程
解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程是数学分析中常见的微分方程，它可以用求解特定的函数在特定的区域内的行为和变化。
由于该方程的简单性，在实际应用中得到了广泛的运用。
一阶线性微分方程的形式通常为：
dy/dt + p(t)y = q(t)
其中，p(t)和q(t)为未知函数，满足可积性，t为时间变量。
在该方程中，解y=y(t)是满足方程的函数，称为精确解。
一阶线性微分方程的解有两种方法：一种是积分法，另一种是特殊解法，即特殊积分法和积分因子方法。
一般来说，解微分方程所需的步骤如下：首先，确定解的形式，比如指数形式的解；其次，把微分方程化为可积微分方程，在此过程中，可以借助积分因子方法；最后，解可积微分方程，使用积分法来导出解。
特殊积分法是一种常用的使用积分表求解微分方程的方法。
它的基本步骤是：先把微分方程化简成一重积分的形式，再查积分表求解。
例如，若是可积的单重积分，则可以利用积分表求出积分因子，进而求解微分方程。
积分因子方法是解决一阶线性微分方程的另一种比较有效的方法。
该方法的基本思路是：将微分方程化为两个线性微分方程，其中一个微分方程的系数具有某种特殊形式，比如指数形式，而另一方程的系数可以被定义为积分因子。
如果能确定该积分因子，就可以求解微分方程，从而得到完整的解。
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一阶线性微分方程及其解法[2]
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重复是学习之母——弗莱格
世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最 珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间 －－－－高尔基
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因此方程满足初始条件的特解为
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
解 (1) = 0 = f (0,0)
(2)
(3)
xy
则
lim
r 0
w r
=
lim
r 0
x2 + y2
r
( y=x)
( y=x)
？
例2
证令 则
故函数在点 (0, 0) 处连续 ; 同理
下面证明： 令
可微 . 则
注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 而非必要条件.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
在点(1,0) 处
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处 在点(3,0) 处 在点(3,2) 处
不是极值; 不是极值;
为极大值.
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例
解 画草图如右 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素
y
o
x
注：
，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定
点P0时，都有f(P) A
求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换； 重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹 逼准则；换元；利用公式和运算法则）
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2 dx e x
x 1 x
2
e
2 dx x dx C
e
2 ln x
( x 1)dx C
1 1 C 1 x2 2 x C 2 2 2 x x x
1 由 y x 1 0 得 C , 2 因此方程满足初始条件的特解为
2 P( x) 则通解 x
y Ce
P ( x )dx
2 dx Ce x
Ce Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 dy P ( x ) y Q( x ) 1）一般式 dx
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye
Ce
P ( x ) dx
3 (2) ( y ) xy sin( 2 x 1)
(3) y y 2 x 2
(5) y y y x
dy 1 2 ( 4) y sin x dx x
2 (6) y x sin y x 1
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
解 设所求曲线方程为 y f ( x ) , 则依题有y 0, x 0 从而 即 y y 3 x 则通解为 y e
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C e
x x
3 xde
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
P ( x )dx
e
P ( x ) dx
P ( x )dx Q( x )e dx
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 P ( x )dx 为非齐次线性方程的解，则 设 y u( x )e
1 1 1 y 2 x 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
例5 求 过原点平且在点( x,y ) 处的切线斜率等于
3 x y 的曲线方程。
dy P ( x ) y Q( x ) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
当 分方程。
(1)
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
当
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
4.
一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程 dy P( x) y 0 1）一般式 dx
dx 3 x e dx C
C
e 3( xe
ex e
x
x
3(xe 3(xe
x
x x
e dx) C
ex ) C e
x
x
) C
3(x 1) Ce x
由 y x 0 0 得
k k t t m m g m )C e d ( e C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
mg c k
k t mg (1 e m )
因此所求速度与时间的函数关系为
v
k
三、小结 1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx
y Ce
P ( x )dx
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx ( Q( x )e C)
Q( x )
即 u( x )e
P ( x )dx
Q( x )
P ( x ) dx u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx u( x ) Q( x )e dx C
通解
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法
二、 一阶线性微分方程的简单应用
三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次
的，则称其为一阶线性微分方程。 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
2 (1) 3 y 2 y x
1 分离变量 y dy P ( x )dx 2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P ( x )dx ln C P ( x ) dx y Ce 通解
3）通解公式
y Ce
P ( x )dx
例2 求 y
解
2 y 0 的通解. x
因此所求曲线方程为
C 3,
y 3(e x x 1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
的速度成正比(比例系数 k 0) ，起跳时的速度为0， 求下落的速度与时间
t
的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t ) ,
则依题有v t 0 0 , 由牛顿第二定律知：
例3
解
1 求 y y x 2 的通解. x
1 P( x) , x
Q( x) x 2 , 则通解为
x
2
y
1 dx e x
e
1 dx x dx C
e
ln x
1 x 3 dx C x 1 3 C x 4 x
x
mg kv ma mv k k v v g 其中 P (t ) , Q( t ) g 即 m m k k dt dt 则通解为 v e m g e m dt C
k t e m
k t g e m dt
y u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))
将 y, y 代入原方程有
[u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))] P ( x )u( x )e
P ( x )dx
2Leabharlann eln xdx C
例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解
dy 2 x 1 y , 其中 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) , Q( x ) 则通解为 2 x x
2
y