电自线代：第3章(空间解析几何)

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线性代数与空间解析几何2-5

1 0 3z 4
0化为对称式方程.
r
【解】取 d { 1 , 1 , 1 } { 2 , 1 , 3 } { 4 , 1 , 3 } ;
在直线上令 z0, 得2xxyy1400,
L的方程:
x53, y 32; x53y32 z 4 1 3
3. 直线与直线、直线与平面的位置关系
【两直线的夹角】方向向量的夹角(锐角).
【解】取 L 的方向向量
drn r1n r2{2 1 1 1, 1 2 1 1, 2 12 1} 1
r n2
r n1
{ 1 ,1 ,5 };
2
直线 L 方程为 x111yz5 1 L
【例3】求 A(1, 2, 3) 在平面 : x y 2z 1 0 的投
影点 A 的坐标.
arccos |rdr1dr2r|
|d1||d2|
【两直线的特殊位置关系判定】
vr 1) L1L2d1d2
rr 2) L1//L2 d1//d2
L2 d2
)
d1
L1
4. 直线与平面的夹角及位置关系
【直线与平面的夹角】直线和它在平面上的投影直线
的夹角 , 0 剟
2
.
若 L :x lx0ym y0z n z0, :A x B y C z D 0 ,
【解】过点 A 且垂直的直线的参数式方程为
x y
1 t 2t
;
z 3 2 t
代入平面的方程中得
1 t ( 2 t ) 2 ( 3 2 t ) 1 0 ,
t 1;
将t 1代回直线的方程得到
x 0, y 3, z 1;
即A(0,3,1).

线性代数与空间解析几何

线性代数与空间解析几何1、为什么要学习这门课？“线性代数与空间解析几何”对传统内容进行了重新处理，特别是代数与几何的结合，将矩阵的初等变换作为贯穿全书的计算和重要的理论推导工具，注重不同知识点与重要理论的内在本质联系，将几何空间、n维向量空间到抽象线性空间概念的建立从特殊到一般进行铺垫，精选了大量的应用实例，注重将数学建模思想融入课程教学等。

这使得“线性代数与空间解析几何”在理论体系的处理上更加科学简洁、深入浅出、可读性强、易教易学。

2、这门课的主要内容是什么？“线性代数与空间解析几何”主要内容包括矩阵及其初等变换、行列式、几何空间、“维向量空间、特征值与特征向量、二次型与二次曲面、线性空间与线性变换等。

本课程每章内容自成体系，完全满足教育部大学数学课程教学指导委员会制订的工科类线性代数与空间解析几何课程教学要求，也可以作为独立章节学习的参考资料。

3、学习这门课可以获得什么？在“线性代数与空间解析几何”的学习过程中，我们可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处，确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。

如通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。

也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。

又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。

线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。

欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。

总体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。

可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。

4、这门课有什么特色？线性代数是代数的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象；由于费尔马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。

直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。

注册电气工程师考试辅导数学空间解析几何

向量的方向由起点指向终点，具有方向性。
向量的长度
向量的长度等于向量模的长度，记作∣→∣。
向量的加法、数乘和向量的模
向量加法
两个向量相加，得到一个新的向量，其起点和终点分别是两个向量的起点和终点的中点。
数乘
一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量，其模是原向量模的倍数，方向与原向量相同或相反。
向量场的可视化
通过向量场的可视化，可以更好地理解向量场的分布和变化。例如，在流体力学中，速度场可以用来描述流体流动的方向和速度。
向量场的性质
向量场有一些重要的性质，如连续性、可微性和奇异性等。这些性质对于理解向量场的物理意义和数学分析非常重要。
曲线积分和曲面积分
01
曲线积分
曲线积分是计算曲线段上函数的积分的一种方法。在空间解析几何中，
向量的模
向量的模定义为向量起点到终点之间的距离，记作∣∣→∣∣。
向量的数量积、向量积和混合积
向量的数量积
两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的乘积。
向量的向量积
两个向量的向量积是一个向量，其模等于两个原向量模的乘积和它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两向量所在的平面。
向量的混合积
微分几何
微分几何是研究曲线、曲面和更高维度的流形的几何性质的数学分支。在微分几何中，曲线和曲面被视为函数和映射的几何对象，并使用微积分的方法进行分析。
流形
流形是微分几何中的一个基本概念，它是一个局部欧几里得空间的集合，其中每个点都有一个邻域和一个在该邻域内定义的度量。流形在理论物理、相对论和宇宙学等领域有广泛的应用。
空间解析几何在解决实际问题中有着广泛的应用，如卫星轨道计算、机器人运动学、建筑设计等领域。

武汉大学《线性代数》03 第三章

3 x2 3 x3 4 x4 3, ④
2020/11/2
a
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
2
③ 5②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2 x3 x4 4, ①
④1③
2
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
00
12 16
9 12
7 8
1121
a
40
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r44r2 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
2020/11/2
a
6
定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调 i, j 两行， ri rj
2 以数 k 0 乘以第 i 行的所有元素, ri k
3 把第 j 行所有元素的k 倍加到第 i 行
对应的元素上去. ri krj
同样可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。
0 0
1 0
0 1
2 1
3， 3
3 2
X
A1B
2 1
3 3
.
2020/11/2
a
32
§3 矩阵的秩
定义3：在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式，称为 A的一个 k 阶子式。

线性代数与空间解析几何总结

线性代数与空间解析几何总结线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程，可以看做是高等代数和解析几何的简化版。

其内容大概分为八章，以线性代数内容为主，穿插少量解析几何知识。

全书逻辑严谨，内容关联性强，但是缺乏直观性，对于没有基础的大一新生，不免显得生硬。

第一章主要讲述行列式相关内容，直接给出了行列式的定义。

这一章的重点内容是根据行列式的定义推出一些性质，利用定义推导出行列式运算的一些性质，并且根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。

其实行列式的计算相当繁琐，我们只需要掌握最基本的一些方法，如构造三角行列式（这种方法很重要，矩阵初等变换也要用）、加边法、递推法等等，还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。

在章末，给出了克莱姆法则及其在解方程组时的应用，这本来是线性方程组理论内容，为了强化行列式的应用，放在了第一章介绍。

第二章讲述矩阵的基本内容，这是全书的核心，而矩阵理论也是整个线性代数体系的核心内容之一。

这一章内容很多，而且联系复杂，但以矩阵的逆和秩为中心内容。

首先，介绍的是矩阵的基本概念，基本分类和基本运算，对于矩阵的运算，比较重要的是矩阵与矩阵之间的乘法，这是个新运算，要多加练习，在此基础上，还引出了方阵的幂的概念。

然后就开始通过单位矩阵和1的类比，引出矩阵的逆的概念，给出了矩阵逆的性质，给出了判别矩阵是否可逆的充要条件（以后还有很多补充）和求逆矩阵的伴随矩阵法。

接着通过解线性方程组的一般解法，引出矩阵的初等变换，给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准型矩阵的概念。

给出了矩阵秩的定义（显然，一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的），指出初等行变换不会改变矩阵的秩，并给出了求矩阵秩的方法——化矩阵为行阶梯型矩阵。

接着，又给出了初等矩阵的定义，并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一一对应的关系，用初等变换将矩阵化为标准型，显然，根据初等变换不该变矩阵的秩，则初等变换不改变矩阵可逆性，由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式，所以若一个方阵可逆，它的标准型必然是一个单位阵。

线性代数与空间解析几何01-第15节旋转面与一般曲面及其方程_15

同样的方法：用平行于yoz 坐标面的平面 x=x1、平行于xoz坐标面的平面y=y1去截曲面可得截线的方程.
一般的双叶双曲面的标准方程为：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a>0,
b>0,
c>0),(开口朝向y轴).
2.4 空间曲面与曲线
2.4.4 旋转曲面和一般曲面
3. 一般曲面的方程
一般椭球面的标准方程为：
z
y 换成 x2 y2 , 就得到
所求圆锥面的方程为：
z x2 y2 cot
α
o y
x
即 z2 a2 (x2 y2 )
（其中a = cotα）.
图2.4.14
2.4 空间曲面与曲线
2.4.4 旋转曲面和一般曲面
2.
旋转曲面的方程例2.4.5 求yoz面上的双曲线
y b
2 2
z2 c2
3. 一般曲面的方程
同理, 开口朝向x轴、y轴正向的椭圆抛物面
方程分别为：x y2 z2 , y x2 z2 .
b2 c2
a2 c2
双曲抛物面(马鞍面)
(图2.4.20)的标准方程：
z x2 a2
y2 b2
或
z
x2 a2
y2 b2 .
2.4 空间曲面与曲线
（一）小结 1. 旋转曲面及其方程
1 圆锥面及其方程 2 单叶旋转双曲面及其方程 3 双叶旋转双曲面及其方程 4 旋转椭球面及其方程 5 旋转椭圆抛物面及其方程
2.4 空间曲面与曲线
（一）小结 2. 一般曲面及其方程
1 锥面及其方程 2 单叶双曲面及其方程 3 双叶双曲面及其方程 4 椭球面及其方程 5 椭圆抛物面及其方程 6 双曲抛物面及其方程

[理学]线代教案第3章向量组的线性相关性

第3章向量组的线性相关性（共6学时）一、教学目标与基本要求1．掌握向量组的线性相关与无关的概念及其简单性质2．掌握向量组的相关性的判定定理3．掌握向量组的秩和矩阵的秩的关系4．了解正交向量组的概念，掌握施密特正交化过程5．了解向量空间、坐标变换等的概念二、教学内容与学时分配1．n维向量2．向量组的线性相关与线性无关（2学时）3．向量组的最大线性无关组与秩（2学时）4．正交向量组5．向量空间（2学时）三、教学内容的重点难点重点：线性相关性的判断，向量组（矩阵）秩、最大无关组的求法。

难点：有关向量组的线性相关性的证明题，矩阵运算后秩的变化。

四、教学内容的深化和拓宽矩阵运算后秩的变化（详情见讲稿），从而强化教材中概念的理解及应用。

五、思考题与习题思考题：见讲稿习题：3，5，（2），6，8，10，（2），12，13，16，19，（1），24六、教学方式与手段以课堂讲授为主，提问、互动为辅。

本章内容抽象，定理、结论较多，注意强化概念、定理内容。

讲稿内容在上一章我们介绍的矩阵的概念及其运算，为了进一步了解矩阵及矩阵的行、列之间关系，本章介绍向量的概念及性质。

3.1 n 维向量3.1.1 维向量的概念及运算 n从解析几何中我们已看到，刻画数轴上的点，只须一个数却可；要刻画平面上的点的位置，须用两个有序数来确定，也即是平面上点的坐标；要刻画空间中某点的位置，要用三个数所组成的数组来确定，反过来，给定的有序数组，也能确定平面、空间点的位置。

),(y x ),,(z y x 要刻画椭球体的位置，需用6个数所组成的数组来确定，椭球体的中心需三个数，长、中、短半轴需用三个数，我们可写成有序数组，反过来我们给定了有序数组，并说明表示椭球的中心，表椭球的长、中、短半轴，则椭球的位置及形状也确定了，事实上其方程可写为),,,,,(000c b a z y x ),,,,,(000c b a z y x ),,(000z y x ),,(c b a 1)()()(220220220=−+−+−c z z b y y a x x 。

线性代数与空间解析几何(第3版)课件3.2

a
= (b1 - a1 )2 + (b2 - a2 )2 + (b3 - a3 )2
由此式可推出
a1b1+ a2b2 + a3b3 = 0.
返回
定义设向量
a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)
a
b
=
a1b1+
a2b2 +
a3b3
称为 aa
a与 b
记为
a的2 内积（或数量积）.
四面体 ABCD 的体积.
解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB 、 AC 、 AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.
V 1 [AB AC AD] 6
AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
返回
AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
AC ( x3 x1, y3 y1, z3 z1)
(4)
(a)
( b )
(a
b),
, R;
(5) a (b c) a b a c.
性质(2)—(5)很容易用内积定义作出证明.
返回
由余弦定理可知
|| a b
||
a
||2
||2
||
b
||2
2
||
a
||||
b
||
cos
b
2 ||
a
||||
b
|| cos
||
a
||2
(a b) c (a c) c 0 c (b c) c
0
0
(a b)
2(a
0 b)
c
a (a c)

线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元

{}12 3.11.:(1)(1,1,1):-2-10;(2)(1,2,0)(2,1,1):10;(3)2-0.3:(1),2,1,1,,:2(1)(1)M x y z M M y x z x y n x y ππππ++=--=+==----+-习题写出下列平面的方程过点且平行于平面过点和且垂直于平面过轴且与平面的夹角为解所求平面与平行故其法向量由点法式方程所求平面方程012(1)0,:220(2):,{1,1,0}{1,1,1},110111,(1)(2)0,30z x y z n n n i j kM M n i jx y x y π--=-+-==-=-∴=-=+--+-=+-=即法一设所求平面的法向量为则由已知条件垂直于平面的法向量与由点法式方程所求平面方程为即法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M 0{,,}20{1,1,0}2001 ,0,31 0,30.3(3),0,A B C A B D n A B C D A B A B D C D x D y D x y z A x B y ππ++=⎧⎪=-+++=⎨⎪-+=⎩-=-=-+=+-=+= 12,M 的坐标代入,且由向量与平面的法向量垂直得方程组解得所求平面方程为1-即3因平面过轴故可设其方程为因其与已知平面的夹角为00022,3{,,0}{2,1,,31cos ,32||||||||1 61660,33303-0.2.?.n A B n n n n n A A B BA B Bx y x y ππ∴==⋅∴===⋅∴+-==-∴+== 其法向量与已知平面的法向量的夹角为即或平面或为所求下列图形有何特点画出其图形 (1)230;(2)0;(3)340.:(1),.z y x y z xO y -==+-=解平面平行于面图形如下图00000000000000000 (2),. (3),.3.,(,,),.:(,,){,,},, :()()()0, xO z x y z x y z x y z x x x y y y z z z x x y y z -+-+-=++与面重合图形如下图平面过原点其图形如下图由原点向平面作垂线垂足为求此平面的方程解连结点与原点的向量可作为平面的法向量由平面的点法式方程得即2220000.4.(2,3,0),(1,1,2)(4,5,1),.:{3,4,2},45114531,34214(2)5(3)310 14z x y z A B n A B i j kn a A B i j k x y z =++--==-∴=⨯==---+---=为所求平面方程平面过点且与向量a 平行求此平面的方程解法一平面的法向量与与a垂直由点法式方程得即531430.:0,,,-230{,,}20,45014435 .433143:1453143x y z A x B y C z D A B A B D A B C a A B C D A B C A D B D C D x y z --+=+++=++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩--+=解法二设平面的一般式方程为将坐标代入并由其法向量与垂直可得方程组解得由此得平面方程0.5.1.:,,,,1 ||,6x y z abcO A B C O A B C V abc A B C O d ++===求以平面与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积解法一设原点为平面与坐标轴的三个交点为则四面体的体积平面上的高为到平面的距离3 :(,0,0),(0,,0),(0,0,),{,,0},{,0,},111||||0||2220A B C V S d A a B b C c AB a b AC a c ABC i j kS AB AC a b bci a c ∴∆===-=-∆=⨯=-=-的面积解法二设所求平面与三个坐标轴的交点为则则的面积1212||6.(2,0,8)2470,35230,.:,,124161411,352ac j ab k M x y z x y z n n n i j kn n n i j k ππ++=--+-=+-+=∴=⨯=-=-++-平面过点且与二平面都垂直求的方程解法一所求平面的法向量与两已知平面的法向量都垂直由点法12 16(-2)-14-11(8)0,16-14-11-1200.:0,,,2802403520x y z x y z Ax By C z D M n n A A C D A B C A B C +==+++=-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩式方程得所求平面方程为即解法二设所求平面的一般式方程为将点的坐标代入由其法向量与两已知平面的法向量垂直可得方程组解得1612014120111201614111200D B DC D x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴---=所求平面方程为127.:3250:3230.:(,,), ::x y z x y z x y z ππ-+-=--+==求由平面与所成二面角的平分面方程解法一设平面上任一点的坐标为则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得从而得所求平面方程为121212 2380,4520.:, (3)(23)(21)350.,,,.x y z x y z x y z n ππλλλλππππ+-+=-+-=+-++-+-=或解法二过平面的交线的平面束方程为由于它为的平分面因此其法向量与的法向量有相等的夹角得|(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|11,,4-5-202-380.x y z x y z λ+++++++--==-+=++=解得或因此所求平面方程为或12121212112 3.41.1250 :12,:230(1)://;(2);(3).:(1){1,2,1}, x x y l y l y z z l l l l l l l s l λλλ=+⎧--=⎧⎪=-+⎨⎨-+=⎩⎪=⎩=习题对于直线与证明求与的距离求与所确定的平面方程解的方向向量的方向向量221121222 210{2,4,2},2,012 //,//.(2):(1,-3,0), (1)2(3)0,250, i j k s s s s s l l l A l x y z x y z =-==-∴-+++=+++=得法一在上找一点过该点作垂直于的平面即1112 12450,2 ,3172(,-,-).333 ||.:(1,1,0),l l B A B AB l C l λλλλ+-+++==-=-将的参数方程代入解得从而得平面与的交点则与的距离所求法二在上找一点上找111121(1,-3,0),, cos sin |||||||| ||||sin (3):(1,1,0),(1,-3,0), A AC l s AC s AC d AC l C l A n s θθθθ⋅===-=⋅==-=一点设与的夹角为则而则所求距离法一在上找一点上找一点则平面的法向量12121{2,0,2},22(-1)-20,--10. :(1,1,0),(0,3,1),(1,3,0)i j kA C x z x z l C D l A ⨯==--==----由点法式方程得即为所求法二在上找两点上找一点120,,,30 0030 10.2.:233020 ::10210760Ax By C z D A C D A B D A D A B D B B C D C D x z x y z x y l l x y x z +++=-+==-⎧⎧⎪⎪-+==⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩--=-++=-=⎧⎧⎨⎨+-=+-=⎩⎩设平面的一般式方程为将的坐标代入得方程组解得从而得平面方程证明二直线与1212111122212 ,,.:213{30,3,21},{10,1,7},110(21,0,15),{1,2,7}, (0,0,6) l l l l i j k l s s l A l s l B l l l =-=-=--=-相交并求出与的交点夹角以及与所确定的平面解法一的方向向量取在上找一点的方向向量上找一点从而得与的参数式方程12121212121212121221102110:,:2,215767 2,1,,(1,2,1),1919cos ,cos ,,,arccos ,3030x x y l y z z l l l l l l s s l l λλλλλλλλλλλλ=-=⎧⎧-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-+=-⎩⎩==-<>=<>=∴<>= 令解得分别代入的参数方程得为的交点12121212121221 {21,63,21}{1,3,1},(-21)3(15)0,3-60.:,,,,,,0,,//, ,1,n s s n x y z x y z s s A B s s AB l l s s l l l l λ=⨯=---=+++=++=⎡⎤=∴⎣⎦=平面的法向量取得平面方程即解法二同上则由知与共面而与相交将的参数式方程代入的第一个方程解得从 (1,2,-1),.而得交点坐标其余同解法一3. 3.2-3-6140,5.:2-3-60, 5,35,236350:(,,), x y z x y z D d D x y z A x y z O A +=+====±∴--±=求与平求与平面平行且与坐标原点的距离为的平面方程解法一由已知条件可设平面的一般式方程为原点到平面的距离得平面方程为解法二设原点到平面垂线的垂足为由与已知平面法向量平行可设5{2,3,6},||||7||5,,7101530 ,,,777 101530 2()-3()-6()0,2-3-6350.77741204.(3,1,4):2O A k k k O A k k A x y z x y z x y z M l x y =--===±⎛⎫∴± ⎪⎝⎭±±=±=--+=-+-由得的坐标为由点法式方程得平面方程即求点关于直线.230:(,,),114{6,6,3}212{2,2,1},:2(-3)-2(-1)(4)0, 2-20.(-5,7,0),2- z i j kA x y z l s s M l x y z x y z lB l x πλ⎧⎨+=⎩=--=--=-++=+==的对称点解法一设对称点的坐标为的方向向量取过作垂直于的平面为即在上找一点得的参数式方程58,,273158311548(,,),,,,333232323158(,,),333311548,,,232323y x y z M A M A x y z πλλππ⎧=⎨=-+⎩++-===++-===代入平面得从而l与的交点为的中点即从而l与的交点为的中点即从而7728 (-,,).33331-4:(,,),(,,)222442{2,2,1}2221,2207377728 ,(,,).33332835.(3,1,2)x y z A x y z M A l M Ax y z l s x y z x y z x y z P ++--=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪-+=⎩⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩得对称点坐标解法二设对称点为由的中点在上及与的方向向量垂直可得方程组解得得对称点为求点1:3,1,1,.:,3(-3)(-1)(-2)0,123-120,9-11-120,1136123(,,)||11111111:(3,1,1)l x t y t z t P P l d P l x y z x y z l t t t t P P l d PP l A t t t '==-=+++=++=+++=='==-+在直线上的投影并求点到的距离解法一过点作垂直于的平面其方程为即将的参数式方程代入得解得得投影点的坐标及到的距离解法二设上任一点的坐标为,,12||,1136123(,,).11111111P A PA t P l d ====则的距离当时此距离取得最小值即为到的距离从而得投影点坐标6.2350:.220:123{1,7,5},{1,7,5}.21111(0,1,1),.175:7-10,7-1005-x y z l x y z i j k l s s x y z l A l z x y x y xO y z l y x +--=⎧⎨-++=⎩=-=---=--+-==+=+=⎧⎨=⎩求直线的标准方程和在三个坐标面上的投影解的方向向量为取取上一点得直线标准方程法一在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得11-10,5--1005-7-120,5-7-120:(21)(2)(-3)(2-5)0,{0,0,1},3,7-10,7-1z x z xO z y l x y z y z yO z x l x y z xO y k x y l xO y x y λλλλπλπ==⎧⎨=⎩==⎧⎨=⎩++-+++===+=+=从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影法二过的平面束为其中与面垂直的平面的法向量与垂直得从而得的方程从而得在面上的投影05--10,,00571200x z xO z yO z z y y z x =⎧⎧⎨⎨==⎩⎩--=⎧⎨=⎩同样方法可得其在面上的投影在面上的投影121211112211127.:125721;;,234322.1273:,23,22,541212730,23222(1,x y z x y z l l x x l l y y z z l l l λλλλλλλλλλλλλ-+----====--=+=+⎧⎧⎪⎪=--=+⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩+=+=⎧⎧⎨⎨--=+=-⎩⎩证明直线与位于同一平面内并求这平面及两直线间的夹角解法一的参数式方程为解方程组得将代入的参数式方程得与的交点1212121212122,5),234{2,16,13},3222-16-13310,8cos ,cos(,)-8,arccos .:,(1,2,5),(7,2,1),[,i j k l l n x y z l l s s l l l l A B s s -∴=-=--+=<>==⎛⎫∴<>=-⎝-与共面,平面的法向量由点法式方程得平面方程两直线间的夹角为其方向向量的夹角解法二在上分别取两点121,]0,,0,,,231-25016720,,31234013312-16-13310,.A B l l A x B y C z D A B l A D A B C D A B C D B D A B C C D x y z =∴+++=⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+++==-⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎪⎩+=与共面设平面一般式方程为将坐标代入且由其法向量与的方向向量垂直得方程组解得得平面方程其余与法一同1221121212128.7432152::342641(1):;(2).:(1):,7321644,54,322732164454289289x y z x y z l l l l l l x x y y z z λλλλλλλλλλλλ+++-+-====---=-+=+⎧⎧⎪⎪=-+=--⎨⎨⎪⎪=--=-⎩⎩-+=+⎧⎨-+=--⎩⎧=⎪⎨=-对于直线与证明它们不在同一平面上写出过且平行于的平面方程解法一的参数式方程为解得1212121212121212212,,,,.//,.:,(7,4,3),(21,5,2)342,,6415070,.2815(2):(21,-5,2),34l l l l l l l l l l A B s s AB l l l B i j kn s s λλ⎪⎪⎪⎩∴-----⎡⎤=--=-≠∴⎣⎦-=⨯=-将代入的参数式方程知无公共交点而与不在同一平面上法二上分别取一点则与不共面法一取上点平面的法向量212{12,9,36},{4,3,12}6414312930(21,5,2),(27,9,1).0,,,21520 2790,3420493n x y z l B C Ax By C z D B C s A B C D A B C D A B C A =---=--++-=--+++=-++=⎧⎪-++=⎨⎪+-=⎩=-取由点法式方程得平面方程在上取两点设平面的一般式方程为将的坐标代入且其法向量与垂直可得解得1,.431293031431D B D x y z C D ⎧⎪⎪⎪=-++-=⎨⎪⎪=-⎪⎩代入得平面方程22221.,,||||1,,,4||||||||lim:||||cos ||||,42()2||||||||limlim(||||||||)(||||||||)2||||22.22,,x x x a b b a b a xb a xa b a a a xb aa bx xb a x a xb a x a xb a a r a i j k j ππ→→→=<>=+-⋅=⋅=+-⋅+∴====++++=--复习题三设均为非零向量且求解原式设向量与共线与成锐角||||15,.:,{,2,2},||||3||15.5,,5,{5,10,10},3.368,||||2,.:,68{0,8,6},||||10|r r r a r k k k r k k r j k r p q i j k x p p p q x p q i k jp k k p ==--===±∴=-=-=++=∴⨯=-+∴=-=且求解由于与共线设得由与成锐角取得设向量和向量与轴都垂直且求向量解由于与和轴都垂直平行于设123123123123123123123186|2,,{0,,}.5554.,,,:||||4,||||2,|||| 3.().:,,,,,0()||||||||k k p ααααααααααααααααααααα==±=±===⨯⋅∴<⨯>=∴⨯⋅=⨯⋅得从而设向量两两垂直且符合右手系规则计算解由于两两垂直且符合右手系规则12312121||||||||||||sin24.25.(1,1,1)(0,1,1)0,.:,{1,0,2}{1,1,1}.1022,2--0.111:M M x y z n M M n i j k n i j k x y z παααπππ=⋅⋅⋅=-++==--=∴=--=--=平面过和且与平面垂直求的方程解法一由已知条件平面的法向量与和均垂直由点法式方程得平面方程解法二设120,,00,0A x B y C z D M M A B C D B C D A B C π+++=+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩的一般式方程为将的坐标代入由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组12212220:2--0.6.:2310:0,.:,(21)(13)(1)03211-31-0,,2 8-A B C BD x y z x y z x y z x y z x ππππππππλλλλπλλλλπ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩=--+=++=++-+-+=+++==解得从而得的方程平面过与的交线且与平面垂直求的方程解法一过的平面束方程为且由其法向量与的法向量垂直得解得从而得的方程1211227-30.112:,235{2,3,5},235{8,7,1},1118730.::0,,(1,1,2),(1,2,3),,y z x y z ij k s n s n x y z Ax By C z D ππππππππππ+=++-==-=-=⨯=-=----+=+++=---解法二化的交线为标准方程其方向向量的法向量由点法式方程得的方程解法三设的一般式方程为在的交线上找两点将其代入的方程且由与垂直可83--207230301387303127.(1,-2,1):.234A D ABCD A B C D B D A B C C D x y z x y z A l π⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+-+==-⎨⎨⎪⎪++=⎩⎪=-⎪⎩--+=+-+==-得方程组解得从而得的方程求点到直线的距离32:::1324(1,2,1)(32,13,24):,:,2(-1)-3()4(-1)02(-1)x t l y tz t A l t t t d d A l A l x y z z x =-+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩--+--+====++=解法一将写成参数方程点到上一点的距离为最小值为此即点到的距离法二过点做一平面与垂直平面方程为求平面与直线的交点1-3(2)4(-1)0,:2,31222341238.(1,2,3)(4,3,1),:211.::4(1)3(-2)(x y z y x y z z d x y z A l l A x y z αα=-⎧++=⎧⎪⎪=-+-+⎨⎨=-=⎪⎪=⎩⎩==-+--===+++解得故距离为求过点与向量垂直并与直线相交的直线方程解关键是求出待求直线与已知直线的交点法一过点且与向量垂直的平面方程为-3)0:4(1)3(-2)(-3)05510,(,,)123333211123:.8111:(12,2,3),0,(22,-4,)(4,3,1)04(22)3(-4)0l x y z x y z x y z t t t A t t t t t t αα=+++=⎧⎪-⎨-+-==⎪⎩+--==--+-++++=⇒++++=⇒此平面与的交点应满足求得交点为故待求直线方程为法二设待求之交点为此交点与的连线应与向量垂直即连线向量与之内积为即15510(,,)3333123:.8111t x y z =⇒-+---==-交点为故待求直线方程为。

线性代数与空间解析几何(哈工大)3

3．向量的投影：设有向量 , , 轴上的有向线段的值为（数量，正数，向为负数），称为向量上的投影，记作 .
则向为在轴
定理3.1 向量 AB 在轴 u上的投影=向量的模乘以向 Pr AB | AB | cos . 量与轴夹角的余弦，即：证：过点引轴且同向，，且有. 当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；直角时，投影为0.
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法. k Z , a 0 ，则 ka是一个向量， 1．定义：与 a 共线，模 | ka || k || a |, k 0 与 a 同向，时与 k 0反向， a .0a 0 若 a 0, ka k 0 0, k Z . 2．运算法则：（1） 1a a, (1)a a； k (la ) (kl )a ，（结合律）；（2）（3） k (a b) ka kb ；（4） (k l )a ka la ，（分配律）.
第三章几何向量
解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形，也是多元函数微积分的基础. 本章主要研究如下几个问题： 1. 几何向量的线性运算； 2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外积）、混合积； 3. 空间中的直线与平面.
(3a b) (a 2b) 3a a 6a b a b 2b b
3 | a |2 (6 )a b 2 | b |2 2 3 | a | (6 ) | a | | b | cos 2 | b |2
1
5．负向量：与大小相等，方向相反.

高等数学-01空间解析几何

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空间直线的方程应用：用于表示空间中的直线，以及进行空间几何计算和图形绘制。
平面与直线的位置关系
平行：两条直线在同一平面内，没有公共点
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异面：两条直线不在同一平面内，没有公共点
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垂直于平面：直线与平面有两个公共点
平行于平面：直线与平面没有公共点
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解析：向量法是解析几何中常用的方法，可以解决许多几何问题
结论：两个平面的交线是直线，这是解析几何中的基本定理
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空间解析几何是理解空间结构的基础，对于理解物理现象、解决工程问题等具有重要意义。
空间解析几何是现代数学的一个重要组成部分，对于培养数学思维和逻辑思维能力具有重要作用。
空间解析几何的基本概念
空间解析几何是研究空间中点、线、面、体的位置关系和度量关系的数学学科。
空间解析几何的基本概念包括向量、标量、矩阵、线性变换等。
向量的模和向量的数量积
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向量的模：表示向量的长度或大小，是向量的绝对值
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向量的数量积：表示两个向量的夹角，是向量的相对值
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向量的模和向量的数量积的关系：向量的模和向量的数量积是向量的两个基本属性，它们之间的关系是向量的模的平方等于向量的数量积的平方加上向量的数量积的平方
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向量的向量积和混合积的应用：在空间解析几何中，向量的向量积和混合积可以用来求解向量的夹角、向量的长度等。
向量的向量积和混合积的性质：向量的向量积和混合积具有交换律、结合律和分配律等性质。

《空间解析几何》课件

了解空间解析几何在计算机图形学中的应用，如3D建模、动画制作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等，求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模等基本概念。

空间解析几何简介课件

一点 M 的线速度的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是中3一个平面， VP 定义如上，则中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成的3 一个一维子空间，中3
以平面的P法向量为方向向量的直线称为平面的法P 线。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:

线性代数与空间解析几何学习指导

《线性代数与空间解析几何》学习指导陈延梅课程名称：线性代数与空间解析几何英文名称：Linear Algebra and Space Analytic Geometry开课院系：远程教育学院开课学时：54学分：3授课对象：远程教育学院专升本计算机科学与技术专业学生一、教学目的与课程性质、任务。

《线性代数与空间解析几何》是为计算机等工科专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。

本课程的基本概念、基本方法和基本理论是计算机专业学生学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。

本课程将线性代数与空间解析几何融为一体，使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。

二、教学要求通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握行列式，矩阵，几何向量，n 维向量，线性方程组，特征值、特征向量和相似矩阵，二次型及二次曲面的基本概念、基本方法和基本运算技巧。

逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。

具体要求如下：第一章行列式1 了解行列式的定义；2 掌握行列式性质、行列式的降阶法则；3 熟练掌握三阶行列式、四阶行列式和特殊高阶行列式的计算方法；4 了解克莱姆法则的基本思想，并会将其运用于求解特殊的线性方程组。

第二章矩阵1 了解矩阵的概念和一些特殊矩阵；2 掌握矩阵的基本运算（加法、减法、数乘以及矩阵的乘法）；3 理解方阵的逆的概念和方阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵方法求可逆方阵的逆；4 理解矩阵的秩的概念；5 掌握矩阵的初等变换和矩阵等价的概念，并会熟练运用矩阵的初等变换将矩阵化成行阶梯形、最简形和标准形；掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩和可逆方阵的逆；6 了解初等方阵的概念及其与初等变换的关系；7 了解分块矩阵的概念，熟悉分块矩阵的基本运算。

高等数学：空间解析几何

定义7-2 向量a和b的模和它们夹角余弦的乘积,称为向量
a和向量b的数量积(内积),这种运算也称为点乘,记作a·
b,即
由数量积的定义7-2以及向量夹角的定义7-1可以得到:
(1)a·
a=|a|2;
(2)向量a 和向量b 互相垂直的充分必要条件是a·
b=0.
空间解析几何
两个向量的数量积满足下列运算规律:
当向量a和b至少有一个是零向量时,规定其夹角<a,b>可
以在0到π之间任意取值.
空间解析几何
在物理中,我们已经知道,若力F 作用在物体上,使其产生
位移s,则该力所作的功为
即F 所作的功W 是向量F 和s的模相乘再乘以它们夹角的余
弦.这种运算在其他问题中也会遇到,因此我们引入向量的结
构性运算.
空间解析几何
例7-13 设一平面与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为
P(a,0,0)、Q(0,b,0)和 R(0,0,c),求这个平面的方程,其中a ≠0,b
≠0,c ≠0.
解设所求平面的一般方程为
空间解析几何
由题意可知P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点都在该平
面上,所以这三点的坐标都满足一般方程,即有
空间解析几何
．
例7-16 求点(1,-2,-1)到平面2x +y-2z+4=0的距离.
解由式(7-13)可得
空间解析几何
7.4 空间直线方程
一、直线方程
如图7-10所示,在空间直角坐标系中给定一条直线L,任一
个与这条直线平行的非零向量s={a,b,c}称为该直线的方向向
量.在直线L 上取一个定点M0(x0,y0,z0),设M(x,y,z)是直线L上任

微元法线性代数与空间解析几何

微元法
一、微元法的原理二、微元法三、微元法的应用
2
一、微元法的原理
对于曲边梯形的面积，在[a,b]区间上取一点x，在此任给一“宽度”Δ x，那么这个微小的矩形面积为
y
y f x
O
a x x dx b x
dS f (x)x f (x)dx ---面积微元
(矩形面积)
曲边梯形的面积为
求量 U 这种方法叫做定积分的微元法(或元素法) 4
二、微元法
利用微元法求总量U的步骤：
第一、选取积分变量(二、所求总量 U对a, b 具有可加性；
第三、在区间[a,b]中的任意小区间 x, x dx 上找出U
的部分量的近似值 dU f (x)dx ，那么
b
A=a [ f ( x) g( x)]dx
d
O
r ( )
x
在区间[θ,θ+dθ]上面积元素为
A= 1 ( )2 d 2
矩形面积的累加
扇形面积的累加
6
引例：求曲边梯形的面积微元法微元法的应用
微元法
7
b
U a f ( x)dx
在微小区间上以“直”代“曲” 以“常”代“变”
5
三、微元法的应用
求由曲线y=f(x)，y=g(x)
求由曲线r=r(θ)，直线
直线x=a和x=b所围图形的面积. θ=α和θ=β所围图形的面积.
y
y f x
y gx O a x x dx b x
在区间[x,x+dx]上面积元素为
b
A a f ( x)dx
在微小区间上以“直”代“曲”
3
如果所求总量U具有以下特点：第一、对区间[a,b]具有可加性. 第二、部分量的表达式为