2012年北约自主招生数学试题与答案

合集下载

用递推数列备考自主招生的计数、二项式、概率统计题

用递推数列备考自主招生的计数、二项式、概率统计题

+ ̄ / s 一1 的形 式 , 其中S ∈N+ .
 ̄( 1 q - , / 2) 配对 ( 1 一

整 理 得 a n 一 一 号 × 筹+ 警 .
比较得 一2 0 , 解得 A一1 5 , 代人 得
a n

, 构造 数列 { n } 使
通项 a 通项 n : ! ! ± .
于是, { 一1 5 } 是公比g 一 1 5 = a 4 — 1 5 ) × ( 一 寺) 一 , 则
塞撬玺
a 一5 ×3 一 一( 一1 ) ×1 5 —1 5 ×[ 3 一。 一( 一1 ) ] . 故所求 的染 色方 法共有 1 5 ×[ 3 一 一( 一1 ) ” ] 种.
N+ ) , 则

( 其中 ∈
1 5 一 一 号 × (  ̄ n = - i 1 — 1 5 ) ≠ o ( ≥ 5 ) .
2 a + 2 一( 1 +√ 2 ) +( 1 一√ 2 ) 卅 = :
[ ( 1 + ) +( 1 一 ) ]・ [ ( 1 + ) +

运 用递 推 数 列 的方 法 探 究重 点 大 学 自主招 生 中
有关 计数 、 二项 式 、 概 率 的问题 , 对 于命 题 专 家来 说 是 个 热点 , 对于 考 生 的解 题 学 习来 说 这 是 个 难 点 , 但 对 于中学数 学教 师 的教 来说 却 普遍 又 是个 盲 点. 本文 分
在第 , z 位( 末尾 ) , 则前 面 一1个 数有 a 种排法; 若
排在第 1 位, 则后 面 n 一1 个 数 只能递减 而只 有 1种
例 1 ( 2 0 0 1年 全 国联 赛 题 、 2 0 0 3年 全 国高 考 题、 2 0 0 7年复旦 大学 自主 招 生题 、 2 0 0 8年 全 国高 考卷 I题 、 2 0 0 8年 南 京 大 学 自主 招 生 题 合 编题 )如 图 1 , 一 1 个 区域环 绕 1个 中 心 区 域 , 现 为 这 n( ≥4 ) 个 区域染 色 , 要 求 相 邻 区域 异 色 . 现有 5种颜 色 可供选 择 , 则共 有 多 少种 不 同的染 色方法 ? 图1

“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答1.(仅文科做)02απ<<,求证:sin tan ααα<<. 【解析】 不妨设()sin f x x x =-,则(0)0f =,且当02x π<<时,()1cos 0f x x '=->.于是()f x 在02x π<<上单调增.∴()(0)0f x f >=.即有sin x x >. 同理可证()tan 0g x x x =->.(0)0g =,当02x π<<时,21()10cos g x x '=->.于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记:也可用三角函数线的方法求解.2.AB 为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB(25分) 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.⑴当,A B 中有一点位于P 点时,知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ;当有一点位于O 点时,1max AB OP PR =<;⑵当,A B 均不在y 轴上时,知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取A 点关于y 轴的对称点A ',有AB A B '<).不妨设A 位于线段2OR 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上.且当B 从P 向Q 移动时,AB 先减小后增大,于是max AB AP AQ =或;对于线段PQ 上任意一点B ,都有2BR BA ≥.于是22max AB R P R Q == 由⑴,⑵知2max AB R P =.不妨设为x .下面研究正五边形对角线的长.IHG F E 1111x x-1如右图.做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H . 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=. 于是四边形HGIF 为平行四边形.∴1HG =. 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-.解得x =3.AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点,求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值.(25分)【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ,过B 点的切线交x 轴于点D ,直线AC 与直线BD 相交于点E .如图.设1122(,),(,)B x y A x y ,且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>.由于2y x '=-,于是AC 的方程为2222x x y y =--;① BD 的方程为1122x x y y =--. ②联立,AC BD 的方程,解得121221(,1)2()y y E x x x x ---. 对于①,令0y =,得222(,0)2y C x -;对于②,令0y =,得112(,0)2y D x -. 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-. 121(1)2ECD S CD x x ∆=-.不妨设10x a =>,20x b -=>,则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >,则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时,③,④处的等号均可取到.∴min ()ECD S ∆ 注记:不妨设311()(2)2g s s s s=++,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解. 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<;当213s <时()0g s '>.则()g s 在(0,上单调减,在)+∞上单调增.于是当s =时()g s 取得最小值. 4.向量OA 与OB 已知夹角,1OA =,2OB =,(1)OP t OA =-,OQ tOB =,01t ≤≤.PQ在0t 时取得最小值,问当0105t <<时,夹角的取值范围.(25分) 【解析】 不妨设OA ,OB 夹角为α,则1,2OP t OQ t =-=,令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+. 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+.而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增,故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤. 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时,012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+,解得223αππ<<. 当12cos 1054cos αα+-<+≤时,()g t 在[0,1]上单调增,于是00t =.不合题意. 于是夹角的范围为2[,]23ππ.5.(仅理科做)存不存在02x π<<,使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列.(25分) 【解析】 不存在;否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=, 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=.若cos sin 0x x -=,有4x π=.而此时1,122不成等差数列;若cos sin 1sin cos x x x x+=,有2(sin cos )12sin cos x x x x =+.解得有sin cos 1x x =. 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈,矛盾!2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来!!⊙专为高一、高二学生设计,细致分析自主招生关键信息,深入讲解自主招生备考方略。

北约专题及答案解析

北约专题及答案解析
2 2
1 的等差数列, 求 mn ; 4
4、如果锐角 ABC 的外接圆的圆心为 O ,求 O 到三角形三边的距离之比;
5、已知点 A( 2,0), B ( 2,0) ,若点 C 是圆 x 2 2 x y 2 0 上的动点,求 ABC 面积的最小 值。
6、在 1, 2,, 2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个 数?
3.在等差数列 {an } 中, a3 13, a7 3 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n } 的最 小项,并指出其值为何?
4.在 ABC 中, a b 2c ,求证: C 60 .
0
5.是否存在四个正实数,使得他们的两两乘积为 2,3,5,6,10,16?
7、求使得 sin 4 x sin 2 x sin x sin 3 x a 在 [0, ) 有唯一解的 a ;
8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;
9、 求证: 对于任意的正整数 n ,(1
其中 s N 2 ) n 必可表示成 s s 1 的形式,
3
2. AB 为边长为 1 的正五边形边上的点.证明: AB 最长为 大值为 PR1 ;当有一点位于 O 点时, AB max OP PR1 ;
⑵当 A , B 均不在 y 轴上时,知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取 A 点关 于 y 轴的对称点 A ,有 AB AB ) . 不妨设 A 位于线段 OR2 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是 合理的) ,则使 AB 最大的 B 点必位于线段 PQ 上. 且当 B 从 P 向 Q 移动时, AB 先减小后增大, 于是 AB max AP 或 AQ ; 对 于 线 段 PQ 上 任 意 一 点 B , 都 有 BR2 ≥ BA . 于 是

自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)

自主招生北约数学试题及解答(2010-2014)

2010年“北约”自主招生数学试题及解答1.(仅文科做)02απ<<,求证:sin tan ααα<<. 【解析】 不妨设()sin f x x x =-,则(0)0f =,且当02x π<<时,()1cos 0f x x '=->.于是()f x 在02x π<<上单调增.∴()(0)0f x f >=.即有sin x x >. 同理可证()tan 0g x x x =->.(0)0g =,当02x π<<时,21()10cos g x x'=->.于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记:也可用三角函数线的方法求解.2.AB 为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB.(25分) 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.⑴当,A B 中有一点位于P 点时,知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ;当有一点位于O 点时,1max AB OP PR =<;⑵当,A B 均不在y 轴上时,知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取A 点关于y 轴的对称点A ',有AB A B '<).不妨设A 位于线段2OR 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上.且当B 从P 向Q 移动时,AB 先减小后增大,于是max AB AP AQ =或;对于线段PQ 上任意一点B ,都有2BR BA ≥.于是22max AB R P R Q == 由⑴,⑵知2max AB R P =.不妨设为x .下面研究正五边形对角线的长.I HG FE 1111x x-1如右图.做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H . 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=. 于是四边形HGIF 为平行四边形.∴1HG =. 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-.解得x =3.AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点,求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值.(25分)【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ,过B 点的切线交x 轴于点D ,直线AC 与直线BD 相交于点E .如图.设1122(,),(,)B x y A x y ,且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>.由于2y x '=-,于是AC 的方程为2222x x y y =--;① BD 的方程为1122x x y y =--. ②联立,AC BD 的方程,解得121221(,1)2()y y E x x x x ---. 对于①,令0y =,得222(,0)2y C x -;对于②,令0y =,得112(,0)2y D x -. 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-. 121(1)2ECD S CD x x ∆=-.不妨设10x a =>,20x b -=>,则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >,则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记:不妨设311()(2)2g s s s s=++,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解. 由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<;当213s <时()0g s '>.则()g s 在(0,上单调减,在)+∞上单调增.于是当s =时()g s 取得最小值. 4.向量OA 与OB 已知夹角,1OA =,2OB =,(1)OP t OA =-,OQ tOB =,01t ≤≤.PQ在0t 时取得最小值,问当0105t <<时,夹角的取值范围.(25分) 【解析】 不妨设OA ,OB 夹角为α,则1,2OP t OQ t =-=,令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+. 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+.而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增,故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤. 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时,012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+,解得223αππ<<. 当12cos 1054cos αα+-<+≤时,()g t 在[0,1]上单调增,于是00t =.不合题意. 于是夹角的范围为2[,]23ππ. 5.(仅理科做)存不存在02x π<<,使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列.(25分) 【解析】 不存在;否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=, 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=.若cos sin 0x x -=,有4x π=1,1不成等差数列;若cos sin 1sin cos x x x x+=,有2(sin cos )12sin cos x x x x =+.解得有sin cos 1x x =. 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈,矛盾!2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1.1A. 2B. 3C. 5D. 6解析:显然,多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++,其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0,则:420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组:420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩,有非0有理数解. 由(1)+(3)得:110a b c d ++-= (6) 由(6)+(2)得:1130a b c ++= (7) 由(6)+(4)得:13430a b c ++= (8) 由(7)-(5)得:0a =,代入(7)、(8)得:0b c ==,代入(1)、(2)知:0d e ==.于是知0a b c d e =====,与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2. 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法? A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析:先从6行中选取3行停放红色车,有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择;最上面一行的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有5种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色车位置有4种选择。

2012年北约自主招生联考数学试题

2012年北约自主招生联考数学试题

2012年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围,使得12)(-+++=x x x x f 是增函数;
2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数
3、已知0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为
4
1
的等差数列,求n m -
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ,求O 到三角形三边的距离之比。

5、已知点)0,2(),0,2(B A -,若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点,求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,问最多能取多少个数?
7、若a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解,求a 的值。

8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形。

9、求证:对于任意的正整数n ,n )21(+必可表示成1-+s s 的形式,其中+∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答。

北约自主招生试题及答案

北约自主招生试题及答案

北约自主招生试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 北约成立于哪一年?A. 1949年B. 1950年C. 1960年D. 1970年答案:A2. 北约的全称是什么?A. 北大西洋合作组织B. 北大西洋公约组织C. 北大西洋发展组织D. 北大西洋经济组织答案:B3. 北约的总部设在哪个国家?A. 美国B. 英国C. 法国D. 比利时答案:D4. 下列哪个国家不是北约成员国?A. 德国B. 意大利C. 西班牙D. 巴西答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 北约的成立是为了实现______。

答案:集体防御2. 北约的创始成员国包括美国、加拿大和______个欧洲国家。

答案:103. 北约的旗帜上有一个蓝色的圆圈,圆圈上有______颗白色的星星。

答案:144. 北约的秘书长是______。

答案:(此处填写当前北约秘书长的名字)三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述北约的主要职能。

答案:北约的主要职能包括维护成员国的集体安全,促进成员国之间的政治和军事合作,以及在全球范围内进行军事干预以维护国际和平与安全。

2. 描述北约在冷战期间的作用。

答案:在冷战期间,北约作为西方阵营的主要军事同盟组织,对抗苏联及其盟国的军事威胁,维护了西方世界的安全和稳定。

四、论述题(每题15分,共30分)1. 分析北约在当今世界政治中的作用和影响。

答案:北约在当今世界政治中的作用和影响主要体现在以下几个方面:一是作为西方世界的军事同盟,维护成员国的安全和利益;二是通过军事合作和联合行动,提高成员国的军事实力和应对危机的能力;三是在全球范围内参与维和行动,维护国际和平与安全;四是推动成员国之间的政治对话和经济合作,促进区域稳定和发展。

2. 讨论北约未来面临的挑战及其应对策略。

答案:北约未来面临的挑战主要包括:一是新兴大国的崛起可能对北约的权威和影响力构成挑战;二是恐怖主义和极端主义的威胁,需要北约加强反恐合作;三是网络安全问题,北约需要加强网络防御能力;四是内部分歧,需要加强成员国之间的沟通和协调。

2012年北约自主招生文科试题及答案

2012年北约自主招生文科试题及答案

北京大学自主招生数学(文科)解答24. 解法一:(4分)(6分)(6分)(2分)说明1. 直接猜出取中点时取得最小值43,得2分.解答二:建立坐标系,设)0,(a A ,)3,(b b B ,))1(3,(c c C -222CA BC AB ++6126422882222+--+--++=c c bc ca ab c b a (4分)61263215215)2(2222+--++++-=c b bc c b c b a (6分) 4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a (6分)当43 =c ,41 =b ,21 =a 时,222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)说明1. 原点取在别处(比如某边中点),可相应给分解答三:建立坐标系,设)0,(x A ,))21(3,(y y B -,))21(3,(z z C +222CA BC AB ++2333422882222++-+--++=z y yz xz xy z y x (4分) 4343)41(536)51(215)2(2222≥+++-+++-=z z y z y x (6分)4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a (6分)当且仅当41- =z ,41 =y ,0 =x 时,222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)25. 证明:内角相等的圆内接五边形必为正五边形。

解法一:证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x , y , z ,u ,v . 利用等角对等弧这一结论 我们有x + y + z = y + z + u (5分)同理 x + y + z = y + z + u =z + u + v = u + v + x = v + x + y (10 分)由此可知 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦,所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法二:证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x , y , z ,u ,v . 利用等角对等弧这一结论我们有 x + y + z = y + z + u (5分)x = u (10 分)同理 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦,所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分) 解法三:证明: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形∴ ∠A+∠1=180° ∠B+∠2=180°∵ ∠A=∠B∴ ∠1=∠2 (5分) ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ DE = CD (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法四: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形 ∴ ∠A+∠1=180° ∵ ∠A=108°∴ ∠1= 72° (5分)∴ ∠BOE=2∠1= 144° (10分) 同理 ∠BOD=144°∴ ∠EOD=360°-144°-144°=72° (15分) 同理 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°∴ AB=BC=CD=DE=EA∴圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法五:证明: ∵∠BAE=∠ABC ∠1=∠2∴∠3=∠10 (5分)∵∠3=∠4 ∠9=∠10∴∠4=∠9∵∠BCD=∠AED∴∠5=∠8∵∠5=∠6 ∠7=∠8∴∠6=∠7 (或∠6=∠7= 54°) (10分) ∴∠5+∠6=∠7+∠8∴∠COD=∠DOE∴ CD=DE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法六:∵半径相等∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8 ∠9=∠10∵∠1+∠2+∠3+… +∠9+∠10 =540°∴(∠1+∠10)+(∠4+∠5)+∠8=270°∵∠1+∠10=108°∠4+∠5=108°∴∠8= 54°(5分)∴∠9+∠8 = 108°∴∠9= 54°∴∠8=∠9 (10分)∵∠9+∠10=∠7+∠8∴∠AOE=∠DOE∴ AE=DE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法七:∵同弧AB所对的角相等∴∠1=∠2 (5分)∵∠BAE=∠ABC AB=AB∴△ABC ≌△ABE (10分)∴ BC=AE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法八:∵∠B=∠E∴ AC=AD (5分)∴∠1=∠2∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ A B=AE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法九:∵ ∠B=∠E ∴ AC=AD (5分) ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∵ ∠B=∠E AC=AD∴ △ABC ≌ △ADE (15分) ∴ BC=AE同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十: 设AB=a, AE= b2 ,BC= b 1,∵ ∠BAE=∠ABC= 108° ∴ AC=BE (5分)设 AC=BE=c 由余弦定理,得在△ABC 中 c 2= a 2+ b 12 -2 a b cos 108° ①在△ABE 中 c 2= a 2 +b 22 -2 a b cos 108° ② (10分) ①-②,得 (b 1-b 2)(b 1+b 2-2 a b cos 108°)= 0 ∵ cos 108°<0∴ b 1+b 2- 2 a b cos 108°>0 (若同学没有这一步,则这道题只得10分) ∴ b 1= b 2 即BC=AE (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十一:∵ 圆内接五边形的各内角相等 ∴ AC=BD∴∠A0C=∠BOD (5分) ∴∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC∴∠A0B =∠COD (10分) ∴ AB=CD (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)阅卷说明:1、只画图,没有证明,记0分。

自主招生

自主招生

嫦娥一号在一年的寿命期中,不可避免会遇到月 食,此时嫦娥一号太阳能电池翼无法照射到阳 光,会停止工作,那么怎么办呢?
嫦娥一号采用太阳能电池翼和燃料电池联合电源,嫦娥 一号在月食时,嫦娥一号将转为由燃料电池单独供电, 太阳能电池翼停止工作。
事实上很多太空空间站均有一段时间面向太阳, 一段时间背着太阳,你能否设计一套循环能量装 置用于空间站,要求①能持方框流程 图表示,注意此题涉及光能、化学能、电能等多 种能量形式的转换)
2[AgI2] - + H2↑ [AgI2] -
拓展
硫酸铜
练习:见学案
练习答案: ⑴原因②:Cl-对反应没有影响,而SO42-对 反应具有阻碍作用; 原因⑤:Cl-、SO42-均对反应具有阻碍作用, 但Cl-影响更小(或SO42-影响更大);两个 原因可互换位置。 ⑵②反应速率加快;反应速率减慢; ⑶① 100mL;酸式滴定管;100mL容量瓶、 玻璃棒; ②消耗完全相同质量的铝片需要的时间;或 相同时间内消耗铝片的质量(其他合理也可)
光能
水分解 系统
氢氧 储罐
燃料电 池系统
① 储水罐 电




空间站
拓展:航天燃料问题 火箭可用肼(N2H4)作燃料,试解答下列 问题 (1)肼作火箭的推进剂,用NO2作氧化剂, 两者反应成氮气和水,但NO2喷出时有部分 来不及反应而被喷出,所以我们常看到火箭 尾部有一片桔红色的烟雾。 已知:N 2(g)+2O2(g)=2NO2(g) △H=+67.7kJ/mol N2H4(g)+O2 (g) =N2(g)+2H2O(g) △H=- 534kJ/mol 据此写出N2H4和NO2反应的热化学方程式: (2)已知:N2H4 (g)+2 F2(g) = N2 (g) + 4HF(g) △H=- 1118kJ/mol 有人认为可用F2代替NO2作氧化剂,你认为 好吗?长期使用F2 、 NO2等氧化剂有什么 问题?从长远来看航天燃料可选用何种燃 料?何种氧化剂?

北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)

北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)

2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π,求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组,一组4人,两组每组3人,共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-,且,x y 都为负实数,求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数,求C 的值. 一、求证:tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ,()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根,()f x 有两相异实根,求证:()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列,{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否同在M 中,并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=,且11n i i x ==∏,求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1.π7; 2.2100; 3.4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ; 4.1 00≥≤⇒≥∆a or a ;5.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417;6.2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证:Q ∉︒3tan解:若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ,Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ,从而矛盾。

二.实系数二次函数)(),(x g x f ,)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根,)(x f 有两相异根,求证:)(x g 无实数根。

一道2012年自主招生北约联考试题的联想

一道2012年自主招生北约联考试题的联想

一道2012年自主招生北约联考试题的联想蔡祖才(江苏省常熟市中学,215500) 2012年自主招生北约联考试题中有一道三角形试题,题目描述简单,解答就很容易.但这种优美的设问方法,给我们带来很多联想,有利于我们对数学思维的展开.题目 如果锐角△ABC的外接圆圆心为O,求O到三角形三边的距离比.图1解答 因为△ABC为锐角三角形,所以圆心O在△ABC内部,如图1,过O分别作BC、CA、AB的垂线,垂足分别是D、E、F,设外接圆的半径为R,根据圆心角与圆周角的定义,可知∠DOC=12∠BOC=∠A.在Rt△DOC中,OD=Rcos∠DOC=RcosA,同理可得,OE=RcosB,OF=RcosC.因此,O到三角形三边的距离比为OD∶OE∶OF=cos A∶cosB∶cosC.锐角三角形外接圆圆心到三边的距离比有这样优美的结论,可以联想,锐角三角形的垂心,重心到三边的距离比也有同样优美的结论.经过探究,我们得到以下结论.结论1 如果锐角△ABC的垂心为H,则H到三角形三边的距离比为1cos A∶1cosB∶1cosC.图2证明 设△ABC的外接圆半径为R,如图2,三角形BC、CA、AB边上的高分别是AD、BE、CF,因为△ABC为锐角三角形,所以垂心H在△ABC内部.在Rt△ADC中,DC=ACcosC=2RsinBcosC;在Rt△HDC中,∠DHC=∠B,HD=DCcot∠DHC=DCcot B=2RsinBcosCcot B=2RcosBcosC,同理可得HE=2RcosCcos A,HF=2Rcos AcosB,所以HD∶HE∶HF=cosBcosC∶cosCcos A∶cos AcosB=1cos A∶1cosB∶1cosC.结论2 如果锐角△ABC的重心为G,则G到三角形三边的距离比为1sinA∶1sinB∶1sinC.图3证明 设△ABC的外接圆半径为R,如图3,过G分别作BC、CA、AB的垂线,垂足分别是D、E、F,BC的中点为M,BC边上的高为AH,则GD=13AH=13ACsinC=2R3sinBsinC.同理可得GE=2R3sinCsinA,GF=2R3sinAsinB,所以GD∶GE∶GF=sinBsinC∶sinCsinA∶sinAsinB=1sinA∶1sinB∶1sinC.我们还可以联想,锐角三角形的垂心和内心到三顶点的距离比也有优美的结论.经过探究,我们还可以得到以下的结论.结论3 如果锐角△ABC的垂心为H,则H到三角形三顶点的距离比为cos A∶cosB∶cosC.图4证明 设△ABC的外接圆半径为R,如图4,三角形BC、CA、AB边上的高分别是AD、BE、CF,因为△ABC为锐角三角形,所以垂心H在△ABC内部.在Rt△ABE中,AE=ABcos A=2RsinCcos A.95·辅教导学· 数学通讯———2012年第7、8期(上半月)在Rt△AHE中,∠AHE=∠C,AH=AEsin∠AHE=2RsinCcos AsinC=2Rcos A.同理可得BH=2RcosB,CH=2RcosC,所以AH∶BH∶CH=cos A∶cosB∶cosC.图5结论4 如果锐角△ABC的内心为I,则I到三角形三顶点的距离比为1sinA2∶1sinB2∶1sinC2.证明 设△ABC的内切圆半径为r,如图5,过I作AB的垂线,垂足为F,在Rt△AIF中,AI=IFsin∠FAI=rsinA2. 同理可得BI=rsinB2,CI=rsinC2,所以AI∶BI∶CI=1sinA2∶1sinB2∶1sinC2.类似地,若三角形是钝角三角形,也会有类似的结论,请读者自行研究.一道自主招生试题,让我们从锐角三角形的外心类比到垂心、重心,从到三边的距离比类比到三顶点的距离比,这种思维以放射性思考模式为基础,运用了联想,达到了锻炼思维的目的.虽然试题及联想结论简单明了,但结论的优美性和联想思维的价值不言而喻.(收稿日期:2012-03-01)由一道课本习题引起的思考王业和(安徽省潜山中学,246200) 高中数学必修2(人教版)第133面B组第3题为:已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时,圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离等于1.分析和解 由题设可知圆的半径r=2,要使圆上恰有3个点到直线l的距离为1,则只需圆心O到l的距离为1即可,即d=b12+(-1)槡2=1,解得b=±槡2.因此,当b=±槡2时,圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离等于1.这是一道经典习题,此题的灵魂和核心就是转化为计算圆心O到直线l的距离问题,这也是解决此类问题的关键所在.若满足于求出问题的答案为止,则甚为可惜.若对此题进行恰当的变式训练,则能更好地使学生解一题会一类,提高学生触类旁通的能力.一、改变点的个数.思考1 已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.分别求b的取值范围,使圆x2+y2=4上恰有:(1)4个点到直线l的距离等于1; (2)2个点到直线l的距离等于1;(3)1个点到直线l的距离等于1;(4)没有点到直线l的距离等于1.仿照前面的解答易求得答案为:(2)-槡2<b<槡2;(2)槡2<b<槡3 2或-槡3 2<b<-槡2;(3)b=±槡3 2;(4)b<-槡3 2或b>槡3 2.二、改变字母参数.思考2 已知圆x2+y2=r2上恰有两点到直线l:3x-4y=25的距离等于1,求r的取值范围.分析和解 此题改变了未知量,需要求的是圆的半径r的取值范围,难度显然增加,但解题的关键还是利用圆心到直线的距离求解.06数学通讯———2012年第7、8期(上半月) ·辅教导学·。

2012年“华约”、“北约”自主招生数学试题分析及应试策略

2012年“华约”、“北约”自主招生数学试题分析及应试策略

• (5)对简单数论与组合数学的考查
二、2012年自主招生数学试题的 考试热 点以及其备考方向
• 通过对近几年“北约”、“华约”及“卓越”三 联盟自主招生考试数学试题的分析,今年各联盟 自主招生的有以下几个方面成为热点: • (1)三角与向量。主要考查三角函数的恒等变形、 三角形中的三角函数、三角不等式、三角 函数的 性质 • (2)函数与导数。主要考查函数的三大性质、二 次函、三次函数、极值与最值问题
• (3) 数列与不等式。主要考查等差数列与等比数列、
简单的递推数列、数列的求和、数列求通项、数 列的性质等
• (4)解析几何。主要二次曲线的几何性质、点的轨迹方 程、解析法等 • (5)概率与统计。主要考查离散变量的概率 • (6)简单的初等数论。主要考查数的整除性、奇偶性 • (7)简单的组合数学。主要考查排列、组合、计数、对 应、趣味数学题。
2、“华约” 自主招生数学试题特点
• “华约”自主招生数学试题总的来说比“北约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的试题多变,即随意性较大。主要特点如下: • (1)突出能力立意 • (2)三角恒等变换与三角形中的三角函数 • (3)概率统计 • (4)方程与不等式
• (5)函数与导数
3、“卓越同盟” 自主招生数学试题特点
• (1)注重函数与方程的考查 • (2)注重代数恒等变形的考查 • (3)突出数学思想方法的考查 • (4)注重不等式与数列
自主招生试题特点分析
及2012年自主招生备考策略
一、2012年自主招生数学试题特点
1、北约自主招生数学试题的特点
• (1)注重对数学思想方法的考查
• (2)注重数学综合应用能力的考查
• (3)注重逻辑推理能力的考查
• (4) 注重运算能力及数学能力的考查 • (5) 注重对主杆知识的考查 • (6)注重数学应用性问题的考查

北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案

北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案

综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分(北约)一、选择题(每小题8分,合计48分)1.圆心角为3π的扇形的面积为6π,则它围成的圆锥的表面积为( B ).A .B .7πC .D .解:由2166S R ππ==扇形得6R =,由263r ππ=⨯得1r =,故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=.2.将10个人分为3组,一组4人,另两组各3人,共有( C )种分法.A .1070B .2014C .2100D .4200解:433106321002C C C N ==. 3.已知2()2()()33a b f a f b f ++=,(1)1f =,(4)7f =,则(2014)f =( A ). A .4027 B .4028 C .4029 D .4030 解:421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===,124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,猜想*()21()f n n n N =-∈,假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立,则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-,(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-,(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-,所以*()21()f n n n N =-∈.4.若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,则a 的取值范围是( D ).A .01a ≤≤B .C .D .0a ≤或1a ≥解:由题知,{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+,故2(2)40a a ∆=--≥,解得:0a ≤或1a ≥.5.已知1x y +=-,且x 、y 均为负实数,则1xy xy+有( B ). A .最大值174 B .最小值174 C .最大值174- D .最小值174-解:1()()x y =-+-≥104xy <≤,而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞单调递增,故1()()4f xy f ≥,即1174xy xy +≥,当且仅当12x y ==-时取等号. 6.已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数,则C =( B ). A .0 B .arctan 2- C .arctan 2 D .不存有解:由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-,此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=,故arctan 2C =-符合题意.二、解答题(每题18分,共72分)7.证明:0tan3R ∉.证明:设0tan 3Q ∈,则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈,这与0tan 303Q =矛盾. 8.已知实系数二次函数()f x 和()g x ,若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根,方程()0f x =有两个不等的实根,求证:方程()0g x =没有实根. 解:设2()f x ax bx c =++,2()g x dx ex f =++,0ad ≠,所以2()4()()b e a d c f -=--,2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++,所以223124b e ac df +=+,又240b ac ->,所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<,所以方程()0g x =没有实根.9.已知1a ,2a ,…,13a 成等差数列,{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:0,72,163是否能够同时在M 中?并证明你的结论.解:设该数列的公差为d ,∴p ∃,q ,*r N ∈,130a pd +=,173()2a p q d ++=,1163()3a p q r d +++=,∴2111q r =,∴21q ≥,11p ≥,又0123p ≥++=,∴35p q r ++≥, 又12111033p q r ++≤++=,与上式矛盾,故0,72,163不能够同时在M 中.10.i x (1i =,2,…,n )为正实数,且11nii x==∏,求证:1)1)nn i i x =≥∏.解:由AM GM -不等式得:11(n i n =≥,11(ni n =≥两式相加得:1≥,故1)1)nn i i x =≥∏.。

有趣的三角形外心_内心性质二三例_由2012年北约自主招生数学试题所想

有趣的三角形外心_内心性质二三例_由2012年北约自主招生数学试题所想

·重点辅导·不爱自己国家的人,什么也不会爱.◇ 北京 史志刚 岳昌庆 在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,△ABC的外接圆圆心为O,半径为R;△ABC的内切圆圆心为I,半径为r.设O到△ABC的三边BC,AC,AB的距离分别为ha,hb,hc;I到△ABC的三边BC,AC,AB的距离分别为Ha,Hb,Hc.显然OA=OB=OC=R;Ha=Hb=Hc=r.那么(1)ha,hb,hc之间有什么关系呢?(2)IA,IB,IC之间又有什么关系呢?请看2012年北约自主招生数学试题:例1 如果锐角△ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的距离之比.如图1,设ha=OD,则OB=R,BD=a2,所以ha2=R2-a24.由正弦定理得,a=2Rsin A.所以ha2=R2-R2sin2 A=R2cos 2 A.又由已知A为锐角,所以ha=Rcos A.同理hb=Rcos B,hc=Rcos C.所以ha∶hb∶hc=cos A∶cos B∶cos C.图1 图2这道题就回答了问题(1),再来看问题(2).例2 如果△ABC的内切圆的圆心为I,求I到三角形三边的距离之比.如图2,IA=rsinA2=rcscA2,IB=rsinB2=rcscB2,IC=rsinC2=rcscC2.所以,IA∶IB∶IC=cscA2∶cscB2∶cscC2.由我们常见的结论,稍微变换一个角度,对称思维,就能得到意想不到的结果,不失为一道好题.例3 [Chapple定理]在△ABC中,已知外心为O,内心为I,求证:OI2=R2-2Rr. 图3证明 如图3,连接BO,BI,过I作IM⊥BC于M,过O作ON⊥BC于N,则IM=r,BN=NC,所以∠BON=∠A,∠OBN=∠OBI+B2=π2-∠A.在△OBI中,OB=R,BI=rsinB2,∠OBI=C-A2.由余弦定理得OI2=OB2+BI2-2·OB·BI·cos∠OBI=R2+r 2sin2B2-2RrsinB2cosC-A2=R2-2Rr(cosC-A2sinB2-r2Rsin2B2).又在△ABC中,r=4RsinA2sinB2sinC2,所以OI2=R2-2Rr(cosC-A2sinB2-2sinA2sinC2sinB2)=R2-2RrcosA+C2sinB2=R2-2Rr.(1)本题证明中用到结论:在△ABC中,r=4RsinA2sinB2sinC2.(2)由本题结论,显然R2-2Rr=OI 2≥0,所以,R≥2r,当且仅当O与I重合时,即△ABC为等边三角形时,等号成立.(作者单位:北京师范大学出版社)61。

2012年"北约"高校自主招生数学试题简解与讨论

2012年"北约"高校自主招生数学试题简解与讨论

中学 数学 杂 志
21 02年第 5期
g磁 缓 A 2的直 径 中靠近 A : B B 一侧 的端 点.
豸 嬲
中, 已知 ( 一k x+m) 一l ( x+n )=0的 4个 根组
成首 项为 t 的等 比数 列 , 中 m, ,,,为 给定 的常 其 r kZt b
数, l 求 k—Z . ” I
= +1 ≥ 1 戛 +3 0≤ ≤ 1 宅 +3 一 ( ) 一 ( ) (
+ )=0 n 的4 个根组成首项为 t 的等差数列 , 其
中 m,, ,为给定的常数 , I kt 求 m一儿I ” . 同法 可解 得 4根 之和 4 +6 t e=a+b+C+d=
时,与 为方程 I的两根 , 另两根为方程 1 1

C , 时 方程的解为 Y =b+ey , 2=b—e其 中 e= ,

山一 d_

2 。
:A的实根个数为0 A <0 ( ) 的两根 ; ③z: 时 ,与 为方程 I 或 Ⅱ) (
的两根 , 另两根为方程 Ⅱ( I) 或 的两根. 三种情形
5 03 16 1


设 一2 +m =0的根 为 a b 一2 ,, x+n=0
的为, 根 成 差 列 ,+ +, 根 c, 组 等 数 ÷1e 2 - d 4 , e 1  ̄
+3 , 4根之 和为 1+6 e则 e=a+b+C+d =2+2
I x ( =3 +1 ≥1 或 + ( ≤1 或 一 3 一 ) 3 0≤ ) + ( 2≤ ≤0 或 一 x一1 ≤一 )所求 的取值范 ) 3 ( 2,



两棍
故 由 韦 达 定 理 ,I — n I a — c m =I b dI

2012年自主招生华约数学试题解析

2012年自主招生华约数学试题解析

2012 自主招生“北约”数学试卷解析好学网自主招生频道备受关注的2012 年“北约”自主招生考试刚刚落下帷幕,下面笔者针对数学试题作一些简要的评析。

今年“北约”仍然由北大出题,但是阅卷权移交给了考试院。

根据考试院的要求,今年的试题形式上有了一些变化——出现了选择题,但“北约”试题的一贯风格并无本质改变。

函数、方程、解析几何、平面几何、三角函数等领域依然是“北约”考查的重点内容,而像立体几何、复数等内容依然不在“北约”考查的范围之内。

“北约”的考试一向不注重知识点的全面考查,今年也不例外。

从难度上来说,今年的试题比去年的稍难一些,但总体保持稳定。

这和学而思自主招生研究中心之前的预测完全一致。

“北约”的试题一向讲究“顿悟”,一般情况下并不强调非常繁杂的计算,一旦抓住问题的本质,往往就能顺利解答。

比如解答题的第一题:关于x的方程sin 2x⋅sin 4x -sin x⋅sin3x = a在x∈[0,π )时有唯一解,求实数a的值.我们利用和差化积与积化和差公式,可以得到a = sin x⋅sin5x这样一个表达式,接下来构造函数f ( x) = sin x⋅sin5x, x∈R,如果注意到函数f ( x)是关于直线2xπ= 对称的,问题即可迎刃而解。

由于原方程在x∈[0,π )时有唯一解,因此x = 0或2xπ= ,解得a = 0或1。

请大家注意这道题中函数性质与图像的应用。

这样的思想,在学而思自主招生研究中心编写的讲义中是重点强调过的,类型的问题也讲解过很多。

再比如,“数形结合”历来是“北约”考试非常看重的数学思想。

今年的选择题中求函数y = x + 2 + x -1 + x 的递增区间这道题,只要利用绝对值的几何意义,画数轴就能轻松得出答案为(0,+∞)。

还有求关于x的方程x +11-6 x + 2 + x + 27 -10 x + 2 =1的实根的个数这道题,先将原方程变形为x + 2 -3 + x + 2 -5 =1,然后还是利用绝对值的几何意义,即可得出原方程根的个数为0。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2012年北约自主招生数学试题
1、求的取值范围使得是增函数;
2、求的实数根的个数;
3、已知的4个根组成首项为
的等差数列,求;
4、如果锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比;
5、已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值。

6、在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?
7、求使得在有唯一解的;
8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;
9、求证:对于任意的正整数,必可表示成的形式,其中
x 12)(-+++=x x x x f 1210272611=+-++
+-+x x x x 0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 41n m -ABC ∆O O )0,2(),0,2(B A -C 0222=+-y x x ABC ∆2012,,2,1 a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin ),0[πa n n )21(+
1-+s s +∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答。

相关文档
最新文档