导数的概念及基本函数的导数

典型例题 2
若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数. (1)解: 设f(-x)=g(x), 则 f(-a-Dx)-f(-a) g(a+Dx)-g(a) =lim g(a)=lim Dx D x0 Dx D x 0 f(-a-Dx)-f(-a) =-f(-a). =lim - Dx -Dx0 ∴f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数互为相反数. (2)证: ∵f(x) 为偶函数, f(-x+Dx)-f(-x) f(x-Dx)-f(x) ∴f(-x)=lim =lim D x 0 D x 0 Dx Dx f(x-Dx)-f(x) =-f(x), =lim -Dx0 -Dx ∴f(x) 为奇函数. 注: 本题亦可利用复合函数的求导法则解决.
函数 y=f(x) 的导数 f(x), 就是当 Dx0 时, 函数的增量 Dy 与 Dy 自变量的增量 Dx 的比 Dx 的极限, 即: f(x+Dx)-f(x) Dy f(x)=y=lim =lim . D x 0 D x D x0 Dx 求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量: Dy=f(x0+Dx)-f(x0); Dy f(x0+Dx)-f(x0) (2)求平均变化率: Dx = ; Dx Dy (3) 取极限: 得导数 f(x0)=lim . D x0 D x 如果函数 f(x) 在开区间 (a, b) 内每一点都可导, 就说 f(x) 在开 区间 (a, b) 内可导. 这时, 对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值 x0, 都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在开区间 (a, b) 内构 成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a, b)内 的导函数, 记作 f(x) 或 y(需指明自变量 x 时记作 yx), 即:
课后练习 4
如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点 坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4.
若函数 f(x)=|x|, (1)试判断 f(x) 在 x=0 处是否可导; (2)当 x0 时, 求 f(x) 的导数. Dy |Dx| 解: (1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|, ∴ Dx = . Dx Dy Dy 当 Dx<0 时, Dx =-1, lim =-1; D x0 D x Dy Dy 当 Dx>0 时, Dx =1, lim =1, D x0 D x Dy Dy Dy ∴D lim lim , 从而 lim 不存在. x0- Dx Dx0+ Dx D x 0 D x 故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导. (2)当 x>0 时, 可使 x+Dx>0. (x+Dx)-x |x+Dx|-|x| f(x+Dx)-f(x) =1. f(x)=lim =lim =lim D x 0 D x0 D x0 Dx Dx Dx 同理可得, 当 x<0 时, f(x)=-1. 注 函数在一点连续, 但不一定可导; 函数在一点可导, 直观 反映是函数的图象在这一点是平滑的.
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx; 1 log e; (3)(lnx)= 1 , (log x ) = a x x a (4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
典型例题 1
2+x+1, x≤0, x 已知函数 f(x)= (1)确定 a, b 的值, 使 f(x) 在 x=0 ax+b, x>0. 处连续、可导; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程.
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定 的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新 函数, 即导数.
三ຫໍສະໝຸດ Baidu知识要点
1.导数的概念 对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 Dy y 相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0), 比值 Dx 叫做函数 y=f(x) 在 Dy f(x0+Dx)-f(x0) x0 到 x0+Dx 之间的平均变化率, 即 . Dx = Dx Dy 如果当 Dx0 时, 有极限, 就说函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, Dx 并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作: f(x0+Dx)-f(x0) Dy =lim . f(x0) 或 y | x=x0, 即: f(x0)=lim Dx0 Dx Dx0 Dx
1 3 同理, 曲线 y= 4 x -2 在 P 处的切线斜率 k2=3, k 2- k 1 由夹角公式 tan=| 1+k k |=1 得 = . 4 2 1 故两曲线的交点处切线的夹角为 4 .

课后练习 1
1 (x2+1), x≤1, 已知函数 f(x)= 2 判断 f(x) 在 x=1 处是否可导. 1 (x+1), x>1. 2 1 [(1+Dx)2+1]- 1 (12+1) Dy 1 Dx) =1, 2 2 =lim (1+ 解: ∵D lim =lim Dx02 x0- Dx Dx0Dx 1 (1+Dx+1)- 1 (12+1) 1 Dx Dy 2 1, 2 2 lim =lim = =lim 2 Dx0+Dx Dx0+ Dx0+ Dx Dx Dy Dy Dy ∴ Dlim lim , 从而 lim 不存在 . D x x0- Dx Dx0+Dx D x 0 ∴ f(x) 在 x=1 处不可导. 注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在, 要验证 其左、右极限是否存在且相等, 如果存在且相等, 那么这点的 导数存在, 否则不存在.
二、重点解析
导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义 导出的. 导函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有 唯一的导数 f(x0), 然后定义函数 y=f(x) 在开区间 (a, b) 内可导,
f(x) =lim f(x)=f(0). 解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续, 则需 xlim 0x0+
2+x+1)=1, f(0)=1, lim f(x) =lim(ax+b)=b, 而x lim f ( x ) =lim( x 0x0+ +
x 0 x 0
故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体 的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的 加速度.
3.几种常见函数的导数
一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1]-(02+0+1) 又 Dlim =lim =lim (Dx+1)=1, x0- Dx Dx0Dx Dx02+0+1) Dy [ a (0+ D x )+ b ] (0 lim+ Dx =lim+ Dx D x0 D x0
aDx+b-1 b- 1 =lim =a+lim D x + D x0 Dx0+ Dx 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. 综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. (2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0.
典型例题 3
已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相 切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由已知直线 l 过原点且其斜率 k= x , ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 3 (∵x 0). 2 解得 x = 整理得 2x0 -3x0=0. 0 2 0 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 , - 3 ). ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x , 切点坐标是 ( 8 4 2 注 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在 的话), 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题.
Dy f(x+Dx)-f(x) f(x)=y=lim =lim . D x 0 D x D x0 Dx 导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函 数值. 如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续, 但要注意连续不一定可导. 2.导数的意义 (1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
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典型例题 4
2 与 y= 1 x3-2 的交点处切线的夹角(用弧度数 求曲线 y=2- 1 x 2 4 作答). 2 与 y= 1 x3-2联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0). 解: 由 y=2- 1 x 2 4 1 ∵y=2- 2 x2 的导函数为 y=-x, ∴它在 P 处的切线斜率 k1=-2,
课后练习 2
课后练习 3
一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单 位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 [2, 2.01] 这段时间内质点的平 均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度. 解: (1)∵DS=32.012+2.01+1-(322+2+1)=0.1303. DS ∴v= Dt = 0.1303 0.01 =13.03(m/s). (2)∵DS=3(t+Dt)2+(t+Dt)+1-(3t2+t+1)=3Dt2+(1+6t)Dt, DS 3Dt2+(1+6t)Dt =3Dt+1+6t. ∴ Dt = Dt DS ∴v=lim =lim(3 Dt+1+6t)=6t+1. D t0 D t D t0 ∴v | t=2=13. 即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s. 注 (2)亦可直接对函数求导后解决.