分形简介
分形的基本原理
混沌理论之分形交易系统的基本原理分形也叫碎形，英文叫Fractal---交易的起始！一、分形原理分形是利用简单的多空原理而形成。
当市场上涨的时候，买方追高价的意愿很高，形成价格不断上升，随着价格不断上升买方意愿也将逐渐减少，最后价格终于回跌。
然后市场进入一些新的资讯（混沌）影响了交易者的意愿，此时市场处于低价值区，买卖双方都同意目前的价格区，但对于价格却有不同的看法，当买方意愿再度大于卖方意愿时价格就会上涨，如果这个买方的动能足以超越向上分形时，我们将在向上分形上一档积极进场。
下跌时原理亦同。
二、分形结构分形是由至少五根连续的K线所组成。
向上的分形中间的K线一定有最高价，左右两边的K 线分别低于中间K线的高点；向下的分形中间的K线一定有最低价，左右两边的K线分别高于中间K线的低点；你可以现在举起手，观察自己五根手指的结构，就是典型的向上分形。
这是最典型的也是最基本的分形结构；若中间的K线同时高于和低于左右两边的K线，那么它即是一个向上的分形又是一个向下的分形。
需要注意的是如果当天的K线最高点或最低点与前面一根K线的高点或低点相同时，需要等待后一根K线进行确认。
分形是证券混沌操作法的入场系统，也是鳄鱼苏醒时的第一个入场信号。
一个分形产生后，随后的价格如果有能力突破分形的高点或低点，我们便开始进场。
在证券混沌操作法中，一个有效的分形信号，必须高于或低于颚鱼线的牙齿。
当有效的分形被突破后，只要价格仍然在鳄鱼线唇吻的上方或下方，我们便只在下一个分形被突破时进行顺势交易。
分辨向上分形时我们只在乎高点的位置，观察向下分形时则只在乎低点的位置。
在找寻分形时必须注意几点：1.如果某一天的K线最高价与前一天K线的最高价相同，那么该天的K线将不列入五根手指头之内，此时就需等待第六根K线的确认。
2.向上与向下分形可由一根K线来完成，因为它都符合上下分形的结构原理。
3.向上与向下分形可共享周边的K线。
三、分形的用法分形可以透露许多市场行为结构的演变讯息，当市场在高高低低之间波动时，我们可以藉由了解分形的行为而改善我们的交易绩效。
分形理论及其应用
X 1 ： ( x1，x2，，xm )
X X
2 3
：
(
x
，
2
x
3，，
x
m
1
)
：
(
x
，
3
x
4，，
x
m
2
)
X
4
：
(
x
，
4
x5，，
x
m
3
)
把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距空间共生成
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
•分形理论及其应用
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其
质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行
同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2
质量分别为 P12 ，P1 P2 ，右两段的长度分别为 ， r2 r1 r22 ，
质量分别为
， P2 P1
P
2 2
；如此操作下去就会得到一个不
均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
•分形理论及其应用
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2)n展开中的
一项， n。因此可以用P1的q阶矩 Piq 取代单分形 i
分形图形与分形的产生
分形图形分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
�
我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
分形简介汇总
的界限。
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什么是分维？
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首 先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将 它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2， 而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立
分形几何
•现代数学怪物（30多年的历史） •无特征长度与比例 •实用于大自然现象 •用（递归或迭代）算法描述 •图形不规则 •图形的结构层次无限 •局部往往具有整体的信息 •图形复杂，其背后的规则经常是简单 的
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什么是分维？
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球
面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，
分形简介
谢模明 2007年9月10日
教学说明
教学目的：了解分形的基本概念、分形几何与 欧几里德几何的区别。 教学重点：分形的概念
教学难点：分形的作用
教学时间：45分钟
主要内容
分形的定义 谁创立了分形几何学？ Fractal（分形）一词的由来 分形几何与传统几何相比有什么特点： 什么是分维？ 为什么要研究分形？
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Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏 天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿 子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁 文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文 的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment （“碎片”）具有相同的词根。
分形理论在社会学中的应用
我们注意到这样一个事实：
本世纪大部分时间使用的经典金融模型预测，这 样的急升急降事件是永远也不应当发生的。金融学的 基础之一是现代证券理论，该理论的目标是，对于给 定水平的风险，取得尽可能大的收益。支撑这种证券 理论的数学在处理极端情况时，作了尽可能从宽的忽 略：它认为重大的市场剧变出现的可能性太小，以致 没有什么重要性，或者认为这类变化无法加以考虑。 不错，证券理论或许能解释市场在95％的时间里发生 的情况。然而，如果人们承认重大的事件就包含在剩 下的5％内的话，那么这个理论所描述的图景就没有反 映实际情况。人们必然会想到用海上航行的水手来做 一个比喻：如果大海在95％的时间里风平浪静，水手 是否能对发生台风的可能性视而不见？
例二： 还是众所周知，人民代表大会制是 我国的根本政治制度。国家的最高权力 机关是全国人民代表大会，下设省级人 民代表大会，省级人民代表大会下设市 级人民代表大会，市级人民代表大会又 县级人民代表大会，一直到乡级人民代 表大会。这一制度的可行性同样取决于 各级行政区域之间的微妙的相似性。 我国的法院，检察院也基本采取这一体 制。我不想再多费口舌了。
二 在社会学上的应用：
分形-------局部与整体的相似性------个体与社会的相似性--------一般群体 的研究得出社会制度的原则------从
而解决社会学的疑难
例一：
众所周知，我国用仅占全世界7%的土地成 功的养活了占全世界22%的人口。而这一奇 迹的创造得益于家庭联产承包责任制。但是， 这一行之有效的制度并不是一下子便在全国 范围内实施的。而是先在一个村试行，而后 推广到一个县，再到一个地区，再推向全国 的。这四个层次的拓展的可行性就在于他们 之间的相似性。 我国实行的改革开放政策也是根据这一原理 采取由沿海到近海再到内地逐步实施的政策 的。
分形理论在无机材料中的应用
分形理论在材料中的应用1 分形理论简介Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1. 1 分形理论的提出众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。
然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。
同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。
于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。
整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。
但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。
此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。
1. 2 自相似性分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。
自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。
简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。
形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。
12、分形图形学li
(3)
Koch 曲线的维数
一个几何对象的维数还可以从测量的 角度来定义： Ｄ＝ln(N) / ln(K) 其中：Ｄ 维数 Ｓ缩小系数的倒数(即缩小的倍数) Ｎ每步的分段数(即缩小后新形体的个数)
在Koch曲线中，S＝3 ( 缩小系数是 1/3 )；Ｎ＝4。 所以Koch曲线的维数为： Ｄ＝ln(4) / ln(3)
曲线由把每一折线段反复迭代成缩小 比例的三分之一的生成元而成。即字 符串T＝ F L F R R F L F 中的每一个 F 又是字符串 T 本身。而每次迭代 后，生成的曲线长是原来曲线长的三 分之四倍。可见，无数次迭代后， Koch 曲线将变得具有无限长度。并 且，Koch 曲线是永远不自相交的。
第12讲
分形
一、分形的概念
分形是最近三十多年来发展起来的新 学科。分形的原文是 Fractals，是由著 名数学家 B . Mandelbrot 于 1975 年用 拉丁词根构造的单词，他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法： 分形几何。
自然界中存在着不可胜数的不规则形 体。多少年来，人们都是用传统的几 何方法对它们进行描述，采用的主要 手段是用规则形体去逼近。这种用规 则形体去描述不规则形体所得到的结 果，与现实是有很大差距的，并且这 种方法需要大量的数据，所以有时甚 至是不可能的。
因此，对于第 i 段线段末了的转角: A ( i )=T ( i )*90º 。 因为向右转90º 就等于向左转270º 。 对于 i 的任意整数值，其T ( i )的 值可由下式确定：
T ( i )=T ( i / 2 ) ; 对于 i 是偶数 T ( i )=T ( i % 4 ) ; 对于 i 是奇数
( 2 ) 生成Koch 曲线的程序
数学模型--分形简介
则点集 {Zk的} 聚点集合称为一个IFS吸引子。
• 用IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为
V [xmin, xmax] [ ymin, ymax]
假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数 为N。
２、将 V 分成 a b 的网格，格点为(xi, y j ) 用
V表ij 示[x矩i , x形i1]区[域y j ,。y j用1] 表示在N次迭代中ij落入
考虑复变函数迭代
Z n1
Z
2 n
c,
n 0,1,
(2)
固定复参数 c，使得迭代序列 {Zn} 有界
的初值 在Z复0 平面上的分布图形称为 Julia集，亦即
Jc 迭{Z代0 |序列 有界{Z}n}
• Mandelbrot集
固定初值 Z，0 使得迭代序列（2）有界 的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即
Julia 集
Mandelbrot集
４、IFS迭代产生分形
• 混沌游戏
给定平面上三点A, B, C。再任意给定初
始点 Z0 , 做下列迭代
Z n 1
(Z (Z
n n
A) / 2, B) / 2,
当掷出的硬币呈正面 当掷出的硬币呈反面
(Zn C) / 2, 当掷出的硬币呈侧面
按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图 形。故称为混沌游戏。
数学模型 • 分形简介
北京理工大学 王宏洲
一、分形简介
1、分形的起源
大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶 体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何 用几何来描述它？
B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线 的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科-
分形理论及其发展历程
分形理论及其发展历程李后强汪富泉被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下。
过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。
分形几何简介
浙江大学数学系 姜海益
报告内容
分形几何的发展历史
分形几何的研究对象和研究方法 分形几何的应用
分形几何产生的背景
经典几何的研究对象: 规则的图形，如圆，三角形等． 问题： 对于不规则的图形：如海岸线，云的边界， 我们如何研究？如何用计算机去生成？
下面我们再介绍一些传统方法难以处理的一些 问题．
自相似集合的分形维数公式
设f1, f2, …,fm 是一组Rn上的相似压缩映射， fi的相似比为ci, E是对应的自相似集，如 果fi(E)是两两不交的，那么E的分形维数 d由下面的公式给出： c1d+ c2d+…+ cmd=1.
注：带下划线的条件可以放宽到“开集 条件”，使得Koch曲线，Sierpinski垫片 的维数公式也可由此计算。
微积分中的一个问题
如何研究在闭区间上处处连续处处不可导 的函数：如Weierstrass函数？
一类Weierstrass函数的具体表 达式
W ( x)
n 0
( s 2) n
sin( x)
n
其中1<s<2,
1
大自然的不规则性:
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹 等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal).
测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能 短的道路步行，并规定每步长度不超过，设 这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始， 并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论：随着步长越来越短，我们测量出 来的海岸线长度越来越长。
分形几何课件
21
分形几何
22
分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表 示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为 复数（即一切形如 a + b i 的数）。
23
分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分， 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
❖ 可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
56
分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的 结果，它基本上可以看作 是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
57
分形几何
❖ 我们再来看一个无法构 成连通区域的 Julia 集的 例子。取 c = - 1 - 0.9 i ， 让我们来看看逆推的过 程。还是先画出半径为 2 的圆盘。
它打败了欧几里得空间，踹飞了数学怪物，成为全世界的焦点
它打败了欧几里得空间，踹飞了数学怪物，成为全世界的焦点分形几何自然界的几何学Long long ago，超模君为大家介绍Koch曲线（传送门）的时候提到了分形，结果小天很好奇这个所谓的分形究竟是什么。
为了不让小天老是纠缠这个问题，今天超模君就来介绍一下分形吧。
数千年以来，几何学的研究主要集中在欧几里得几何上。
正因如此，欧式几何一直是人类认识自然物体形状的有力工具，还是各种学科理论的基础。
甚至伽利略曾断言：“大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。
但，真的是这样吗？事实并非如此，自然界中存在着各种不规则不光滑不连续的几何形体，譬如湍流的高漩涡、河流的支流、蜿蜒的海岸线，而这些形体是无法用欧式几何描述的。
既然“万能”的欧式几何不管用了，那么有没有处理这些不规则形体的好方法呢？显然是没有的。
因此在1个多世纪前，所谓的数学怪物出现了，而康托尔、魏尔斯特拉斯等数学家则成为了制造者。
1883年，康托尔（传送门）引入了如今广为人知的康托尔集，也称为三分集。
虽然康托尔集很容易构造，还是个测度为0的集，也就是它的函数图像面积为0，但它具备很多最典型的分形特征，因此康托尔始终无法解决。
目前分形几何的特征有：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则；（至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有著简单的递归定义。
Cantor集1895年，在大部分数学家认为除了少数特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率的情况下，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数“魏尔斯特拉斯函数”，并凭借函数曲线特点“处处连续，处处不可微”证明了所谓的“病态”函数的存在性。
1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，而这个雪花曲线就是de Rham曲线的特例科赫曲线（传送门）。
Koch曲线1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形进行分形构造，提出了谢尔宾斯基三角形；两年后，利用正方形进行分形构造提出了谢尔宾斯基地毯。
分形理论概述
分形理论概述分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论(fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形理论的原则自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分形理论PPT课件
分形理论
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
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图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
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图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8
第三章 分形和多重分形资料讲解
第三章分形和多重分形第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
分形(一种别样的数学美丽)
分形（一种别样的数学美丽）从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。
分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。
要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。
分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。
它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。
我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。
1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。
2.世界最大盐沼——天空之镜盐沼坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。
下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。
坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。
3.菊石缝线菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型大约6500万年前灭绝的菊石在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。
这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。
美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。
菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。
4.山脉山脉山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。
这些因素共同作用的产物，是一个分形。
上图显示的是喜马拉雅山脉，它是世界很多最高峰的所在地。
印度板块和欧亚板块在大约7000万年前相撞在一起，导致喜马拉雅山脉隆起，现在这座山脉的高度仍在不断增加。
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分形的发展
波瑞(Perrir)在1913年对布朗运动的 轨迹图进行了深入的研究，明确指出 布朗运动作为运动曲线不具有导数。 他
分形的发展
在此期间，维数理论得到了进一步发展并日臻 成熟.Bouligand于1928年引入了Bouligand 维数，Poutrjagin与Schnirelman于1932年引 入覆盖维数，Kolmogorov与Tikomirov干 1959年引入摘维数.
分形的发展
在此期间，Levy在下面两个方面的工作极为重要 一其一，他第一个系统地研究了自相似集，我们现 今研究的许多自相似集的性质可追溯到他的工作. 其二，他建立了分式布朗运动的理论，实际上，他 是随机分形理论系统研究的最重要的先驱者之一
分形的发展
曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维 数》发表了他的划时代的专著，第一次系统性的 阐述了分形几何的思想内容、意义和方法。 此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学 科正式诞生，从而把分形理论推进到一个更为迅 猛发展的新阶段
分形简介
目录
序言
分形的发展
分形维度
分形理论的应用
序言
一切的一切都要从
海岸线的长度 说起
序言
序言
序言
“你要了解大千世界的奥秘，首先需要懂得
它的语言，它的语言是用数学、三角形、圆 及其他几何图形所书写的。你若不掌握这种 语言，你就什么也不会知道，你只能在黑暗 的迷宫中徘徊。” ——《哲学原理》，伽利略
序言
“云团不是球，山岳不是锥 体，海岸线不是圆，树皮不 是光滑的，闪电也不是沿直 线传播。 ——曼德尔布罗特
分形的发展
“分形”(fractal)一词由美籍法国数学家曼德尔布 罗特(Benoit B.mandelbrot)教授在1975年首次提 出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不 规则的，破碎的”。
分形理论的应用
非线性 光学 流体粘性 指进现象 相变分析 放电式样 研究 超微粒中 分形量 子力学
在固体物理中的应用
在一些非晶态固体中存在着分形结构，而分 形结构上的自相似可造成反常运输。准晶态 的形态是受分形规律制约而均成为分维结构， 分形可用于准晶态的研究。在固体扩散中， 当非均匀介质的晶格为具有无标度性的分形 晶格时，分形晶格的反常扩散可用谱维数加 以描述。在固体的元激发中，分形晶格中元 激发分形子态密度与谱维数有关。
通常以曼德尔布罗特发表在1967年《科学》杂志 上的“英国的海岸线有多长·统计自相似性与分数 维数”一文作为“分形”学科诞生的标志
分形的发展
第一阶段
• 1875——1925
第二阶段
• 1926——1975
第三阶段• 1975Leabharlann 今第一阶段第一阶段
Van Koch于1904年通过初等方法构造 了现今称为Van Koch曲线的处处不可微 的连续曲线，该曲线是第一个人为构造 成的具有局部与整体相似的结构的例子， 即现在称为自相似的结构.
分形的维度
= 0
分形的维度
容量 维数
相似 维数 信息维数
相似维度
相似维度
分形理论的应用
虽然分形是在近三十年才发展起来的一门新兴 学科，但它已经激起了多个领域科学家的极大 兴趣其应用探索遍及数学、物理、化学、材料 科学、生物与医学、地质与地理学、地震和天 文学、计算机科学，乃至经济、社会等学科， 甚至艺术领域（美术、音乐方面）也有它的应 用
在分形量子力学中的应用
分形量子力学的一个重要问题是求解 分形晶格中的薛定愕方程，从而研究 电子能谱分布，常用的是紧束缚近似 方法。研究结果表明，分形晶格上的 本征谱具有互相嵌套的自相似结构， 而不像平移对称晶格那样形成能带。