2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【1，5分】i 为虚数单位，607

i

的共轭复数．．．．

为（ ）

（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．

（2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（ ）

（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B

【解析】依题意，这批米夹谷约为28

1534169254

⨯=石，故选B ． （3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数

）

（A ）122

（B ）112 （C ）102 （D ）92

【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n

x +

中奇数项的二项式系数和为

10

91222

⨯=，故选D ． 以及计算能力．

（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，2

22

(,)Y N μσ:，这两个正态分布密 （A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤

（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到

()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．

【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键

（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；

q ：2222222

1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）

（A q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A

【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()1

3n n a

q n a -=≥且0n a ≠；

对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立； ②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式2222222

1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成

立，则

n

n a a a a a a 132

21-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要

（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，

（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函

数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪

===-⎨⎪-<⎩

，故选B ．

（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1

2

x y +≥

”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤

”的概率，3p 为事件“1

2

xy ≤”的概率，则（ ） （A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈，

对事件“1

2x y -≥

”如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1

2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，

对事件“1

2

xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可

得231p p p <<，故选B ．

【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面

积的大小即可比较大小．

（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >

个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）

（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，2

2211a b b e a a +⎛⎫

=

=+ ⎪⎝⎭

，()

()

2

2

2

21a m b m b m e a m

a m ++++⎛⎫

==+ ⎪++⎝⎭

，

因为

()()()

m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，

当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，2

2

b b m a a m +⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

，所以12e e <；

当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22

b b m a a m +⎛⎫⎛⎫

> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

，所以12e e >．

所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．

（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定

义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）