多元复合函数求导的链式法则
多元复合函数求导的链式法则
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则多元多重复合函数是多元函数中重要的一类函数，常用来描述多元关系，其中常用求导法则如下： 1. 链式法则：链式法则是求导最基本的法则，其定义为：若函数y=f(x)是关于变量x的函数，而z=F(y)是关于y的函数，则关于x的F(y)的导数由z的导数乘以y的导数的乘积来决定，即：∂z/∂x = (∂z/∂y) *(∂y/∂x) 2. 偏导数法则：偏导数法则认为多元函数是关于各独立变量变化而变化，即每个变量是由与它独立变量组成的函数组合而成。
这时，只要将函数分解为每个独立变量的函数，分别求出偏导数后，组合即可得到多元函数的极限导数。
3. 偏导数链式法则：偏导数链式法则是将链式法则与偏导数法则相结合而推出的求多元复合函数极限的法则，其定义为：若函数u=f(x,y,z)是三元函数，而v=F(u,z)是关于u，z的多元函数，则u的偏导数即得到v的偏导数，即：∂v ∂x = (∂v/∂u)(∂u/∂x) + (∂v/∂z)(∂z/∂x) 4.Derivative of a composite function：This rule states that for a function y = f(x) composed of two functions u = g(x) and v = h(x), then the derivative of y with respect to x is equal to the product of the derivatives of u and v with respect to x. This can be written as y'(x) = u'(x)·v'(x) 以上是多元多重复合函数常用的求到法则，而求多元复合函数极限的步骤可由偏导数链式法则推导而得。
首先，求出函数中每个变量的偏导数，然后分别乘以各自的函数值，最后将结果进行相乘组合计算即可得到多元复合函数的极限值。
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
主讲人： 苏本堂
zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
6-4复合函数的求导法则
------链式法则 链式法则
一、多元复合函数求导的链式法则
情形一:中间变量为一元函数 情形一 中间变量为一元函数
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导，函数 z = f (u, v ) 在对应点(u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ (t ),ψ (t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． = + dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u = φ ( t + t ) φ ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数
z z z = u + v + ε 1 u + ε 2 v , u v
w = 1. y
区 别 类 似
z f u f = + , x u x x
z f u f = + . y u y y
z = f ( u, x , y )
z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中
中
u x
y
y
x
z = f (u, x, y ) = ue xy , u = x 2 y
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
z
dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dt
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
多元复合函数的求导法则
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
多元复合函数的求导法则
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
4
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂f x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2 ⋅ 2 xsin y = 2xe +2ze = ∂x 2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 x (1+ 2 x sin y) e ∂u ∂ f ∂ f ∂z x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y = + ⋅ = 2ye +2ze ∂y ∂y ∂z ∂y 4 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 ( y + x sin y cos y ) e 为中间变量时, 注:变量 x, y既是中间变量最终变量,当视 x, y 的函数 x, y, z 是独立的, 当视 x, y 最终变量时, z是 x, y ∂u ∂ f x, y, z 不是独立的. 故 与 在这里含义不同. ∂x ∂x ∂ f 是视 x, y为中间变量求导,故对 u求导时 x, y, z 是独立的,故
中间变量到达它就有几项之和);每一项都是对中间变量的 偏导数与该中间变量对自变量的导数之积.
例4. 设 z = f (cos e
解: 令 u = cos e
x+2 y
)
∂z ∂z ∂2 z 求 , ∂x ∂y ∂x∂y
z
u
x+2 y
x
y
∂z dz ∂u ' x+2 y x+2 y x+2 y = = f (cos e )(−sin e )e ∂x du ∂x ∂z dz ∂u ' x+2 y (−sin ex+2 y )ex+2 y 2 = = f (cos e ) ∂y du ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ ' x+2 y x+2 y x+2 y = ( − f (cos e )sin e e ) = ∂x∂y ∂y ∂x ∂y '' x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y = [− f (cos e )(−sin e )e 2]sin e e
高等数学 第四节 多元复合函数的求导法则
11
例 4 . 已知 e
−xy
∂z ∂z − 2z + e = 0 , 求 . 和 ∂x ∂y
z
解 . Q d (e − x y − 2 z + e z ) = 0 , ∴ e − x y d (− x y ) − 2 d z + e z d z = 0 ,
− e − xy ( x d y + y d x) = ( 2 − e z ) dz
dz=
− y e−xy (2−e )
z
dx+
− x e−xy (2−e )
z
dy
∴
∂ z y e−xy = z , ∂x e −2
∂ z x e−xy = z . ∂y e −2
12
复合函数的高阶偏导数
∂2z 2 2 2 例5 . 设 z = f ( x y , x − y ) , f ∈ C , 求 . ∂x∂y
= f x ⋅ x ′( t ) + f y ⋅ y ′( t ) + 0 ⋅ x ′ 2 + y ′ 2
即
du = f x ⋅ x′(t ) + f y ⋅ y′(t ) . dt
2
x = x (t ) 推广 . 对于 u = f ( x , y , z ) , y = y ( t ) , z = z (t ) f 可微, x(t ) , y(t ) , z(t ) 可导.
∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ′ 解. = f1′ ⋅ u x + f 2 ∂x
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。
设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。
我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。
然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。
将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。
假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
多元复合函数求导法则
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况：
如果 u (x, y) 及 v ( x, y) 都在点( x, y) 具有对 x和y 的偏导数，且函数 z f (u,v) 在对应点 (u,v) 具有连续偏导数，
zv x x
dz 试问 dx 与
f x
是否相同？为什么？
z f (u,v, x), u (x), v ( x)
u
dz f du f dv f
zv x
dx u dx v dx x
不相同.
x
等式左端的z是作为一个自变量x的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为u, v, x的三元函数，
一、链式法则
一元复合函数
定理
求导法则
如果函数u (t) 及v (t)都在点 t 可导，
函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，
则复合函数z f [(t), (t)] 在对应点 t 可导，
且其导数可用下列公式计算
dz z du z dv z
dt u dt v dt
u vt
证 设 t 有增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u,v) 在点
(u,v) 有连续偏导数，故可微，即
z z u z v o( ), ( (u)2 (v)2 )
复合结构如图示
u
x
z z u z v , z
多元复合函数的求导法则详解
多元复合函数的求导法则详解具体来说，有两种常见的多元复合函数情况，即链式法则和求导法则。
下面将结合具体例子详细解释这两种求导法则。
链式法则：链式法则适用于一个函数内部嵌套一个函数的情况。
我们用一个简单的例子来说明。
假设有一个函数f(x)=x²+1，另一个函数g(y)=y³。
现在我们要求复合函数h(x)=g(f(x))的导数。
首先，我们可以计算出 f(x) 的导数 df/dx = 2x。
然后我们计算g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
接下来，我们利用链式法则来求解 h(x) 的导数。
根据链式法则，h(x) 的导数可以表示为 h'(x) = (dg/df) *(df/dx)。
在这个例子中，(dg/df) 表示 g'(f(x))。
我们可以通过将 f(x) 的结果代入到 g(y) 中来计算 (dg/df)。
即将 f(x) 的结果代入到 g(y)中得到h(x) = g(f(x)) = (f(x))³ = (x²+1)³。
然后我们计算 g'(f(x))，也就是求 g(f(x)) 的导数。
根据前面的计算， g(y) 的导数dg/dy = 3y²。
将 f(x) 的结果代入 dg/dy 中，即f(x) = x²+1，我们得到dg/df = 3(x²+1)²。
接下来，我们将 (dg/df) 和 df/dx 代入链式法则的公式中，即h'(x) = (dg/df) * (df/dx) = 3(x²+1)² * 2x = 6x(x²+1)²。
因此，我们得出 h(x) 的导数为h'(x) = 6x(x²+1)²。
这个例子说明了链式法则的使用方法，即先计算每个嵌套函数的导数，然后将这些导数代入到链式法则的公式中，得到最终的复合函数的导数。
9(4)多元复合函数的求导法则
∂u ∂u ∂u sinθ = cosθ − ∂x ∂ r ∂θ r
∂ u ∂ u = ∂u + 1 ∂u 得 + ∂ y ∂r r 2 ∂ θ ∂x
2 2
2 2
多元复合函数的求导法则
∂u ∂u ∂u sin θ cos θ − = ∂x ∂r ∂θ r
x2 + y2 +z2
∂u ∂u 求 , ∂x ∂y
u
+2ze
x2 + y2 +z2
2 2
⋅ 2 xsin y
4 2
= 2 x (1+ 2 x2 sin2 y) ex
∂u ∂ f ∂ f ∂z + ⋅ = ∂y ∂y ∂z ∂y
+ y +x sin y
x y z
x y
= 2ye
x2 + y2 +z2
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
u
z
x
v w
y
多元复合函数的求导法则
例2 设z = e u sin v , u = xy , v = x + y , 求 ∂z 和 ∂z . ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 解 = ⋅ + ⋅
r θ
x y
多元复合函数的求导法则
y u = F(r,θ ), r = x + y , θ = arctan x ∂ u ∂ u ∂ r ∂u ∂ θ ∂ u y ∂ u x = + = + ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂r r ∂ θ r 2 r x ∂u ∂u cos θ sin θ + u = ∂r ∂θ r y θ
D6.2.3多元复合函数求导的链式法则
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v yx y
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x y z ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 11 , 引入记号 12 f1 ,22f12 , 为简便起见 u u v
9-6-多元复合函数求导
z yy = [ f11 ⋅ x + f12 ( −2 y )] x + [ f21 ⋅ x + f22 ⋅ ( −2 y )]( −2 y ) − f2 ⋅ 2
例 10 z = f (2 x − y, y sin x ) ，其中 f 具有连续的二阶偏导数， 具有连续的二阶偏导数，求
∂2 z 。 ∂x∂y
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t = e cos t − e sin t + cos t
= e t (cos t − sin t ) + cos t .
注意记号
t t
t
∂u ∂u 例3 u = f ( x , y , z ), z = sin( x + y )计算 ∂x , ∂y 。 x
二、全微分形式不变性
设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数， 具有连续偏导数，则有全微分
∂z ∂z dz = du + dv ;当 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) ∂u ∂v ∂z ∂z 时，有dz = dx + dy . ∂x ∂y
全微分形式不变性的实质：
∂v ∂f ∂w + , ∂x ∂w ∂x ∂v ∂f ∂w + . ∂y ∂w ∂y
z
u v w
x
y
总结
1. 公式的个数 = 最终变量的个数 2. 每个公式中的项数 = 中间变量的个数 3. 每一项的结构类似于一元符合函数的链式法则
一种特殊情况
令 v = x,
多元复合函数求导链式法则证明的注记
多元复合函数求导链式法则证明的注记在微积分中，链式法则是求导的重要工具之一、它用于计算复合函数的导数，即由两个或多个函数所组成的函数的导数。
多元复合函数的求导链式法则基于单变量的链式法则，我们需要对每个变量进行计算。
下面是对多元复合函数求导链式法则的证明注记。
首先，我们先来回顾一下单变量链式法则的表述，即对于由两个函数$f(u)$和$u(g(x))$组成的复合函数$f(g(x))$，其导数可以表示为：$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = \frac{df}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，复合函数$f(g(x))$在变量$x$处的导数等于外函数$f(u)$在内函数$u(g(x))$处的导数与内函数$u(g(x))$在$x$处的导数的乘积。
现在我们来证明多元复合函数的求导链式法则。
假设我们有一个由$n$个自变量$x_1,x_2,...,x_n$组成的函数$F(u_1,u_2,...,u_m)$，其中$u_i=g_i(x_1,x_2,...,x_n)$是由$x_1,x_2,...,x_n$组成的函数，$g_i$是$x_1,x_2,...,x_n$的多元函数。
我们希望计算函数$F(g_1(x_1,x_2,...,x_n),g_2(x_1,x_2,...,x_n),...,g_m(x_1,x_2,...,x_n))$在变量$x_i$处的偏导数。
我们可以利用单变量链式法则的思想来计算每个变量的偏导数。
首先，我们将函数$F$写成单变量的形式，即令$y_i=g_i(x_1,x_2,...,x_n)$，那么函数$F(u_1,u_2,...,u_m)$可以表示为$F(y_1,y_2,...,y_m)$。
根据单变量链式法则，我们可以得到：$$\frac{dF}{dy_i} = \frac{\partial F}{\partialu_1}\cdot\frac{\partial u_1}{\partial y_i} + \frac{\partialF}{\partial u_2}\cdot\frac{\partial u_2}{\partial y_i} + ... +\frac{\partial F}{\partial u_m}\cdot\frac{\partial u_m}{\partial y_i}$$现在我们将 $y_i$ 替换回 $x_i$，即将函数 $F(y_1, y_2, ...,y_m)$ 替换为 $F(g_1(x_1, x_2, ..., x_n), g_2(x_1, x_2, ...,x_n), ..., g_m(x_1, x_2, ..., x_n))$，并将偏导数 $\frac{\partial u_i}{\partial y_i}$ 替换为相应的偏导数 $\frac{\partialg_i}{\partial x_i}$，那么我们就得到了多元复合函数的求导链式法则：$$\frac{\partial F}{\partial x_i} = \frac{\partialF}{\partial u_1}\cdot\frac{\partial u_1}{\partial x_i} +\frac{\partial F}{\partial u_2}\cdot\frac{\partial u_2}{\partial x_i} + ... + \frac{\partial F}{\partial u_m}\cdot\frac{\partialu_m}{\partial x_i}$$其中，$\frac{\partial F}{\partial x_i}$ 表示函数 $F$ 在变量$x_i$ 处的偏导数，$\frac{\partial F}{\partial u_i}$ 表示函数$F$ 对 $u_i$ 的偏导数，$\frac{\partial u_i}{\partial x_i}$ 表示函数 $u_i$ 在变量 $x_i$ 处的偏导数。
多元复合函数x对y求导
多元复合函数x对y求导
多元复合函数是由多个函数组成的复杂函数。
在求导中，我们通
常采用链式法则来对其进行求导。
如果有一个函数y=f(u)，另一个函数u=g(x)，则将它们组合起来
得到复合函数y=f(g(x))。
其求导规律为：
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
这里的dy/du表示对f(u)进行求导，du/dx表示对g(x)进行求导。
那么，对多元复合函数x对y求导时，就可以将其视为一个复合函数，并按照链式法则来求解。
假设存在函数z=h(x,y)，y=f(u)，u=g(x)，则将它们组合起来得
到多元复合函数z=h(x,f(g(x)))。
其求导规律为：
dz/dx=(∂z/∂x)+(∂z/∂y)*(dy/dx)
这里的∂z/∂x和∂z/∂y分别表示对z关于x和y的偏导数，dy/dx
同样表示对f(g(x))关于x的导数。
根据链式法则，我们可以将dy/dx
拆分为dy/du和du/dx，即：
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
=(df/du)*(du/dx)
=(df/du)*(dg/dx)
将其代入dz/dx的公式中，可以得到：
dz/dx=(∂z/∂x)+(∂z/∂y)*(df/du)*(dg/dx)
这样，我们就可以通过多元复合函数的偏导数和链式法则来求解其对y的导数了。
多元多重复合函数的求导法则
多元多重复合函数的求导法则在微积分中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
而多重复合函数则是由多个函数相互复合而成的函数。
在实际问题中，多重复合函数比单个函数更加常见。
对于一个多元多重复合函数进行求导，我们需要运用多元链式法则或者雅可比矩阵的方法。
下面将具体介绍这两种方法的计算步骤以及应用场景。
1.多元链式法则：多元链式法则是一种逐步求导的方法，它的基本原理是将一个多重复合函数分解为多个单个函数的复合。
设有函数z=f(u,v)，其中u=g(x,y)，v=h(x,y)，需要求z对x的偏导数。
首先，计算z对u的偏导数(∂z/∂u)：∂z/∂u=(∂f/∂u)+(∂f/∂v)*(∂v/∂u)然后，计算u对x的偏导数(∂u/∂x)：∂u/∂x=(∂g/∂x)+(∂g/∂y)*(∂y/∂x)再计算v对x的偏导数(∂v/∂x)：∂v/∂x=(∂h/∂x)+(∂h/∂y)*(∂y/∂x)最后，将上述结果代入(∂z/∂u)的计算公式中，得到z对x的偏导数(∂z/∂x)：∂z/∂x=(∂z/∂u)*(∂u/∂x)+(∂z/∂v)*(∂v/∂x)这样，通过逐步求导的方式，我们可以计算出多元多重复合函数的偏导数。
2.雅可比矩阵法：雅可比矩阵是一种矩阵表达式，可以用来表示多元函数的偏导数。
它的计算步骤如下：设有n个函数z=[f₁(x₁,x₂,...,xₙ),f₂(x₁,x₂,...,xₙ),...,fₙ(x₁,x₂,...,xₙ)]T，需要求其偏导数。
首先建立一个m×n 的雅可比矩阵 J，其中 J_ij 表示 fᵢ对 xₙ 的偏导数。
则雅可比矩阵 J 的第 i 行可以表示为：J_i=[∂f₁/∂x₁,∂f₁/∂x₂,...,∂f₁/∂xₙ]然后，将每个函数fᵢ对所有自变量的偏导数计算出来，并填充到J_i 中。
最后，将J_i的所有行组合成雅可比矩阵J。
通过雅可比矩阵，我们可以直接得到多元函数的偏导数。
例如，对一个三元函数z=f(x,y,z)，其雅可比矩阵为：J=[∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z]这样，通过计算雅可比矩阵，我们可以得到多元多重复合函数的偏导数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学
主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
f2
y z
2
x y
2
f1
1 z
f2
f2
f2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
练习2 设
z x
2
求
f2
f 11 f 21 f 23
x
y x
y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z x z y z x f x
z f
f1 f 2 1 f2 2
x
v
x y
注意: 这里
z x
与
f2 yz y z f 2 ( x y z, x y z ) f12 x y
2
f 22 x y
2
f x y f11 y( x z ) f12 zf f,22 f yf 2 f , 为简便起见 , 引入记号 1 12 u u v
解:
dz z du dt u d t z t
t
dz dt
.
z
u v t
ve
t
t
cos t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
z
u
v
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
t
有增量△u ,△v ,
z z u u z v v o ( )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
z t
z u u t
z v v t
o( ) t
(
(u ) (v) )
u
e sin v
u
e cos v 1
u
z
u v yx y
z y
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
2
例2. u f ( x, y, z ) e
解:
u x f x
2 2 2
x y z
d ( x y) (d x d y )
e
xy
[ y sin( x y ) cos( x y)]d x
dy
所以 例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z .
x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t )
dz z dv z dw z du v d t w d t dt u d t f1 f 2 f 3
z
u
t
v
t
w
t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f (u, v) ,
z
u ( x, y ) ,
v ( x, y )
z u z v f11 f 2 1 x u x v x
z
u v
z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y z
f x
不同,
f x
表示固定 y 对 x 求导,
表示固定 v 对 x 求导
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
2
2
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
o( )
z
u v
t
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, u
1 ;
2
x
y v x y
2. 全微分形式不变性
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
作业：p-82习题9-4
2; 4; 6; 9; 10; 11;12(4)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例4. 设
w w 求 , . x x z
2
f 具有二阶连续偏导数,
w , f1 , f 2
解: 令 u x y z , v x y z , 则
w f (u, v)
w x
w x z
2
u
v
x y z x y z
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
2
2
u u , , z x sin y, 求 x y
2
2 xe
x y z
2z e
2
x sin y
4 2
u
x y z
2 x (1 2 x sin y ) e
u y f y
2
2
x y x sin
y
2
f
2
z y