两个重要极限的证明

两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限

教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限；

2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法；

教学重点：利用两个重要极限求极限

教学过程：

一、讲授新课：

准则I：如果数列满足下列条件：

(i)对 ;

(ii) 那么，数列的极限存在，且。

证明：因为，所以对，当时，有，即

，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，

即有：，即，所以。

准则I′如果函数满足下列条件：

(i)当时，有。

(ii)当时，有。

那么当时，的极限存在，且等于。

第一个重要极限：

作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。

证明：作单位圆，如下图：

设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即，

(因为，所以上不等式不改变方向)

当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切

，有。

又因为，

所以而，证毕。

【例1】。

【例2】。

【例3】。

【例4】。

准则Ⅱ：单调有界数列必有极限

如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。

如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。

准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。

准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。

注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。

2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。

第二个重要极限：

作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。

先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：，

即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。

(ii)又令，所以，

即对，又对所以{ }是有界的。

由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即

注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看! 2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。3：指数函数及自然对数中的底就是这个常数。