椭圆的定义和标准方程PPT优秀课件

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椭圆的标准方程ppt课件共23页

即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y M (x,y)
因为2a>2c，即a>c，所
以a2-c2>0，令a2-c2=b2，
F1
O
其中b>0，代入上式可得： (-c,0)
F2 X
(c,0)
b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得：
x2 a2

y2 b2
1 (a>b>0)
23.09.2019
23.09.2019
方案一
YM
Y
F2 F1
O
F2 X
M
O
方案二
X
F1
23.09.2019
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
23.09.2019
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
则: MF1 + MF2 =2a 即 : (x c )2 y 2(x c )2 y 2 2 a
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为__1_x6_2 __y_2___1__
（2）满足a=4,cb= 15 ，焦点在Y轴上的椭圆

2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)PPT课件

F1 O
F2
x
O
x
F2
方
x2
y2
a2 b2 1
x2 b2
y2 a2
1
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
程（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
（3）焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
特（4） a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
点
c—半焦距.且有关系式 a 2 b2 c2成立。
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
1、a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
x2 y2 1
16 9
2.b=1，c 15，焦点在y轴上
x2 y2 1 16
例2、课本P33 例3
练习、已知椭圆两个焦点的坐标分别是（0，3）、
（0， 3），并且椭圆经过点（8，3），求椭圆的
标准方程 .
x2 y2 1 72 81
• 随堂练习
1．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
23
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
。
4、椭圆的两焦点坐标分别为 F1(0， 3),F2(0,3),2a 10
则椭圆的标准方程是
y2 x2 1
25 16

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔和画板，通过细线两端分别绕两个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别用圆规画出两个相交的圆，连接两个交点得到椭圆的长短轴，再绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时，椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀，节省材料，常用于石油、化工等行业的聚焦于一点，应用于望远镜、卫星天线等光学设备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常用椭圆函数形式来描述消费者在无差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

3.1.1 椭圆及其标准方程课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上，则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆的参数方程是描述椭圆形状和大小的一种数学表达方式，它通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数学问题时非常有用，因为它能够直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不同方式，它们之间可以进行相互转换。
普通方程转换为参数方程则需要引入参数变量，将其表达为参数方程的形式。
参数方程转换为普通方程需要消去参数变量，将其转化为标准的椭圆方程形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程被广泛应用于描述和分析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程可以用于描述物体的运动轨迹，例如行星的运动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程可以用于设计各种机械零件和机构，例如轴承、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程可以用于描述市场供需关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器的重要元件，如显微镜和望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和代数知识，通过设定椭圆上的点满足的条件，经过一系列的推导和简化，最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质和参数设定等，有助于深入理解椭圆的几何特征和代数表达。

椭圆及其标准方程ppt课件

令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率同理，直线 BM 的斜率由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的坐标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③

椭圆及其标准方程(24张PPT)

知识生成
• (1)取一条细绳 • (2)把它的两端固定在图板上的两
点F1、F2 • (3)用铅笔尖把细绳拉紧，在图板上
慢慢移动看看画出的图形
知识生成
思考1
（1）在画图的过程中，F1、F2的位置是固定的
还是运动的？
固定的
F11
（2）在画图的过程中，绳子的长度变了没有？
说明了什么？
|MF1|+|MF2|为定值
x2
y2
(4) 1
m2 m2 1
焦点坐标为： F1(0,1)，F2 (0,1)
应用拓展
2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
y
并且经过点P
5 ， 3 2 2
，求它的标准方程.
F1 O
解：因为椭圆的焦点在x轴上，设由椭圆的定义知
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
2a
椭得圆，的b焦2 x距2 为a22 yc，2 则a有2bF2 1(-c，0)、F2(c，0).
化两边同又除设以Ma与2bF2得1，axF222的距by22离的1.和(a等于b 2a0)
构建方程
焦点在 x 轴上,椭圆的标准方程
y
M (x, y)
F1 O
F2
x
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
当2a<2c时，即距离之和小于焦距时
知识生成
1.当2a 2c时，M点的轨迹是椭圆 2.当2a 2c时，M点的轨迹是线段F1F2 3.当2a 2c时，M点的轨迹是不存在
知识深化
思考3
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为
10,则M点的轨迹是什么？

椭圆的定义与标准方程公开课课件.ppt

于常数（2a大于F1F2）的点的轨迹
同点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上
辨析2：
x2 y2 1 25 9
则a＝ 5 ，b＝ 3 ；c=_4____
x2 y2 1 169 144
则a＝ 13 ，b＝ 12 ；c=__5__
x2 y2 1
探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上
不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
1.在作图过程中，哪些点的位置不变，哪些距离改变，哪些量不变？
2. 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
（2）两个定点——两点间距离
确定;(常记作2c) （3）常数——轨迹上任意点到两
F1
F2
定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c)
若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a<F1F2轨迹是什么呢？
轨迹是一条线段轨迹不存在
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：坐标法
回忆圆标准方程推导步骤
1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ;
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ; 4、化简方程
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一

高二数学优秀课件《椭圆的定义2.2.1(2)与标准方程》(公开课)课件

2
2
二、例题与练习
2 2
例1. 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（1）
x y 1 36 24
；
（2）8x2+3y2=24.
解：（1）已知方程就是椭圆的标准方程，由36>24，可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2=36，b2=24，所以c2=a2－b2=12, c2 3 因此椭圆的焦点坐标为
2 2
2
2
小结：
求椭圆标准方程的方法一种方法：
课堂练习
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明 a 2 , b 2
x2 y2 (1) 1 16 16 x2 y2 (2) 1 25 16
(3)9x2 25 y 2 225 0
(4) 3x2 2 y 2 1
课堂练习
x2 y 2 2、如果椭圆 1上一点M 到焦点F1的距离 100 36 等于6，则点M 到另一个焦点F2的距离为 ( C ) A.10 B.12 C.14 D.16
一、复习:
1.
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不同点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
x
焦点坐标相同点定义
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
x2 y 2 2 1 (a b 0) 2 a b
由已知，得2a=8，即a=4，又因为c=3，所以b2=a2－c2=7，因此椭圆的标准方程是

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b a c (b>0)
2 2 2
a>c
2 2 2 2 2 2 bx + a y= a b
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F ( c , 0 ) ,Fc (, 0 ) 1 2
2
2
y x 2 1 2 a b
x y 1 9 4
2
2
y x 1 9 4
2
2
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设F1、
F2为椭圆
x 2 25
y 2 9
1
P为椭圆上一点，与F1、
F2
的焦点，
练习
构成一个
Y
P
三角形，求 P F1 F2 的周长？ PF1 F2 周长 PF1 F1 F2 PF2 解：
PF1 PF2 F1F2
x a
2 2
y2 1 2 b
2 2
(a b 0 )
2 2 2 2
c a b
2 2
b a c 5 3 1 6
x2 y2 1 25 16
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故所求椭圆的标准方程为：
3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6，两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标准方程。
(1)
F1
F2
椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数的距离之和为常数的点 (大的轨迹或集合)叫做椭圆。于 | F1F( 2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。
椭圆的焦点： F1、F2 椭圆的焦距： |F1F2|
解：设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数 (大椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离之和于 | F1F2( |) 的点的轨迹 (或集合) ？为常数大于 | F1F2|)的点的轨迹 (或集合)叫做椭圆。 Y |MF1|+|MF2|= 2a
解：因为 2a=6
所以 a=3
例题
2
2c= 2 5
c=
5
设焦点在Y轴的椭圆标准方程为
设焦点在X轴的椭圆标准方程为
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
2 2 2 b a c 9 54
b a c 9 54
2 2
焦点在X轴的椭圆标准方程为焦点在Y轴的椭圆标准方程为
x y 2 1 2 a b
y x 2 1 2 a b
2
2
ba ck ne
解：因为 5 4
1.求下列椭圆的焦点和焦距。 x2 y2 2 2 (1) 1 ( 2 ) 2 x y 1 6 5 4 y2 x2
16 8 1
例题
所以焦点在X轴上
因为 16 8 所以焦点在Y轴上
a =5 ,b =4
c a b 1 c 1 2c 2
2 2 2
2
2
a 1 6 ,b 8
2 2
c2 a2 b2 1 688 c 2 2
( 1 ,0 ) ,F ( 1 ,0 ) 焦点为：F 1 2 焦点为： F ( 0 , 22 ) , F ( 0 , 22 ) 1 2 焦距为： 2 焦距为： 4 2
2 2 2 a c x = a ( x c ) + y
| F1F2|=2c (c>0)
a 2 a c x + c x = a x 2 a c x + a c + a y 常数=2a (a>0)
2 2 2 22 2 2 2 ( a c ) x + a y = a ( a c )
4 2
2 22 2 2
2 22 2
(a 2 -c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0 )
2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 a x + ( a c ) y = a ( a c )
b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2
2 2
2 2 2 b a c( b 0 ) 2 2 2 2 2 2 a x+ by= ab
2
2
(a b 0)
2
F ( 0 , c ) ,F ( 0 ,c ) 1 2
c a b
2 2
2
c a b
2 2
常数(绳长) =2a (a>0)
焦距: | F1F2|=2c (c>0)
b a c
2 2

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(b>0)
Y
M
M
Y
F2
F1
o
F2
X
o
X
解：
解：
F1
令F1(-c,0)，F2 (c,0) |F1F2|=2c (c>0) 令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c>0) 常数=2a (a>0) 常数=2a (a>0)
椭圆
一、椭圆的定义和标准方程
1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两个端点固定在黑板上的F1，F2两点 (使绳长大于 F1到F2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？
得到的图形是椭圆
2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？
M
问题
F1，F2为固定两点 (2)笔尖到F1与F2的距离之和为绳长(定长) (3)绳长大于F1到F2的距离
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点
|MF1|+|MF2|= 2a (a>0)
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
2 2 2 2 x + ( y + c )+ x + ( y c )= 2 a
(a>0)
F1
M
2 2 2 2 ( x + c )+ y + ( x c )+ y = 2 a 2 2 2 2 ( x + c )+ y = 2 a -( x c )+ y
(-c,0)
O
F2
(c,0)
X
2 2 2 2 2 2 2 ( x + c ) + y = 4 a 4 a ( x c ) + y + ( x c ) + y
2c 4 2
2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程。 Y
解：因为 F ( 3 ,0 ) ,F ( 3 ,0 ) 1 2 设椭圆标准方程为
M
例题
所以焦点在X轴上，c=3
F1
O
F2
X
2a 10 a 5
x 2 2 5
2
F1
o
F2
2a 2c
y 9
2
X

1
a 2 5 a 5 2 a 1 0