复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
复变函数3-4
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
复变函数
f(z) 在全平面除
1 1 z1 i , z2 i 外解析。 2 2
3、函数解析的条件(C-R条件) 定理 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 (1) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 可微; (2) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 的微分满足 C-R 方程：
(3) 满足
e z1 z2 e z1 e z2 ,
(4) 以2kπi (k=0, ±1, ± 2,...)为复周期。这是因为 ei2kπ=cos(2kπ) +i sin(2kπ)=1， 所以 ez+i2kπ= ez·i2kπ=ez. e
我们发现导数定义与实函数完全类似。因此我们也有与实函数完 全相似的符号(例如以 △f=f(z+△z)-f(z)称为函数增量等等)。并且有 完全相同的求导运算法则。
例：函数 f(z)=|z|2 在 z=0 可导并且 f’(0)=0. 证：
f ( z ) f ( 0) | z |2 zz lim lim lim lim z 0. z 0 z 0 z 0 z z 0 z0 z
vx=-uy=6xy , 所以 v=3x2y+g(y), (2) 这一步中的g(y) 也是必须的。
(2) 曲线积分法
例：求 u=x3-3xy2 的共轭调和函数。
解：因为 u 是调和函数，因此其共轭调和函数 v 存在并且其全微分 dv=vxdx+vy=-uydx+uxdy=6xydx+(3x2-3y2)dy, 利用高等数学中全微分的原函数求法，取顶点为 (0,0), (x,0), (x,y) 的 折线作为积分路径，由此求出
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
《复变函数论》课件 3.4解析函数与调和函数的关系
• 先由 C R 条件中的一个得
vy ux 3x2 3y2
故 v 3x2 y y3 (x)
再由 C R 条件中的另一个得
vx 6xy (x) u y 6xy
• 故 (x) 0,即(x) C,
• 因此 v(x, y) 3x2 y y3 C
• 故 f (z) u iv x3 3xy2 i(3x2 y y3 C) (x iy)3 iC z3 iC
辅导课程八
第四节 解析函数与调和函数的关系
• 问题：
v u 如何选择 与 才能使函数 u iv
在区域D内解析。
• 分析：
设 f (z) u iv 在区域 D 内解析，
u v
u v
得
x y
y x
故有
2u 2v y 2 yx
2u 2v x 2 xy
同理
2u 2u 0
x2 y 2 2v 2v 0 x2 y 2
• 即在 D 内满足拉普拉斯（Laplace）方
程：
u 0, v 0
这里
2 2 x 2 y 2
是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。
பைடு நூலகம்
• 定义3·5 如果二元实函数 H (x, y)
在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满足
拉普拉斯方程
H 0
则称 H (x, y)为区域 D 内的调和函数。
• 定理3·19 若
x2
vxx
2xy (x2 y2)2
, v yy
2xy (x2 y2)2
,(x
0)
• 于是
vxx v yy 0, (x 0)
故在右半平面内， v(x, y)
是调和函数。
C R
u(x, y) uxdx (y) vydx (y)
复变函数
惟一性 复合运算等
• 二、函数的连续性 • 定义1.4.2 设 f ( z ) 在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f ( z )在点 z0 处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内连续. • 定理1.4.2 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， u ( x, y )和 v( x, y ) 0 在 z 0 x0 iy处连续的充要条件是 都在点 ( x , y ) 处连续.
定义：
函数w f ( z), z D; z0 , z0 z D
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 极限 lim lim z 0 z z 0 z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
f ( z )在点
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
解析的充分必要条件
定理2.1.1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足
u v , x y
解析函数与调和函数
2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上 调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
解析函数与调和函数的关系
第六讲解析函数与调和函数的关系§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。
本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。
.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂定义 内的调和函数。
是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==⇒+=定理证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则x v y u y v xu R C ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂- 方程由yx v y u x y v x u ∂∂∂-=∂∂∂∂∂=∂∂222222从而有xy v y x v y x v y x u ∂∂∂=∂∂∂∴⇒22.),(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 2222=∂∂+∂∂y u x u 内有故在0 2222=∂∂+∂∂y v x v 同理有0,0=∆=∆v u 2222y x ∂∂+∂∂≡∆其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 内的调和函数。
是，D y x v v y x u u ),(),(==∴.),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D .),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即y x u u y x v D D y x iv y x u z f =⇒+=由解析的概念得：.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在u v v u v u v u R C D x y y x -==-.,, 一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若D iv u D v u +现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=如 )11)()()(x y y x v u v u z y x i y x iv u z f -≠===+++=+=处处不解析平面上在（ 由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,u v R C v u D iv u -+.),,(),,(iv u y x v R C y x u +-从而构成解析函数程可求得它的虚部方利用部已知一个解析函数的实)),((y x v 虚部)),((y x u 实部0,),(,2222=∂∂+∂∂yu x u D y x u D 则函数内的调和是区域一单连通区域设内有连续一阶偏导数在、即D xu y u ∂∂∂∂-,dy xu dx y u dy y v dx x v x u x y u y ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂ )()(且),(y x dv v ∃=)(),(),(),(00*+∂∂+∂∂-=⎰c dy x u dx y u y x v y x y x..内解析在方程满足D iv u R C xu y v y u x v +∴-∂∂=∂∂∂∂-=∂∂ .)(),,()(,),(内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设D iv u z f y x v D y x u +=*定理公式不用强记！可如下推出：dy x v dx y v dy y v dx x v du R C ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=-方程由然后两端积分。
复变函数3-4调和函数
3
u v , u v 分别关于x, y求导 x y y x
2u x 2
2v yx
,
2u
2v
y 2
. xy
再由二阶导函数的连续性
2v 2v yx xy
得
2u 2u x2 y2 0,
x y ex ( ycos y xsin y sin y) 1 ex ( xsin y ycos y sin y) g( y),
g( y) 1, 故 g( y) y c, 于是 u ex ( xcos y ysin y) x y c,
这个函数可以化为
w f (z) i(z3 c).
8
注：已知解析函数的实部求虚部，至多相 差一个常数。
9
例 2 已知 v( x, y) e x ( y cos y x sin y) x y 为调 和函数, 求一解析函数 f (z) u iv, 使 f (0) 1. 解 v e x ( y cos y x sin y sin y) 1,
11
f (z) u iv xexeiy iyexeiy x(1 i) iy(1 i) c zez (1 i)z c,
由 f (0) 1, 得 c 1, 所求解析函数为
f (z) zez (1 i)z 1.
12
注意：当 u(x, y)在 D内是v(x, y)的共轭调和函数 时，在D内u(x, y) 不一定是 v(x, y) 的共轭调和函
或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
复变函数(3.5.3)--解析函数与调和函数的关系
1 2p
2p 0
| f (z) |
|
z
-
1 2
|2
dq
ﾢ
1 2p
2p 0
|
|fz(|z=)1- z | + |
(|
z
|
-
1 2
)2
z
|
dq
ﾢ
1 2π
2p 0
2 1
dq
=
8.
4
（）
| z - CDzu0 |= r
7、 如果是区域内的调和函数，为内以为圆心的正向圆周：，它的内部全含于，
试证：
证 （1）由柯西公式：
第三章 复变函数的积分
例题
是实常数，于是
f (z) = C1C(1- i)z + C
由此
（是复常数）
| f| (fz|ﾢ)(zf12-(|<ﾢ=)zz|)1ﾢ|ﾢ8| .z |
6、 设在内解析，在上连续，且在上，证明
ﾢ |
f
ﾢ(12) |=
1 2πi
|z|=1
f (z)
(
z
-
1 2
)2
dz
证
� � � ﾢ
uyy = -uxx = -2 = a ﾢﾢ( y)
第三章 复变函数的积分
例题
a ( y) = - y2 + C1 y + C2
由 C-R 条件，
ux = 2x = vy -uy = 2 y + C1 = vx
而 因此 由得 由得，
v = 2xy + C1x + C3 C2f =(0C) 3==00 fCﾢ(10=) =00
因此 (3).（线积分法）
(完整word版)复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数ppt教学2-2解析函数和调和函数的关系
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
解析函数与调和函数的关系
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
解析函数与调和函数的关系
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共轭调和函数的定义 定义 设u(x,y)为区域D内的调和函数，如果区 域D内的另一函数v(x,y),使u+iv在D内构成解析函数， 则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数.
定理 若调和函数u和v满足C-R方程，则v(x,y)为 u(x,y)的共轭调和函数, u+iv在D内构成解析函数.
f (z) ex cos y ie x sin y 1
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例3 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y,
试求一解析函数 f z u iv,使f (0) 0.
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同学们辛苦了
数学学院
例1 证明 u( x, y) x3 3xy2 为调和函数，
求其共轭调和函数 v x, y ,使 f (z) u iv 解析.
解 (1) ux 3x2 3 y2 , uxx 6 x,
uy 6xy,
uyy 6x,
uxx uyy 0.
(2) ux 3x2 3 y2 vy ,
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第三章 复变函数的积分
第五节解析函数与调和函数的关系
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调和函数定义：
定义 如果二元实变函数 x, y在区域D内具有
二阶连续偏导数，且满足Lapalace方程，
2 2
x2 y2 0
则称 x, y 为区域D内的调和函数.
数学学院
定理 （解析函数与调和函数的关系）
在区域D内的解析函数,其实部和虚部都是调和函数.
f z u iv,使f (0) 0.
解 ux v y e x cos y,
u vydx e x cos ydx ex cos y C( y)
uy e x sin y C( y) vx e x sin y, C( y) 0, C( y) C.
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由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
( x, y)
du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
19
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
12
例3.17 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的 调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析 原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件 定义3.6 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足 C.-R.条件： u v u v , x y y x
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
14
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
18
f 例3.21 用不定积分法求解例2中的解析函数 (z )
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
3 2
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 不可能包含 , 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
( x, y)
使f(z)= u+iv是D内的解析函数.
注：1. 若(0,0)∈D,则在上式中,常取(x0,y0)=(0,0)
2. (3.22)可用如下方法记忆:
dv(x,y)=vxdx+vydy= -uydx+uxdy
5
例3.15 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和数， 并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
7
由此得： v 6xy ( x) u 6xy ( x) 0 x y
( x) C v( x, y) 3x2 y y3 C
解：
u 3x 2 3 y 2 x u 6 xy y
2u 2u 2u 2u 6x 2 2 2 0 2 x y x y
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
方法一：线积分法，用公式3.22得：
v( x, y)
u v u v 且 , , x y y x
所以上面两式分别相加减可得
21
v y 3 x 2 3 y 2 2,
v x 6xy,
f ( z ) v y iv x 3 x 2 3 y 2 2 6 xyi
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
9
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
则称H(x,y)为区域D内的调和函数 2 2 注： 2 称为Laplace算子 2 x y
。
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
2
3.4.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
y vx 2 x y2
x vy 2 x y2
2 2
vxx
x
2 xy
2
y
v yy
x
2 xy
2
y
2 2
vxx v yy 0
11
du ux dx uy dy vy dx vx dy x y 1 2 dx 2 dy d ln( x 2 y 2 ) x y2 x y2 2
试确定解析函数 f ( z ) u iv .
解
两边同时求导数
2 2
ux v x ( x 4 xy y ) ( x y )( 2 x 4 y ) 2,
u y v y ( x 2 4 xy y 2 ) ( x y )(4 x 2 y ) 2,
u 解 因为 2 x, x
u 2, 2 x
2
u 2ky, y
2u 2k , 2 y
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f ( z ) U ( z ) ux iu y 2 x 2kyi
16
2 x 2kyi 2 x 2 yi 2z ,
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
4
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析, 在区域D内v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数. 3.4.3 由调和函数构造解析函数 定理3.19 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数, 则可构造函数v(x,y)：
u u v( x, y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
x
13
u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
2
方法四：不定积分法
( z) ux iuy (3 x2 3 y2 ) i 6 xy 3( x iy)2 3z 2 f
f ( z) z 3 C v( x, y) 3x2 y y3 C
f (0) i f ( z) z i