复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
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z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
( x, y)
du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
19
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
12
例3.17 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的 调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析 原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件 定义3.6 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足 C.-R.条件： u v u v , x y y x
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
14
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
18
f 例3.21 用不定积分法求解例2中的解析函数 (z )
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
3 2
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 不可能包含 , 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
( x, y)
使f(z)= u+iv是D内的解析函数.
注：1. 若(0,0)∈D,则在上式中,常取(x0,y0)=(0,0)
2. (3.22)可用如下方法记忆:
dv(x,y)=vxdx+vydy= -uydx+uxdy
5
例3.15 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和数， 并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
7
由此得： v 6xy ( x) u 6xy ( x) 0 x y
( x) C v( x, y) 3x2 y y3 C
解：
u 3x 2 3 y 2 x u 6 xy y
2u 2u 2u 2u 6x 2 2 2 0 2 x y x y
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
方法一：线积分法，用公式3.22得：
v( x, y)
u v u v 且 , , x y y x
所以上面两式分别相加减可得
21
v y 3 x 2 3 y 2 2,
v x 6xy,
f ( z ) v y iv x 3 x 2 3 y 2 2 6 xyi
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
9
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
则称H(x,y)为区域D内的调和函数 2 2 注： 2 称为Laplace算子 2 x y
。
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
2
3.4.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
y vx 2 x y2
x vy 2 x y2
2 2
vxx
x
2 xy
2
y
v yy
x
2 xy
2
y
2 2
vxx v yy 0
11
du ux dx uy dy vy dx vx dy x y 1 2 dx 2 dy d ln( x 2 y 2 ) x y2 x y2 2
试确定解析函数 f ( z ) u iv .
解
两边同时求导数
2 2
ux v x ( x 4 xy y ) ( x y )( 2 x 4 y ) 2,
u y v y ( x 2 4 xy y 2 ) ( x y )(4 x 2 y ) 2,
u 解 因为 2 x, x
u 2, 2 x
2
u 2ky, y
2u 2k , 2 y
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f ( z ) U ( z ) ux iu y 2 x 2kyi
16
2 x 2kyi 2 x 2 yi 2z ,
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
4
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析, 在区域D内v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数. 3.4.3 由调和函数构造解析函数 定理3.19 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数, 则可构造函数v(x,y)：
u u v( x, y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
x
13
u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
2
方法四：不定积分法
( z) ux iuy (3 x2 3 y2 ) i 6 xy 3( x iy)2 3z 2 f
f ( z) z 3 C v( x, y) 3x2 y y3 C
f (0) i f ( z) z i
3
8
不定积分法 已知调和函数u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分
u v u v , , x y y x
得
2v 2u 因 与 在D内连续，它们必定相等 ，故在D内有 2 2 xy yx u u 0 2 2 x y 2v 2v 0 同例,在D内有 2 2 x y
2u 2v 2 u 2v , , 2 2 x xy y yx
x, y
0,0
6xydx (3x 3 y )dy C
2 2
6
v ( x, y )
x ,0 x, y
y
0,0 x ,0
0
6 xydx (3x 2 3 y 2 )dy 6 xydx (3x 2 3 y 2 )dy C
方法三：全微分法
dv vx dx vy dy u y dx ux dy
3 2 3 2 3
CБайду номын сангаасR
6xydx (3x2 3 y 2 )dy (6xydx 3x2dy) 3 y 2dy d (3x y) dy d (3x y y ) v( x, y) 3x y y C
根据不定积分法 f ( z ) 2 zdz z 2 c ,
由 f ( i ) 1, 得 c 0,
所求解析函数为
f ( z ) x 2 y 2 2 xyi z 2 .
17
例3.20 用不定积分法求解例1中的解析函数 f (z )
实部 u( x, y ) y 3 x y.
求解析函数的方法称为 不定积分法.
不定积分法的实施过程:
解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x
把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
( x, y)
du(x,y)=uxdx+uydy= vydx-vxdy
x
e x (cos y i sin y ) i ( x iy )e x sin y ( x iy )e x cos y 1 i
19
e (cos y i sin y ) ( x iy )e [cos y i sin y ]
x x
1 i
e
x iy
课堂练习 证明 u( x , y ) x 3 6 x 2 y 3 xy 2 2 y 3 为
调和函数, 并求其共轭调和函数.
答案
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c. (c 为任意常数)
12
例3.17 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的 调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析 原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件 定义3.6 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足 C.-R.条件： u v u v , x y y x
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
14
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
故 f ( z ) i ( z c ).
3
(c 为任意实常数)
18
f 例3.21 用不定积分法求解例2中的解析函数 (z )
虚部 v( x, y ) e ( y cos y x sin y ) x y.
x
解
f ( z ) V ( z ) v y iv x e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
3 2
解
f ( z ) U ( z ) ux iuy 3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 c1 ,
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 不可能包含 , 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
( x, y)
使f(z)= u+iv是D内的解析函数.
注：1. 若(0,0)∈D,则在上式中,常取(x0,y0)=(0,0)
2. (3.22)可用如下方法记忆:
dv(x,y)=vxdx+vydy= -uydx+uxdy
5
例3.15 验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和数， 并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
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由此得： v 6xy ( x) u 6xy ( x) 0 x y
( x) C v( x, y) 3x2 y y3 C
解：
u 3x 2 3 y 2 x u 6 xy y
2u 2u 2u 2u 6x 2 2 2 0 2 x y x y
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
方法一：线积分法，用公式3.22得：
v( x, y)
u v u v 且 , , x y y x
所以上面两式分别相加减可得
21
v y 3 x 2 3 y 2 2,
v x 6xy,
f ( z ) v y iv x 3 x 2 3 y 2 2 6 xyi
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
9
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
则称H(x,y)为区域D内的调和函数 2 2 注： 2 称为Laplace算子 2 x y
。
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
2
3.4.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
y vx 2 x y2
x vy 2 x y2
2 2
vxx
x
2 xy
2
y
v yy
x
2 xy
2
y
2 2
vxx v yy 0
11
du ux dx uy dy vy dx vx dy x y 1 2 dx 2 dy d ln( x 2 y 2 ) x y2 x y2 2
试确定解析函数 f ( z ) u iv .
解
两边同时求导数
2 2
ux v x ( x 4 xy y ) ( x y )( 2 x 4 y ) 2,
u y v y ( x 2 4 xy y 2 ) ( x y )(4 x 2 y ) 2,
u 解 因为 2 x, x
u 2, 2 x
2
u 2ky, y
2u 2k , 2 y
根据调和函数的定义可得 k 1,
因为 f ( z ) U ( z ) ux iu y 2 x 2kyi
16
2 x 2kyi 2 x 2 yi 2z ,
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
4
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析, 在区域D内v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数. 3.4.3 由调和函数构造解析函数 定理3.19 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数, 则可构造函数v(x,y)：
u u v( x, y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x
得 u [e (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
x
13
u e ( x cos y y sin y ) x g( y ),
x
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e x ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
2
方法四：不定积分法
( z) ux iuy (3 x2 3 y2 ) i 6 xy 3( x iy)2 3z 2 f
f ( z) z 3 C v( x, y) 3x2 y y3 C
f (0) i f ( z) z i
3
8
不定积分法 已知调和函数u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分
u v u v , , x y y x
得
2v 2u 因 与 在D内连续，它们必定相等 ，故在D内有 2 2 xy yx u u 0 2 2 x y 2v 2v 0 同例,在D内有 2 2 x y
2u 2v 2 u 2v , , 2 2 x xy y yx
x, y
0,0
6xydx (3x 3 y )dy C
2 2
6
v ( x, y )
x ,0 x, y
y
0,0 x ,0
0
6 xydx (3x 2 3 y 2 )dy 6 xydx (3x 2 3 y 2 )dy C
方法三：全微分法
dv vx dx vy dy u y dx ux dy
3 2 3 2 3
CБайду номын сангаасR
6xydx (3x2 3 y 2 )dy (6xydx 3x2dy) 3 y 2dy d (3x y) dy d (3x y y ) v( x, y) 3x y y C
根据不定积分法 f ( z ) 2 zdz z 2 c ,
由 f ( i ) 1, 得 c 0,
所求解析函数为
f ( z ) x 2 y 2 2 xyi z 2 .
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例3.20 用不定积分法求解例1中的解析函数 f (z )
实部 u( x, y ) y 3 x y.
求解析函数的方法称为 不定积分法.
不定积分法的实施过程:
解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x
把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,