三角函数求值问题
三角函数的求值练习题
三角函数的求值练习题1. 求解以下三角函数的值：a) sin 30° = ?b) cos 45° = ?c) tan 60° = ?d) cot 45° = ?e) sec 30° = ?f) csc 60° = ?解答：a) sin 30° = 0.5b) cos 45° = 0.7071c) tan 60° = √3d) cot 45° = 1e) sec 30° = 2f) csc 60° = 22. 求解以下三角函数的值：a) sin 150° = ?b) cos 210° = ?c) tan 300° = ?d) cot 240° = ?e) sec 120° = ?f) csc 225° = ?解答：a) sin 150° = 0.5b) cos 210° = -0.866c) tan 300° = -√3d) cot 240° = -√3e) sec 120° = -2f) csc 225° = -√23. 求解以下三角函数的值：a) sin π = ?b) cos 0 = ?c) tan π/2 = ?d) cot 3π/4 = ?e) sec 3π/2 = ?f) csc π/4 = ?解答：a) sin π = 0b) cos 0 = 1c) tan π/2 = undefinedd) cot 3π/4 = -1e) sec 3π/2 = undefinedf) csc π/4 = √24. 求解以下三角函数的值：a) sin (π/6)rad = ?b) cos (7π/4)rad = ?c) tan (11π/6)rad = ?d) cot (5π/4)rad = ?e) sec (5π/6)rad = ?f) csc (4π/3)rad = ?解答：a) sin (π/6)rad = 0.5b) cos (7π/4)rad = -0.7071c) tan (11π/6)rad = -√3d) cot (5π/4)rad = -1e) sec (5π/6)rad = -2f) csc (4π/3)rad = -2/√35. 求解以下三角函数的值：a) sin (-45°) = ?b) cos (-π/3) = ?c) tan (-60°) = ?d) cot (-π/4) = ?e) sec (-30°) = ?f) csc (-π/6) = ?解答：a) sin (-45°) = -0.7071b) cos (-π/3) = 0.5c) tan (-60°) = -√3d) cot (-π/4) = -1e) sec (-30°) = 2f) csc (-π/6) = -26. 求解以下三角函数的值：a) sin 75° + cos 75° = ?b) sin 30° * csc 60° = ?c) tan 45° - cos 45° = ?d) cot 180° + sec 0° = ?解答：a) sin 75° + cos 75° = 1 + 0.7071 = 1.7071b) sin 30° * csc 60° = 0.5 * 2 = 1c) tan 45° - cos 45° = 1 - 0.7071 = 0.2929d) cot 180° + sec 0° = -1 + 1 = 0通过以上练习题，我们可以更好地理解三角函数的求值。
三角函数的求值
问题7.已知 问题 已知 0 < α < 4 ,0 < β < 4 ,且3 sin β = sin(2α + β )， α 2α 的值. 4tan = 1− tan , 求 α + β 的值. 2 2
π
π
若a ⋅ b = 0, 求 tanθ .
问题5.已知 问题 已知
1 11 π π cosα = ， (α + β ) = − ，α ∈ 0， ，α + β ∈ ，π 式)求角 ①求角的某一三角函数值； 求角的某一三角函数值； ②确定角的范围； 确定角的范围； 写出角的值。 ③写出角的值。 π π 问题6.已知 已知0＜ ＜ 问题 已知 ＜α＜ 2 ，＜β＜0， ＜ ， 2 1 11 cos(α-β)= ,cos2α= - ,求α+β的值 求 的值. 的值 14 7
三角函数的求值
三种类型的求值问题
问题1.⑴ 的值. 问题 ⑴求tan(-1995°)的值 的值 ⑵求sin10°sin30°sin50°sin70° 的值. 的值 问题2.求 的值. 问题 求tan20°+4sin20°的值 一.给角求值 采用①诱导公式变形; 化为锐角; 求值 ⑴采用①诱导公式变形 ②化为锐角 ③求值. ⑵采用三角恒等变换 化特殊角 或抵消的项 采用三角恒等变换,化特殊角 或抵消的项, 三角恒等变换 化特殊角,或抵消的项 或约分等. 或约分等
问题3.已知 问题 已知6sin α +sinα cos − 2cos α = 0,α ∈[ ,π ), α 2 π 的值. 求 sin( 2α + )的值
2 2
π
3
二.给值(式)求值 给值( ①从角上分析 ②从函数名上分析 ③从式子结构上分析
三角函数“给值求值”的求解策略
Ｓｎ 十ｎ Ｊ十 牟ｔ 口』 口 ａ
一
ｎ
ＣＯＳ
２ 亏 （ 一
１ 一百 ＋（ ２）
ｃ ｚ 。ｓ ｎ一
１ ２
１ ３
口＋ ， ） ：（＋÷） 一÷ 等． 视题 目要求 ， 有时化
‘ ｆ
Ｓ 十Ｓ＝十ｎ ≤ｎ 异ｔａ Ｉ Ｃａ１ ｎ ａ Ｏ
一
单 角 为 复 角 ， 时化 复 角 为单 角． 有
４ 切 弦 互 化 ， 异 为 同 ． 变
１（号 一一
１ （ ２） ＋ 一
・
５
切 弦 互化 就 是 正 切 、 切 与 正 切 、 弦 之 间 的 余 余 互 相 转化 ， 常用 的是 “ 化 弦 ” 但 有 时候 如 果 所 最 切 ， 求 式 子 的分 子 、 母 都 是 关 于 正 弦 ， 弦 的 一 次 或 分 余 二 次 齐次 式 时 我们 也可 采 用 用 “ 化 切 ”两 种 变 名 弦 ． 的 目的都 是 使 函数 名称 “ 多为 少 ”“ 异为 同” 化 ，化 ．
・ ． ．
ｃ ２ ＝ Ｃ － ｓ ｎ 一 ——ｚ ｓ ｎ ２ 。ｓ ０ ＯＳ ０－ ｉ ａ ｃｓ０ ｏ － ｉ
— —
＿
Ｉ ￣ 答 题 键 之 ，察到 手 ｉ ｌ解 本 关 点 一 观 （ ｇ ＋ｎ （ ２ 一 然 利 诱 公 进 ２ ＋手一ｎ 号，后 用 导 式 行 ） ）
化简． 如果 没 有 利 用 诱 导 公 式 结 合 ２倍 角 公 式 求 出 ｎ 运 算 过 程 会 变得 复 杂 ． 此 化 简 时 要 特 别 注 ， 因 意 观 察 角 之 间 的特 殊 关 系 ， 能 否 利 用 诱 导 公 式 ． 看
‘ ． ．
ｃｓａ ｏＥａ ） （ －ｐ ］ ｏ （ ＋ ｐ ｏＺ —ｃｓ （ ＋ｐ ＋ Ⅱ ） 一ｃｓ ａ ）
三角函数中的求值问题
2 12 。 继续 1.已知t anα = 2， t an( α－β) = － ， 那么t anβ = _____ 5 3 12 2. 已知 ，cos( - ) ， 2 4 13 3 sin( ) － ，求 sin2的值。 5
小结： 给值求角问题
实质上可转化为给值求值 问题,即先求出该角的某一 三角函数的值,然后讨论角 的范围,判断该角的大小.
基础训练三： 1 1、已知 ,- 0, tan = - , 2 3 1 tan = - , 求2 + 的值. 7
tan 2 tan 解：∵ tan(2 ) , 1 tan 2 tan
3 1.sin660的值为______. 2
2.化简sin50 (1 + 3t an10 ) .
基础训练一：
继续
1 3 2( cos10 sin10 ) 3sin10 2 2 解:原式= sin50 (1 ) = sin50 cos10 cos10 sin 30 cos10 cos30 sin10 = 2sin 50 cos10 化切为弦
2 2 2
② 注意三角公式的“活用”；
③ 重视角的范围对三角函数值所起的影响，注意角的
范围的讨论。
2 5 3 10 在ABC中， cos A ， cos B , 5 10 求A B的值。 1 10 变式：在ABC中， tan A , sin B , 2 10 求角C的值。
归纳与总结：
三角函数的求值要注意以下几点：
2 ( ) ( ) ① 注意“变角”如， ( ) ( ) 等 ；
三角函数求值问题
则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
1 π π 练习：已知 tanα＝ ，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2
3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角 函数值，其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角 函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在 象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊 角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝ ＝ ＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝ ＝ ＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4
三角函数求值问题的解题思维策略
１
一
ｔｎ ｔｎ ０一 ） ‘‘ ａ０ａ（ 一
１ ． ∈ （ ， ，ａ 声＜ ．． ． ０ ） ｔｎ
、 “ ”、 ’ ’
０ ． ∈（ ， ）又 ｏ ０ 丌）ｔｎ ＜１０ ’． ． － 丌 ． ， ， ０ ， ｙ Ｅ（ ａ Ｅ
：
０
＝ ３．ｔｎ（ ０ 一 声）＝ ａ ２
‘ “ “ 一
差 、倍 角关 系 ，或 者 题 目中 的 角存 在 着 和 、 差关 系 ，或 者题 目中的各角 的和 或差是 特殊 角 ，或者 已知条 件 中角轮换 后地 位平 等不影 响结果 等 等 ．解 题时要 善 于观察 、把握 和捕
２０ ０ ９年 第 ４期
河 北理科教 学研 究
问题 讨论
ｌ
三 角 函数 求值 问题 的解题 思维 策 略
广 东省佛 山市顺德 区容桂 职业技 术 学校 陈华安 ５ ８ ０ ２ ３３
＼ ／
—
＋ ＿ ｙ ０
三 角 函数 求值 问题是 三角 函数 中的基 本
问题 ，也是各 种考 试 中的常见 问题 ．一般 来 说 ，解 决这些 问题 可 以从 角 的关 系 、函数 特 征 、差 异分析 、退 到特殊 化等 方面 思考解 题 策 略 ，找 出解 题 的切 入 点 ．
（ ｊ） ０ 声 一 ，） ２ 一 ＝ ０ ， 一 ∈（ 丌０， ０ 声 ， ２ 故
３丌
４ ’
用适 当的推理运 算 ，优化 解题思 路 ，使 问题
迎 刃而解 ． １ １ 找 结论 式 与 条件 式 中角 的 和 、 、 角 ． 差 倍
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。
解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。
又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。
配凑法解决三角函数的求值问题
因为 = ( + ) − ，所以 cos = cos[( + ) − ] = cos( + ) cos + sin( + ) sin
=−4 5 +32 5 = 2 5 5 5 5 5 25
例4、已知 为锐角，若 cos( + ) = 4 ，则 sin(2 + ) = ________ .
5
5
答案： 2 5 25
解析：因为 为锐角，且 cos = 5 1 ，所以 (0, ) ，且 sin = 2 5
52
3
5
又因为 sin( + ) = 3 3 ，所以 2 + （舍去 0 + ，因为 (0, ) 而 为锐角）
52
3
3
3
所以 cos( + ) = − 4 5
25
sin(2 + ) = sin[(2 + ) − ] = sin(2 + ) cos − cos(2 + ) sin = 24 3 − 7 1 = 24 3 − 7
6
36
36
3 6 25 2 25 2 50
2/6
题型二：化简求值处理技巧
例5、求 (tan10 − 3) sin 80 = _______ . cos 40
11、已知 sin = 5 ， sin( − ) = − 10 ，若 ， 都是锐角，求 = ______ .
5
10
12、已知 sin 2 = 5 ， sin( − ) = 10 ，且 [ , ] ， [ , 3 ] ，求 + = _____ .
5
10
4
2
13、已知 tan( − ) = 1 ， tan = − 1 ，且 、 (0, ) ，求 2 − = ______ .
三角函数中的参数求值或求范围问题
三角函数中的参数求值或求范围问题
1、等式恒成立型
这一类型包括奇偶性概率、周期性概念、存在性问题三种，解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路。
例1、若是奇函数，求θ的值。
若是偶函数呢？
解法1：（定义法）因为是奇函数，所以对恒成立，即
恒成立，所以为所求。
解法2：（特值法）因为是奇函数，所以f(0)=0，得，故，此时，而
，故为所求。
解法3：因为是奇函数，所以对恒成立，即
恒成立，进而恒成立，所以，即为所求。
2、不等式恒成立型
这类问题的理论依据是：若将含参数t的关于x的不等式分离
，通过求g(x)的最值，再求t的取值范围。
（1）；
（2）。
例2、已知函数
恒成立，求实数a的范围。
解析：
，由，由对。
3、函数最值型
此类问题主要是分离变量转换为求函数值域或者转换为二次函数分类讨论求最值。
例3、若函数
的最小值是－6，求实数a的值。
解析：令。
（1）上递增，所以
，得a=－7。
（2）当时，g(t)在[－1，1]上递减，所以
，得a=7；
（3）当
时，g(t)在
递增。
所以，舍去；综上所述，得。
三角函数求值问题面面观
２ ． １ ｐ（ ， ） 点 Ｐ运 动速 ８ （ ） １０ ．
Ｊ
度 每秒 １ 个单位长度． １ （ 分）
（ ） 点 曰作 Ｂ Ｙ轴 于 点 Ａ ２过 ＦＪ ＿
・ ．
三角 函数 求值 问题面面观
… ．
曼蒸省 楚查 差墅． 望榱…直亘墼
求 一 个 锐 角 的 三 角 函 数 值 ， 同 学 们 必 须 掌 握 的 基 是
析 解 ＡＡ Ｃ 中 ， Ｃ ：９ 。 因 此 Ｂ ０．
本功之一 ， 了让 大家进 一 步牢 固掌握 这部 分 知识 ， 为 本 文就有关求锐 角三角函数值的常见 问题作 分类说 明．
．
了
＝
射 乩 丽 丁 ‘
所以Ｂ Ｅ＝ Ｃ Ｂ ｎ ５× ｃ＝ ＝ ２
Ｂ ２ ｓ Ｅ ０
七、 根据 要 求先 作 图再 定 函 数 值
例 ７ 请你 画出一个 以 Ｂ Ｃ为底边的等腰 ＡＡ Ｃ， Ｂ 使
（ 接 ３ 上 ４页 ）
Ａ
＾
朋 ，
ｔ
Ａ朋
Ｈ，
’ ＡＢ — 。 ‘ＡＦ — 。ＢＦ ‘ ’１ — ６ ’ ８ 。 ０ 。
＾
图３
２ ＢＤ
＝
２
： ＝
解析
根 据 图形 旋 转 变 换 的 特 点 ， 们 不 难 知 道 在 我
学・
Ｒ ＡＡ ｔ ＤＣ中 ， ／Ｄ Ｃ＝ ０ ， Ｃ＝ Ｃ＝ ， 以 有＿Ａ ９ 。Ａ Ａ ３ 所
ｔ ｎＬ ＡＤＣ ＝ ａ ＝３￣ Ｙ
（ ） Ｒ ＡＢ Ｃ， Ｅ ２ 在 ｔ Ｅ ＬＢ Ｃ＝９ 。 曰 ＝５ ｓ ０ ，Ｇ ，ｉ ｎＬＡ Ｃ ＝ Ｂ
别取射线 Ｏ Ｏ Ａ、 Ｂ上 肘 和 Ⅳ两 点 ， 中 ＭＮ： Ｏ 其 ２， Ｎ＝１ ，
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
(整理版)用例题说话三角函数式的求值问题
用例题说话——三角函数式的求值问题根据任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值，要特别注意这个角所在的象限，以及因此出现的一组或两组结果的情况：1．如果正弦、余弦、正切中的一个具体数值，且角所在的象限也已指定，那么只有一个结果；2．如果正弦、余弦、正切中的一个具体数值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果；3．如果的三角函数值是用字母给出的，且角所在的象限没有指定，那么角可能在四个象限〔也可能是轴线角〕，但可以把四个象限的角的三角函数值分成两组〔每组为两个象限〕去求，所以形式上一般仍有两组结果。
例1 ()()60sin cos 8169παπα---=，且,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，试求sin α与cos α的值。
分析：欲求sin α与cos α的值，只需建立关于sin α与cos α的两个方程，显然可利用诱导公式化简条件得一方程，再注意到平方关系，即可使问题获解。
解析：条件可化为1202sin cos 169αα=， 又∵22sin cos 1αα+=，∴()()2228949sin cos ,sin cos 169169αααα+=-=。
∵,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0αα>>，∴sin cos 0αα->， ∴177sin cos ,sin cos 1313αααα+=-=， ∴125sin ,cos 1313αα==。
评注：一般地，由sin cos αα可导出sin cos αα±，反之亦然，即()()22sin cos 11sin cos sin cos 22αααααα+---==。
例2 sin m α=()0,1m m ≠≠±，试用m 表示α的其它三角函数值。
分析：所给α的正弦值为字母m ，必须对m 进行讨论，以确定三角函数值的符号。
解析：由于0,1m m ≠≠±，∴所求三角函数均有意义。
高考100题三角函数：3 三角函数求值题型举例
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝()。
A.－45 B.－35 C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55.点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】sin 750.【解析】由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=.例4.已知α∈),2(ππ，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.【解析】因为α∈),2(ππ，sin α＝55，所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12.所以tan(π－α)＝－tan α＝12.点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。
诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若tan 13θ=，则cos 2θ=（）A.45-B.1-C.15D.45【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51(3θθθθθθθ---====+++．例6.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos ()A.35-B.95-C.5 D.5【解析】法一:因为3cos sin =+αα,所以31)cos (sin 2=+αα,所以32cos sin 2-=αα,即322sin -=α.。
三角函数求值的八种常用方法
ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三角函数中的求值问题
f ( x)
1
2 sin(2 x cos x
4
)
（Ⅰ） 求 f (x) 的定义域； （Ⅱ） 设 是第四象限的角，且
4 tan ,求 f ( ) 的值 。 3
祝同学们学业有成
一帆风顺
1、同角三角函数的基本关系：
2、诱导公式： 3、两角和（差）的三角函数公式：
4、二倍角公式：
1 2sin B cos B （Ⅱ）将 3 2 2 cos B sin B
化为
cos B sin B 2sinBcosB 3 2 2 cos B sin B
2 2
2
(cosB sinB) 即： 3 (cosB sinB)(cosB sinB)
整理得： sinB 2cosB
（Ⅱ）由题知 整理得
2
1 2sin B cos B 3 2 2 cos B sin B
2
sin B sin B cos B 2cos B 0
2
cosB 0, tan B tan B 2 0
∴
而
tan B 2
或
tan B 1
tan B 1 不符合题意舍去
内蒙古通辽市奈曼一中 张宝东
1、同角三角函数的基本关系：
sin cos 1 sin tan cos
2 2
tan cot 1
（04 例1： 湖南)
2 1 3 若 tan ( ) 2 ，则 2 4 2 sin cos cos
A 6 6
A 5
6 6 6
∴ A 3
例5（2006年四川）
已知 A, B, C是三角形 ABC 三内角， m 1, 3 , n cos A,sin A ，且 m n 1
三角函数给角求值
三⾓函数给⾓求值前⾔三⾓函数中的给⾓求值类问题，⼤多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，⽐如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后最后⼀步约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。
注意⾼频变形：分式约分，和加减抵消；相关变形切化弦[整式变分式]，1的代换，分式通分约分，根式升幂；配⽅展开，提取公因式，公式的逆⽤，变⽤，常⽤的互余、互补代换：sin70^{\circ}=cos20^{\circ}，cos40^{\circ}=sin50^{\circ}；sin140^{\circ}=sin40^{\circ}，cos110^{\circ}=-sin70^{\circ}=-cos20^{\circ}；常见的⾓的拆分：47^{\circ}=17^{\circ}+30^{\circ}；8^{\circ}=15^{\circ}-7^{\circ}；1+sin\theta+cos\theta=(1+cos\theta)+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}1+sin\theta-cos\theta=(1-cos\theta)+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}常见的互余，倍⾓等(\cfrac{\pi}{4}+\theta)+(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}+\theta)+(\cfrac{\pi}{6}-\theta)=\cfrac{\pi}{2}；2x\pm\cfrac{\pi}{2}=2(x\pm\cfrac{\pi}{4})；2\alpha\pm\cfrac{\pi}{3}=2(\alpha\pm\cfrac{\pi}{6})；常见的配⾓技巧：2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；2\beta=(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)；3\alpha-\beta=2(\alpha-\beta)+(\alpha-\beta)；3\alpha+\beta=2(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；\beta=\alpha-(\alpha-\beta)；\alpha=\cfrac{\alpha+\beta}{2}+\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\beta=\cfrac{\alpha+\beta}{2}-\cfrac{\alpha-\beta}{2}；\alpha=(\alpha+\beta)-\beta；(\cfrac{\pi}{6}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{3}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{\pi}{4}+\alpha)=\cfrac{\pi}{2}；(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)+(\cfrac{2\pi}{3}+\alpha)=\pi；(\cfrac{\pi}{4}-\alpha)+(\cfrac{3\pi}{4}+\alpha)=\pi；难点变形常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助⾓公式”等⾼频变形；\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\ cos\theta}1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cd ot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}注：在具体题⽬中，⾓\theta可以是具体的值，⽐如\tan12^{\circ}-\sqrt{3}，或1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}典例剖析№1求值：\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}分析：这类题⽬往往需要将⾮特殊⾓拆分，然后约掉含有⾮特殊⾓的代数式，就得到了最终的值。
三角函数的条件求值问题-学习计划
三角函数的条件求值问题-学习计划
计划一：从角间关系中寻求突破.三角函数求值题常从角与角之间的关系入手，可以从所给角的特殊关系中寻找突破，再利用诱导公式及三角函数的有关变换公式解决，常把其三角函数值已知的角与所求三角函数式中角通过变角、拼角等手段化成相同的角.
计划二：从函数关系中寻求突破.三角函数中，基本的两类为切和弦，解题时注意化弦和化切思想的运用.
计划三：从结构特征寻求突破.观察题目条件与待求的式子的结构特征，或角的结构特征，从这些特征中寻求突破口，进行三角恒等变换，再进行求值.
在三角函数求值题中我们应该注意以下几点：
1. 利用同角三角函数关系及诱导公式进行化简、求值.证明时，要细心观察题目的特征，注意培养观察，分析问题的能力，并注意解题后的总结，如切割化弦、1的巧代、sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx这三个式子间的关系等.
2. 要重视对遇到问题中的角，函数名称及其整体结构的分析，注意到公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高解题效率.
3. 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值.
4. 注意公式的变形使用，弦切互化，三角代换，消元等是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.
5. 应注重的变换，这体现将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。
三角函数求值怎么计算公式
三角函数求值怎么计算公式三角函数是数学中重要的一部分，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们可以用来描述角度和长度之间的关系，解决各种问题。
在实际应用中，我们经常需要用三角函数来求值，下面将介绍三角函数求值的计算公式。
1. 正弦函数的求值公式。
正弦函数的求值公式为，sin(θ) = 对边/斜边。
其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。
举个例子，如果要求sin(30°)的值，可以先构造一个30°的直角三角形，然后根据公式sin(30°) = 对边/斜边，计算出对边和斜边的比值，从而求得sin(30°)的值。
2. 余弦函数的求值公式。
余弦函数的求值公式为，cos(θ) = 邻边/斜边。
其中，θ为角度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度，斜边指的是直角三角形的斜边长度。
举个例子，如果要求cos(45°)的值，可以先构造一个45°的直角三角形，然后根据公式cos(45°) = 邻边/斜边，计算出邻边和斜边的比值，从而求得cos(45°)的值。
3. 正切函数的求值公式。
正切函数的求值公式为，tan(θ) = 对边/邻边。
其中，θ为角度，对边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相对的边的长度，邻边指的是角度对应的直角三角形中与该角度相邻的边的长度。
举个例子，如果要求tan(60°)的值，可以先构造一个60°的直角三角形，然后根据公式tan(60°) = 对边/邻边，计算出对边和邻边的比值，从而求得tan(60°)的值。
除了以上三种常见的三角函数，还有其它一些三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等，它们的求值公式也可以类似地通过构造直角三角形来求得。
在实际应用中，三角函数的求值可以帮助我们解决各种问题，比如在工程中用来计算力的方向和大小、在天文学中用来计算星体的位置和运动轨迹等。
高考数学总复习 三角函数中的求值问题
高考数学总复习 三角函数中的求值问题
三角函数的求值问题包括三类题型：
1、给角求值型：一般所给的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时要利用观察到的关系，结合三角公式转化为特殊角的三角函数求解。
2、给值求值型：给出某些角的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，从而求值。
3、给值求角型：实质上也转化为“给值求值”，关键也是“变角”，把所求的角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
注意：
（1）上述问题除了用到“变角”的技巧以外，还要注意函数名称和次数的变化。
一般地，如果待求值的三角式子中涉及到弦函数、切函数、割函数，则需要考虑“切割话弦”或“弦化切割”；如果涉及到高次式则用倍角公式或其变形统一次数。
（2）如果所给的式子比较复杂，则需要先将其化简，再求值。
（3）要注意条件中所给的角的范围（有时需要进一步缩小角的范围）以及所给的角的函数值对所求角的函数值的制约作用，否则极易出错。
（4）“知一求二”的问题：如果已知θθcos sin +，θθcos sin -，θθcos sin 中的一个，那么可以求出另外的两个。
注意这三者之间有内在的联系，比如：若设]2,2[cos sin -∈+=θθt ，则θθcos sin =21
2-t 。