试卷152905(1)

合集下载

2025届河北省衡水市第十三中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届河北省衡水市第十三中学高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．11743．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．04．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（） A ．84B ．54C ．42D ．185．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥的概率为（）A ．935B ．635C ．537D ．7377．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（） A ．55π B ．255πC ．455πD ．855π8．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．199．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（）.A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．54D ．3211．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0）线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届辽宁省铁岭市六校高二数学第一学期期末统考试题含解析

:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右焦点为 F
，短轴的一个端点为 M
，直线 l
: 3x 4y
0交椭圆 E
于
A, B
两点．若 AF BF 4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于 4 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是______________ 5
16．设
F1
，
F2
分别是椭圆
C：
x2 25
y2 16
1的左、右焦点，点
M
为椭圆
C
上一点且在第一象限，若 △MF1F2
为等腰三
角形，则 M 的坐标为___________
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列
an
中， a1
1, an1
an an
3
.
1
（1并求 an
灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁
的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为
A. 1
B. 2
3
3
C. 1
D. 3
4
4
5．已知 a b c 且 a b c 0 ，则下列不等式恒成立的是
13．设双曲线 C:
y2 16
x2 64
1
的焦点为
F1 ,
F2
，点
P
为C
上一点，
PF1
6 ，则
PF2
为_____.
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EF BC；（II）若AG等于圆O半径,且AE MN【答案】（I）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()30,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,220x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,+>；（II ）>是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,开方即得>（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为22a b c d =++=++考点：不等式证明.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 II 卷文科数学一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U （）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3【答案】A考点：集合运算.2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 B.213 25C.3 4D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（）A.0B. 2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q ==,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x=+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14. 若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x=±,则该双曲线的标准方程为．【答案】2214xy-=考点：双曲线几何性质16. 已知曲线lny x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x=+++相切,则a= ．【答案】8【解析】试题分析：由11yx'=+可得曲线lny x x=+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x=-,与()221y ax a x=+++联立得220ax ax++=,显然0a≠,所以由2808a a a∆=-=⇒=.考点：导数的几何意义.三、解答题17（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.（I）求sinsinBC∠∠；（II）若60BAC∠=o,求B∠.【答案】（I ）12；30o .考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=o o所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠, 所以3tan ,30.3B B ∠=∠=o考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I）见试题解析（II）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）97 或79考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 2,点(2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围. 【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（II ）()0,1. 【解析】考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF BC P ；（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II 163考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.【答案】（I ）()330,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y +-=,22230x y +-=,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：（I ）若ab cd > ,a b c d +>；（II ）a b c d >是a b c d -<-的充要条件. 【答案】【解析】试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22a b c d >,开方即得a b c d >（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析：解：（I ）因为222,2,a b a b ab c d c d cd =++=++考点：不等式证明.。

江西省上高第二中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

江西省上高第二中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -2．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．63．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（） A ．B ．C ．D ．5．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n6．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．7．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA 2AB =，则球O 的表面积为（）A ．163π B ．94π C ．6πD ．9π8．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（）A ．523B ．523C ．133D ．13310．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>11．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（） A ．正方体B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体12．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．1B ．43C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届河南省遂平中学数学高三上期末达标检测试题含解析

2025届河南省遂平中学数学高三上期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．33y x =± C ．2y x =±D ．12y x =±3．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过134．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（） AB ．1C ．2D5．已知函数2,0()4,0x x f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞6．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（） AB ．4C ．2D7．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④10．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（） A ．若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 11．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭12．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标II卷,含部分解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B =A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算.【名师点睛】本题属基础题，主要考查数列的交集运算。

2. 若为a 实数，且2i3i 1ia +=++，则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ，故选D. 考点：复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等，难度不大，但要注意运算的准确性。

3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D考点：柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解，要求学生能从图中读出有用信息，背景比较新颖。

4. 已知()0,1=-a ，()1,2=-b ，则(2)+⋅=a b a A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得21=a ，2,⋅=-a b 所以()222220+⋅=+⋅=-=a b a a a b .考点：向量数量积。

【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题。

5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===. 考点：等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前n 项和公式，具有小、巧、活的特点。

2009届广西桂林中学高三2月月考理

2009届广西省桂林中学高三2月月考数学（理科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分•满分150分，考试时间120分钟、选择题：本大题共第I卷（选择题）12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.2-i1.复数的虚部为2 + i 2.已知集合“ HX|94.C. _ — i5=1},贝iJ M3.已知tan：A. -3cos 2(sin 口一cosa)C. -24.设m, n,I是三条不同的直线，：■广,是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是A.若与i所成的角相等，贝U m//nB.若与：，■-所成的角相等，贝i]：〃C.若与〉所成的角相等，贝I] m//nD•若://*■, m :25.与直线2x-y , 4=0的平行的抛物线y二x的切线方程是A . 2x-y-1=0B . 2x-y 1 =0 C. 2x y-1=06 .设变量x, y满足约束条件x-y _oX・y — 0,贝|J J的最大值为2x心B. 47•将函数f(x) =2sin(2x -v) -3 的图象F按向量=（B¥）,平移得到图象F若F,的一条对称轴是直线x ,则的一个可能取值是TT48 .已知函数f (X)是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为彳,且X (0,-2)时B. .710 •已知O 为厶ABC 内一点，且OAOC - 20B =0,则厶AOC 与厶ABC 的面积之比是11 .棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1的8个顶点都在球 AB , AQ 的中点，则经过E, F 球的截面面积的最小值为12 .已知正三棱柱ABC -A3Ci 的底面边长为2,高为1,过顶点A 作一平面〉与侧面BCC1B1交于EF ,且EF // BC .若平面〉与底面ABC 所成二面角的大小为X0 : : :x,四边形BCEF 面积为y,则函数y 二fx 的图象大致是 I6丿A B CD第n 卷(非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13 .若v 子展开式的二项式系数之和为 64,则其展开式中的常数项为 ________________A. -6B.-3D.—3f (x) =log 2(3x1)则 f (2009)二Q db 吉慫 \/—v •2k^—r^rkirsl (•y 2=l 引切线,则切线长的最小值为O 的表面上，E, F 分别为棱TT14.设双曲线笃一笃=1 (a ■ 0,b ■ 0)的右焦点为F,右准线I与两条渐近线交于P、Q两a b点，如果也PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= __________________ .15 •从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为________________1 216•已知t为常数，函数y = Ax—x—t在区间［0,3］上的最大值为2,则七= ___________________三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2025届河南省鲁山县第一高级中学高考数学二模试卷含解析

2025届河南省鲁山县第一高级中学高考数学二模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()22cos cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（） A ．12B ．32C ．1D ．722．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 3．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（）A ．1i -B ．1i +C- D4．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+5．10212x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（） A ．3项B ．4项C ．5项D ．7项6．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（）A ．3B ．2C ．32-D ．2-7．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．已知点(25,310A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（）A 10B 10C 10D ．1010．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（） A ．()4,6 B ．()4,6-- C ．213313⎝⎭ D ．213313⎛ ⎝⎭ 11．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届河南省正阳县第二高级中学高三第二次联考数学试卷含解析

2025届河南省正阳县第二高级中学高三第二次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（）A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =3．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．52D ．724．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π 5．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（） A ．65x π=- B ．3x π=- C ．6x π= D ．3x π=7．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π 8．521mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( ) A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-29．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（）A 3B ．2C ．4D ．2311． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A ．165B ．325C ．10D ．18512．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x 时，函数()1f x x =-.若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（） A ．b c a << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省鸡西市鸡东县二中2025届高三数学第一学期期末质量检测试题含解析

黑龙江省鸡西市鸡东县二中2025届高三数学第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（） A ．43-B ．34-C ．34D ．433．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲4．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（）A ．43B ．16C ．43π D ．8π5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e7．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（） A ． B ． C ．D ．8．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．129．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（） A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A ．323B ．643C ．16D ．3211．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．3612．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届湖南省郴州市苏仙区湘南中学数学高三第一学期期末考试试题含解析

2025届湖南省郴州市苏仙区湘南中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10 B ．9 C ．8D ．72．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭4．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)af a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．22y x =±B ．3y x =C ．y x =±D ．2y x =6．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值7．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，，则a 的取值范围是（） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[1，2] D ．[0，2]8．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（） A ．12B ．35C ．25D ．3109．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．已知数列{}n a 满足()*331log 1log n n a a n N ++=∈,且2469aa a ++=,则()13573log a a a ++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．99111．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（）A ．3B ．32C ．4D ．42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江西省宁师中学、瑞金二中数学高三上期末联考试题含解析

2025届江西省宁师中学、瑞金二中数学高三上期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（） A ．2B ．2C ．10D ．102．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．2823．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（）A ．163B ．6C ．203D ．2235．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A ．20B ．27C ．54D ．648． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．459．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（） A ．5 B ．22C ．23D ．3310．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =12．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省邵阳市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案

高三数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,4}A =，{|22}B x x =≥-λ，若A B ⋂=∅，则实数λ的取值范围是（）A.3,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.(3,)+∞D.[3,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据A B ⋂=∅，可求得224λ->，则得3λ>，从而可求解.【详解】由题意可知A B ⋂=∅，只需224λ->，解得3λ>，故C 正确.故选：C.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21024a a +=，且36a =，则8S =（）A.60B.72C.120D.144【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n 项和公式计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，6210224a a a =+=，解得612a =，所以188368()4()4(612)722a a S a a +==+=⨯+=.故选：B3.已知()(2)3g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，若(1)4f =，则(3)f =（）A.10- B.4- C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数()f x 的性质，进而求出(3)f .【详解】由()(2)3g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，得[(2)3][(2)3]0f x f x -+-++-=，即(2)(2)6f x f x -+++=，令1x =，则(1)(3)6f f +=，而(1)4f =，所以(3)2f =.故选：C4.已知过点(1,0)A 的直线l 与圆22:(2)4C x y ++=相交于M ，N 两点，若||2MN =，则l 的斜率为（）A.2±B.12±C.13±D.14±【答案】A 【解析】【分析】设出直线l 的方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求解即得.【详解】圆22:(2)4C x y ++=的圆心(2,0)C -，半径2r =，易知直线斜率存在，设l 的方程为(1)y k x =-，则圆心(2,0)C -到l 的距离d =，则2MN ==，解得2k =±，所以l 的斜率为2±.故选：A5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为236πcm 的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭，若该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为（）A.3cmB.10cm 3C.18cm 5D.27cm 7【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.【详解】设实心铁球的半径为cm R ，依题意，24π36πR =，解得3R =，设正四棱台形状的实心铁锭的高为cm h ，则()3144π16π8ππ36π33h R ⋅++⋅==，解得277h =，所以该铁锭的高为27cm 7.故选：D6.已知1122(,),(,)x y x y 是函数ln y x =的图象上的两个不同的点，则（）A.1212e2y y x x ++> B.1212e2y y x x ++< C.122212e2y y x x ++>D.122212e2y y x x ++<【答案】D 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及ln y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【详解】如图所示，设1,1，2,2，AB 的中点为1212(,)22x x y y M ++，点N 在ln y x =的图象上，且//MN x 轴，则12122(e,)2y y y y N ++，由图知点N 在M 的左侧，即12122e2y y x x ++<，所以122122222121212()e4422y y x x x x x x x x ++++<=<+.故选：D7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，11134A E AB =uuu r uuu u r ，1(,[0,1])CF CB CC =+∈uu u r uu r uuu rλμλμ，若//EF 平面11A DC ，则线段EF 的长度的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意作出相应平面//EGHIJK 平面11A DC ，从而可知点F 在线段GH 上，从而可得EG EF EH ≤≤，即可求解.【详解】由题可知点F 在正方形11BCC B 内（含边界）.取棱11B C 上靠近点1B 的四等分点G ，棱1CC 上靠近点C 的四等分点H ，连接EG ，GH ，易得1//GH A D ，因为1A D ⊂平面11A DC ，GH ⊄平面11A DC ，所以//GH 平面11A DC ，因为//EF 平面11A DC ，所以过线段GH 且与平面11A DC 平行的截面为如图所示的平面EGHIJK ，所以EF GH F ⋂=，所以点F 在线段GH 上，所以EG EF EH ≤≤，又因为EF ==，EH =所以EF 的取值范围是，故B 正确.故选：B.8.已知1a >，若(0,)∀∈+∞x ，log a a ax x>恒成立，则a 的取值范围是（）A.1e(e ,)+∞ B.e(e ,)+∞ C.1e(1,e )D.e (1,e )【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数ln ()tf t t=，利用导数求出最大值即可求出范围.【详解】令函数at x =在()0,x ∞∈+上单调递减，且(0,)t ∈+∞，则log a t t >，即ln ln t t a >，而1a >，于是ln ln ta t>，令ln ()t f t t =，求导得21ln ()t f t t'-=，当(0,e)t ∈时，()0f t '>，当(e,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因此max 1()(e)e f t f ==，所以1ln ea >，即1e e a >.故选：A【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数()ln tf t t=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数π()sin(23f x x =-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在区间π(0,)2上无最大值C.()f x 在区间ππ(,26--上单调递减 D.()f x 的图象关于直线π12x =-对称【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合正弦函数的性质逐项分析判断即得.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期为2ππ2=，A 正确；对于B ，当π(0,2x ∈时，ππ2π2()333x -∈-，当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 取得最大值1，B 错误；对于C ，当ππ(,)26x ∈--时，π4π2π2(,333x -∈--，则()f x 在区间ππ(,26--上单调递减，C 正确；对于D ，当π12x =-时，ππ232x -=-，则()f x 的图象关于直线π12x =-对称，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，(0,3)B ，(,3)(0)C a a ≠，(1,0)D -，ABD △，BCD △的外接圆分别为圆M 、圆N ，则下列结论正确的是（）A.直线BD 的方程为230x y -+=B.点C 恒在圆M 外C.若圆M 与圆N 的半径相等，则2a =-D.若1a =，则圆N 的圆心的横坐标为0【答案】BC 【解析】【分析】求出直线BD 的方程判断A ；判断点C 的轨迹与圆M 关系判断B ；求出圆N 半径及圆心坐标进而求出a 判断C ；确定圆心位置判断D.【详解】对于A ，直线BD 的方程为3030(1)y x -=+--，即330x y -+=，A 错误；对于B ，等腰ABD △的外接圆M 的圆心在y 轴上，则直线3y =与圆M 相切于点B ，而点C 在直线3y =上，且又0a ≠，因此点C 恒在圆M 外，B 正确；对于C ，设圆M 的圆心为()00,y 03y =-，解得043y =，圆M 的半径为53，线段BD 中垂线方程为311(232y x -=-+，线段BC 中垂线方程为2ax =，于是得圆N 的圆心为8(,26a a -，而圆N 的半径为53，则22825(1)(269a a -++=，整理得220a a +=，而0a ≠，因此2a =-，C 正确；对于D ，由1a =，得()1,3C ，则圆N 的圆心在线段BC 的垂直平分线12x =上，D 错误.故选：BC11.已知圆锥SO 的侧面积为3π，且母线长为底面半径的3倍，若线段MN 为底面圆O 的一条直径，P 为线段SN 的中点，Q 为圆锥底面内一动点，且1MQ =，则（）A.圆锥SO 的高为B.一质点从点P 出发沿圆锥SO 的侧面运动到点M 的路径最短为2C.与圆锥SO 的侧面和底面均相切，且球心在线段SO 上的球的半径为2D.动点Q 的轨迹长度为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，可得π3π3rl l r =⎧⎨=⎩，可对A 判断；将圆锥SO 沿着平面SMN 切开后将侧面展开，可得侧面扇形中的SMN 为等边三角形，可对B 判断；设该球的半径为0r ，则0r 也为圆锥SO 的轴截面SMN 的内切圆半径从而可建立等式()011332222r ++=⨯⨯，可对C 判断；求出点Q 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的一段圆弧，作出相关图形从而可对D 判断.【详解】对于A ，设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题可知π3π3rl l r =⎧⎨=⎩，解得1r =，3l =，故h ==A 错误；对于B ，将圆锥SO 沿着平面SMN 切开后将侧面展开，设MSN α∠=，所以22l r απ=，结合1r =，3l =，求得π3α=，所以SMN 为等边三角形，故最短路径为π3sin32MP ==，故B 正确；对于C ，设该球的半径为0r ，则0r 也为圆锥SO 的轴截面SMN 的内切圆半径，由题可得()011332222r ++=⨯⨯，解得02r =，故C 正确；对于D ，由题可知，点Q 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的一段圆弧，如图，设该圆弧与底面圆O 交于E ，F 两点，易知OEM △与OFM △均为等边三角形，所以2π3EMF ∠=，所以弧EF 的长度为2π3，故D 正确.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i()1ia z a +=∈-R 在复平面内对应的点的横坐标为2，则a =______.【答案】3-【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出z ，再结合复数的几何意义求出a .【详解】依题意，(1i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)222a a a a az ++-++-+===+-+，由复数z 在复平面内对应的点的横坐标为2，得122a-=，所以3a =-.故答案为：3-13.若α，β满足tan tan 3=+βα，且π6βα=+，则cos cos αβ=______.【答案】16【解析】【分析】根据给定条件，切化弦，再利用差角的正弦求解即得.【详解】依题意，sin sin sin cos cos sin sin()1tan tan 3cos cos cos cos cos cos 2cos cos βαβαβαβαβαβααβαβαβ---=-====，所以1cos cos 6αβ=.故答案为：1614.已知平面向量OA ，OB，OC 满足||OA =uu r ||4OB = ，5π,6OA OB 〈〉= ，且()()3OC OA OC OB -⋅-=uuu r uu r uuu r uu u r ，若||AC ≤uuu rλ恒成立，则实数λ的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，再设(),C x y ，则点C 在圆()22116x y +-=上运动，结合三角函数范围得出4AC ≤+，即可求参.【详解】以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设()OA =，由题知3cos ,2OA OB =- ，则1sin ,2OA OB = ，故可设()2OB =- .设(),C x y ，则()()()()2222123OC OA OC OB x y x y x y y -⋅-=-⋅+-=+--= ，即点C 在圆()22116x y +-=上运动.令4cos 14sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，4AC ==故4λ≥λ的最小值为4+.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()30a b c a b c ab +++--=.（1）求C ；（2）若π2C A <<，求a b c +的取值范围.【答案】（1）π3C =（2）2).【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角C .（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数性质求出范围.【小问1详解】由()()30a b c a b c ab +++--=，得222a b c ab+-=由余弦定理得2221cos22a b cCab+-==，而(0,π)C∈，所以π3 C=.【小问2详解】由（1）及正弦定理得2sin sin() sin sin3sin sin3A A a b A Bc Cπ+-++==π1cos sin)22A A A=++π2sin()6A=+由π2C A<<，得ππ32A<<，即2263Aπππ<+<，则sin((,1)62Aπ+∈，所以a bc+的取值范围是2).16.如图，在三棱台111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，1AB AC⊥，11122AB AC AA A B===，M 是棱BC的中点.（1）求证：1AB⊥平面11A MC；（2）求二面角11A MC B--的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取AB的中点N，由已知，结合棱台的结构特征，利用线面垂直的判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面1BMC的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】如图，取棱AB 的中点N ，连接1A N ，MN ，1B N ，则11////MN AC AC ，由已知得11//A B AN ，111A B AN AA ==，且1AA AN ⊥，则四边形11A B NA 是正方形，于是11AB A N ⊥，而1AB AC ⊥，即111AB AC ⊥，又1111A C A N A =I ，且111,A A C N ⊂平面11A MC ，所以1AB ⊥平面11A MC .【小问2详解】依题意，1AC AB ⊥，1AC AA ⊥，1111,,AAAB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B ，则AC ⊥平面11AA B B ，而AB ⊂平面11AA B B ，则AC AB ⊥，以A 为原点，直线1,,AC AB AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)M ，1(1,0,1)C ，1(0,1,1)B ，(1,1,0)BM =- ，1(0,1,1)MC =-uuu u r ，设(,,)n x y z = 为平面1BMC 的法向量，则100n BM x y n MC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1,1,1)n = ，由（1）知平面11A MC 的一个法向量为1(0,1,1)AB = ，因此111cos ,3||||n AB n AB n AB ⋅〈〉=== ，所以二面角11A MC B --的正弦值为3.17.已知F 是椭圆22:143x y C +=的右焦点，过点F 作两条相互垂直的动直线1l 和2l ，1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于D ，E 两点.（1）若//AD x 轴，求||AD ；（2）设M ，N 分别为线段AB ，DE 的中点，求证：直线MN 过定点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）7（2）4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由//AD x 轴，分别设A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎫⎪⎪⎭，根据12l l ⊥，可得0FA FD ⋅= ，从而可求解.（2）设1,1，2,2，设直线1:1(0)l x my m =+≠，与22143x y +=联立，分别求出2243,3434m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，22243,3434m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，再根据12l l ⊥，从而可求解.【小问1详解】由题意知(1,0)F .因为//AD x 轴，所以A ，D 两点的纵坐标相同，设为t.由椭圆方程，不妨令A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎫⎪⎪⎭，因为12l l ⊥，所以221,1,14103t FA FD t t t ⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪⋅=-⋅-=--+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ ，整理得2337t =，所以877AD ==.【小问2详解】设1,1，2,2.当1l 与2l 的斜率都存在时，设直线1:1(0)l x my m =+≠，与22143x y +=联立，消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，∴122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()212122268223434m x x m y y m m +=++=-+=++，∴2243,3434m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.同理，用1m -替换m ，可得22243,3434m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.当1m =±时，M ，N 两点的横坐标均为47，故直线MN 过点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当1m ≠±时，()2222223373434444441734347m mm m m m m m m ++==---++，即MP NP k k =，此时直线MN 过点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当1l 或2l 与x 轴重合时，MN 也与x 轴重合，此时直线MN 也经过点4,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，综上可知，直线MN 过定点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知函数21()2e ()2x f x m x =--，2()()ln 2g x f x x x x =--.（1）若32m =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程.（2）若()g x 有两个极值点a ，()b a b <．（i ）证明：e 1m >-；（ii ）证明：1ab <.【答案】（1）22y x =+；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）（i ）求出函数()g x 及导数，分离参数并构造函数e 1()ln x h x x x x =--，探讨函数性质即可推理得证；（ii ）由（i ）中信息，构造函数1()()()F x h x h x =-，探讨函数()F x 在(1,)+∞上的单调性，推理得证.【小问1详解】函数2()2e x f x x =-，求导得()2e 2x f x x '=-，则(0)2f '=，而(0)2f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+.【小问2详解】（i）函数221()2e (ln 22x g x m x x x x =----，求导得()2e 22ln 2x g x mx x x '=---，令()0g x '=，得e 1ln x x m x x--=，设e 1()ln x h x x x x=--，求导得222e (1)1(e 1)(1)()x x x x x h x x x x ----'=-=，(0,)x ∈+∞，令()0h x '=，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0h x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，于是min ()(1)e 1h x h ==-，由()g x 有两个极值点，得方程()0g x '=有两个实根，即()h x m =有两个实根，则e 1m >-.（ii ）由（i ）知a ，b 是方程()0g x '=的两个实根，即()()h a h b m ==，且01a b <<<，设1()()(F x h x h x =-，求导得12211(1)(e e 1)()()()()x xx x x F x h x h x x x--+-'''=-⋅-=，令1()e e 1x x x x x ϕ=-+-，则当(1,)x ∈+∞时，111()e e e 10x xx x x ϕ'=-++>，即函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0x ϕϕ>=，即当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，于是函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0F x F >=，因此1()()h x h x>，则1()()h b h b >，即1()()h a h b >，而101b<<，又()h x 在(0,1)上单调递减，因此101a b <<<，所以1ab <.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知P ，Q ∈Z ，若方程20x Px Q -+=有两个不相等的非零实数根a ，b ，设n n n a b u a b -=-，n v =11n n a b --+，其中*n ∈N ，称数列{}n u 和{}n v 为方程20x Px Q -+=的“特征数列”.（1）若4P =，3Q =，求特征数列{}n u 的前n 项和；（2）若1P =，1Q =-，证明：2n n nv v u ++为定值；（3）从集合{1,2,3,4}中随机取一个数作为P ，从集合{}1,2,3,4----中随机取一个数作为Q ，求事件“22u ≥且6150v ≥”的概率.【答案】（1）13342n n +--；（2）证明见解析；（3）1116.【解析】【分析】（1）根据定义求出n u ，再利用分组求和法及等比数列前n 项和公式计算即得.（2）由已知可得1,1a b ab +==-，变形2n n v v ++即可推理计算得证.（3）求出方程20x Px Q -+=有不等实根的所有可能结果，再求出22u ≥且6150v ≥含有的结果，利用古典概率计算即得.【小问1详解】当4P =，3Q =时，解方程2430x x -+=，得1x =或3，则312n n u -=，所以1212133133(333)22231242n n n n n n n u u u +--+++=+++-=⨯-=--L L .【小问2详解】依题意，1P a b =+=，1Q ab ==-，1111211(()n n n n n n n n v v a b a b a a b b a b --++++=+++=+++()()())(n n n n a a b b b a a b a b =-+-=--，因此222()(()()45)n n n n n n n v v a b a b a b a b ab a b u a b++--==-=+-=--，所以2n n nv v u ++为定值5.【小问3详解】依题意，(,)P Q 一共有4416⨯=种不同的情况，且均满足240P Q ->和0Q ≠，则方程20x Px Q -+=一定有两个不相等的非零实数根a ，b ，222a b u a b P a b-==+=-，要使22u ≥，则需2P ≥，通过特例观察可以猜想21n n n v Pv Qv ++=-，下面证明该等式：111()()()n n n n n n Pv Qv a b a b ab a b --+-=++-+11n n n n n n a b ab ba ba ab ++=+++--112n n n a b v +++=+=，显然12v =，2v a b P =+=，当2P =，1Q =-时，212n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，2，6，14，34，82，不符合题意；当2P =，2Q =-时，2122n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，2，8，20，56，152，符合题意；当2P =，2Q ≤-时，由21122n n n n n v Pv Qv v v +++=-≥+，得6152v ≥，符合题意；当3P =，1Q =-时，213n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，3，11，36，119，393，符合题意；当3P ≥，1Q ≤-时，由2113n n n n n v Pv Qv v v +++=-≥+，得6393v ≥，符合题意，所以满足“22u ≥且6150v ≥”的(,)P Q 一共有34411++=（种）情况，所以所求概率为1116.【点睛】关键点点睛：猜想出递推公式21n n n v Pv Qv ++=-并证明，是解决本题第3问的关键.。

高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A考点：集合间的运算.2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．93B ．123C ．137D ．167（高中部）（初中部）男男女女60%70%【答案】C 【解析】试题分析：由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+= 故答案选C 考点：概率与统计.3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【答案】B【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.4.设10()2,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值.5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积. 6. “sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性. 7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（）A ．1B ．2C ．5D ．10【答案】D 【解析】试题分析：该程序框图运行如下：6330x =-=>，330x =-=，0330x =-=-<，2(3)110y =-+=，故答案选D .考点：程序框图的识别.8. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.9. 设()sin f x x x =-，则()f x =（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数.故答案选B 考点：函数的性质.10. 设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C 【解析】试题分析：1ln ln 2p f ab ===；()ln 22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab=+=因为2a b +>()ln f x x =是个递增函数，()2a bf f +>所以q p r >=，故答案选C考点：函数单调性的应用.11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯= 故答案选D 考点：线性规划.12. 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（）A ．3142π+B ． 112π+C ．1142π-D ． 112π-【答案】C 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-若||1z ≤，则y x ≥的概率211142142πππ-=-⨯ 故答案选C考点：1.复数的模长；2.几何概型.填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5考点：等差数列的性质.14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.【答案】8【解析】试题分析：由图像得，当sin()16xπ+Φ=-时min2y=，求得5k=，当sin()16xπ+Φ=时，max3158y=⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.15、函数xy xe=在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1 ye =-考点：导数的几何意义.16、观察下列等式：1－11 22 =1－11111 23434 +-=+1－11111111 23456456 +-+-=++…………据此规律，第n个等式可为______________________.【答案】11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++.故答案为11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++考点：归纳推理.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I)3A π=；(II).试题解析：(I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<<所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin3314B B ππ=+=，所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.(I)证明：CD ⊥平面1AOC ；(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值.【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a =.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE = ，又由(I)知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为3113V S AO =⨯⨯=，由336a =6a =.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE =又由(I)知，1AO BE ⊥，所以 1AO ⊥平面BCDE ，即1AO 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1可知，1AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为2311133V S AO a =⨯⨯=⨯=，由3=6a =.考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空集几何体的体积.(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.【答案】(I) 1315； (II) 78.【解析】试题分析：(I)在容量为30的样本中，从表格中得，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是26133015=. (II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为147168=，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.试题解析：(I)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315.(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.考点：概率与统计.20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为.(I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【答案】(I) 2212x y +=； (II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题意知1c b a ==，由222a b c =+，解得a =，继而得椭圆的方程为2212x y +=；(II) 设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，化简得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，由已知∆>，从而直线AP与AQ的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+化简得12122(2)AP AQ x x k k k k x x ++=+-()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.试题解析：(I)由题意知12c b a ==，综合222a b c =+，解得a =，所以，椭圆的方程为2212x y +=.(II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.21. 设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥(I)求(2)n f '；(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nna ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭. 【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题设1()12n nf x x nx -'=+++，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++，此式等价于数列1{2}n n -⋅的前n 项和，由错位相减法求得(2)(1)21n n f n '=-+；(II)因为(0)10f =-<，2222()12120333n n f ⎛⎫⎛⎫=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()nf x 在2(0,)3内至少存在一个零点，又1()120n n f x x nx -'=+++>，所以()n f x 在2(0,)3内单调递增，因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ，由于1()11n n x f x x -=--，所以10()11n n n n n a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>故1223n a <<，继而得111112120222333n nn nn a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，所以1(2)1222n nf n -'=+⨯++ ①由 22(2)12222nn f n '=⨯+⨯++ ②①-②得21(2)12222n n n f n -'-=++++-2122(1)2112n n n n -=-⋅=---，所以 (2)(1)21n n f n '=-+(II)因为(0)10f =-<222133222()112120233313nn n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以()nf x 在2(0,)3内至少存在一个零点，又1()120n nf x x nx -'=+++>所以()n f x 在2(0,)3内单调递增，因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ，由于1()11n n x f x x -=--，所以10()11nn n n na f a a -==--由此可得1111222n n n a a +=+>故1223n a <<所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得D B A B E ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分C B A ∠，则3B A A DB C C D ==，又BC =，从而AB =，由222AB BC AC =+，解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3D E A E A D =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD ==，又BC =，从而AB =所以4AC == 所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD ==，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为132(2x tty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C的直角坐标方程；(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.【答案】(I)(223x y+-=；(II)(3,0).【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sinρθ=，从而有22x y+=，所以(223x y+=(II)设132P t⎛⎫+⎪⎝⎭，又C，则PC==，故当0t=时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sinρθ=，从而有22x y+=所以(223x y+=(II)设132P t⎛⎫+⎪⎝⎭，又C，则PC==，故当0t=时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.24. 选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式x a b+<的解集为{|24}x x<<(I)求实数,a b的值；(II).【答案】(I)3,1a b=-=；(II)4.【解析】试题分析：(I)由x a b+<，得b a x b a--<<-，由题意得24b ab a--=⎧⎨-=⎩，解得3,1 a b=-=；(II)柯西不等式得+221≤4==，1=即1t=时等号成立，故min4=.试题解析：(I)由x a b+<，得b a x ba--<<-则24b ab a--=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b=-==≤4===即1t=时等号成立，故min4=考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.。

2025届新疆乌鲁木齐天山区九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2025届新疆乌鲁木齐天山区九年级数学第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（） A ．摸出的是3个白球B ．摸出的是3个黑球C ．摸出的是2个白球、1个黑球D ．摸出的是2个黑球、1个白球2．在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（） A ．12B ．13C ．14 D ．13．若关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．64．已知三点()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 均在双曲线上4y x=，且1230x x x <<<，则下列各式正确的是（） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<5．如图，一次函数1y ax b 和反比例函数2ky x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >6．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，已知S △DEF : S △ABF =4: 25，则DE ：EC 为（）A ．4：5B ．4：25C ．2：3D ．3：27．己知1x =是一元二次方程()22240m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（）A ．1B ．－1或2C ．－1D ．08．下列方程中，没有实数根的方程是（） A ．B ．C ．D ．9．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门，花圃面积为80 m 2，设与墙垂直的一边长为x m ，则可以列出关于x 的方程是( )A ．x(26－2x)＝80B ．x(24－2x)＝80C ．(x －1)(26－2x)＝80D ．x(25－2x)＝8010．一个铁制零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．AP ABAB AC=D．AB ACBP CB=12．有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________．14．如图，直线y=x+2与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点P．若OP=10，则k的值为________．15．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+b＝2；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x ＞5；⑤8a+7b+1c＞2．其中正确的结论是_____．16．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．17．一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为__________．18．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）三、解答题（共78分）19．（8分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.20．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的函数值y与自变量x之间的对应数据如表：x …﹣1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …（1）求b、c的值；（2）当x取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？21．（8分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海.上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度.如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30.火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边处的雷达测得点N的仰角增加15，求此时火箭所在点B处与A处的距离．(保留根号)22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的12得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；（2）求A1C1的长．23．（10分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝1．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．24．（10分）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？25．（12分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两个探测点探测到C 处有生命迹象．已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C 的深度．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41,?3 1.73≈≈）26．（1031323tan 3082020x ⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭．（2）解方程：()2252x x -=⨯．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B. 2、C【详解】解：∵共有4个球，红球有1个， ∴摸出的球是红球的概率是：P=14．故选C ．【点睛】本题考查概率公式． 3、B【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，建立关于k 的等式，求出k ．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴△＝b 2−4ac ＝62−4×1×k ＝36−4k ＝0，解得：k ＝1．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根． 4、B【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵ k=4>0， ∴函数图象在一、三象限， ∵1230x x x <<<∴横坐标为x 1，x 2的在第三象限，横坐标为x 3的在第一象限； ∵第三象限内点的纵坐标小于0，第一象限内点的纵坐标大于0， ∴y 3最大，∵在第三象限内，y 随x 的增大而减小， ∴213y y y << 故答案为B ．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，对点所在不同象限分类讨论是解答本题的关键． 5、B【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 6、C【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF ∽△BAF ，再根据S △DEF ：S △ABF =4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE ：AB 的值，由AB=CD 即可得出结论. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴△DEF ∽△BAF ， ∵S △DEF ：S △ABF =4：25， ∴DE ：AB=2：5， ∵AB=CD ， ∴DE ：DC=2：5， ∴DE ：EC=2：1．故选C. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键. 7、C【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x =2代入方程求解可得m 的值．【详解】把x =2代入方程(m ﹣2)x 2+4x ﹣m 2=0得到(m ﹣2)+4﹣m 2=0，解得：m =﹣2或m =2． ∵m ﹣2≠0， ∴m =﹣2．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是理解一元二次方程解的定义，属于基础题型．8、D【解析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：A、方程化为一般形式为：，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、方程化为一般形式为：，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；D、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9、A【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据题意可列出方程．【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据题意得：x（26-2x）=1．故选A．【点睛】本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：找出相等关系，列方程．10、C【解析】试题解析：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分式是虚线，故C正确；故选C．考点:简单几何体的三视图.11、D【解析】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．12、B【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．【详解】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选B．【点睛】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．二、填空题（每题4分，共24分）13、16【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn=所以22360S==16360360扇形π4πrπ=n14、3【分析】已知直线y=x+2与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点P，设点P的坐标为(m,m+2)，根据，列出关于m的等式，即可求出m，得出点P坐标，且点P在反比例函数图象上，所以点P满足反比例函数解析式，即可求出k值．【详解】∵直线y=x+2与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点P∴设点P的坐标为(m,m+2) ∵=解得m1=1，m2=-3∵点P在第一象限∴m=1∴点P的坐标为(1,3)∵点P在反比例函数y=kx图象上∴31k = 解得k=3故答案为：3【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，根据直角坐标系中点坐标的性质，可利用勾股定理求解．15、①④⑤．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x ＝1．∴x ＝2b a- ＝1，与x 轴的另一个交点为（5，2），即，4a +b ＝2，故①正确；当x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b +c ＜2，即，9a +c ＜3b ，因此②不正确；当x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大，因此③不正确；抛物线与x 轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a ＜2，因此当函数值y ＜2时，自变量x 的取值范围是x ＜﹣1或x ＞5，故④正确；当x ＝3时，y ＝9a +3b +c ＞2，当x ＝4时，y ＝16a +4b +c ＞2，∴15a +7b +1c ＞2，又∵a ＜2，∴8a +7b +c ＞2，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤，故答案为：①④⑤．【点睛】本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.16、1【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设利润为w 元，则w ＝（20﹣x ）（x ﹣10）＝﹣（x ﹣1）2+25，∵10≤x≤20，∴当x＝1时，二次函数有最大值25，故答案是：1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17、24【分析】由已知三视图为圆柱，首先得到圆柱底面半径，从而根据圆柱体积=底面积乘高求出它的体积．【详解】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，高为6，∴底面半径为2，∴V=πr2h=22×6•π=24π，故答案是：24π．【点睛】此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体，关键是先判断圆柱的底面半径和高，然后求其体积．18、③【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；故答案为:③.【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．三、解答题（共78分）19、（1）答案见解析；（2）13cm【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；（2）连接OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长．【详解】解：（1）连接BC，作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，圆O即为所求；（2）如图，连接OA∵OD⊥AB∴AD=12AB=12cm设圆O半径为r，则OA=r，OD=r-8直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2∴122+(r-8)2=r2∴r=13∴圆O半径为13cm【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握圆中任意两条弦的垂直平分线的交点即为圆心.20、（1）b=-4,c=5；（2）当x＝2时，二次函数有最小值为1【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案．【详解】（1）把（0，5），（1，2）代入y=x2+bx+c得：512c b c =⎧⎨++=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=⎩， ∴4b =-，5c =；（2）由表格中数据可得：∵1x =、3x =时的函数值相等，都是2， ∴此函数图象的对称轴为直线3122x +==， ∴当x =2时，二次函数有最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．21、火箭所在点B 处与A 处的距离()4km ．【分析】在RT △AMN 中根据30°角的余弦值求出AM 和MN 的长度，再在RT △BMN 中根据45°角的求出BM 的长度，即可得出答案.【详解】解：在Rt AMN ∆中，8,30AN km ANM =∠= cos30AM AN∴= 4,cos3043AM km MN AN ∴===在Rt BMN ∆中，301545MNB ∠=+=BM MN ∴==,()4AB km ∴=答：火箭所在点B 处与A 处的距离()4km .【点睛】本题考查解直角三角形，难度适中，解题关键是根据题目意思构造出直角三角形，再利用锐角三角函数进行求解.22、（1）作图见解析；（2【解析】(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.【详解】（1）如图所示：△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，都是符合题意的图形；（2）A 1C 1．【点睛】本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.23、（1）20；（2）①见解析；②存在，CE＝74；（3）tan∠C的值为724或62．【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°；（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即AB ACAE AB=,即343AE=，解得：AE=94，即可求解.（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝75，即可求解；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝12DE＝k，在△BGH中，BH22BG GH-＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝1k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k 524.【详解】解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝1，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即AB ACAE AB=，即343AE=，解得：AE＝94，则CE＝1﹣94＝74；（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，AB＝BE＝5，过点A作AH⊥BC于点H，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝75；cos∠ABE＝BHAB＝725＝cos2β，则tan2β＝247，则tanα＝7 24；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝12DE＝k，在△BGH中，BH22BG GH-2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝1k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k 5 24在△ABD中，AB＝5，BD＝6k 30 24则cos∠ABD＝cosβ＝ABBD＝63＝cos C，则tan C＝6 2综上，tan∠C的值为7246【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值等知识. 属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.24、（1）y＝180(4060)3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W＝222105400(4060)33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是1．【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=1，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，140），（60，120）代入得40140 60120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：1180 kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，将（90，30），（60，120）代入得9030 60120m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：3300 mn=-⎧⎨=⎩，∴y＝﹣3x+300；综上所述，y＝180(4060) 3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，综上所述，W＝222105400(4060) 33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩；（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x＝2102--＝105，∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x＝3906--＝65，∵60＜x≤90，∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝1，∵1＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝1，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是1．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．25、5.5米【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中表示出AD ，在Rt △BCD 中表示出BD ，再由AB=4米，即可得出关于x 的方程，解出即可.【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中，∠CAD=30°，则33在Rt △BCD 中，∠CBD=45°，则BD=CD=x. 3﹣x=4，解得：)x 231 5.531==≈-. 答：生命所在点C 的深度为5.5米.26、（1）5；（2）122,25x x =【分析】（1）按顺序先分别进行绝对值化简，0次幂运算，代入特殊角的三角函数值，进行立方根运算，然后再按运算顺序进行计算即可．（2）根据()2222x x =化简方程，从而求得方程的解．【详解】（1031323tan 3082020x ⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭23132=+5=（2）()25x x =⨯ ))250x x ⨯=- )5=0x x -解得1x = ，2x 5=【点睛】本题考查了实数的混合运算以及一元二次方程的解法，掌握实数的混合运算法则以及一元二次方程化简运算方法是解题的关键．。

2025届江西省宜春市上高县二中高三最后一卷数学试卷含解析

2025届江西省宜春市上高县二中高三最后一卷数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()e ln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞2．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元3．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（）A 2B ．22C 6D ．234．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm5．已知函数()e x f x x=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( ) A ．44,e e 1⎛⎫---⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 6．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（） A ．760B ．16C ．1360D ．147．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 ） A ．2B 2C 3D ．38．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++9．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i < 10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁市第二十一中学2025届九上数学期末统考试题含解析

广西南宁市第二十一中学2025届九上数学期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分) 1．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.22．如图，AB 是O 的直径，点D 是AB 延长线上一点，CD 是O 的切线，点C 是切点，30CAB ∠=︒，若O 半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A ．161633π-B ．8833πC ．2833π D ．21633π 3．下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是( ) A ．了解重庆市中小学学生课外阅读情况 B ．了解重庆市空气质量情况C ．了解重庆市市民收看重庆新闻的情况D ．了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况4．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜1；②方程ax 2+bx+c ＝1的根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③a+b+c ＜1；④当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；⑤2a ﹣b ＝1；⑥b 2﹣4ac ＞1．下列结论一定成立的是（）A ．①②④⑥B ．①②③⑥C ．②③④⑤⑥D ．①②③④5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°6．若△ABC ∽△ADE ，若AB=6，AC=4,AD=3，则AE 的长是（）A ．1B ．2C ．1.5D ．37．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，那么一次函数y bx a =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，5AB =，则AD 的长为（）A ．3B ．163C ．203D ．1659．如图，在边长为1的小正方形网格中，点, , , A B C D 都在这些小正方形的顶点上，,AB CD 相交于点O ，则cos BOD ∠=( )A ．12B ．55C ．255D ．210．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（）A ．2B ．3C ．218D ．247二、填空题(每小题3分,共24分)11．一定质量的二氧化碳，其体积V （m 3）是密度ρ（kg/m 3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V=1.9m 3时，ρ=________．12．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆的直径长为__．13．毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗.小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上.小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是_______． 14．已知袋中有若干个小球，它们除颜色外其它都相同，其中只有2个红球，若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是14，则袋中小球的总个数是_____ 15．如图，AB 是半圆，点O 为圆心，C 、D 两点在AB 上，且AD ∥OC ，连接BC 、BD ．若CD ＝65°，则∠ABD 的度数为_____．16．如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO 、BD ，则∠OBD 的度数是_____．17．正方形A 1B 1C2C 1，A 2B 2C 3C 2，A 3B 3C 4C 3按如图所示的方式放置，点A 1、A2、A 3和点C 1、C 2、C 3、C 4分别在抛物线y ＝x 2和y 轴上，若点C 1（0，1），则正方形A 3B 3C 4C 3的面积是________．18．如图，AB 为O 的弦，O 的半径为5，OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，且1CD =，则弦AB 的长是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？20．（6分）今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；（2）求抽奖人员获奖的概率．21．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这A B C D E F G H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．8名学生分别标记为,,,,,,,学生A B C D E F G H垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．22．（8分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD ＝1，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．23．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上．（1）以点A 为旋转中心，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得到△AB 1C 1，画出△AB 1C 1．（2）画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，若点C 的坐标为（﹣4，﹣1），则点C 2的坐标为．24．（8分）已知关于x 的一元二次方程 2(1)(4)30m x m x -+--=(m 为实数且1m ≠)．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数．．．m 的值．25．（10分）如图，C 城市在A 城市正东方向，现计划在A 、C 两城市间修建一条高速铁路（即线段AC ），经测量，森林保护区的中心P 在城市A 的北偏东60°方向上，在线段AC 上距A 城市150km 的B 处测得P 在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P 为圆心，120km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732）26．（10分）如图，AB 、CD 、EF 是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB 、CD 在路灯光下的影长分别为BM 、DN ，在图中作出EF 的影长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DBDB AD=，从而求出DE的长，最后利用AE AD DE=-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB为O的直径90ADB∴∠=︒22226511 BD AB AD∴-=-∵弦AD平分BAC∠11CD BD∴==CBD DAB∴∠=∠ADB BDE∠=∠ABD BED∴DE DBDB AD∴=11511=解得115DE =115 2.85AE AD DE ∴=-=-= 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键． 2、B【分析】连接OC ，求出∠COD 和∠D ，求出边DC 长，分别求出三角形OCD 的面积和扇形COB 的面积，即可求出答案．【详解】连接OC ，∵AO=CO ，∠CAB=30°， ∴∠COD=2∠CAB =60°， ∵DC 切⊙O 于C ， ∴OC ⊥CD ， ∴∠OCD=90°，∴∠D=90°-∠COD =90°-60°=30°，在Rt △OCD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=4， ∴43CD = ∴阴影部分的面积是:22OCDCOB116048S 44383236023603n r SOC CD πππ-==-=⨯⨯=扇形故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积，三角形的面积的应用，还考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积． 3、D【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.【详解】解：A 、了解重庆市中小学学生课外阅读情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误； B 、了解重庆市空气质量情况，适合抽样调查，故此选项错误；C 、了解重庆市市民收看重庆新闻的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；D 、了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况，范围较小，采用全面调查；故此选项正确；故选：D. 【点睛】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查． 4、B【解析】根据二次函数图象和性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．根据图像分析，抛物线向上开口，a ＞1；抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c<1；坐标轴在右边，根据左同右异，可知b 与a 异号，b<1;与坐标轴有两个交点，那么△>1，根据这些信息再结合函数性质判断即可. 【详解】解：①由图象可得，a ＞1，c ＜1，∴ac ＜1，故①正确，②方程当y=1时，代入y=ax 2+bx+c ，求得根是x 1=-1，x 2=3，故②正确， ③当x=1时，y=a+b+c ＜1，故③正确， ④∵该抛物线的对称轴是直线x=1312-+= ∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故④错误， ⑤12ba-=则2a=-b,那么2a+b=1，故⑤错误， ⑥∵抛物线与x 轴两个交点，∴b 2-4ac ＞1，故⑥正确，故正确的为. ①②③⑥选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 5、D【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 6、B【分析】根据相似三角形的性质，由AD AEAB AC=，即可得到AE 的长. 【详解】解：∵△ABC ∽△ADE ， ∴AD AEAB AC =， ∵AB=6，AC=4，AD=3， ∴364AE =， ∴2AE =；故选择：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质. 7、D【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：由二次函数图象，得出a ＞0，02ba->，b ＜0， A 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故A 错误； B 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故B 错误； C 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故C 错误； D 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等. 8、C【分析】根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°，∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3AB AC α==， ∴AD=BC =22222520533AC AB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.9、B【分析】通过添加辅助线构造出Rt CDE △后，将问题转化为求cos DCE ∠的值，再利用勾股定理、锐角三角函数解Rt CDE △即可．【详解】解：连接CE 、DE ，如图：∵由图可知：123445ABE ∠=∠=∠=∠=∠=︒∴2390CED ∠=∠+∠=︒，//AB CE∴BOD DCE ∠=∠∵小正方形的边长为1∴在Rt CDE △中，22112CE =+=， 221310CD +=∴25cos 510CE DCE CD ∠===∴5cos cos BOD DCE ∠=∠=．故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．10、C【分析】根据折叠得出∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，求出∠DFB ＝∠FEC ，证△DBF ∽△FCE ，进而利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5，∵沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，CE ＝y ，AE ＝5﹣y ，∵BF ＝2，BC ＝5，∴CF ＝3，∵∠C ＝60°，∠DFE ＝60°，∴∠EFC +∠FEC ＝120°，∠DFB +∠EFC ＝120°，∴∠DFB ＝∠FEC ，∵∠C ＝∠B ，∴△DBF ∽△FCE ， ∴BD BF DF FC CE EF==，即2535x x y y -==-，解得：x ＝218，即BD ＝218，故选：C ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.二、填空题(每小题3分,共24分)11、35/kg m【解析】由图象可得k=9.5，进而得出V=1.9m 1时，ρ的值．【详解】解：设函数关系式为：V=k ρ，由图象可得：V=5，ρ=1.9，代入得：k=5×1.9=9.5，故V=9.5ρ，当V=1.9时，ρ=5kg/m1．故答案为5kg/m1．【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，正确得出k的值是解题关键．12、1．【分析】根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出AB，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论.【详解】如图，已知：AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB22AC BC+＝1，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是1；故答案为：1．【点睛】此题考查的是求三角形的外接圆的直径，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键.13、2 5【详解】试题分析：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人．因此在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=25．故答案为25．考点：概率公式14、8个【解析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中小球的总个数．【详解】袋中小球的总个数是：2÷14=8（个）．故答案为8个．【点睛】本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．15、25°【分析】根据AB是直径可以证得AD⊥BD，根据AD∥OC，则OC⊥BD，根据垂径定理求得弧BC的度数，即可求得AD的度数，然后求得∠ABD的度数．【详解】解：∵AB是半圆，即AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴BC CD==65°∴AD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠ABD＝150252⨯=°°．故答案为：25°．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角的定理，利用垂径定理证明BC CD==65°是解决本题的关键．16、30°【解析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD 和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.【详解】连接CD.由题意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径.∵D （0，1），C 0），∴OD=1，，∴=2， ∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）故答案为30°. 【点睛】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.17、．【分析】先根据点C 1（0，1）求出A 1的坐标，故可得出B 1、A 2、C 2的坐标，由此可得出A 2C 2的长，可得出B 2、C 3、A 3的坐标，同理即可得出A 3C 3的长，进而得出结论．【详解】∵点1C （0，1），四边形1121A B C C ，2232A B C C ，3343A B C C 均是正方形，点1A 、2A 、3A 和点1C 、2C 、3C 、4C 分别在抛物线2y x =和y 轴上，∴1A （1，1），2C （0，2），∴2A ，2），∴3C （0，），∵点3A 的纵坐标与点3C 相同，点3A 在二次函数2y x =的图象上，∴3A ，2+，即33A C =，∴33432233()2A B C C S A C ===+正方形．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，熟知正方形的性质及二次函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键． 18、1【分析】连接AO ，得到直角三角形，再求出OD 的长，就可以利用勾股定理求解．【详解】连接AO ，CD=，∵半径是5，1OD=-=，∴514根据勾股定理，2222=-=-=，AD AO OD543AB=⨯=，∴326因此弦AB的长是1．【点睛】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）y=60+10x；（2）定价为33元，最大利润是810元．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【详解】解：（1）根据题意，得：y=60+10x，（2）设所获利润为W，则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810，∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．20、（1）详见解析（2）。

2025届东莞市外国语高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析

东莞外国语学校2024-2025学年第一学期第2次月考高三数学命题人：桂林峰审题人：张立东说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设2{(,)|}A x y y x x ==-，{(,)|}B x y y x ==，则A B =I （）A. {(0,0),(2,2)} B. {(0,0)} C. {(2,2)} D. Æ【答案】A 【解析】【分析】联立集合A 与集合B 方程组，解出来的解组就是A B Ç.【详解】根据题意知联立集合A 与集合B 方程组得2y x x y x ì=-í=î，解之可得00x y =ìí=î或22x y =ìí=î，所以()(){}0,0,2,2A B Ç=.故选：A2. “02x <<”是“260x x --<”的（）A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分析两个集合{}|02A x x =<<和{}|23B x x =-<<的关系，从而推出命题之间的关系【详解】解不等式260x x --<，得23x -<<而集合{}|02A x x =<<是集合{}|23B x x =-<<的真子集，所以“02x <<”是“260x x --<”的充分而不必要条件故选：B3. 函数8()2(1)1f x x x x =+>-的最小值为（）A. 8 B. 6C. 4D. 10【答案】D 【解析】【分析】由8()2(1)21f x x x =-++-然后利用基本不等式可求得答案.【详解】因为1x >，所以8()2(1)22101f x x x =-++³+=-，当且仅当82(1)1x x -=-即3x =等号成立，所以函数的最小值为10，故选：D.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题.4. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A. 70种 B. 140种 C. 420种 D. 840种【答案】C 【解析】【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【详解】2男1女时：213543240C C A ´´= 2女1男时：123543180C C A ´´=共有420种不同的安排方法故答案选C【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.5. 如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 设123log 2,ln 2,5a b c -===则A. a b c << B. b<c<aC. c<a<bD. c b a<<【答案】C 【解析】【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小.【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c ab <<故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.7. 在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C Ð=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.8. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t w j w j =+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3w =，再解不等式2πsin 0.53t j æö+>ç÷èø，得到t 的范围即得解.【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT w=，所以2π3w =，则2πsin 3y t j æö=+ç÷èø，由0.5y >可得2πsin 0.53t j æö+>ç÷èø，所以π2π5π2π2π636k t k j +<+<+，Z k Î，所以13533342π42πk t k j j +-<<-+，Z k Î，故531333142π42πk k j j æöæö+--+-=ç÷ç÷èøèø，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置位移大于0.5m 的总时间为1s.故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分，部分选对得部分分，错选得0分.（2021·全国·高考真题）9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =×××为非零常数，则（）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ¹，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；的C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD(2021高考北京改编·)10. 若点()cos ,sin A q q 关于y 轴对称点为ππcos ,sin 66B q q æöæöæö++ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则q 的取值可以为（）A. 7π12-B. π12-C.5π12D.11π12【答案】AC 【解析】【分析】根据对称性得到πcos cos 06q q æö++=ç÷èø，πsin sin 6q q æö=+ç÷èø，化简后得到tan 2q =+四个选项一一计算，得到答案.【详解】由题意得πcos cos 06q q æö++=ç÷èø，πsin sin 6q q æö=+ç÷èø，πππ1cos cos cos cos cos sin sin sin 06662q q q q q q q æö++=+-=-=ç÷èø，故tan 2q =+πππ1sin sin sin sin cos cos sin cos 06662q q q q q q q æö-+=--=-=ç÷èø，故tan 2q =+A选项，ππtantan7π7πππ34tan tan tan 2ππ1212341tan tan34+æöæö-=-=-+=-==+ç÷ç÷èøèø-，A 正确；B选项，ππππtan tantan 2121234æöæö-=-=--==ç÷ç÷èøèø，B 错误；C 选项，ππtantan 5πππ64tantan ππ12641tan tan64+æö=+==ç÷èø-，C 正确；D 选项，由B 选项知，11πππtantan πtan 2121212æö=-=-=-ç÷èø，D 错误.故选：AC11. 已知函数2()sin f x x x =-在0x x =处取得极值，则（）A. 012x <B. 013>x C. 001sin 4-<x x D. 0tan2>x 【答案】ABC 【解析】【分析】求导得到导函数，再次求导证明()f x ¢单调递增，根据零点存在定理得到011,32x æöÎç÷èø，AB 正确，代换得到002011sin 042x x x æö-<ç÷èø--<-，C 正确，若D 成立得到013x <，矛盾，得到答案.【详解】2()sin f x x x =-，则()2cos f x x x ¢=-，()2sin 0f x x ¢¢=+>恒成立，故()f x ¢单调递增， 111cos 022f æö¢=->ç÷èø，1212π2cos cos 0333363f æö¢=-<-=<ç÷èø，故存在011,32x æöÎç÷èø，函数()f x 在()0,x -¥上单调递减，在()0,x +¥上单调递增，AB 正确；000()2cos 0f x x x ¢=-=，()()2000sin 00f x x x f =-<=，2000200111sin 4204x x x x x æö=-<ç÷èø--<---，故C 正确；若0tan 2>x ，011,32x æöÎç÷èø，则0sin 2x >20012cos 12sin 1233x x =-<-=，002cos 23x x =<，则013x <，这与011,32x æöÎç÷èø矛盾，故D 错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分（必修一P219例4（3）改编）12. 求值：1tan151tan15+°=-°__________．【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°+°=°=-°-°×°（选择性必修三P 改编）13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球､5个红球，乙箱中有8个红球､2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1,2,3,4，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为___________.【答案】710##0.7【解析】【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为2163=，再从甲箱中摸到红球的概率为51102=，故从甲箱中摸到红球概率为1111326P =´=；从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为4263=，再从乙箱中摸到红球的概率为84105=，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P =´=；综上所述：摸到红球的概率为12187++61510P P P ===.故答案为：71014. 定义在()0,¥+上的函数()f x 满足：①当[1,3)x Î时，1,12,()3,23,x x f x x x -££ì=í-<<î②(3)3()f x f x =.若函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次记为12,,,,n x x x L L ，则当(1,3)a Î时，12212n n x x x x -++++=L _______.【答案】6(31)n -【解析】【分析】在同一坐标系内做出()y f x =和y a =的图象，根据图象得到12,,,,n x x x L L ，的对称关系，把12212n n x x x x -++++L 转化为等比数列前n 项和即可求解.【详解】在同一坐标系内做出()y f x =和y a =的图象如图所示：的当(1,3)a Î时，利用对称性，依次有：1226223x x ==´+´´，234218223x x =+=´´´，L ，212223n n n x x -=´+´，所以()()()2122123134333463113n n nn n x x x x --++++=´+++=´=--L L .故答案为：6(31)n -.【点睛】方法点睛：已知函数有零点，求零点和（积）的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和（积）；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（2014·福建·高考真题）15. 函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（1）求5()4f p的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）5()24f p =；（2）T p =，()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z p pp p -+Î.【解析】【详解】试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．试题解析:（1）5555()2cos (sin cos 2cos (sin cos )24444444f p p p p p p p =+=---=，（2）因为2()2sin cos 2cos sin 2cos 21)14f x x x x x x x p=+=++=++．所以22T pp ==，由222,242k x k k Z p p p p p -£+£+Î，的得3,88k x k k Z p p p p -££+Î，所以()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z p p p p éù-+Îêúëû．考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．（2007年海南卷）16. 设函数()()2ln 23f x x x =++（1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间31,44éù-êúëû的最大值和最小值．【答案】（1）函数()f x 在31,1,,22æöæö---+¥ç÷ç÷èøèø上单调递增；在11,2æö--ç÷èø上单调递减；（2）()f x 在区间31,44éù-êúëû上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式()0f x ¢>求出函数的单调递增区间，解不等式()0f x ¢<求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【小问1详解】函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32æö-+¥ç÷èø，，又()()141232223232x x f x x x x x æö++ç÷æöèø¢=+=>-ç÷++èø.令()0f x ¢>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x ¢<，解得112x -<<-.所以函数()f x 在31,1,,22æöæö---+¥ç÷ç÷èøèø上单调递增；在11,2æö--ç÷èø上单调递减；【小问2详解】由（1）可得：函数()f x 在区间31,42éù--êúëû内单调递减，在11,24éù-êúëû内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f æö-=+ç÷èø，又393ln 4162f æö-=+ç÷èø，117ln 4162f æö=+ç÷èø，而319317131ln ln ln 044162162272f f æöæö--=+--=+<+=ç÷ç÷èøèø，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值：17ln 162+.即()f x 在区间31,44éù-êúëû上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的78-倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22´列联表：已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布及数学期望．a0.100.050.005x a2.7063.8417.879附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++．为【答案】（1）无90%把握认为喜欢跑步与性别有关，理由见解析（2）分布列见解析，()34E X =【解析】【分析】（1）计算出喜欢跑步和不喜欢跑步的人数，完善列联表，作出零假设，计算出卡方，与2.706比较后得到结论；（2）由分层抽样得到抽取女生2名，男生6名，得到X 的分布列，计算出期望值.小问1详解】由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，故喜欢跑步的人有2000.6120´=（人），不喜欢跑步的人有20012080-=（人）．喜欢跑步不喜欢跑步合计男生8060140女生402060合计12080200∴80a =，60b =，40c =，20d =，零假设0:H 学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，根据题意，由22´列联表中的数据，可得()2220080204060 1.587 2.7061208014060c ´´-´=≈<´´´，所以在0.1a =的独立性检验中，不能推翻0H ，故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．【小问2详解】按分层抽样，设女生x 名，男生y 名，8802060x y ==，解得2x =，6y =，∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故X 的可能取值为0，1，2．()032638C C 50C 14P X ×===，()122638C C 151C 28P X ×===，()212638C C 32C 28P X ×===，故X 的分布为：X 012【P5141528328∴()5153213012142828284E X =´+´+´==．18. 设函数()e 2e x x f x x a =-，()2g x ax =--，a ÎR ．（1）0a =时，求()f x 在()()1,1f 处切线方程；（2）若在y 轴右侧，函数()f x 图象恒不在函数()g x 的图象下方，求实数a 的取值范围；（3）证明：当*n ÎN 时，()1111ln 2123n n++++<+L ．【答案】（1）2e e 0x y --=（2）(],1-¥（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）设函数()()()e 2e 2x x h x f x g x x a ax =-=-++，求得()()12e x h x x a a ¢=+-+，令()()12e x x x a a j =+-+，求得()()22e x x x a j ¢=+-，分220a -³和220a -<，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得a 的取值范围.（3）取1a =，由（2）知e 2e 20x x x x -++³，令()ln 1x t t =³，ln 221t t t -³+，令2211t t n -=+，化简得到()()121ln ln 21ln 2121n n n n n +=+---<，进而证得结论.【小问1详解】0a =时，()e x f x x =，∵()()1e xf x x ¢=+，∴()12e k f =¢=，∵()1e f =，则切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e 0x y --=.【小问2详解】设函数()()()()e 2e 20x x h x f x g x x a ax x =-=-++>，则()()12e x h x x a a ¢=+-+，令()()()12e 0x x x a a x j =+-+³，则()()22e xx x a j ¢=+-，当220a -³，即1a £时，()0x j ¢³，即()()()12e 010xx x a a a j j =+-+³=-³，即()()12e 0xh x x a a ¢=+-+³，所以()()e 2e 220220x xh x x a ax h a =-++>=-³成立，此时符合题意；当220a -<，即1a >时，令()0x j ¢<，解得22x a <-，所以()x j 在区间[)0,22a -上单调递减，又由()010a j =-<，此时()h x 在[)0,22a -上单调递减，所以()()0220h x h a <=-<，显然不满足题意，综上可得，实数a 的取值范围为(],1-¥.【小问3详解】取1a =，由（2）知e 2e 20x x x x -++³在[)0,+¥上恒成立，当且仅当0x =时，等号成立，因为0x ³，令()ln 1x t t =³，代入得到ln 2ln 20t t t t -++³，即ln 221t t t -³+，且[)22420,211t t t -=-Î++，令2211t t n -=+，*n ÎN ，即2121n t n +=-，代入化简得到()()121ln ln 21ln 2121n n n n n +=+---<，所以()()()()()1111ln3ln1ln5ln3ln 21ln 21ln 2123n n n n ++++<-+-+++--=+éùëûL L 成立．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19. 已知*k ÎN ，集合{0101222,0,k i i i k k X x x i i i ==++×××+£<<<L 其中}01,,,k i i i ×××ÎN .（1）求2X 中最小的元素；（2）设13122a X =+Î，1b X Î，且1a b X +Î，求b 的值；（3）记(12,2k n k n k k Y X +-+ù=Çû，*n ÎN ，若集合k Y 中的元素个数为n b ，求1112k m m m b +-=å.【答案】（1）7 （2）24b =或10（3）2k【解析】【分析】（1）根据集合新定义，确定2X 中最小的元素即可；（2）根据集合1X 中的元素可得132210a =+=，设22j i b =+，()0,i j i j £<ÎN ，分别讨论当3j £时，当4j =时，当5j ³时，b 的取值情况，即可得结论；（3）设k x Y Î，则01222k i i i x =++×××+，其中1k i k n =+-，01101k i i i k n -£<<×××<<+-，所以1C kn k n b +-=，根据组合数的运算性质确定1k S +与k S 的关系，即可求得1112k mm m b +-=å的值.【小问1详解】2X 中的最小元素为0122227++=.【小问2详解】由题得132210a =+=，设22j i b =+，()0,i j i j £<ÎN .①当3j £时，322212b =+=或312210b =+=或30229b =+=或21226b =+=或20225b =+=或10223b =+=.经检验，当10b =时，422022a b +==+，符合题意，所以10b =.②当4j =时，432224b =+=或422220b =+=或412218b =+=或402217b =+=.经检验，当24b =时，513422a b +==+，符合题意，所以24b =.③当5j ³时，不符合题意.因此，24b =或10.【小问3详解】设k x Y Î，则01222k i i i x =++×××+，其中1k i k n =+-，01101k i i i k n -£<<×××<<+-，所以1C k n k n b +-=，设1112k m k m m b S +-==å，则1222111C C C C 222k k k k k k k k k k S ++=+++×××+.因为1111C C C k kk n n n ++--=+，所以1111111232122211111C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k k S ++++++++++++=+++×××++()()()()11111122222121211111C C C C C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++=+++++×××++++12221211111C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k ++++æö=+++×××++ç÷èø111112*********C C C C 2222k k k k k k k k k k +++++++++++×××++1122211111C C 222k k k k k k k k S S +++++æö=+-+ç÷èø.因为()()()()()()()()1212221!22!21!21!11C C 02!1!21!1!!1!k k k k k k k k k k k k k k ++++++-+-=-×==++++，所以1112k k k S S S ++=+，所以12k k S S +=，又因为11211C 22S =+=，所以2k k S =.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合k X 中的元素性质；（2）确定集合k Y 中的元素个数为n b 时，结合组合数的运算性质确定1112k m k m m b S +-==å与1k S +的关系.。