3.2格林公式及其应用

记 u : ( P, Q, R), 则由第二曲面积分定义
divudV u ndS u dS .
高斯公式 divudV u ndS u dS . T
1 u M0 4
1 1 u )dS . a (u n r r n
1 u dS 0. a r n
1 1 1 n 2 r n 另一方面， n r a r a r a 1 1 M M0 M M0 2 2 r r a r a 1 1 dS 2 udS . a u n a r a
v uvd u dS u vd. n
互换 u , v 位置，可得
u vud v dS v ud. n
v uvd u dS u vd. n u vud v dS v ud. n
4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
u 0, 定理2.4 狄利克雷内问题 的解如果存在， u f
必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 f 。 证 假设有两个调和函数 u1 ( x, y, z) 和 u2 ( x, y, z)，它们
在有界区域 的边界 上的值完全相同，则 v : u1 u2
§2 格林公式及其应用
1. 格林公式
* 高斯定理（体积分化成曲面积分）:设 是以足够 光滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z) 在 上具有连 ）， 续偏导数的任意函数，则成立
P Q R d ( Pnx Qny Rnz )dS. x y z
u 注 诺伊曼内问题 f 有解的必要条件是 f dS 0. n u 注 u f , 0 有解的必要条件是 f 0. n
1 u M0 4 1 4
1 1 u ( M ) (u ( M ) )dS M n rM 0 M rM 0 M n
中。根据 K n 的球心落在 Kn1
上面证明的方法，可以依次 证明在所有这些球所包围的 区域上 u m,因此，特别有
M0
K1
传递性

K2 Kn
M1
u(M1 ) m.
由 M 1 的任意性，就得到在整个区域上 u ( x, y, z ) m, 这和 u 不恒等于常数相矛盾。因此 u 不能在 内部取 到其上界。 因为 u 也是调和函数，从而它在于的内部 不能取到它的上界，就得出 u 也不能在 内部取到其 下界。这就证明了极值原理！
1 4 R 2
1 SR udS 4 R 2

SR
mdS m;
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但由平均值公式，有 1 udS u ( M 0 ) m, 2 S R 4 R
传递性
, 同理， 。 这就发生了矛盾。 因此在球面SR 上，u m 在以M 0为球心、任意 r 为R 半径的球面上，u m.
推论1 在有限区域 内调和、在 上连续的函数
必在边界 上取得其最大值和最小值。 推论2 设 u 及 v 都是区域 内的调和函数，且在 上连续。如果在 u 的边界 上成立着不等式 u v, ，
那么在 内上述不等式也成立；并且只有在 u v 时，
在 内才会有等号成立的可能。
以 M 0为球心、任意半径 R 作球 K ，使它完全落在区域
中。记 K 的球面为 S R ，在 S R上必成立 u m 。事实
上，如果 u 在球面上 SR 上某一点其值小于 m ，则由 函数的连续性，必可找到此点在球面 SR 上的一个邻域， 在此邻域中u m 。因此 u 在 SR 上的积分平均值
从而在整个球 K 上 u m. 现在证明对 中的所有点都恒等于常数 u m. 任取一点 M1 ，在区域 中作联结 M 0及 M 1 两点 的折线 。因为 具有有限长度，故可用完全落在 中的有限个球 K1 , K2 , Kn , 盖住 ，使得 K1 的球心为
M 0 , K 2 的球心落在 K1 中， K3 的球心落在 K 2中，…,
*调和函数的积分表达式
1 1 1 . 考察函数 v : 2 2 2 r rM0M ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
z
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
M0
则 v 0 in \ M 0 . 利用格林公式，
.
K


0

1 1 (u u)dV r r \ K 1 1 u (u )dS , n r r n
定理2.2（平均值公式）设函数 u M 在某区域 内 a为 调和，M 0 是 中的任一点。则对以 M 0为球心、 半径完全落在区域的内部的球面 a ，成立
1 u(M 0 ) 4 a 2

a
udS .
证 把调和函数积分公式应用到球面 a 上，得到 1 1 1 u u M0 (u )dS . 4 a n r r n 1 u 1 u 由定理2.1知 dS dS 0; a r n a a n
r

F
d M .
u F .
M0M
1 F dM 注 利用叠加原理可得：v M 0 4 rM 0 M 是泊松方程的一个特解 v F . 联系赫尔德条件 注 二维拉普拉斯方程的基本解为 1 1 ln ln , rM0 M ( x x0 )2 ( y y0 )2
P Q R d ( Pnx Qny Rnz )dS . x y z
*格林第一公式
1 2 u u ( x , y , z ), v v ( x , y , z ) C ( ) C (), 设 ， v v v 记 P u , Q u , R u , 由高斯公式，可得 x y z
由定理2.3的推论1知
max u1 u2 max f1 f 2 ,

min u1 u2 min f1 f 2 .

因此,在 上各点有
u1 u2 max u1 u2 max f1 f 2 .
在上式中令 0, ，就得到泊松方程解的基本积分公式
*
1 u M0 4 1 4
1 1 u ( M ) (u ( M ) )dS M n rM 0 M rM 0 M n
r

F
d M .
联系引力位势
M0M
F 0 时，调和函数一般积分公式 其中 M 0 . 特别序员 (若M 0在外), 0 1 1 u (u )dS 2 u M 0 (若M 0在上), n r r n 4 u M (若M 在内). 0 0
相应的调和函数积分公式为 1 1 1 u(M ) u M0 (u(M ) ln ln )dSM . 2 n rM 0 M rM 0M n
1 u M0 4
2.平均值定理
1 1 u( M ) (u(M ) )dSM . n rM 0 M rM 0M n
v u uvd vud u dS v dS . n n
在上式中取 v 1, u 为调和函数，则有下列定理：
定理 2.1 设函数 u 在以曲面 为边界的区域 内调 和，在 上有连续一阶偏导数，则
u dS 0. n
*格林第二公式 上面两式相减，可得格林第二公式
v u uvd vud u dS v dS . n n
下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本 性质。
v u uvd vud u dS v dS . n n
v 0, 满足 由定理2.3的推论1知 v 0. v 0.
即 u1 u2 .
下证稳定性：令 (ui , fi ) 满足 ui 0, ui
则 u1 u2 0,
u1 u2 ( f1 f1 ).


fi , i 1, 2.
y
x
其中 K 表示 中以 M 0 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。
1 1 u F )dS dV . 令u F , 则 (u n r r n r \ K
1 1 1 1 1 2 2, 在球面 上，由于 n n r r r r r
于是
1 u(M 0 ) 2 4 a

a
udS .
注 如果 u C() ，则定理可包含与边界相切的球面。
3.极值原理
*物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在 内部不可能有最高点或最低点。
*数学角度证明 定理2.3（极值原理） 对不恒等于常数的调和函数 u ( x, y, z ) ，其在区域 的任何内点上的值不可能达到 它在 上的上界或下界。 证 用反证法证明。设调和函数 u ( x, y, z ) 不恒等于 常数，且在区域 上的上界为m （注：只需证明有上界 情况即可，相反情况，定理自然成立），而 u ( x, y, z ) 在 内某点 M 0 取值 m ，我们来引出矛盾。
推论1（广义牛顿－莱布尼茨公式）:


xi
f dV

fni dS 其中ni 表示 n 的第i个分量。
推论2（高维分部积分公式）：
v
T
xi
udV u xi vdV uvni dS.
T
注：广义牛顿－莱布尼茨公式可推导出一维牛顿－莱 布尼茨公式。
1 1 u F u * 因此 (u )dS 4 u 4 dV . n r r n r n \ K
*
1 1 u F u * (u )dS 4 u 4 dV . u 0. n r r n r n \ K
1 1 因此 u dS 2 n r
类似地，有
udS 4 u .
*

利用积分中值定理 * u ，其中 是函数 u 在球面 上的平均 值。 球面平均值。
*
1 u 1 u u dS dS 4 . r n n n