数学分析讲义21章(ppt)

= lim d →0
i =1
f (ξi ,ηi ,ζ i )ΔSi ,
(ξi ,ηi ,ζ i ) ∈ ΔSi .
特别地, ∫∫1dS 表示曲面 S 的面积. S
一. 曲面的面积
给定 z = f (x, y), (x, y) ∈ R , 欲求曲顶柱体顶部曲面 S 的面积
∫∫ S =
f
2 x
(
x,
y) +
二. 第一类曲面积分可化为二重积分 10 若曲面 S : z = f (x, y), (x, y) ∈ R , 则
∫∫ Φ(x, y, z)dS = ∫∫ Φ(x, y, f (x, y))
f
2 x
(
x,
y) +
f
2 y
(
x,
y) +1dxdy
.
S
R
类似地, 若曲面 S : x = g( y, z), ( y, z) ∈ J , 则
于是,
S = ∫∫ EG − F 2 dudv .
(3)
∑u ,v
例 21.6. 求半径为 R 的球面的面积.
例 21.7. 设曲面 S ：x = u cos v, y = u sin v, z = 3u, (0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π ), 求它的 面积.
类型题. 设曲面为 x = u cos v, y = u sin v, z = v, (0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 3u) , 求它的面 积.
例 21.2. 求 I = ∫l y ds , 其中 l : x2 + y2 = 1, x ≥ 0 .
例 21.3. 求 I = ∫ (x + y)ds , 其中 l 为以 O (0, 0), A(1, 0), B (1,1) 为顶点的三角 l
形.
练习题.
∫ 1.
求 x2ds ,
l
其中
l
:
⎧x2 + y2
S的面积
,
z
=
S
S的面积
.
例 21.12. 设曲面 S : z = 1 (x2 + y2 ), 位于平面 z = 4 之下部分的形心.
2
类型题. 设曲面 S 为球面 x2 + y2 + z2 = 4 位于平面 z =1之上部分, 求它 的形心.
第三节
第二类曲线积分
一.问题的提出(变力做功)
设变力
→
⎨ ⎩
x+ y
+ +
z2 = a2 z=0
.
2. 设一金属丝为一螺线:
x = 3cos t, y = 3sin t, z = 4t,
⎛ ⎜⎝
0
≤
t
≤
π 2
⎞ ⎟⎠
密度函数为
ρ
=
kx 1+ y2
,
(k
>
0)
,求其质量.Fra bibliotek第二节 第一类曲面积分的计算
定义. 第一类曲面积分为
n
∫∫ ∑ S
f (x, y, z)dS
2. 设 曲 面 S : y2 = 4 − z, (x, y) ∈ R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3}, 且 密 度
δ（x, y, z）= y , 求其质量.
公式. 曲面 S 的形心 (x, y, z) 为
∫∫ xdS
∫∫ ydS
∫∫ zdS
x
=
S
S的面积
，
y
=
S
的第二类曲面积分，记为 ∫∫ f (x, y, z)dxdy . 即 S
n
∫∫ ∑ S
f (x, y, z)dxdy = lim λ →0 i=1
f (ξi ,ηi ,ζ i )Dx(yi)，对x, y
同样,
n
∫∫ ∑ S
g(x,
y,
z)dydz
=
lim
λ →0
i =1
g(ξi ,ηi ,ζ i )Dy(iz)，对y,
T
f (x(t), y(t), z(t))
x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt .
l
t0
(1)
特别地, 若 l 为平面曲线, x = x(t), y = y(t),t0 ≤ t ≤ T , 则
∫ ∫ f (x, y)ds =
T
f (x(t), y(t))
x′2 (t) + y′2 (t)dt .
f (x, y, z)ds = lim d →0
i =1
f (ξi ,ηi ,ζ i )Δsi ,
特别地， ∫l1ds 表示曲线 l 的弧长.
假设空间曲线 l 由参数方程给出
l : x = x(t), y = y(t), z = z(t),t0 ≤ t ≤ T ,
则
∫ ∫ f (x, y, z)ds =
C
2
例 21.14. ∫ 计算 I = (x2 + y2 )dx + (x2 − y2 )dy , 其中 C 如下图. C
例 21.15. 计算 I = v∫ (x2 − 2xy)dx + ( y2 − 2xy)dy, 其中 C 如下图. C
类型题.
1. 计算 I = ∫ x2 ydx + xdy, 其中 C 如下图. C
BpA 所作的功为 −W .
二. 第二类曲线积分的定义
定义. 第二类曲线积分与积分路径的方向有关.
1.空间
∫p AB P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
n
∑ =
lim
n→∞
[P(xk* ,
k =1
yk* ,
zk* )Δxk
+
Q(xk* ,
yk* ,
zk* )Δyk
f
2 y
(
x,
y) +1 ⋅ dxdy .
(1)
R
例 21.4. 求曲面 S：x2 + z2 = 4 位于 R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 4}之上部分的
面积.
例 21.5. 求球面 x2 + y2 + z2 = a2 含在柱面 x2 + y2 = ax(a > 0) 内部的面积.
F
=
P(x,
y,
z)
→
i+
Q(x,
y,
→
z) j+
R(x,
y,
→
z) k
,
从点 A 到点 B 沿曲线 p AB
所作的功
∫ W = p AB P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .
记
d
→
S
=
{dx,
dy,
dz}
,
则
∫ W =
p AB
→
F
⋅
d
JG S
.
注. 若从点 A 到点 B 沿曲线 p AB 所作的功为W ,则从点 B 到点 A 沿曲线
S−
S
2. 若 S = S1 ∪ S2 ∪"∪ Sk ,且Si之间无公共内点，则
∫∫ = ∫∫ + ∫∫ +"+ ∫∫
S
S1
S2
Sk
3. 两类曲面积分之间的联系:
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ (P cosα + Q cos β + R cosγ )dS,
若 p AB 为平面曲线 x = x(t), y = y(t),t0 ≤ t ≤ T , 则
∫ ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)d y = T [ p(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t)) y′(t)]dt.
p AB
t0
(2)
特别地, 若 p AB:y = f (x), a ≤ x ≤ b , 则
+
R(xk* ,
yk* ,
zk* )Δzk ].
2.平面
n
∫ ∑ p AB
P( x,
y)dx
+
Q( x,
y)dy
=
lim
n→∞
[P(xk* ,
k =1
yk* , )Δxk
+
Q(xk* ,
yk* )Δyk
].
显然,
∫ ∫ p AB Pdx + Qdy + Rdz = − BpA Pdx + Qdy + Rdz .
l
t0
(2)
若 l : y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b , 则
∫ ∫ f (x, y)ds = b f (x,φ(x)) 1+ (φ′(x))2 dx .
l
a
(3)
例 21.1. 求 ∫C (xy + z3)ds , 其中 C : x = cos t, y = sin t, z = t, (0 ≤ t ≤ π ) .
2. 求 I = ∫ x2zdx − yx2dy + 3xzdz, 其中 C 如下图. C
第四节 第二类曲面积分
一. 第二类曲面积分的定义
定义. (第二类曲面积分)设 S 为有向曲面，分割： S1, S2,", Sn ,
设 Gi为Si在xOy面上的投影,σ xy的分割：G1, G2 ,", Gn ，
z
n
∫∫ ∑ S
h(x, y, z)dzdx = lim λ →0