四年级奥数变化规律(一)解读
四年级奥数：第9讲 变化规律(一)
第9講變化規律（一）一、知識要點和、差的規律見下表（m≠0）二、精講精練【例題1】兩個數相加，一個加數增加9，另一個加數減少9，和是否發生變化？練習1：1.兩個數相加，一個數減8，另一個數加8，和是否變化？2.兩個數相加，一個數加3.另一個數也加3.和起什麼變化？【例題2】兩個數相加，如果一個加數增加10，要使和增加6，那麼另一個加數應有什麼變化？練習2：1.兩個數相加，如果一個加數增加8，要使和增加15，另一個加數應有什麼變化？2.兩個數相加，如果一個加數增加8，要使和減少15，另一個加數應有什麼變化？【例題3】兩數相減，如果被減數增加8，減數也增加8，差是否起變化？練習3：1.兩數相減，被減數減少6，減數也減少6，差是否起變化？2.兩數相減，被減數增加12.減數減少12.差起什麼變化？【例題4】兩數相乘，如果一個因數擴大8倍，另一個因數縮小2倍，積將有什麼變化？練習4：1.兩數相乘，如果一個因數縮小4倍，另一個因數擴大4倍，積是否起變化？2.兩數相乘，如果一個因數擴大3倍，另一個因數縮小12倍，積將有什麼變化？【例題5】兩數相除，如果被除數擴大4倍，除數縮小2倍，商將怎樣變化？練習5：1.兩數相除，被除數擴大30倍，除數縮小5倍，商將怎樣變化？2.兩數相除，被除數縮小12倍，除數縮小2倍，商將怎樣變化？三、課後作業1.兩個數相加，一個數減6，另一個數減2.和起什麼變化？2.兩個數相加，如果一個加數減少8，要使和減少8，另一個加數應有什麼變化？3.兩數相減，被減數減少10，減數增加10，差起什麼變化？4.兩數相乘，如果一個因數擴大3倍，另一個因數擴大6倍，積將有什麼變化？5.兩數相除，除數擴大6倍，要使商擴大3倍，被除數應怎樣變化？。
四年级奥数数字变换与规律的奥妙探索与应用
四年级奥数数字变换与规律的奥妙探索与应用数字变换与规律是奥数中一个重要的题型，通过探索数字的规律并应用到实际问题中，可以培养学生的逻辑思维和分析能力。
本文将从四年级的角度出发，对数字变换与规律的奥妙进行探索和应用。
一、数字的顺序变换在数字的顺序变换中，学生需要观察一组数字的排列顺序，找出其中的规律，并根据规律将数字进行变换。
以简单的例子来说明如何进行顺序变换。
例1：给定一组数字：2，4，6，8，10，...观察这组数字，我们可以发现每个数字都是前一个数字加上2，因此可以将规律表示为“每个数字是前一个数字加2”。
根据这个规律，我们可以继续写下去：12，14，16，18，20，...同样的方法可以应用到其他的数字序列中，通过发现规律，我们可以进行数字的顺序变换。
二、数字的排列组合在数字的排列组合中，学生需要观察给定的数字，并找出它们之间的关系，然后进行排列组合。
以下是一个例子来说明该过程。
例2：给定一组数字：1，2，3，4观察这组数字，我们可以发现每个数字都能和其他数字进行组合，而且每个数字只能出现一次。
因此我们可以列出所有的排列组合：1，2，3，41，2，4，31，3，2，41，3，4，21，4，2，31，4，3，22，1，3，42，1，4，32，3，1，42，3，4，12，4，1，32，4，3，13，1，2，43，1，4，23，2，1，43，2，4，13，4，1，23，4，2，14，1，2，34，1，3，24，2，1，34，2，3，14，3，1，24，3，2，1通过数字排列组合的训练，可以培养学生的思维灵活性和观察能力。
三、数字的奇偶变换数字的奇偶变换是另一类常见的数字变换题型。
学生需要观察给定的数字，然后按照一定的规则进行奇偶变换。
以下是一个例子。
例3：给定一组数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10观察这组数字，我们可以发现规律：奇数变换为偶数，偶数变换为奇数。
根据这个规律，我们可以进行奇偶变换：1（奇）变为2（偶）2（偶）变为1（奇）3（奇）变为4（偶）4（偶）变为3（奇）5（奇）变为6（偶）6（偶）变为5（奇）7（奇）变为8（偶）8（偶）变为7（奇）9（奇）变为10（偶）10（偶）变为9（奇）通过这样的训练，学生可以培养对数字奇偶关系的敏感度，并能够准确地进行奇偶变换。
四年级数学奥数讲义+练习-第1讲 找规律(一)(全国通用版,含答案)
奥数已经成为现在孩子学习的加强工具。
一种思维方式的训练，一种让孩子学以致用，举一反三的法宝，一种可以扩宽孩子思维的奥秘兵器。
老师经常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习知识自己重要得多，它是学好知识的前提。
学习奥数更是如此。
奥数题对学生们的要求是非常严格的，你既要注意到思维有广度有深度，在做题时还要加倍小心。
有些题往往是一字之差，谬之千里。
习惯的养成不是一朝一夕之功。
要养成好的学习习惯，首先，需要学生对这个问题有个正确的认识，有些家长往往错误地认为。
只要是标题问题理解了，出点小错不妨。
这样做的结果，往往助长了学生粗心大意之习气。
而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。
学生做题出错了，我们应把它做为一个好的教育学生的契机，引导学生找出错误原因并不停积累，是知识方面的，要牢记。
是习惯方面的，要改正。
相信久而久之，好的习惯必能养成。
第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【答案】（1）18（2）15（3）18,8（4）37,25（5）24,96（6）54,486（7）16,4（8）13,3【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
四年级奥数数与形中的奥妙规律
四年级奥数数与形中的奥妙规律四年级奥数中的数与形的奥妙规律奥数（奥林匹克数学竞赛）作为一种具有挑战性和启发性的数学活动，被广泛应用于学生的数学学习中。
在四年级，奥数中的数与形的奥妙规律成为了学生们学习的重点之一。
通过数与形的结合，孩子们在进行数学推理和思维训练的同时，也能够培养他们的观察力和创造力。
本文将探讨四年级奥数中的数与形之间的奥妙规律。
一、数与形的关系数与形是数学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数是通过计数和比较来表示事物的数量，而形则是描述事物的形状和结构。
在奥数中，数与形的关系体现在数学问题中的模式和规律中。
1.1 数量与图形的对应关系在四年级的奥数中，孩子们需要掌握数量与图形的对应关系。
这种对应关系可以通过图形的形状和数量之间的关系进行描述。
例如，当某个图形中的小正方形数量与该图形的边长之间存在着一定的规律时，孩子们就可以通过计数的方式来确定图形中正方形的个数，从而通过图形推理出数的规律。
1.2 数量与排列的关系除了图形与数量之间的对应关系外，数与形还可以通过排列的方式进行关联。
排列指的是将不同的元素按照一定的规则进行组合和排列。
在奥数中，孩子们需要通过掌握排列规律，来解决与数与形相关的问题。
例如，给定一组数字，求出其中能够组成的所有三位数，要求不重复使用数字且不能以0开头。
通过排列的方法，孩子们可以将这个问题转化为一道有序排列的问题，从而得到所有可能的三位数。
二、奥数中的数与形之间的奥妙规律在四年级的奥数中，数与形之间存在着许多奥妙的规律。
这些规律的发现和应用可以帮助学生们提高他们的数学思维和解决问题的能力。
以下是一些常见的奥数规律：2.1 斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列是一个非常有趣的数列。
它的规律是前两项之和等于后一项，即1，1，2，3，5，8，13...。
孩子们可以通过观察数列中相邻两项的比值，发现这个比值逐渐趋近于一个特殊的数值——黄金分割。
黄金分割是指一条线段分为两部分，较大部分与整体之比等于较小部分与较大部分之比。
四年级奥数思维训练专题-规律
四年级奥数思维训练专题-规律（一）专题简析：在进行加、减、乘、除四则运算是时一个数不变，另一个数发生改变，结果也会发生相应变化，抓住变化规律解题，会让我们的计算更轻松。
例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？分析：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9。
相当于和先增加9，又减少9，所以和不发生变化。
试一试1：两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？例2：两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？分析：一个加数增加10，和就增加10。
现在“要使和增加6”，另一个加数应减少10－6=4。
试一试2：两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？例3：两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？分析：被减数增加8，差就增加8；减数增加8，差就减少8。
差先增加8，接着又减少8，所以不发生变化。
试一试3：两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？例4：两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？分析：一个因数扩大8倍，积将扩大8倍；另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大：8÷2=4倍。
试一试4：两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？例5：两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？分析：被除数扩大4倍，商就扩大4倍；除数缩小2倍，商就扩大2倍。
商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
试一试5：两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？专题十变化规律（二）专题简析：前面，我们学习了和、差、积、商的变化规律。
现在，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
例1：两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？分析：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
四年级奥数数字规律的奇妙特性
四年级奥数数字规律的奇妙特性奥数（奥林匹克数学竞赛）作为一种智力竞赛项目，旨在培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
其中，数字规律是奥数的一个重要内容，它涉及到数学中数字的变化和特性。
在四年级的奥数学习中，数字规律的奇妙特性给孩子们带来了很多的乐趣和启发。
本文将从数列规律、数字排列规律和数独规律三个方面，介绍四年级奥数数字规律的奇妙特性。
一、数列规律数列是一系列按照特定规则排列的数字组合。
在解题过程中，孩子们需要观察数字之间的变化，找出规律并运用规律进行推理。
1. 等差数列规律等差数列是指数字之间的差值是恒定的数列。
例如，1、4、7、10、13就是一个等差数列，公差为3。
对于四年级的学生来说，最常见的等差数列规律就是2、4、6、8、10……，这是一个公差为2的等差数列。
通过观察等差数列的规律，孩子们可以预测下一个数字是多少，从而提高他们的数学推理能力。
2. 斐波那契数列规律斐波那契数列是指从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字之和的数列。
例如，1、1、2、3、5、8就是一个斐波那契数列。
通过观察斐波那契数列的规律，孩子们可以发现每个数字都是前两个数字之和，这种规律在生活中的很多场景中都有应用，例如花瓶里的花朵数目、兔子繁殖等。
3. 平方数列规律平方数列是指数字之间是平方关系的数列。
例如，1、4、9、16、25就是一个平方数列。
通过观察平方数列的规律，孩子们可以发现每个数字都是前一个数字的平方，这有助于提高他们的计算能力和数学思维能力。
二、数字排列规律数字排列是指将一组数字按照特定的规则进行排列组合，形成一个新的数字序列。
1. 阶乘规律阶乘是指从1到某个正整数之间所有整数的乘积。
例如，4的阶乘表示为4！，等于1 × 2 × 3 × 4 = 24。
通过观察阶乘的规律，孩子们可以发现阶乘的结果会随着数字的增大而迅速增加，这是一种非常有趣的数字现象。
2. 递增/递减规律递增或递减规律是指数字排列中的数值按照一定的增加或减少顺序排列。
(完整版)小学四年级奥数变化规律(一)
第九周变化规律（一）例 1：两个数相加，一个加数增添 9，另一个加数减少 9，和能否发生变化？剖析与解答：一个加数增添 9，若是另一个加数不变，和就增添9；若是一个加数不变，另一个加数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接着又减少9，所以不发生变化。
练习一1，两个数相加，一个数减8，另一个数加 8，和能否变化？2，两个数相加，一个数加 3，另一个数也加 3，和起什么变化？3，两个数相加，一个数减6，另一个数减 2，和起什么变化？例 2：两个数相加，假如一个加数增添 10，要使和增添 6，那么另一个加数应有什么变化？剖析与解答：一个加数增添 10，若是另一个加数不变，和就增添10。
此刻要使和增添6，那么另一个加数应减少10－6=4。
练习二1，两个数相加，假如一个加数增添8，要使和增添15，另一个加数应有什么变化？2，两个数相加，假如一个加数增添8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3，两个数相加，假如一个加数减少8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？例 3：两数相减，假如被减数增添 8，减数也增添 8，差能否起变化？剖析与解答：被减数增添 8，若是减数不变，差就增添 8；若是被减数不变，减数增添 8，差就减少 8。
两个数的差先增添 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。
练习三1，两数相减，被减数减少6，减数也减少 6，差能否起变化？2，两数相减，被减数增添12，减数减少 12，差起什么变化？3，两数相减，被减数减少10，减数增添 10，差起什么变化？例 4：两数相乘，假如一个因数扩大 8 倍，另一个因数减小 2 倍，积将有什么变化？剖析与解答：假如一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大8 倍；假如一个因数不变，另一个因数减小 2 倍，积将减小 2 倍。
积先扩大8 倍又减小 2 倍，所以，积扩大了8÷2=4 倍。
练习四1，两数相乘，假如一个因数减小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和能否起变化？2，两数相乘，假如一个因数扩大 3 倍，另一个因数减小12 倍，积将有什么变化？3，两数相乘，假如一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？例 5：两数相除，假如被除数扩大 4 倍，除数减小 2 倍，商将如何变化？剖析与解答：假如被除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除数减小 2 倍，商就扩大 2 倍。
小学四年级奥数第9讲 变化规律(一)(含答案分析)
第9讲变化规律（一）一、知识要点和、差的规律见下表（m≠0）二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？练习1：1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？练习2：1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？练习3：1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？练习4：1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，积是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？练习5：1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？三、课后作业1.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？2.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？4.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？5.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？第9讲变化规律（一）一、知识要点和、差的规律见下表（m≠0）二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【思路导航】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
四年级奥数：找规律
四年级奥数：找规律（一）我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律.这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题.什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天.年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律.再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题.下面，我们通过一些例题作进一步讲解.例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去.问：（1）第100盏灯是什么颜色？（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题.彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现.（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯.（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）.例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7.问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同.进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同.同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同.也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的.所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7.前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9.这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现.第24个数与第4个数相同，是9.由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478. 例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数.问：这串数中第88个数是几？628088640448…分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化.我们试着将这串数再多写出几位：当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现.由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4.从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋.例 4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字.那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？135761939237134…分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法.按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法.那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”.例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次.（100-1）÷4＝24……3，所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D 盒中依次有4，6，3，5个球.练习71．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的.问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列.求这个数列前100个数的和.3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数.这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数.这列数中第88个数是几？5．小明按1～3报数，小红按1～4报数.两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球.第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？第8讲找规律（二）整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a.一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作a n，即本讲主要讲a n的个位数的变化规律，以及a n除以某数所得余数的变化规律.因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况.为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什么.从表看出，a n的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当a的个位数是0，1，5，6时，a n的个位数仍然是0，1，5，6.（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，a n的个位数按每两个数为一周期循环出现.其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现.（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，a n的个位数按每四个数为一周期循环出现.其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现.例1求67999的个位数字.分析与解：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现.999÷4＝249……3，所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3.例2求291+3291的个位数字.分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8.类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，291÷4＝72……3，所以3291与33的个位数相同，等于7.最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5.例3求28128-2929的个位数字.解：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6.由29÷2＝14 (1)知，2929的个位数与91的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7.例4 求下列各除法运算所得的余数：（1）7855÷5；（2）555÷3.分析与解：（1）由55÷4＝13……3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解为10×a＋2.因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2.（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解.为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求.比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同.这是因为52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与1×5除以3的余数相同.由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现.由55÷2=27……1知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2.例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌.20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？分析与解：1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌……20时后，有320个细菌，所以本题相当于“求320÷7的余数”.由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现.由20÷6＝3……2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2.所以最后还剩2个细菌.最后再说明一点，a n÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现.练习81．求下列各数的个位数字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）17215.2．求下列各式运算结果的个位数字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610.3．求下列各除法算式所得的余数：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7答案练习71.红；74颗.2.100. 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，以1，2，0三个数为周期循环出现.3.1；436.提示：这串数按9，7，3，1，3，3六个数循环出现.4.5.提示：这列数按6，3，0，7，4，1，8，5，2，9循环出现.5.27次. 提示：每报12个数有3个数相同.6.5，6,，3，4. 提示：解法同例5.练习81.（1）4；（2）1；（3）4；（4）3.2.（1）7；（2）7；（3）8；（4）2.3.（1）1；（2）2；（3）4.提示：（1）任何数除以4的余数都等于这个数的后两位数除以4的余数，5的任何（大于2）次方的后两位都是25.（2）8n除以6的余数，当n是奇数时等于2，当n是偶数时等于4.（3）与例4类似可得下表：4n除以7的余数，随着n的增大，按4，2，1的顺序循环出现.由88÷3=29 (1)知，488÷7的余数与41÷7的余数相同，是4.。
四年级奥数基础教程第7讲 找规律(一)
第7讲找规律（一）我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。
这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。
什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。
年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。
再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。
下面，我们通过一些例题作进一步讲解。
例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。
问：（1）第100盏灯是什么颜色？（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题。
彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。
（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。
（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。
例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。
已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。
问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。
进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。
同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。
所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。
前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9。
四年级下奥数 (加、减、乘、除法)变化规律课件
概述
01
加法
减法 乘法
1
02
2
03
3
04
除法
4
加数 ＋ 另一个加数 = 和
加法
01
加法
一个加数（a） 另一个加数（b） ±m 不变 ±m 不变 ±m m
和（c） ±m ±m 不变
例1：两个数相加，一个加数增加10，另 一个加数减少10，和是否发生变化？
• 分析与解答：一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10；假如一个加数不变，另
思路导航：
减数与差的和即是被减数。2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2＝1038.差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应为 1038÷（2+1）＝346,减数为346×2＝692。被减数不变，差增加42,减数应减少42,所以减数应变为692－42＝650.
对应练习
1、被减数、减数与差的和是120，而差是减数的3倍，如果差 不变，被减数减少5，减数应变为多少？ 2、被减数、减数与差的和是90，而差是减数的2倍，如果被减 数不变，差增加7，减数应变为多少？
例8：两数相除，如果被除数缩小至原来 的1/3，除数扩大2倍，商将怎样变化？
•分析与解答：如果被除数缩小至原来的1/3,除法不变，商就缩小至原来的1/3，如果被除数不变，除数扩大2倍，商就 缩小至原来的1/2,商就缩小至原来的1/3,接着又缩小1/2,所以商将缩小至原来的1/3×1/2 = 1/6。
3、被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8，如果被减 数不变，减数减少16，差应变为多少？
课后作业
举一反三（B）P17、P18
乘数 × 乘数 = 积
乘法
03
乘法
一个乘数（a） 另一个乘数（b） ×m ÷m 不变 ÷m ×m 不变 ×m ÷m ×m ÷m 积（c） ×m ÷m ×m ÷m 不变
小学数学4年级培优奥数讲义 第06讲-变化规律(教师版)
第06讲 变化规律①学习了解和、差、积、商的变化规律； ①利用这些规律来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
()一个加数()a 另一个加数()b和()cm ±不变 m ± 不变m ±m ±m ±m不变被减数()a减数()b 差()cm ± 不变m ±不变m ± mm ±m ±不变乘、除变化规律见下表()0m ≠被乘数()a 乘数()b 积()c ×÷m 不变 ×÷m 不变 ×÷m×÷m ×÷m÷×m不变被除数()a 除数()b 商()c ×÷m 不变 ×÷m 不变×÷m ÷×m ×÷m×÷m不变教学目标知识梳理我们学习了和、差、积、商的变化规律,这一周,我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
典例分析考点一：和、差的变化规律例1、两个数相加,一个加数增加9,另一个加数减少9,和是否发生变化？【解析】一个加数增加9,假如另一个加数不变,和就增加9；假如一个加数不变,另一个加数减少9,和就减少9；和先增加9,接着又减少9,所以不发生变化。
例2、两个数相加,如果一个加数增加10,要使和增加6,那么另一个加数应有什么变化？【解析】一个加数增加10,假如另一个加数不变,和就增加10。
现在要使和增加6,那么另一个加数应减少10－6=4。
例3、两数相减,如果被减数增加8,减数也增加8,差是否起变化？【解析】被减数增加8,假如减数不变,差就增加8；假如被减数不变,减数增加8,差就减少8。
两个数的差先增加8,接着又减少8,所以不起什么变化。
小学奥数图形找规律(四年级)
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑推理能力。
一般地说，在观察图形变化规律时,应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化;⑸图形位置的变化;⑹图形繁简的变化。
对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之,只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题。
板块一 数量规律【例 1】 观察图形的变化，想一想,按图形的变化规律，在带“?”的空格处应画什么样的图形？【解析】 横着看,每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变。
因为圆形的个数是按4、3、?、1的顺序变化的，显然“?"处应填一个圆形。
【巩固】观察图形的变化,想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形?？【解析】 （方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变。
因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？"处应填一个三角形△。
(方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、?、2、1的顺序变化，也可以看出 “？"处应是三角形△。
【例 2】 观察下面的图形,按规律在“？"处填上适当的图形。
（5）（4）（3）（2）（1）？图形找规律【解析】本题中,几何图形的变化表现在数量关系上,图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第(4）个方框中应填七个黑三角形。
【例 3】观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列.【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是:→四只脚、一条尾、背上五个点.即：【例 4】观察图形变化规律,在右边再补上一幅,使它们成为一个完整的系列。
小学四年级奥数课件：变化规律
3，两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有 什么变化？
例5：被减数、减数、差相加得2076,差是减 数的一半。如果被减数不变，差增加42,减 数应变为多少？
思路导航： 减数与差的和即是被减数。2076里有2个被减数，被减 数等于2076÷2＝1038.差是减数的一半，也就是说减 数是差的2倍，差应为1038÷（2+1）＝346,减数为 346×2＝692。被减数不变，差增加42,减数应减少42, 所以减数应变为692－42加数 另一个加 （a） 数 （b）
±m
不变
不变
±m
和（c）
±m ±m
±m
－
不变
＋m
被减数（a） 减数（b） 差（c）
±m
不变
±m
不变
±m ±m
±m － ＋m
不变
例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个 加数减少9，和是否发生变化？
• 分析与解答：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和 就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就 减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
练习五
1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 120，而差是减数的3倍。如果差不变，被减数减 少5，减数应变为多少？
2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 90，而差是减数的2倍。如果被减数不变，差增加 7，减数应变为多少？
3、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 180，而差比减数少8。如果被减数不变，减数减 少16，差应变为多少？
例4：两数相减，被减数减少8，要使 差减少12，减数应有什么变化？
• 分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减 少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
小学奥数图形找规律(四年级)
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.板块一 数量规律【例 1】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。
【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？？【解析】 （方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是三角形△.【例 2】 观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.（4）（1）？图形找规律【解析】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【例 3】观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。
【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即：【例 4】观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【解析】第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：板块二旋转、轮换型规律【例5】相传古时候一位老人留在人间很多宝盒，里面装着世界上最宝贵的财富，但是并不是拥有宝盒都可以得到这笔财富，在宝盒的上面设置了密码，只有写出密码的人才会真正拥有这笔财富，聪明的你你能找出密码吗？○□☆△○□☆△△○□☆△○□☆☆△○□☆△○□（）（）（）（）（）（）（）（）【解析】有几种方法可以找出密码：（方法一）后面一排和前面一排比，上排的第一个图形移到最后，其他每个图形都向前移动了一格，变成了下一排.（方法二）斜着看，每一斜列的图形是一样的.所以密码就是：□☆△○□☆△○【例 6】 观察下图的变化规律，画出丙图.DBA丙乙甲CB A【解析】ACD【总结】旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果.【例 7】 下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你能找到它们排列的规律吗？根据规律把最后一个画出来.【解析】【例 8】 观察图中所给出图形的变化规律，然后在空白处填画上所缺的图形.【解析】【例 9】 琪琪特别喜欢蝴蝶，她用直尺和圆规在纸上画了9幅蝴蝶图，并用剪刀将它们一一剪下来.她将这9只纸蝴蝶摆在桌上，见下图1，她发现这些纸蝴蝶排列挺有规律，突然一阵风来，吹走了3只纸蝴蝶，见下图2.你能找出蝴蝶的排列规律，将图2的3只蝴蝶放入图1的空缺处吗？图1987654321 图2B CA【解析】 从已摆好的第一行和第一列来看，无论横看或竖看，同一行中3只蝴蝶的翅膀形状各不相同，翅膀上的斑点的形状也各不相同.根据这个规律，剩下的3只蝴蝶图案的排列应该是：6号位置放图案C ；8号位置放图案B ；9号位置放图案A.【例 10】 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.（1）丁丙乙甲？【解析】 （1）这四个图形的变化规律是：每一个图形都是由其前一个图形顺时针旋转90°而得到的.见下面左图；（2）甲乙丙丁四个图形变化规律也类似，注意因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点.丁图处的图形应是下面右图：丁【例 11】 请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。
完整版小学四年级奥数变化规律一
第九周变化规律（一）例 1：两个数相加，一个加数增添 9，另一个加数减少 9，和能否发生变化？剖析与解答：一个加数增添 9，假如另一个加数不变，和就增添9；假如一个加数不变，另一个加数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接着又减少9，所以不发生变化。
练习一1，两个数相加，一个数减8，另一个数加 8，和能否变化？2，两个数相加，一个数加 3，另一个数也加 3，和起什么变化？3，两个数相加，一个数减6，另一个数减 2，和起什么变化？例 2：两个数相加，假如一个加数增添 10，要使和增添 6，那么另一个加数应有什么变化？剖析与解答：一个加数增添 10，假如另一个加数不变，和就增添10。
此刻要使和增添6，那么另一个加数应减少10－6=4。
练习二1，两个数相加，假如一个加数增添8，要使和增添15，另一个加数应有什么变化？2，两个数相加，假如一个加数增添8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3，两个数相加，假如一个加数减少8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？例 3：两数相减，假如被减数增添 8，减数也增添 8，差能否起变化？剖析与解答：被减数增添 8，假如减数不变，差就增添 8；假如被减数不变，减数增添 8，差就减少 8。
两个数的差先增添 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。
练习三1，两数相减，被减数减少6，减数也减少 6，差能否起变化？2，两数相减，被减数增添12，减数减少 12，差起什么变化？3，两数相减，被减数减少10，减数增添 10，差起什么变化？例 4：两数相乘，假如一个因数扩大 8 倍，另一个因数减小 2 倍，积将有什么变化？剖析与解答：假如一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大8 倍；假如一个因数不变，另一个因数减小 2 倍，积将减小 2 倍。
积先扩大8 倍又减小 2 倍，所以，积扩大了8÷2=4倍。
练习四1，两数相乘，假如一个因数减小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和能否起变化？2，两数相乘，假如一个因数扩大 3 倍，另一个因数减小12 倍，积将有什么变化？3，两数相乘，假如一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？例 5：两数相除，假如被除数扩大 4 倍，除数减小 2 倍，商将如何变化？剖析与解答：假如被除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除数减小 2 倍，商就扩大 2 倍。
四年级奥数变化规律电子教案
四年级奥数变化规律第9讲变化规律（一）一、知识要点和、差的规律二、精讲精练【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？练习1：1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？练习2：1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？练习3：1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？练习4：1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？练习5：1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？第10讲变化规律（二）一、知识要点我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
二、精讲精练【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除练习1：1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？练习2：1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？2.两个数相除，商是9，余数是3。
【四年级奥数】商的变化规律
【四年级奥数】商的变化规律一、知识点分析（1）重点、考点：发现并运用商的变化规律。
（2）难点、易错点：商的变化规律的探究策略。
（3）教学目标1、让学生探索并掌握一个被除数不变，另一个除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。
2、使学生经历商的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。
二、同步教学：商的变化规律【知识点梳理】商的变化规律1、如果两个数相除，如果被除数乘几，除数不变，则商就乘几。
2、如果两个数相除，如果被除数除以几，除数不变，则商就除以几。
3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几，则商就除以几。
4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几，则商就乘几。
【例题详解】例1在除法算式128÷4中，如果被除数乘2，除数稳定，商有甚么变革？拓展1在除法算式128÷4中，如果被除数稳定，除数乘8，商有甚么变革？拓展2在除法算式128÷4中，如果被除数乘4，除数乘2，商有甚么变革？拓展3在除法算式128÷4中，如果被除数乘3，除数乘6，商有甚么变革？拓展4在除法算式144÷12中，被除数乘6，除数除以3，商有甚么变革？拓展5在除法算式128÷4中，被除数除以4，除数乘2，商有甚么变革？拓展6在除法算式128÷4中，被除数除以8，除数除以4，商有甚么变革？例2两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数稳定，新的商是多少？拓展1两个数相除，商是210，如果被除数稳定，除数乘3，新的商是多少？拓展2两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数乘6，新的商是多少？例3两个数相除，商是7，余数是8.如果被除数和除数同时乘10，商是多少？余数是多少？例4XXX在做一道除法算式题时，将被除数乘5，除数乘6，得到的商是80，正确的商应该是多少？【课堂练】1、XXX在做一道除法算式题时，将被除数乘3，除数乘4，得到的商是150，正确的商应该是多少？2、兰兰在做一道整数除法算式题时，将被除数末尾的一个“”漏写了，结果得到的商是20，正确的商应该是多少？3、XXX在做一道整数除法算式题时，给被除数开端多写了一个“”，结果得到的商是250。
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练习五
1、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 120，而差是减数的3倍。如果差不变，被减数减 少5，减数应变为多少？
2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 90，而差是减数的2倍。如果被减数不变，差增加 7，减数应变为多少？
3、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是 180，而差比减数少8。如果被减数不变，减数减 少16，差应变为多少？
• 分析与解答：被减数增加8，假如减数不变，差就增加8； 假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差 先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
练习三
1，两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变 化？
2，两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变 化？
3，两数相减，被减数减少10
1，两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一 个加数应有什么变化？
2，两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一 个加数应有什么变化？
3，两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一 个加数应有什么变化？
例3：两数相减，如果被减数增加8，减数 也增加8，差是否起变化？
练习一
1、两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变 化？
2、两个数相加，一个数加3，另一个数也加3，和起什 么变化？
3、两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么 变化？
例2：两个数相加，如果一个加数增加10，要 使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
• 分析与解答：一个加数增加10，假如另一个 加数不变，和就增加10。现在要使和增加6， 那么另一个加数应减少10－6=4。
3，两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有 什么变化？
例5：被减数、减数、差相加得2076,差是减 数的一半。如果被减数不变，差增加42,减 数应变为多少？
思路导航： 减数与差的和即是被减数。2076里有2个被减数，被减 数等于2076÷2＝1038.差是减数的一半，也就是说减 数是差的2倍，差应为1038÷（2+1）＝346,减数为 346×2＝692。被减数不变，差增加42,减数应减少42, 所以减数应变为692－42＝650.
例4：两数相减，被减数减少8，要使 差减少12，减数应有什么变化？
• 分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减 少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
练习四
1，两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数 应有什么变化？
2，两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12，减数 应有什么变化？
变化规律（一）
主讲:雷老师
和、差的变化规律
一个加数 （a）
±m
不变
另一个加 数 （b）
不变
±m
和（c）
±m ±m
±m
－
不变
＋m
被减数（a） 减数（b） 差（c）
±m
不变
±m
不变
±m ±m
±m － ＋m
不变
例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个 加数减少9，和是否发生变化？
• 分析与解答：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和 就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就 减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。