二次函数-因动点产生的线段和差问题经典例题.doc

二次函数-因动点产生的线段和差问题

例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.

(1) 如图L,求点E 的坐标;

(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .

① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；

② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).

思路点拨

1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.

2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.

3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间 线段最短.

满分解答

(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.

rri ., AO BO m u 2 4

所以——=—.因此一=一・

OE OA 0E 2

解得0E=\.所以00,1).

(2) ①如图3,在Rt △才 加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才 仔=16+(2— 〃 在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・

所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2

+27.

图2

所以当〃尸1时，A 1

Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1

(1,1).

考点伸展

第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点 所以彳 B+BE' =A f R+BE'

三点共线时，A r B+BE' f

取得最小值，最小值为线段才E'

在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.

BO E'O

4 7

解得m = -.此时£*(-,1). 7

7当才、B 、E f

例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.

（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；

（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.

图1

答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.

例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.

(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；

(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。交抛物线于点Q.试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点0,使以久!\ Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出符合条件的点"的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 请在直线SC 上找一点鳳 使△加％的周长最小，求出点対的坐标.

思路点拨

1. 第(2)题探究平行四边形，按照加丿为边或者对角线分两种情况讨论.

2. 第(3)题是典型的“牛喝水”问题，构造点〃关于“河流”化的对称点夕，那么 财落在F 〃上时，咖+M9最小，△，沏劝的周长最小.

满分解答

(1)由 y=~x +2*+3 = —(x+1)匕一3)=，— 匕一1)'+4,

得 J(-l, 0)、B(3, 0)、Q(0, 3)、〃(1, 4).

直线 化的解析式是y=3x+3・ <

(2) Q(2, 3), @(1 + ",_3), fl(l-V7,-3).

(3) 设点〃关于直线如7的对称点为，联结弘'交/C 于F.

联结〃 D, B f

〃与交/C 的交点就是要探求的点胚

作F F 丄x 轴于圧那么△肪'Es'CAO. —=—= 4^，皿=4,所以 BF=^=・

1 3 VlO

A /10 =空=豐，B

B ，= 2BF = ^「，所以 B'E = —> BE =— 5

5在 Rt △肪，F 中，——=一=-—,“ 一…_ _

1 3 V10

V10 所以OE= BE-OB = — -3 = — -所以点的坐标为 5 5 5 5

因为点M 在直线 尸3卄3上，设点於的坐标为匕，3%+3).

解得所以点〃的坐标为磊罟).

图2

图3

考点伸展

笫(2)题的解题思路是这样的： ① 如图4,当力戶是平行四边形的边时，CQ//AP.所以点G 0关于抛物线的对称轴对称, 点0的坐标为(2, 3).

② 如图5,当/户是平行•四边形的对角线时，点G 0分居x 轴两侧，C 、0到;r 轴的距 离相等.

解方程一f+2/+3=—3,得兀=1±A /7•所以点0的坐标为(1 + ",—3)或(1 —>/7,-3) •

由 DD _ MAT B'D 「BM 得）D - M - yB xD-xB' xM -xB" •所以 4丄”丄 5 口 5 _____ L . 21 x +—— 5 Pi

B *