西南大学2015年《数学分析》考研真题

1、求极限 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

-∞→22

211311211lim n n . 2、求极限210sin lim x x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛→. 3、求⎰-+++2

2

235cos )132(π

πxdx x x x . 4、求曲面x y z arctan

=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π的切平面方程及法线方程。 5、设dy e x F x x xy ⎰-=22)(，求)(x F '.

6、计算曲面积分

⎰⎰++S dS z y x )(，其中S 为上半球面0,2222≥=++z a z y x . 7、计算二重积分σd e x D

y ⎰⎰-2

2，其中D 是由直线1,0==y x 及x y =围成的区域. 1、设10≤≤c ，2

1c a =，2221n n a c a +=+，⋅⋅⋅=,2,1n .证明：数列{}n a 收敛，并求其极限。 2、设)(x f 在闭区间],0[a 上连续（0>a ），且)()0(a f f =.证明：对任意自然数n ，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a n a ,ξ，使得⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=n a f f ξξ)(. 3、已知0>n a ，级数n n a 11∑∞

=发散。证明：级数111+∑∞=n n a 发散。 4、设),(y x f 在区域2R D ⊂上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：

y y L y x f y x f ''-'≤''-'),(),(，

其中L G y x y x ,),(),,(∈'''为正常数。证明：f 在D 上处处连续。