生活中的优化问题举例 公开课一等奖课件
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生活中的优化问题举例课件
综上，当 v0≥16 时，v＝16 km/h 全程燃料费最省， 为 32 000 元；当 v0<16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为 1 000v20元．(12 分) v0－8
归纳升华 本题是用料最省问题．先根据特殊情况求出比例系 数，进而求出解析式，再利用导数求最值是常用方法．需 要注意的对参数的讨论．
综上每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润 为 315 万元．
归纳升华 (1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析 生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自 变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研 究、指导生产活动．
(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本； ②利润＝每节产品的利润×销售件数．
2．解决优化问题的一般步骤
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)磁盘的最大存储量问题是优化问题．( ) (2)求某长方体容器的容积问题是优化问题．( ) (3)汽油的使用效率的提高问题是优化问题．( ) 解析：(1)(2)是优化问题，(3)不是优化问题．
答案： (1)√ (2)√ (3)×
答案：5
类型 1 用导数解决面积、容积最大问题(自主 研析)
[典例 1] 有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个 角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖 容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
解：设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，
则做成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x， V(x)＝(a－2x)2x，0<x<a2. 即 V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0<x<a2. 实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2上的最大值
《1.4生活中的优化问题举例》课件1-优质公开课-人教A版选修2-2精品
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决优化问题的基本思路
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决优化问题的一般步骤： (1) 审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论， 找出问题的主要关系． (2) 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把
待求最值的对象表示为该变量的函数．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(3) 解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学 方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定
性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单 1 3 位：万件)的函数关系式为 y＝－3x ＋81x－234，则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 )
1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．
2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的 思想意识．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格
v3 5 2 ＝48－2v ＋6 000(0<v≤100)．
《3.4生活中的优化问题举例》课件1-优质公开课-人教A版选修1-1精品
3.4 生活中的优化问题举例
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作JIU
一、面积、容积的最大值、最小值问题 活动与探究
利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么? 答:(1)在解决生活中的优化问题时,不仅要注意将问题涉及的变量 关系用函数关系表示出来,还要确定出函数关系中自变量的取值范围. (2)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义, 不符合实际意义的值应舍去. (3)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f'(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值.
此时ℎ������ = 12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.
3.4 生活中的优化问题举例
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
点拨提示:本题将立体几何中几何体的体积的计算与导数联系起 来,解题的关键是设出恰当的变量,将容积表示为变量的函数,然后求出 函数的最大值,从而得到最大容积.
(1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每 日销售该商品所获得的利润最大. 思路分析:(1)把 x=5,y=11 代入关系式中即可求 a;(2)计算出每件的 利润,求出总利润函数关系式,运用导数求最值.
3.4 生活中的优化问题举例
问题导学 当堂检测
3.4 生活中的优化问题举例
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
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KETANG HEZUO TANJIU
生活中的优化问题举例课件
＝972(9x－5)(x－3)． 令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f 59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
生活中的优化问题举例
几何中的最值问题 [典例] 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角 各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器． 为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做 成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
y′＝2－1x228，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8. 因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0， 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m. 即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
利润最大问题
[典例] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成 本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本 年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成 本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相 应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝ (每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
1．经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快 慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可 以利用导数来分析、研究、指导生产活动． 2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[活学活用] 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝
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将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与 大包装的利润.
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探究（三）：磁盘的最大存储量问题 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统 将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径 所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分 割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基 本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数 据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘 的构造如图所示.
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那
么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2r
n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多
少比特？ R r 2 r mn
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思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
磁盘的存储量 f(r) m 2nr(Rr)(0 r R )
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储
区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的
磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道
数最多可达多少？
R
Rr m
最内一条磁道.
r
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？
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2 r 2 (r m)
2 (R m)
n
n
n
(R r m)(R r) mn
理论迁移 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元
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探究（三）：磁盘的最大存储量问题 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统 将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径 所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分 割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基 本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数 据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘 的构造如图所示.
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那
么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2r
n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多
少比特？ R r 2 r mn
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思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
磁盘的存储量 f(r) m 2nr(Rr)(0 r R )
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储
区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的
磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道
数最多可达多少？
R
Rr m
最内一条磁道.
r
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？
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2 r 2 (r m)
2 (R m)
n
n
n
(R r m)(R r) mn
理论迁移 人教版-生活中的优化问题举例优秀课件
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元
生活中的优化问题举例 课件
练一练 1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长 为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C， D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形 状的包装盒．E、F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角 三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．
令 S′＝0 得 v＝20， 当 v∈(0，20)时，S′<0；当 v∈(20，＋∞)时，S′>0. ∴v＝20 km/h 是 S 的极小值点，也是最小值点， ∴v＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少．
讲一讲 3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可 获利 200 元，如果生产出一件次品，则损失 100 元．已知 该厂制造电子元件过程中，次品率 p 与日产量 x 的函数关 系是：p＝4x＋3x32(x∈N*)． (1)将该厂的日盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并 求最小值．
[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为 x cm，每年
能源消耗费用为 C(x)＝3x＋k 5，
再由 C(0)＝8，得 k＝40，
因此 C(x)＝3x4＋0 5.
而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应 取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)． 由已知得 a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值．
生活中的优化问题举例PPT优秀课件
饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般
比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识，例2、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是 0.8 r 2分，其中 r 是瓶
子的半径，单位是厘米。已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.
导数的应用三：求函数的最值
设函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值
在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的 函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一 个为最小值.
当 r ( 0 ,2 ) 时 ,f'(x ) 0
当 r ( 2 ,6 ) 时 ,f'(x ) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 Байду номын сангаас (2) 0
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
数学：《生活中的优化问题举例 》课件(人教A版选修)
0.8 ( r 3
3
r 2 ),
0 r≤6
3
令 f '(r) 0.8(r 2 2r) 0
当 r 2时,f '(r) 0
当 r (0, 2) 时 , f '(r) 0
当 r (2, 6) 时 , f '(r) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
答案
答案(续)
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 r3 0.8 r2
提示： S 2 Rh+ 2 R2 h S 2 R2
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
２．已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
C 100 4q , 价格p与产量q的函数关系式为
p 25 1 q 8
求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
房价应订为多少
３．某宾馆有５０个房间供游客居住，当每 个房间每天的定价为１８０元时，房间会全 部住满；房间的单价每增加１０元，就会有 一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每 天每间需花费２０元的各种维修费．房间定 价多少时，宾馆的利润最大？
导数法
不等式法
课件14：1.4 生活中的优化问题举例
2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积 最小时，底面边长为 ( C )
A．3 V
B．3 2V
C．3 4V
D．23 V
【解析】 如图，设底面边长为 x(x>0)，
则底面积
S＝
43x2，∴h＝VS＝
4V 3x2.
S 表＝x·43Vx2×3＋ 43x2×2＝4 x3V＋ 23x2，
S′表＝ 3x－4 x32 V，令 S′表＝0 得 x＝3 4V，
1.4 生活中的优化问题举例
情景导入 低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化
碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的 生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实 生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望 汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油 消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
广告的面积 S＝xy＝x1x－802000＋25＝1x8－00200x＋25x 整理得 S＝3x6－002000＋25(x－20)＋18500. 因为 x－20>0
所以 S≥2 3x6－002000＋25(x－20)＋18500＝24500. 当且仅当3x6－002000＝25(x－20)时等号成立，
又 l＝36r42－43r>0⇒r<234，所以定义域为(0,243)． (2)因为 y′＝－12r82 π＋16πr＝16π(rr23－8)， 所以令 y′>0 得 2<r<234；令 y′<0 得 0<r<2， 所以当 r＝2 时，该容器的建造费用最小为 96π 千元， 此时 l＝83.
学科核心素养 利用基本不等式处理优化问题 在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解
位：万件)的函数关系式为 y＝－31x3＋81x－234，则使该
生活中的优化问题举例课件
跨部门协作
加强部门间的沟通和协作 ，打破信息孤岛，提高整 体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长， 合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导 员工对工作任务进行优先级排序， 确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励 员工积极承担工作任务，提高工作 积极性和满意度。
在此添加您的文本16字
优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
在此添加您的文本16字
学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
在此添加您的文本16字
避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率 。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日 、每周和每月的工作计划，确保工作 有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最 优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品 的质量、品牌、售后服务等因素 ，权衡性价比，选择最优惠的价 格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行 路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以 便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。
生活中的优化问题举例 课件
y＝y1·v2－008＝1v0－008v2，(5 分)
2 000v（v－8）－1 000v2
所 以 y′ ＝
（v－8）2
＝
1 000v2－16 000v （v－8）2 .
令 y′＝0，得 v＝16.
①当 v0≥16，(7 分) 即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)； ②当 v0<16，即 v∈(8，v0]时，y′<0， 即 y 在(8，v0]上为减函数， 所以当 v＝v0 时，ymin＝1v000－0v820(元)．(10 分)
类型 3 利用导数解决利润最大问题
[典例 3] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产 量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24 200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x 元．问 该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大 利润是多少(利润＝收入－成本)?
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最 大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合 实际情况并下结论．
类型 2 用导数解决成本最低、用料最省问题 [典例❷] 某单位用木料制作如图所示的框架，框架 的下部是相邻两边长分别为 x，y(单位：m)的矩形，上部 是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为 8 m2，问： x，y 分别为多少时用料最省？(精确到 0.001 m) 解：依题意有 xy＋12x·x2＝8， 所以 y＝8x－x4(0<x<4 2)．
类型 4 导数在实际问题中的应用(规范解答)
[典例 4] 已知 A、B 两地相距 200 km，一只船从 A 地逆水行驶到 B 地，水速为 8 km/h，船在静水中的速度 为 v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中 的速度的平方成正比，当 v＝12 km/h 时，每小时的燃料 费为 720 元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多 少？
生活中的优化问题举例 课件
实例探究： 学校举行庆祝五一劳动节活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为
上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
则有 xy=128，（１）
另设四周空白面积为Ｓ，
则
（２）
由（１）式：
h
r
牛刀小试：要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？
解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.
由V=πr2h,得 ,则
令 ,解得 ,从而 ,即h=2r.
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶 子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
课堂小结
代入（２）式中得：
x
y
2
解法二：由解法(一)得
2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.
说明
1、设出变量找出函数关系式；
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
确定出定义域；
所得结果符合问题的实际意义。
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
3.4生活中的优化问题举例 (优秀经典公开课比赛课件)
20
3.实际应用问题的解题程序 读题 ⇒ 建模 ⇒ 求解 ⇒ 反馈 (文字语言) (数学语言) (数学应用) (检验作答) 函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系， 把变量转化成函数关系式，确定自变量的定义域． 问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义．
解析：设 x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数 f(x) ＝(1000＋50x)(50－x)－100(50－x)，∴f′(x)＝1600－100x， ∴当 x＝16 时，f(x)取最大值，把租金定为 1800 元时，收入 最大．
答案：1800
13
5．将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方 形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？
当
0<x<
5 5R
时，l′>0；当
5 5 R<x<R
时，l′<0.
所以当
x＝
Hale Waihona Puke 5 5R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相
邻两边长分别为 55R，455R.故选 B.
9
2．某人以 6 m/s 的速度匀速前进追赶停在交通灯前的汽 车，当他距离汽车 25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以 1 m/s2 的匀加速度开走，则人和汽车在行进中的最近距离是( )
4
2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变
量转化成_函___数__关__系__式_，这需通过_分__析__、__联__想__、__抽___象__和__转__化 完成．函数的最值要由_极__值__和___端__点__的__函__数__值__确定，当定义 域在_开__区__间___上__只__有__一___个__极__值_____时，这个极值就是它的
3.实际应用问题的解题程序 读题 ⇒ 建模 ⇒ 求解 ⇒ 反馈 (文字语言) (数学语言) (数学应用) (检验作答) 函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系， 把变量转化成函数关系式，确定自变量的定义域． 问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义．
解析：设 x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数 f(x) ＝(1000＋50x)(50－x)－100(50－x)，∴f′(x)＝1600－100x， ∴当 x＝16 时，f(x)取最大值，把租金定为 1800 元时，收入 最大．
答案：1800
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5．将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方 形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？
当
0<x<
5 5R
时，l′>0；当
5 5 R<x<R
时，l′<0.
所以当
x＝
Hale Waihona Puke 5 5R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相
邻两边长分别为 55R，455R.故选 B.
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2．某人以 6 m/s 的速度匀速前进追赶停在交通灯前的汽 车，当他距离汽车 25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以 1 m/s2 的匀加速度开走，则人和汽车在行进中的最近距离是( )
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2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变
量转化成_函___数__关__系__式_，这需通过_分__析__、__联__想__、__抽___象__和__转__化 完成．函数的最值要由_极__值__和___端__点__的__函__数__值__确定，当定义 域在_开__区__间___上__只__有__一___个__极__值_____时，这个极值就是它的
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又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量 , 最内 一条磁道必须装满 , 即每条磁 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R r 2 πr 2 π f r r R r . m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于 r的二次函数 , 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .
mn 2 R R R ' ' 当r 时, f r 0;当r 时, f r 0.因此,当r 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量 , 最大存储量为 . 2mn
2为求f r 的最大值 ,计算f ' r 0. 2π R ' ' R 2r , 令 f r 0, 解得 r . f r
研究汽油的使用效率 单位 : L / km 就是研究汽 油消耗量与汽车行驶路 程的比值 .如果用 G表示 w 每千米平均的汽油消耗 量,那么 G , 其中, w s 表示汽油消耗量 单位 : L , s表示汽车行驶的路 程 单位 : km . 这样,求" 每千米路程的汽车消耗 量最少 " , 就是求 G的最小值问题 . 解决" 优化问题 "的途径之一是通过搜集 大量的 统计数据 , 并对数据进行整理 和分析, 建立与其 相应的函数模 型 ; 再通过研究相应函数的 性 质, 提出优化方案 , 使问题得到解决 .在这个过程中 , 导数往往是一个有力的 工具.
例2
磁盘的最大存储量问题
1 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? 2 你知道磁盘的结构吗? 3 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?
背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘 ,并由操作系统将其格式 化成磁 道和扇区 .磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元 , 根据其磁化与否 可分别记录数据 0 或1, 这个基本 单元通常称为比特 bit .磁盘的 图1.4 3 构造如图 1.4 3所示. 为了保障磁盘的分辩率 , 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.
通过大量的统计数据 , 并 15 对数据进行分析、研究 , 10 人们发现 ， 汽车在行驶 5 过程中 ， 汽油平均消耗 v km / h 率g(即每小时的汽油消 30 50 60 90 12 0 o 耗量, 单位 ：L / h)与汽车 图1.4 1 行驶的平均速度 v(单位 : km / h)之间有如图 1.4 1 所示的函数关系 g f v .
1.4
生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 ， 这些问题 通常称为优 化问 题 .通 过 前面的学 小 习 , 我们知道, 导数是求函数最大 值的有力工具.本节我们运用导 数, 解决一些生活中的优化 问题.
我们知道,汽油的消耗量 w 单位 : L 与汽车的速度 v
那么, 我们如何根据这个图象 中的数据信息 , 解决汽 油使用效率最高的问题 呢?
gL / h
从图象中我们不能直接 解决汽油使用效率最高 问题.因此, 我们首先需要 将问题转化为汽 油平均 消耗率 g (即每小时的汽 油消耗量 , 单位 : L / h) 与
o
15 10
gL / h
5
v km / h
30 50 60 90 12 0
图1.4 1
汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题 ,然后利用 图象中的数据信息 , 解决汽油使用效率最高 的问题.
如图 1.4 1,函数 g f v 最小值的意义是什么 ? 它是 否表示在此点处汽油的 使用效率最高?
W W/t 解 因为 G . 15 S S/t g g 10 斜率 v L / km 这样,问题就转化为求 的 v g 5 g 最小值 .从图象上看 , 表示 v km / h v 30 50 60 90 12 0 o v 什么 ? 图1.4 2 g 从图1.4 2可以看出 , 表示经过原点与曲线上 点 v v, g的直线的斜率 . 继续观察图象 ,我们可以发现 ,
例1 汽油的使之间有一定关系 ,汽油的消耗量w是汽车
1 是不是汽车的速度越快 ,汽油的消越量越大? 2" 汽油的使用效率最高 " 的含义是什么?
速度v的函数.根据你的生活经验 , 思考下面两个问题:
现实生活中 ,当汽车行驶路程一定时 , 我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消 耗量最少 或每升汽油能够使汽车 行驶最长路程 . 这就需要考 虑如何提高汽油的使用 效率, 使汽油使用效率最高 .
问题 : 现有一张半径为R的磁盘, R 它的存储区是半径介于 r 与R 的 环形区域. r 1 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大 ? 图1.4 3 2 r为多少时, 磁盘具有最大的 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m, 且最外面的磁道不存储任何信息, 所 Rr 以磁道数最多可达 . m
思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成 正比,那么如何计算磁盘的存 储量 ? 此时, 是不是 r越小, 磁盘的存储量越大?
gL / h
当直线与曲线相切时 , 其斜率最小 .在此切点处速 度约为90km / h.
因此,当汽车行驶距离一定时 , 要使汽油 的使用效率最高 , 即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为 90km / h . 从数 值上看, 每千米的汽油消耗量就 是图1.4 2中切线的斜率 , 即f ' 90, 约为 L.