电磁场与电磁波复习提要(静态电磁场及边值问题的解)

Qq (R / D)q2
Rq 2
0
D2
D[D (R / D)2 ]2
3.23
3.23
3.23
3.23
例33..2284
3.25 3.25 3.25
3.25
3.25
3.25
3.25
例 3. 26
例 3. 26 图
例 3. 26 图
例 3.27 如图（a）所示，半径为a 的长直导线架在空中，导线与墙和地面 都平行，距墙和地面分别为d1 和 d2 ，且d1 >>a 、 d2 >>a 。若将墙和地面均视为 导体，试求此导线与地之间每单位长度的电容。
d2
d1 l2
d2
d1
l3
图（b ）
导线表面上的电位为
l l1 l2 l3
l [ln 1 ln 1 ln 20 a 2d1 2
1 d12 d22
ln 1 ] 2d2
l 20
ln
a
2d1d2 d12 d22
故导线与地之间每单位长度的电容 C l
20
ln(2d1d2 ) ln(a d12 d22 )
（1） 恒定电场的概念
r J
0
（2） 恒定电场的基本方程
0
t
恒定电场与静电场的比较
（3） 恒定电场的边界条件
（4） 恒定电场的电位函数 电位微分方程
r
Qr r
E ,(P) (Q) P E dl
（线性、各向同性的均匀导电媒质中）
（6） （7）
24
进一步理解静电场和恒定电场 思考题：
w t
1.
2. 计算磁场能量的计算
3. 计算磁场力
例 3.14
例 3.14
例 3.14 图
例 3.15
例 3.16 例 3.16
例 3.16 图
例 3.17
3.18 3.18 3.18 3.18
3.18
3.18
3.18
3.18
3.19
四、边值问题
（一）内容提要
1. 边值问题及惟一性定理
2. 镜像法
解 平行板电容器的电容为
l
C
0
(l
x)b d
bx d
所以电容器内的电场能量为
We
1 2
CU02
bU
2 0
2d
[0 (l
x)
x]
U0
d
x
b
部分填充介质的平行板电容器
由
Fi
We xi
求得介质片受到的静电力为
不变
Fx
We x
U0不变
b(
0
)U
2 0
2d
由于ε>ε0，所以介质
片所受到的力有将其 拉进电容器的趋势
（三） 解题
C、解泊松方程（一维情况） 3. 计算电场能量和静电力
例3.1
3.1
例3.1 图
例3.2
如例3.3 图
例3.2 图
例3.3 如例3.3
例3.3 图
例3.4
例3.5
如例 3.5 图所
例3.5 图
例3.6
例3. 7
例例33.1.81
求介质内 ＞
例3.9 有一平行金属板电容器，极板面积为 l×b，板间距离为d，用一块 介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为ε）部分填充在两极板之间，如图 所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。
带电导体系统的电场能量
第 i 个导体的电位
We
1 2
i
Si
SiidS
1 2
i
i
Si
Si dS
1 2
i
i qi
第 i 个导体所带的电荷
点电荷系统的电场能量
We
1 2
i
i qi
第 i 个点电荷的电量 除第 i 个点电荷外的其余点电荷产生的电位
（5）静电力
• 各带电导体的电荷不变
Fi
We xi
(1) 利用I S J dS、J E计算
(2) 利用电位函数计算
2. 计算导电媒质中的电荷分布和损耗功率
例 3.10 3.10
例 3.10 图
例 3.11
21
2
1
U0
例 3.12
15
例 3.12 图
例 3.13 3.13
例 3.13 图
三、恒定磁场分析
（一）内容提要
（2）
（3）
线电荷与接地导体圆柱面 l l , d a2 d
⑥ 电介质分界面的镜像 ⑦
q1
1 1
2 2
q, q2
1 1
2 2
q
3. 分离变量法
• 分离变量法的基本原理和解题的步骤 • 直角坐标系中二维问题的分离变量解
（二）基本要求
• 掌握边值问题的概念，深刻理解唯一性定理及其重要意义。 • 理解镜像法的原理及相关概念，记住一些典型的像电荷分布，并熟练
d1
2a
l1
d1
d2
d1
l
d2
d2
图（a ）
d2
d1 l2
d2
d1
源自文库
l3
图（b ）
解 设导线上单位长度带电荷为 l 。由于d1 >>a 、 d2 >>a ，则可近
似将导线的几何轴作为电轴。根据镜像法，其像电荷分布如图（b）所示，
其中
l1 l
l2 l
l3 l
d1
2a
l1
d1
d2
d1
l
d2
d2
图（a ）
]
12
(rr
)
22
(rr
)
总的电场能量
We
1 2
V1
11
dV
1 2
V2 22 dV
1(rr )
1
1
2
V1
1 (11
21) dV
1 2
V2 2 (12 22 ) dV
2 (rr )
2
1
2
V1
111
dV
1 2
V1
121
dV
1 2
V2
212
dV
1 2
V2 222 dV
比较：带电导体系统的电场能量与点电荷系统的电场能量
也可用式
Fi
We xi
来计算 q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
由此可得 由于
We
q2 2C
dq2
2b[0 (l x)
x]
Fx
We x
q不变
d ( 2b[0 (l
0 )q2 x)
x]2
q
CU0
bU0 d
[0 (l
x) x]
同样得到
Fx
b(
0
)U
2 0
2d
二、恒定电场分析
（一）内容提要
载流回路的固有能量与相互作用能量
对于两个电流回路 C1 和回路C2 ，有
Wm
1 2
C1
(
A11
A21)
I1dl1
1 2
C2 ( A12 A22 ) I2dl2
1 2
I111
1 2
I1 21
1 2
I 2 12
1 2
I 2 22
1 2
L1I12
1 2
L2
I
2 2
MI1I 2
C1和C2的互能
q不变
说明：电场力所做的功等于系统减少的静电能量
• 各带电导体的电位不变
Fi
We xi
不变
说明：电场力所做的功等于系统增加的静电能量
（二）基本要求 • 理解电位的概念和物理意义，掌握电位与电场强度的关系；掌握
电位的微分方程和边界条件；会计算一些典型电荷分布的电位。 • 熟悉静电场中导体的性质，掌握电容的概念及电容的计算方法。 • 理解静电场能量的概念，掌握静电场能量的计算 • 会运用虚位移法计算静电力。
地运用镜像法求解静电场问题。 • 了解分离变量法解题的基本原理和解题的步骤。
（三）解题
运用镜像法解题
③ 位于接地导体圆柱面附近的线电荷的静电场问题
④ 位于介质分界平面附近的的电荷的静电场问题
⑤
例 3.20 如例 3.20
例 3.20 图
例 3.21
3.22
3.22
3.22
q(Q q)
4 0 D2
0 导体 0
t 导体
0
U
U
v
求：1） E, ? ； 2）储能或功耗？
（二）基本要求 • 理解恒定电场的概念，掌握恒定电场的基本方程和边界条件，
能正确地分析和求解恒定电场问题； • 掌握电阻和损耗功率的计算方法； • 了解恒定电场与静电场的类比。 （三） 解题
1. 计算恒定电流和恒定电场分布
r rr r
一、静电场分析
（一）内容提要
义
⑥
（3）电容
（4）静电场能量
带电体的固有能量与相互作用能量
1(rr )
1
4π
[
V1
1
(rr
)(
1 R11
)dV
V2
2
(rr)(
1 R21
)dV
]
11 (rr
)
21(rr
)
2 (rr )
1
4π
[
V1
1
(rr)(
1 R12
)dV
V2
2
(rr)(
1 R22
)dV
回路C1的自有能
回路C2的自有能
（7）磁场力
• 各载流回路的电流不变
Fi
Wm xi
I不变
说明：磁场力所做的功等于系统增加的磁场能量
• 各载流回路的磁通不变
Fi
Wm
xi 不变
说明：磁场力所做的功等于系统减少的磁场能量
（二）基本要求 • 理解磁矢位A的概念，了解磁矢位性质及所满足的微分方程。 • 理解自感、互感和磁场能量的概念，掌握自感、互感的计算方法。 • 会计算磁场能量以及用安培定理或虚位移法计算磁场力。 （三）解题